第六单元长方体和正方体解决问题专项训练二-2025-2026学年五年级数学下册高频易错题思维综合练（苏教版）

**基本信息** 聚焦长方体和正方体实际应用，通过分类题型系统提炼棱长组合、表面积变式、排水法等解题方法，构建“特征-公式-应用”逻辑链条。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |捆扎与棱长计算|1-6题|根据捆扎方式确定棱长条数（如2长+2宽+4高）|棱长总和公式→实际捆扎情境下的棱长组合| |表面积应用|7-15题|无底无盖/特定面表面积计算（如侧面积=（长×高+宽×高）×2）|表面积公式→生活场景中面的取舍与组合| |体积计算与排水法|19-23题|排水法求体积（水面上升体积=物体体积）|体积公式→不规则物体体积转化计算| |综合应用|24-25题|最优包装/容器选材（表面积最小化）|棱长、表面积、体积知识综合运用|

第六单元长方体和正方体解决问题专项训练二 一、解答题 1．一根绳子长12米，现在用它捆扎如图的礼盒，结头处绳长18厘米。这根绳子最多可以捆扎多少个这样的礼盒？ 2．精品店包装礼盒时，需要在外面系上彩带（如下图），已知打结部分长28厘米。包装这个礼品盒需要多少厘米长的彩带？（单位：厘米） 3．信阳毛尖春茶上市，小新正在打包一个茶叶礼盒（如下图），打结处用了26厘米长的丝带。打包这个茶叶礼盒至少需要用多少厘米长的丝带？ 4．某商场营业员用彩带为顾客捆扎礼品盒，礼品盒的长、宽、高分别是35厘米、20厘米、12厘米，捆扎方式如下图，打结处长30厘米，这样捆扎一个礼品盒一共需要多少厘米长的彩带？ 5．礼品店要做一个长35厘米，宽25厘米，高15厘米的礼盒，用彩带按下图方法捆扎，接头处的彩带长20厘米。捆扎这个礼盒要用多少米长的彩带？（如图） 6．爷爷想做一个小方凳，它的木框架如下图，爷爷制作这个小方凳的木框架至少需要用多少厘米的木条？（拼接处忽略不计） 7．学校食堂准备做两个无底无盖的长方体铁皮烟囱，长是3分米，宽是2分米，高是1.5米，需要铁皮多少平方分米？ 8．秦始皇兵马俑是第一批全国重点文物保护单位。秦始皇兵马俑博物馆计划打造正方体展示柜来陈列珍贵兵马俑文物复制品，每个展示柜的金属框架棱长总和是36米。给展示柜安装钢化玻璃，每平方米玻璃成本是150元，制作一个展示柜的玻璃需要花费多少元？ 9．如图，一个灯笼高6dm，且上、下两个面都是边长为3.5dm的正方形，外侧用布料围一圈（上、下面不围）。制作一个这样的灯笼至少需要多少平方分米布料？ 10．光明小学科学小组做了一个长方体昆虫箱（如下图），昆虫箱的上面是纱网，其它的面均是透明板。制作这样一个昆虫箱至少需要纱网多少平方厘米？需要透明板多少平方厘米？（透明板厚度忽略不计） 11．如图，从一个正方体的一角切去一个长方体后，剩下图形的表面积是多少？（单位：分米） 12．国家游泳中心，别名“水立方”“冰立方”，曾被评为“中国十大新建筑奇迹”。国家游泳中心奥林匹克比赛大厅内有两个泳池，其中一个泳池长50米，宽25米，池深3米，水深2米。如果这个泳池内壁镶满瓷砖，那么至少需要准备多少平方米的瓷砖？ 13．习近平总书记指示：“要把博物馆事业搞好。博物馆建设要更完善、更成体系，同时发挥好博物馆的教育功能。”要搞好博物馆事业，文物保护是头等大事。博物馆里有许多保护文物的透明展示罩（无底），下图所示是其中一个：长2米、宽0.6米、高0.8米。制作一个这样透明展示罩需要多少平方米的材料？ 14．一块长2米、宽0.2米、高0.4米的长方体木头，被李叔叔如图所示平均分成四块后，准备做成四个木秋千。这块木头被分开后，表面积增加了多少平方米？ 15．欢欢打算制作一个彩灯参加学校“非遗”展示活动，她先用木条制作了一个长方体彩灯框架，再在框架侧面及上面贴上彩纸（忽略彩纸厚度），彩灯的雏形就做好了。欢欢制作过程中，至少需要多少平方厘米的彩纸？ 16．手工课上，老师要求大家制作一个长、宽、高分别是50厘米、40厘米、30厘米的长方体小纸箱来装自己的手工作品。 （1）为了让小纸箱更加牢固，小明打算在小纸箱所有的棱上粘一圈彩色胶带进行加固，至少需要多长的彩色胶带呢？ （2）制作这个小纸箱时，小明还想给除了底面之外的其他面都贴上一层漂亮的装饰纸，请你能帮小明算一算，至少需要多大面积的装饰纸？ 17．莉莉购买了一件黄山市吉祥物——“黄山豆豆”陶瓷摆件（如图）准备包装后送给远方的朋友。现有三种规格的包装盒，长、宽、高分别是： ①8厘米、12厘米、15厘米 ②10厘米、12厘米、15厘米 ③10厘米、12厘米、11厘米 （1）请你帮莉莉选一选，上面（    ）号包装盒最合适，并说明理由。 （2）如果做一个这样的包装盒，那么至少需要多少平方厘米的硬纸板？（接头处忽略不计） 18．蒲公英可以入药，泡水喝有清热解毒作用。李阿姨采了一些蒲公英，淘洗晒干后准备寄给外地的朋友。为表心意，她用彩色硬纸板做了个礼盒，并在礼盒上系了丝带做装饰，如图所示。 （1）做这个礼盒至少需要多少彩色硬纸板（重合部分忽略不计）？ （2）若打结处丝带长12厘米，李阿姨需要准备多长的丝带？ 19．小瑞为了巩固在课堂上学习的排水法求体积以及等积变形的知识，他准备了甲、乙两种长方体容器。从里面量甲容器长6分米，宽5分米，高9分米；乙容器长5分米、宽4分米，高13分米。 （1）小瑞向甲容器中注入90升的水，并把一块铁块完全浸没在水中，这时水面上升到4分米。铁块的体积是多少立方分米？ （2）小瑞把甲容器中的铁块取出，继续往甲容器中注水，当他从前面观察到水与容器接触的面刚好是正方形时，立即停止注水，并将甲容器中的水全部倒入乙容器，这时乙容器的水深是多少分米？ 20．丽丽想用排水法测量一个玉琮模型的体积，她的办法如下： 第一步：取一个长方体水箱，从里面量长是20厘米，宽15厘米，深18厘米。 第二步：往水箱里倒入10厘米深的水。 第三步：把一个玉琮模型放入水箱中，水正好能淹没这块玉琮。 第四步：测出水面上升到14.5厘米，水无溢出。 （1）要解决“水箱里有多少升水”这个问题，必须用到的信息是（    ）。 A．20厘米，15厘米，10厘米B．20厘米，15厘米，10厘米，14.5厘米 C．20厘米，15厘米，18厘米，14.5厘米 D．20厘米，15厘米，18厘米，10厘米，14.5厘米 （2）根据题中相关数据，求出这块玉琮模型的体积。 21．（1）一个礼盒长10分米，宽7分米，高2分米。它的体积有多大？ （2）小方要包装两个礼盒，如图，有以下三种包装方法，请问哪一种方法最节约包装纸？至少要用多少包装纸？（接口处不计） 22．聊城某小区打算修一个长50米、宽25米、深2米的游泳池。 （1）如果这个游泳池的四壁及底部要用瓷砖贴满，那么贴瓷砖的面积是多少平方米？ （2）根据自来水公司的定价，每立方米水收费3.5元，灌满这个游泳池需要多少元？ 23．学完求不规则物体的体积之后，扎西尝试测量一块土豆的体积，操作过程如图所示。 （1）这块土豆的体积是多少立方厘米？ （2）如果不让水溢出来，最多还能再往右边的容器里放几块相同体积的土豆？ 24．牡丹饼是洛阳市的一道传统小吃。 （1）刘老师将长、宽均为30厘米，高为15厘米的长方体牡丹饼盒装进长、宽均为60厘米，高为45厘米的长方体纸箱，一箱最多能装几盒？ （2）刘老师按照下图所示的方法用胶带将长方体纸箱捆扎，需要的胶带总长至少是多少厘米？（接头处忽略不计） 25．在仓库里有7块旧玻璃（大小如图所示），张叔叔从中挑选5块玻璃做成一个无盖的长方体鱼缸。（单位：厘米） （1）张叔叔应该选________________这5块玻璃做鱼缸。（填序号） （2）做这个鱼缸一共用了多少平方米的玻璃？ （3）往这个鱼缸里注入30升水，又放入一些鹅卵石和鱼后，水面上升了2.5厘米。这些鹅卵石和鱼的体积共多少立方厘米？ 参考答案 1．12个 【分析】捆一个礼盒所用绳子的长度＝这个长方体的2条长＋2条宽＋4条高＋结头处用的18厘米，据此求出捆一个礼盒用绳子的长度；再用绳子的总长度÷捆一个礼盒所用绳子的长度，即可解答；注意单位名数的统一。 【详解】15×2＋10×2＋8×4＋18 ＝30＋20＋32＋18 ＝50＋32＋18 ＝82＋18 ＝100（厘米） 100厘米＝1米 12÷1＝12（个） 答：这根绳子最多可以捆扎12个这样的礼盒。 2．248厘米 【分析】由题意可知，求包装这个礼品盒需要彩带的长度就是求图中长方体系彩带处的棱长之和，再加上打结部分彩带的长度，即需要彩带的长度＝长×2＋宽×2＋高×4＋28厘米，据此解答。 【详解】40×2＋40×2＋15×4＋28 ＝80＋80＋60＋28 ＝160＋60＋28 ＝220＋28 ＝248（厘米） 答：包装这个礼品盒需要248厘米长的彩带。 3．356厘米 【分析】看图可知，丝带长度＝长×2＋宽×4＋高×6＋打结处长度，据此列式解答。 【详解】40×2＋40×4＋15×6＋26 ＝80＋160＋90＋26 ＝356（厘米） 答：打包这个茶叶礼盒至少需要用356厘米长的丝带。 4．188厘米 【分析】观察图形可知，捆扎这个礼品盒至少需要彩带的长度＝2条长＋2条宽＋4条高＋打结用的长度，据此解答。 【详解】35×2＋20×2＋12×4＋30 ＝70＋40＋48＋30 ＝188（厘米） 答：这样捆扎一个礼品盒一共需要188厘米长的彩带。 5．2米 【分析】根据长方体的特征：12条棱分为互相平行的3组，每组4条棱的长度相等，由图形可知：需要彩带的长度等于2条长＋4条高＋2条宽＋接头用的20厘米，最后将单位换算为米即可。 【详解】35×2＋25×2＋15×4＋20 ＝70＋50＋60＋20 ＝120＋60＋20 ＝180＋20 ＝200（厘米） 200厘米＝2米 答：捆扎这个礼盒要用2米长的彩带。 6．406厘米 【分析】观察图形可知，这个小方凳的外轮廓是一个长方体，木框架包括长方体的长、宽、高各4条，则木条的长度之和＝（长＋宽＋高）×4，据此解答。 【详解】（40.5＋28.5＋32.5）×4 ＝101.5×4 ＝406（厘米） 答：爷爷制作这个小方凳的木框架至少需要用406厘米的木条。 7．300平方分米 【分析】无底无盖的长方体铁皮烟囱，需要铁皮的面积为长方体的侧面积。根据长方体侧面积＝（长×高＋宽×高）×2，代入计算出一个铁皮烟囱需要的铁皮面积，再乘2，求出两个铁皮烟囱共需的铁皮面积。注意单位的统一，1米＝10分米。 【详解】1.5米＝15分米 （15×3＋15×2）×2 ＝（45＋30）×2 ＝75×2 ＝150（平方分米） 150×2＝300（平方分米） 答：需要铁皮300平方分米。 8．8100元 【分析】根据题意可知正方体的棱长和为米。正方体的棱长总和＝棱长，因此可以求出正方体的棱长是多少。因为玻璃的价格按每平方米算，所以要先求出正方体的表面积，根据表面积＝棱长×棱长计算。然后用表面积×每平方米玻璃的成本，可以知道要花费多少元。 【详解】（米） （元） 答：制作一个展示柜的玻璃需要花费元。 9．84 【分析】根据题意，是求这个长方体侧面四个面的面积，这四个面的长和宽分别都是6分米和3.5分米，我们只要求出一个长方形的面积然后乘以4即可。 【详解】根据分析，可列式为： 3.5×6×4 ＝21×4 ＝84（平方分米） 答：制作一个这样的灯笼至少需要84平方分米布料。 10．1000平方厘米；4900平方厘米 【分析】由题意可知：纱网的面积等于长方体上面的面积，将数据代入长方形面积公式：S＝ab计算即可；透明板的面积等于长方体前后、左右、下面的面积，将数据代入长方体表面积公式：S＝ab×2＋ah×2＋bh×2计算即可（注意不需要计算上面面积）。 【详解】40×25＝1000（平方厘米） 40×25＋40×30×2＋25×30×2 ＝1000＋2400＋1500 ＝4900（平方厘米） 答：制作这样一个昆虫箱至少需要纱网1000平方厘米，需要透明板4900平方厘米。 11．150平方分米 【分析】观察图形可知，切去一个长方体，减去3个面的面积，同时又增加3个面的面积，所以剩下的表面积等于正方体的表面积，根据正方体表面积＝棱长×棱长×6，代入数据，即可解答。 【详解】5×5×6 ＝25×6 ＝150（平方分米） 答：剩下图形的面积是150平方分米。 12．1700平方米 【分析】计算泳池内壁镶瓷砖的面积，需考虑底面和四周侧面的总面积。池深3米，水深2米不影响贴砖高度。据此，根据“长×宽＋长×高×2＋宽×高×2”求出至少需要准备多少平方米的瓷砖。 【详解】50×25＋50×3×2＋25×3×2 ＝1250＋300＋150 ＝1700（平方米） 答：至少需要准备1700平方米的瓷砖。 13．5.36平方米 【分析】求展示罩的面积相当于求长方体表面积，因为无底，展示罩的面积＝长×宽＋长×高×2＋宽×高×2，据此列式解答。 【详解】2×0.6＋2×0.8×2＋0.6×0.8×2 ＝1.2＋1.6×2＋0.48×2 ＝1.2＋3.2＋0.96 ＝4.4＋0.96 ＝5.36（平方米） 答：制作一个这样透明展示罩需要5.36平方米的材料。 14．1.76平方米 【分析】观察可知，平均分成四块要切两下，每次一下就会增加2个长方形面积，所以表面积增加了4个长方形的面积，分别是2个长是2米，宽0.4米的长方形，2个长是0.4米，宽是0.2米的长方形，根据长方形的面积公式计算即可。 【详解】 （平方米） 答：表面积增加了1.76平方米。 15．3020平方厘米 【分析】求所需彩纸的最小面积，就是求长方体的上面的面积与4个侧面的面积总和。长方体相对的面面积相等，根据公式：长方形的面积＝长×宽，分别计算出上面、前后面、左右面的面积，再将它们相加，就能得到需要彩纸的面积。 【详解】18×35×2＋20×35×2＋20×18 ＝1260＋1400＋360 ＝3020（平方厘米） 答：至少需要3020平方厘米的彩纸。 16．（1）480厘米 （2）7400平方厘米 【分析】（1）从题意可知：彩色胶带的总长＝长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，据此代入数据计算即可。 （2）从题意可知：装饰纸的面积＝上面＋前后左右面＝长×宽＋长×高×2＋宽×高×2，代入数据计算即可。 【详解】（1）（50＋40＋30）×4 ＝120×4 ＝480（厘米） 答：至少需要长480厘米的彩色胶带。 （2）50×40＋50×30×2＋40×30×2 ＝2000＋3000＋2400 ＝7400（平方厘米） 答：至少需要7400平方厘米的装饰纸。 17．（1）②；理由见详解 （2）900平方厘米 【分析】（1）包装盒的长、宽、高要分别大于“黄山豆豆”的长、宽、高，才能将这个摆件放下，据此分析。 （2）求需要硬纸板的面积，就是求长方体的表面积，根据长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入数据，即可解答。 【详解】（1）①8＜9，不符合； ②10＞9，12＞11，15＞14，符合； ③10＞9，12＞11，11＜14，不符合。 ②号包装盒最合适。 （2）（10×12＋10×15＋12×15）×2 ＝（120＋150＋180）×2 ＝（270＋180）×2 ＝450×2 ＝900（平方厘米） 答：至少需要900平方厘米的硬纸板。 18．（1）3240平方厘米；（2）184厘米 【分析】（1）硬纸板的面积等于长为30厘米、宽为26厘米、高为15厘米的长方体的表面积，长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，把数据代入计算即可解答。 （2）观察上图可知，礼盒上丝带系了两圈，一圈长度与长为26厘米、宽为15厘米长方形面的周长相等，一圈长度与长为30厘米、宽为15厘米的长方形面的周长相等，长方形的周长＝（长＋宽）×2，把数据代入求出两圈的长度，然后相加，再加打结处的长度即等于需要准备丝带的长度，据此即可解答。 【详解】（1）（30×26＋30×15＋26×15）×2 ＝（780＋450＋390）×2 ＝1620×2 ＝3240（平方厘米） 答：做这个礼盒至少需要3240平方厘米彩色硬纸板。 （2）（26＋15）×2＋（30＋15）×2＋12 ＝41×2＋45×2＋12 ＝82＋90＋12 ＝172＋12 ＝184（厘米） 答：李阿姨需要准备184厘米的丝带。 19． （1）30立方分米；（2）9分米 【分析】（1）因为1升＝1立方分米，所以90升＝90立方分米。根据长方体体积公式V＝a×b×h，可得h＝V÷（a×b），甲容器长6分米，宽5分米，注入水的体积为90立方分米，则水的高度为90÷（6×5）＝90÷30＝3（分米）。放入铁块后水面上升到4分米，那么水面上升的高度为4－3＝1分米，上升的这部分水的体积就是铁块的体积。根据长方体体积公式，把数据代入公式即可解答。 （2）从前面观察甲容器，前面是一个长为6分米、高为9分米的长方形，当水与容器接触的面刚好是正方形时，此时水的高度和甲容器的长相等，即为6分米。此时甲容器中水的体积为6×5×6＝180立方分米。把水倒入乙容器，乙容器长5分米、宽4分米，根据h＝V÷（a×b），把数据代入公式即可解答。 【详解】（1）1升＝1立方分米 90升＝90立方分米 90÷（6×5） ＝90÷30 ＝3（分米） 4－3＝1（分米） 6×5×1＝30（立方分米） 答：这时水面上升到4分米铁块的体积是30立方分米。 （2）6×5×6＝180（立方分米） 180÷（5×4） ＝180÷20 ＝9（分米） 答：这时乙容器的水深是9分米。 20．（1）A （2）1350立方厘米 【分析】（1）水箱里面有多少水，根据“长方体体积＝长×宽×高”求出。其中，高是水的深度，而非容器的高度。所以，需要用的数据是长20厘米，宽15厘米，水深10厘米。 （2）水面上升部分的体积就是玉粽的体积，根据“长×宽×水面上升高度”即可求出。 【详解】（1）根据分析可知，要解决“水箱里有多少升水”这个问题，必须用到的信息是20厘米，15厘米，10厘米。 故答案为：A （2）20×15×（14.5－10） ＝300×4.5 ＝1350（立方厘米） 答：这块玉琮模型的体积是1350立方厘米。 21．（1）140立方分米 （2）第一种；276平方分米 【分析】（1）根据长方体体积＝长×宽×高，求出它的体积； （2）第一种：拼起来的大长方体，长和宽等于原来礼盒的长和宽，高＝原来的高×2；第二种：拼起来的大长方体，长＝原来的长×2，宽和高等于原来礼盒的宽和高；第三种：拼起来的大长方体，长和高等于原来礼盒的长和高，宽＝原来的宽×2。根据长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，分别计算出三种包装方法的表面积，比较即可。 【详解】（1）10×7×2＝140（立方分米）                 答：它的体积是140立方分米。 （2）第一种：2×2＝4（分米） （10×7＋10×4＋7×4）×2 ＝（70＋40＋28）×2 ＝138×2 ＝276（平方分米）                 第二种：10×2＝20（分米） （20×7＋20×2＋7×2）×2 ＝（140＋40＋14）×2 ＝194×2 ＝388（平方分米） 第三种：7×2＝14（分米） （10×14＋10×2＋14×2）×2 ＝（140＋20＋28）×2 ＝188×2 ＝376（平方分米） 276＜376＜388 答：第一种方法最节约包装纸，至少要用276平方分米包装纸。 22．（1）1550平方米 （2）8750元 【分析】（1）贴瓷砖的面积＝长×宽＋长×高×2＋宽×高×2，据此列式解答； （2）根据长方体体积＝长×宽×高，求出灌满这个游泳池水的体积，水的体积×每立方米钱数＝总钱数。 【详解】（1）50×25＋50×2×2＋25×2×2 ＝1250＋200＋100 ＝1550（平方米） 答：贴瓷砖的面积是1550平方米。 （2）50×25×2×3.5 ＝2500×3.5 ＝8750（元） 答：灌满这个游泳池需要8750元。 23．（1）100立方厘米 （2）2块 【分析】（1）水面上升部分体积就是土豆的体积，根据长方体的体积＝长×宽×高，代入数据，即可解答。 （2）先求出1块土豆水面上升的高度，再用剩余高度÷一个土豆水面上升的高度，即可解答。 【详解】（1）10×5×（8－6） ＝50×2 ＝100（立方厘米） 答：这块土豆的体积是100立方厘米。 （2）（12－8）÷（8－6） ＝4÷2 ＝2（块） 答：最多还能再往右边的容器里放2块相同体积的土豆。 24．（1）12盒 （2）870厘米 【分析】（1）求一个长方体纸箱最多能装几盒牡丹饼盒，就是求长方体纸箱的长、宽、高里分别有几个牡丹饼盒的长、宽、高，用除法计算；再根据长方体的体积公式V＝abh，把长、宽、高最多能放的盒数相乘，即可求出一箱最多能装牡丹饼盒的盒数。 （2）观察图形可知，捆扎这个长方体纸箱至少需要胶带的长度＝4条长＋6条宽＋6条高，代入数据计算求解。 【详解】（1）长可放：60÷30＝2（盒） 宽可放：60÷30＝2（盒） 高可放：45÷15＝3（盒） 一共：2×2×3＝12（盒） 答：一箱最多能装12盒。 （2）60×4＋60×6＋45×6 ＝240＋360＋270 ＝870（厘米） 答：需要的胶带总长至少是870厘米。 25．（1）①④⑤⑥⑦ （2）1.29平方米 （3）7500立方厘米 【分析】（1）根据长方体特征：长方体的6个面都是长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形），相对的面的面积相等，由于鱼缸无盖，所以只有一块是底面；由此可知，这个鱼缸的长是60厘米，宽是50厘米，高是45厘米，张叔叔应该选用①④⑤⑥⑦这5块玻璃做鱼缸。 （2）根据长方体表面积＝长×宽＋（长×高＋宽×高）×2，代入数据，即可求出需要玻璃的面积，注意单位名数的换算。 （3）水面上升部分的体积就是鹅卵石和鱼的体积，据此代入长方体体积公式，即可解答。 【详解】（1）根据分析可知，这个鱼缸的长是60厘米，宽是50厘米，高是45厘米，张叔叔应该选用①④⑤⑥⑦这5块玻璃做鱼缸。 （2）60×50＋（60×45＋50×45）×2 ＝3000＋（2700＋2250）×2 ＝3000＋4950×2 ＝3000＋9900 ＝12900（平方厘米） 12900平方厘米＝1.29平方米 答：做这个鱼缸一共用了1.29平方米的玻璃。 （3）60×50×2.5 ＝3000×2.5 ＝7500（立方厘米） 这些鹅卵石和鱼的体积共7500立方厘米。 学科网（北京）股份有限公司 $