2026年中考三轮冲刺预测模拟题卷 数学02（广东专用）

**基本信息** 2026年广东专用中考数学冲刺模拟卷，以科技热点（无人机、机器人）、文化传承（古代数学名著）为情境，覆盖函数、几何、统计等核心知识，通过基础题与综合题梯度设计，适配三轮冲刺，考查抽象能力、推理意识与模型观念。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|正负数、三视图、概率、圆性质等|第4题以古代数学名著考概率，第10题定义“顶峰”函数考创新应用| |填空题|5/15|因式分解、分式方程、程序运算等|第13题结合浙江年糕习俗考代数式表示，体现生活应用| |解答题|8/85|函数综合、圆证明、统计、二次函数等|18题无人机茶园打药考分式方程，23题二次函数与平行四边形综合，层次分明，考查逻辑推理与综合应用|

2026年中考冲刺预测模拟题卷数学02（广东专用） 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．某植物种子发芽的最适宜温度是，如果低于最适宜发芽温度记作，那么高于最适宜发芽温度应该记作（    ） A． B． C． D． 2．下列如图所示的立体图形的俯视图是（    ） A． B． C． D． 3. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 中国古代数学有着辉煌的成就，《周髀算经》《算学启蒙》《测圆海镜》《四元玉鉴》是我国古代数学的重要文献．某中学拟从这4部数学名著中选择2部作为校本课程“数学文化”的学习内容，恰好选中《算学启蒙》与《四元玉鉴》的概率是（ ） A. B. C. D. 5．如图，是的直径，点在上，，则的度数为（  ） A． B． C． D． 6. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1， △ABC的顶点均在格点上，则该三角形边上的高为（ ） A. 2 B. C. D. 7．若点在平面直角坐标系的第三象限内，则x的取值范围在数轴上可表示为（    ） A．   B．   C．   D．   8. 小明将三角形纸片按下列图示方式折叠，则纸片有一部分会重叠四层，将这部分图形完全展开，得到的平面图形一定是（ ） A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 菱形 D. 正方形 9．如图，在中，轴，点、在反比例函数的图象上，若的面积是8，则的值是　　 A．2 B．4 C．6 D．8 10. 定义：（1）y是x的函数；（2）对于在自变量取值范围之内的任意x对应的函数值y，始终有（a为实数）．则y是x的“顶峰”函数．其中所有满足条件a的最小值称为这个函数的“巅峰”值．例如，是“顶峰”函数，它的“巅峰”值是0．下列说法正确的序号是（ ） ①函数“顶峰”函数； ②函数是“顶峰”函数，“巅峰”值为1； ③若函数最小值不超过，“巅峰”值是b，则； ④函数的“巅峰”值为3，则a的值为0或 A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④ 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题（本大题有5个小题，每小题3分，共15分） 11．（2024·广东肇庆·一模）因式分解： ． 12. 方程的解为________． 13．浙江地区向来有打年糕的习俗．糯米做成年糕的过程中，由于增加水分，会使得重量增加20%．如果做成年糕后重量为x斤，则原有糯米 斤（用含x的代数式表示）． 14. 如图，按下面的程序进行运算．规定：程序运行到“判断结果是否大于28”为一次运算．若运算进行了3次才停止，则x的取值范围是_____． 15．如图，菱形的一边在轴的正半轴上，是原点，对角线和相交于点，若点，，反比例函数的图象经过点，并与的延长线交于点，则___． 三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题8分，共24分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步理） 16．（1）计算：． （2）先化简，再求值：，其中． 17. 如图，在中，，点O在边上，以半径作，交于点D，连接． （1）尺规作图：在边上作一点E，使，再作直线；（要求：不写作法，保留作图痕迹） （2）是圆O的切线吗？请说明理由． 18．（2024·北京朝阳·二模）无人机是现代科技领域的重要创新之一，使用无人机对茶园进行病虫害防治，可以提高效率．已知使用无人机每小时对茶园打药的作业面积是人工每小时对茶园打药的作业面积的6倍，若使用无人机对600亩茶园打药的时间比人工对300亩茶园打药的时间少20小时，求使用无人机每小时对茶园打药的作业面积． 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题8分，共24分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步理） 19．喜迎中共二十大，为响应党的“文化自信”号召，初二年级开展了汉字听写大赛活动．现随机抽取部分同学的成绩进行统计，并绘制成如图所示的两幅不完整的统计图（表示分，表示分，表示分，表示分，表示分，每组含前一个边界值，不含后一个边界值），请结合图中提供的信息，解答下列各题： (1)在这次调查活动中，采取的调查方式是______（填写“全面调查”或“抽样调查”）； (2)本次调查一共随机抽取了______名学生的成绩，扇形统计图中a的值是______； (3)从该样本中随机抽取一名同学的成绩，其恰好在“”范围的概率是______； (4)如果全年级有1200名学生参加这次活动，90分以上（含90分）为优秀，那么估计获得优秀的学生有______人． 20. 在2026年春晚舞台上，有扭秧歌的宇树人形机器人和．它们身着大红棉袄、扭着秧歌转着手绢，凭借流畅的舞姿和精准的互动，成为“科技顶流”．为了更好地开设智能机器人编程的校本课程，东莞某学校打算购买A，B两种型号的机器人模型用于教学．A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多100元，用1000元购买A型机器人模型和用600元购买B型机器人模型的数量相同． （1）求A型、B型机器人模型单价分别是多少元？ （2）学校准备再次购买A型和B型机器人模型共20台，购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍，且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠．问购买A型和B型机器人模型各多少台时花费最少？最少花费是多少元？ 21．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，C两点． (1)求反比例函数的解析式及点C的坐标； (2)点P是线段上一点，过点P向x轴做垂线段，垂足为Q，连接，的面积是否存在最大值，若存在，请求出最大面积及点P坐标，若不存在，请说明理由． 五、解答题（三）:本大题 2小题，第22题 13分，第23题 14分，共 27 分. 22、如图，AB是圆O的直径，C、G是圆O上两点，且C是AC的中点，过点C的直线CD⊥BG的延长线于点D，交BA的延长线于点E，连接BC，交CD于点F （1）求证：CD是圆O的切线 ，； （2）若=，求证：AE=AO； （3）连接AD，在（2）的条件下，若CD=2，求AD的长。 23．如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线的顶点为D，与y轴的交点为C．过点C的直线CA与抛物线交于另一点A（点A在对称轴左侧），点B在AC的延长线上，连接OA，OB，DA和DB． （1）如图1，当ACx轴时， ①已知点A的坐标是（﹣4，2），求抛物线的解析式； ②若四边形AOBD是平行四边形，求证：． （2）如图2，若b＝﹣2，，是否存在这样的点A，使四边形AOBD是平行四边形？若存在，求出点A的坐标；若不存在，请说明理由． 2026年中考冲刺预测模拟题卷数学02（广东专用）解析 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（2024·四川成都·二模）某植物种子发芽的最适宜温度是，如果低于最适宜发芽温度记作，那么高于最适宜发芽温度应该记作（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查正负数和相反意义的量，根据低于最适宜发芽温度记作，即可得到答案 【详解】解：∵某植物种子发芽的最适宜温度是，如果低于最适宜发芽温度记作， ∴高于最适宜发芽温度应该记作， 故选：A 2．下列如图所示的立体图形的俯视图是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】找出此几何体从正面看所得到的视图即可，看不见的棱用虚线． 【详解】解：此立体图形从正面看所得到的图形为矩形，然后右下角缺失的部分是可以看见的一个矩形 故选B． 3. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查单项式乘以多项式，合并同类项，积的乘方和幂的乘方以及完全平方公式，运用相关知识计算出各选项的结果再进行判断即可． 【详解】解：A.，计算正确，符合题意； B.与不能运算，故此选项错误，不符合题意； C. ，计算错误，不符合题意； D. ，计算错误，不符合题意； 故选：A． 4. 中国古代数学有着辉煌的成就，《周髀算经》《算学启蒙》《测圆海镜》《四元玉鉴》是我国古代数学的重要文献．某中学拟从这4部数学名著中选择2部作为校本课程“数学文化”的学习内容，恰好选中《算学启蒙》与《四元玉鉴》的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了用列表法或树状图法求概率．画树状图表示出所有等可能的情况和恰好选中《算学启蒙》与《四元玉鉴》的情况，然后利用概率公式求解即可． 【详解】解：令《周髀算经》《算学启蒙》《测圆海镜》《四元玉鉴》分别为A、B、C、D， 画树状图法如下： 由树状图可以看出，所有可能的结果有种，并且这种结果出现的可能性相等，其中恰好选中《算学启蒙》与《四元玉鉴》的情况有种， ∴恰好选中《算学启蒙》与《四元玉鉴》的概率是， 故选：D 5．如图，是的直径，点在上，，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接AC，根据圆周角定理，分别求出∠ACB=90，∠ACD=20，即可求∠BCD的度数． 【详解】连接AC， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB=90°， ∵∠AED=20°， ∴∠ACD=∠AED=20°， ∴∠BCD=∠ACB+∠ACD=90°+20°=110°， 故选：B． 6. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，的顶点均在格点上，则该三角形边上的高为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理与网格，熟练掌握勾股定理是解题的关键．先求出，根据勾股定理求出，再利用面积即可求出答案． 【详解】解：∵点A到的距离为4，， ∴． 根据勾股定理可知，． 设点C到的距离为h， 则， 解得． 故选：B 7．若点在平面直角坐标系的第三象限内，则x的取值范围在数轴上可表示为（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】第三象限上的点，横坐标小于0，纵坐标小于0，从而得出关于x的一元一次不等式组，解不等式组，将解集在数轴上表示出来即可． 【详解】解：∵点在平面直角坐标系的第三象限内， ∴， ∴， 不等式的解集为：， 在数轴上可表示为：  ， 故选：B． 8. 小明将三角形纸片按下列图示方式折叠，则纸片有一部分会重叠四层，将这部分图形完全展开，得到的平面图形一定是（ ） A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 菱形 D. 正方形 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了折叠问题，菱形的判定等知识点，熟练掌握折叠问题是解题的关键． 由折叠的性质可知，重叠四层的这部分图形（四边形）完全展开后，其各边的长均相等，由此即可得出答案． 【详解】解：由折叠的性质可知：重叠四层的这部分图形（四边形）完全展开后，其各边的长均相等， 得到的平面图形一定是菱形， 故选：． 9．（22-23八年级下·吉林长春·期中）如图，在中，轴，点、在反比例函数的图象上，若的面积是8，则的值是　　    A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】 连接，根据平行四边形的性质得到的面积的面积，，于是得到结论． 【详解】 解：连接，    四边形是平行四边形，的面积是8， 的面积的面积，， ∴点B、D横坐标互为相反数， ∴点B、D纵坐标也互为相反数， 又轴，， ∴, ∴ ， 故选：B． 10. 定义：（1）y是x的函数；（2）对于在自变量取值范围之内的任意x对应的函数值y，始终有（a为实数）．则y是x的“顶峰”函数．其中所有满足条件a的最小值称为这个函数的“巅峰”值．例如，是“顶峰”函数，它的“巅峰”值是0．下列说法正确的序号是（ ） ①函数是“顶峰”函数； ②函数是“顶峰”函数，“巅峰”值为1； ③若函数的最小值不超过，“巅峰”值是b，则； ④函数的“巅峰”值为3，则a的值为0或 A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象及性质，一次函数的性质，反比例函数的性质，根据所给范围分类讨论求二次函数的最大值是解题的关键． 根据反比例函数的性质即可判断①，根据一次函数的性质求出函数的最大值即可判断②；由题意可知：，再由，即可求的取值范围，即可判断③；根据对称轴方程和“顶峰”值为 3 ，分类讨论时和时，列方程求解，即可判断④． 【详解】解：函数无最大值，不是“顶峰”函数，故①错误； 在中， ∵，∴随值的增大而增大， 当时，有最大值， 即函数是“顶峰”函数，“巅峰”值为1，故②正确； ∵随值的增大而减小， 当时，， ∵“巅峰”值是， ， ∵函数的最小值不超过， ， ， ， ， ， ∴的取值范围为：，故③正确； ∵的对称轴是直线， 当，即时， 函数的“巅峰”值是， ∴， 解得：（舍去）或； 当，即时， 函数的“巅峰”值是， ∴， 解得：，符合题意． 综上所述：的值为或 0，故④错误． ∴正确的是②③， 故选：C． 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题（本大题有5个小题，每小题3分，共15分） 11．（2024·广东肇庆·一模）因式分解： ． 【答案】 【分析】先提取公因数，再运用平方差公式分解因式即可； 【详解】解：， 故答案为：； 12. 方程的解为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式方程的解法． 将方程两边同乘，即可化为一元一次方程，解出方程的解，再检验，即可． 【详解】解： 方程两边同乘，得 ， 解得， 经检验，是原方程的解． 故答案为． 13．浙江地区向来有打年糕的习俗．糯米做成年糕的过程中，由于增加水分，会使得重量增加20%．如果做成年糕后重量为x斤，则原有糯米 斤（用含x的代数式表示）． 【答案】/ 【分析】本题考查了列代数式，找出数量关系是解题的关键．基本关系：做成年糕后重量=原有糯米的重量×，据此求解即可． 【详解】解：做成年糕后重量为x斤， 原有糯米的重量为：（斤）． 故答案为：． 14. 如图，按下面的程序进行运算．规定：程序运行到“判断结果是否大于28”为一次运算．若运算进行了3次才停止，则x的取值范围是_____． 【答案】2＜x≤4 【解析】 【分析】根据第二次运算结果不大于28，且第三次运算结果要大于28，列出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围． 【详解】解：依题意， 得：， 解得：2＜x≤4． 故答案为：2＜x≤4． 15．如图，菱形的一边在轴的正半轴上，是原点，对角线和相交于点，若点，，反比例函数的图象经过点，并与的延长线交于点，则___． 【答案】． 【分析】作轴于点，作轴于点，已知，根据菱形的面积等于两条对角线乘积的一半可得，即可得，再根据三角形的面积公式可求得，由勾股定理求得，即可得；再求得，由为的中点可得，由在反比例函数图象上，求得反比例函数解析式为；再求得点，即可得， 【详解】作轴于点，作轴于点， ∵， ∴， ∴，即， ∵，即， ∴， ∴， 则， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， 在和中 ， ∴， ∴、， ∴， ∵为的中点， ∴， ∵在反比例函数图象上， ∴，即反比例函数解析式为； 当时，，则点， ∴， 故答案为：． 三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题8分，共24分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步理） 16．（2024·广东韶关·二模）（1）计算：． （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）；（2）；5 【分析】本题考查了分式的混合运算和求值，特殊角的三角函数值，二次根式的性质，负整数指数幂等知识点，能求出每一部分的值是解（1）的关键，能正确根据分式的运算法则进行化简是解（2）的关键． （1）先根据二次根式的性质，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，零指数幂进行计算，再求出即可； （2）先通分，化成同分母的分式，计算加法，再计算除法，最后求出即可． 【详解】解：（1） ； （2） ， 当时，原式． 17. 如图，在中，，点O在边上，以为半径作，交于点D，连接． （1）尺规作图：在边上作一点E，使，再作直线；（要求：不写作法，保留作图痕迹） （2）是圆O的切线吗？请说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）是，理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了尺规作线段垂直平分线，切线的判定， 对于（1），作线段的垂直平分线，交于点E，作直线； 对于（2），根据“等边对等角”得，，再根据直角三角形两个锐角互余得，进而得出，则答案可得． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求； 【小问2详解】 证明：是圆O的切线，理由如下： ， ， ， ， ， ， ， ，即， 又是圆O的半径， 是圆O的切线． 18．无人机是现代科技领域的重要创新之一，使用无人机对茶园进行病虫害防治，可以提高效率．已知使用无人机每小时对茶园打药的作业面积是人工每小时对茶园打药的作业面积的6倍，若使用无人机对600亩茶园打药的时间比人工对300亩茶园打药的时间少20小时，求使用无人机每小时对茶园打药的作业面积． 【答案】使用无人机每小时对茶园打药的作业面积是60亩． 【分析】本题考查了分式方程的应用，弄清题意，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 设人工每小时对茶园打药的作业面积是x亩，根据等量关系列出分式方程即可求解 【详解】解：设人工每小时对茶园打药的作业面积是x亩，则使用无人机每小时对茶园打药的作业面积是亩．                                        由题意，得．                    解得．                                经检验，是原方程的解，且符合题意．   答：使用无人机每小时对茶园打药的作业面积是60亩． 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步理） 19．喜迎中共二十大，为响应党的“文化自信”号召，初二年级开展了汉字听写大赛活动．现随机抽取部分同学的成绩进行统计，并绘制成如图所示的两幅不完整的统计图（表示分，表示分，表示分，表示分，表示分，每组含前一个边界值，不含后一个边界值），请结合图中提供的信息，解答下列各题： (1)在这次调查活动中，采取的调查方式是______（填写“全面调查”或“抽样调查”）； (2)本次调查一共随机抽取了______名学生的成绩，扇形统计图中a的值是______； (3)从该样本中随机抽取一名同学的成绩，其恰好在“”范围的概率是______； (4)如果全年级有1200名学生参加这次活动，90分以上（含90分）为优秀，那么估计获得优秀的学生有______人． 【答案】(1)抽样调查 (2)50；30 (3) (4)240 【分析】（1）根据全面调查与抽样调查的概念可得答案； （2）先求出E组所占比例，再用10除以其所占比例即可得出调查的学生总数，再用15除以所抽查的学生总数即可得a的值； （3）先求出成绩在“”范围的学生人数，再求其概率即可； （4）用总人数乘以样本中在90分以上（含90分）范围的学生人数占被调查人数的比例即可得． 【详解】（1）由题意可知，在这次调查活动中，采取的调查方式是抽样调查， 故答案为：抽样调查； （2）由题意可得：本次调查一共随机抽取的学生人数为：（人），， 故答案为：50，30； （3）从该样本中随机抽取一名同学的成绩，其恰好在“70~80”范围的人数有：（人），其概率为：， 故答案为：； （4）估计获得优秀的学生有：（人） 20. 在2026年春晚舞台上，有扭秧歌的宇树人形机器人和．它们身着大红棉袄、扭着秧歌转着手绢，凭借流畅的舞姿和精准的互动，成为“科技顶流”．为了更好地开设智能机器人编程的校本课程，东莞某学校打算购买A，B两种型号的机器人模型用于教学．A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多100元，用1000元购买A型机器人模型和用600元购买B型机器人模型的数量相同． （1）求A型、B型机器人模型的单价分别是多少元？ （2）学校准备再次购买A型和B型机器人模型共20台，购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍，且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠．问购买A型和B型机器人模型各多少台时花费最少？最少花费是多少元？ 【答案】（1）A型机器人模型单价是250元，B型机器人模型单价是150元 （2）购买A型机器人模型5台和B型机器人模型15台时花费最少，最少花费是2800元 【解析】 【分析】本题考查的是分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，理解题意是关键． （1）设A型机器人模型单价是x元，则B型机器人模型单价是．根据用1000元购买A型机器人模型和用600元购买B型机器人模型的数量相同．再建立方程求解即可； （2）设购买A型机器人模型m台，则购买B型机器人模型台，购买A型和B型机器人模型共花费W元，再列不等式求解m范围，再根据建立的函数关系及其性质可得答案． 【小问1详解】 解：设A型机器人模型单价是x元，则B型机器人模型单价是元． 根据题意，得， 解这个方程，得． 经检验，是原方程的根，且符合题意．． 答：A型机器人模型单价是250元，B型机器人模型单价是150元． 【小问2详解】 解：设购买A型机器人模型m台，则购买B型机器人模型台，购买A型和B型机器人模型共花费W元， 由题意得：，解得． ，即， ， 随m的增大而增大． 当时，，此时． 答：购买A型机器人模型5台和B型机器人模型15台时花费最少，最少花费是2800元． 21．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，C两点． (1)求反比例函数的解析式及点C的坐标； (2)点P是线段上一点，过点P向x轴做垂线段，垂足为Q，连接，的面积是否存在最大值，若存在，请求出最大面积及点P坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，点C的坐标为 (2)面积存在最大值，最大值为2，点P坐标为 【分析】（1）先利用待定系数法求出反比例函数解析式和一次函数解析式，再联立求出点C的坐标即可； （2）由点P是线段上一点，可设点P坐标为，且，得到，根据二次函数的性质得到时，面积最大，且最大值为2，再求出点P的坐标即可． 【详解】（1）解：反比例函数经过点， ， 反比例函数解析式为， 一次函数的图像过点， ， ∴一次函数解析式为， 联立方程组得， 解得，， 点C的坐标为； （2）存在最大值，理由如下： 点P是线段上一点， 设点P坐标为，且， ，， ， 且 时，面积最大，且最大值为2， 当时，， 此时点P坐标为． 五、解答题（三）:本大题 2小题，第22题 13分，第23题 14分，共 27 分. 24、如图，AB是圆O的直径，C、G是圆O上两点，且C是AC的中点，过点C的直线CD⊥BG的延长线于点D，交BA的延长线于点E，连接BC，交CD于点F （1）求证：CD是圆O的切线 ，； （2）若=，求证：AE=AO； （3）连接AD，在（2）的条件下，若CD=2，求AD的长。 【解析】 证明： （1）连接OC ∵OC=OB，BC平分∠ABD， ∴∠OCB=∠OBC，∠OBC=∠DBC， ∴∠DBC=∠OCB， ∴OC∥BD， ∴∠BDC=∠ECO， ∵CD⊥BD ∴∠BDC=90° ∴∠ECO=90° ∵OC是圆O的半径， ∴CD是圆O的切线， （2）由（1）知，CD∥BD， ∴△EOC∽△EDB， ∴= ， ∴=， 设OE=2a，EB=3a， ∴OB=a，OC=a， ∵∠OCE=90°，OC=OE ∴∠E=30° （3）∵∠E=30°，∠BDE=90°，BC平分∠DBE， ∴∠EBD=60°，∠OBC=∠DBC=30°， ∵CD=2， ∴BC=4，BD=6， ∵=， ∴OC=4， 作DM⊥AB于点M， ∴∠DBM=90°， ∵BD=6，∠DBM=60°， ∴BM=3，DM=3， ∵OC=4 ∴AB=8， ∴AM=5 ∵∠DMA=90°，DM=3， ∴AD===2 23．如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线的顶点为D，与y轴的交点为C．过点C的直线CA与抛物线交于另一点A（点A在对称轴左侧），点B在AC的延长线上，连接OA，OB，DA和DB． （1）如图1，当ACx轴时， ①已知点A的坐标是（﹣4，2），求抛物线的解析式； ②若四边形AOBD是平行四边形，求证：． （2）如图2，若b＝﹣2，，是否存在这样的点A，使四边形AOBD是平行四边形？若存在，求出点A的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)①；②证明见解析 (2)，理由见解析 【分析】（1）①先确定点C的坐标，再用待定系数法求解即可；②先确定抛物线的顶点坐标，进而得出，再判断出，得出，即可求解； （2）作AM⊥y轴，BN⊥y轴，根据解析式求得顶点坐标，再根据△ACM∽△BCN得到，设B(3m，n)，利用平行四边形的性质求解即可． 【详解】（1）解：①点A的坐标是（-4，2），轴， ∴C点的纵坐标为2， ∴点C的坐标为(0，2)， 将C(0，2)、A（-4，2）代入可得 ， 解得 解析式为：； ②由可得对称轴为， 点C坐标为（0，c）， 过点D作DE⊥x轴，交AC于点F，如图1， 由题意可得：EF=OC=c，DE=， ∴， 在平行四边形OADB中，，， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴； （2）解：存在点A，使得四边形AOBD为平行四边形，理由如下： 如图2，作AM⊥y轴于M，BN⊥y轴于N， 由题意可得：抛物线解析式为， ∴抛物线对称轴为直线，顶点坐标为，， ∴△ACM∽△BCN， ∴， 设点B(3m，n)，则BN=3m，AM=5m， 由B平移到O与D平移到A，平移方式相同，可得A（-5m，c+1-n）， ∴CN=ON-OC=n-c，CM=OC-OM=c-(c+1-n)=n-1， ∴，解得， ∴ ∵四边形AOBD为平行四边形， ∴AB的中点即为DO的中点， ∴，解得， ∴ 将代入得： ， 解得， ∴ 22 学科网（北京）股份有限公司 $