广东中山市华侨中学2025-2026学年高二上学期数学期末模拟试卷

广东省中山市华侨中学2025-2026学年高二上数学期末模拟试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．（5分）某班在体育课上组织趣味游戏，统计了第一组14名学生的最终得分：13，10，12，17，9，12，8，9，11，14，15，12，10，12．这组数据的第80百分位数是（ ） A．12 B．13 C．13.5 D．14 2．（5分）抛物线的焦点到准线的距离为（ ） A． B． C．2 D．1 3．（5分）若平面的一个法向量为，，，，则点到平面的距离为（ ） A．1 B． C． D． 4．（5分）“”是“直线与直线互相垂直”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（5分）已知圆，过点的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 6．（5分）同时抛掷一红一绿两枚质地均匀的骰子，用表示红色骰子的点数，表示绿色骰子的点数，设事件“”，事件“为奇数”，事件“”，则下列结论正确的是（ ） A．与对立 B． C．与相互独立 D．与相互独立 7．（5分）已知为坐标原点，是椭圆：上一点，为右焦点．延长，交椭圆于，两点，，，则椭圆的离心率为（ ） A． B． C． D． 8．（5分）双曲线：的左，右焦点分别为，，过作垂直于轴的直线交双曲线于，两点，，，的内切圆圆心分别为，，，则的面积是（ ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（6分）已知圆：，则下列说法正确的是（ ） A．点在圆内 B．圆关于直线对称 C．半径为4 D．直线与圆相切 10．（6分）下列关于空间向量的命题中，正确的是（ ） A．若非零向量，，满足，，则有 B．任意向量，，满足 C．若，，是空间的一组基底，且，则，，，四点共面 D．已知向量，，若，则为锐角 11．（6分）如图，已知正方体的棱长为1，则下列结论中正确的是（ ） A．若是直线上的动点，则平面 B．若是直线上的动点，是直线上的动点，则 C．若是内（包括边界）的动点，则直线与平面所成角的正切值的取值范围是 D．若是平面内的动点，则三棱锥的体积为定值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．（5分）已知双曲线的渐近线方程为，则________． 13．（5分）某小学对四年级的某个班进行数学测试，男生的平均分和方差分别为91和11，女生的平均分和方差分别为86和8，已知该班男生有30人，女生有20人，则该班本次数学测试的总体方差为________．参考公式 14．（5分）已知圆：，过点的直线与圆交于，两点，是的中点，则点的轨迹方程为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知圆：，直线过点． （1）若直线与圆相切，求直线的方程； （2）若直线与圆相交于、两点，求面积的最大值，并求此时直线的斜率． 16．（15分）甲、乙两人组成“上元队”参加猜灯谜比赛，每轮活动由甲、乙各猜一个灯谜，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为．在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响．记事件“甲第一轮猜对”，“乙第一轮猜对”，“甲第二轮猜对”，“乙第二轮猜对”． （1）求“上元队”在第一轮活动中仅猜对1个灯谜的概率； （2）求“上元队”在两轮活动中，甲、乙猜对灯谜的个数相等且至少为1的概率． 17．（15分）某种植园在芒果临近成熟时，随机从一些芒果树上摘下100个芒果，其质量分布在，，，，（单位：克）中，经统计频率分布直方图如图所示． （1）估计这组数据的平均数； （2）某经销商来收购芒果，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表，用样本估计总体，该种植园中共有芒果大约10000个，经销商提出以下两种收购方案： 方案①：所有芒果以10元/千克收购； 方案②：对质量低于350克的芒果以3元/个收购，对质量高于或等于350克的芒果以5元/个收购． 请通过计算确定种植园选择哪种方案获利更多？ 18．（17分）已知三棱柱中，，，且，，侧面底面，是的中点． （1）求证：平面平面； （2）在棱上是否存在点，使得与平面的所成角为．如果存在，请求出；如果不存在，请说明理由． 19．（17分）有一种曲线画图工具如图1所示，是滑槽的中点，短杆可绕转动，长杆通过处铰链与连接，上的栓子可沿滑槽滑动，且．当栓子在滑槽内做往复运动时，带动绕转动，跟踪动点的轨迹得到曲线，跟踪动点的轨迹得到曲线，以为原点，所在的直线为轴建立如图2所示的平面直角坐标系． （1）分别求曲线和的方程； （2）曲线与轴的交点为，，动直线：与曲线相切，且与曲线交于，两点，求的面积与的面积乘积的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东省中山市华侨中学2025-2026学年高二上数学期末模拟试卷 数学参考答案 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．D 2．D 3．B 4．A 5．A 6．C 7．A 8．A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．B，D 10．C，D 11．A，B，D 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12． 13．15.8 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（1）或 【解答过程】 解：圆的圆心为，半径为． 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，圆心到直线的距离为3， 此时直线与圆相切，符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 由题意知，圆心到直线的距离等于半径， 即，解得，可得直线的方程为， 当直线与圆相切时，直线的方程为或． （2） 【解答过程】 解：若直线与圆相交，由（1）可知，直线的斜率必定存在， 设直线的方程为，即， 则圆心到直线的距离． 的面积为， 当时，面积的最大值为， 即，可得，解得， 故面积的最大值为，此时直线的斜率为． 16．（1） 【解答过程】 设“上元队在第一轮活动中仅猜对1个灯谜”，则， 则， 故“上元队”在第一轮活动中仅猜对1个灯谜的概率为． （2） 【解答过程】 甲两轮猜对1个灯谜的概率为，甲两轮猜对2个灯谜的概率为， 乙两轮猜对1个灯谜的概率为，乙两轮猜对2个灯谜的概率为， 所以“上元队”在两轮活动中，甲、乙猜对灯谜的个数相等且至少为1的概率为． 17．（1）387（克） 【解答过程】 由频率分布直方图可得这组数据的平均数为： （克）； （2）方案②获利更多 【解答过程】 方程①收入：（元）； 方案②收入：由题意得低于350克的收入：（元）； 高于或等于350克的收入：（元）． 故总计（元），由于， 故种植园选择方案②获利更多． 18．（1）证明见解析． 【解答过程】 在中，，，由余弦定理， 得，解得，得． 在中，，，则为正三角形， 取的中点，连接，则，又平面平面， 平面平面，平面，所以平面． 取的中点，连接，则，而，所以， 由、平面，所以，， 以为原点，以，，所在直线为，，轴建立如图空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，， 设平面和平面的一个法向量分别为，， 则，， 令，，则，，，， 所以，，所以， 故平面平面； （2）不存在，理由见解析． 【解答过程】 由（1）知，，，，，， 由，即，得， 所以，，，设， 则，又， 所以， 设平面的一个法向量为， 则，令，得，， 所以， 所以， 整理，得，方程在上无实数解， 所以在上不存在点，使得与平面所成角为． 19．（1）：；：． 【解答过程】 因为，所以的轨迹是以原点为圆心，半径为1的圆， 所以曲线的方程为； 设，，，， 由题意可知，， 所以， 由于不恒为零，所以，所以， 又，代入可得， 所以的方程为． （2）． 【解答过程】 易知，， 设，， 则点到直线：的距离， 点到直线：的距离， 因为与相切，所以，， 由，消去，得， ，， ，， 所以， 所以 ， 由基本不等式得，当且仅当时取等号， 所以，所以的面积与的面积乘积的取值范围为． 学科网（北京）股份有限公司 $