河北石家庄市第一中学等校2025-2026学年高二下学期期中联考数学试卷

石家庄市第一中学2026下学期高二数学试卷 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：高考全部内容． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合A={x|x≥1}，B={x|2-x<0}，则 A．[1，2] B．[1，2） C．（2，+∞） D．[2，+∞） 2．已知复数，则 A．10 B． C．10 D． 3．若一个圆柱的底面半径r与一个球的半径相等，且这两个几何体的体积相等，则该圆柱的高为 A． B．2r C． D．3r 4．对具有线性相关关系的变量x，y，测得一组数据如下表，根据表中数据，利用最小二乘法得到经验回归方程，据此模型预测当x=20时，y的估计值为 x 7 9 11 13 y 2 3 5 6 A．10 B．11 C．12 D．13 5．现要发行10000张彩票，其中中奖金额为5元的彩票1000张，10元的彩票500张，50元的彩票100张，100元的彩票50张，1000元的彩票10张，其余彩票均未中奖，若从这10000张彩票中随机选取1张，则这张彩票中奖金额的均值为 A．2 B． C．3 D．4 6．已知抛物线的焦点为F，点P在C上，过点P作C的准线的垂线，垂足为Q．若，则|PF|= A．2 B．3 C．4 D．8 7．以正五棱柱的顶点为顶点的三棱锥的个数是 A．210 B190 C．195 D．180 8．若函数的最大值为-1，则m= A．ln2-1 B．2-ln2 C．1+ln2 D．1-ln2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．某校高二年级某次数学周测成绩，且P（X<80）=P（X>110）．现随机抽取100名学生的成绩，统计两个变量：①变量A指是否坚持课前预习（“是”与“否”各50人）；②变量B指该次数学周测成绩是否在（80，110）内．整理2×2列联表，计算得．72，，则参考临界值： A．μ=95 B．P（X<60）=P（X>130） C．根据小概率值0.10的独立性检验，认为变量A与变量B不独立 D．根据小概率值0.05的独立性检验，认为变量A与变量B不独立 10．已知A（-2，-2），B（-2，6），C（4，-1）三点，点H在圆上运动，则的值可能为 A．64 B．72 C．84 D．85 11在锐角ΔABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，且，则 A． B．cosC<sinA C． D．bc的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．的展开式的第3项是___________． 13．已知函数其中a>0且a≠1，若f（x）的值域是（0，+∞），则a的取值范围是___________ 14．设O为坐标原点，点，点，线段AB以每秒2个单位长度的速度向右水平移动，点A，B的对应点分别为．经过t秒后，点在y轴的两侧，且的面积为，此时点恰好分别落在双曲线C：的左支、右支上，则t=___________，C的离心率为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．在正项数列中， （1）证明：是等差数列． （2）记，数列的前n项和为，证明： 16．如图，在四棱台中，平面ABCD，四边形ABCD为正方形，AA1为AC的中点． （1）证明：平面 （2）求直线与平面所成角的正切值． 17．已知椭圆C的左、右焦点分别为，点A是C上位于第一象限的点，，点B（0，-1）在C上． （1）求C的方程； （2）设M（-2，0），N（2，0），直线1MA，NA的斜率分别为，求的取值范围； （3）设直线与C交于P，Q两点，线段PQ的中点为H，若BH⊥PQ，求k的值． 18．已知函数 （1）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程； （2）讨论f（x）的单调性； （3）若a>0，函数h（x）=f（x）-x有两个零点，求a的取值范围． 19．某农科院针对高产抗病水稻开展了太空诱变筛选实验，所有实验相互独立，实验规则如下： 1．诱变强度量化：将种子的基因损伤修复效率对应为诱变强度等级（记为S），等级范围为0至6． 2．初始状态：选取遗传稳定的“优等”种子，初始诱变强度等级S=3．． 3．每轮筛选：对种子进行太空辐射模拟和地面性状检测，达标（修复效率提升）则S增加1，不达标（修复效率下降）则S减少1． 4．终止条件：当S=6时，种子获得稳定有益突变（记为“实验成功”）；当S=0时，种子基因损伤不可逆（记为“实验失败”）． 5．概率设定：每轮筛选达标概率为，不达标概率为 记实验终止时的筛选轮次为X．对任意正整数n，定义：第n轮筛选后，S=4的概率为第n轮筛选后，S=2的概率为 （1）证明：X为奇数． （2）求P（X=5） （3）试问当n为奇数时，是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由 高二数学参考答案 题序 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 A C A B C C D D ABC BCD BC 【评分细则】 【1】第1~8题，凡与答案不符的均不得分． 【2】第9，10题，全部选对的得6分，有选错的不得分，每选对一个得2分；第11题，全部选对的得6分，有选错的不得分，每选对一个得3分． 【3】第12，13题，其他结果均不得分． 【4】第14题答对第一空给2分，答对第二空给3分，第一空的答案也可以写为4.5． 1．A 【解析】本题考查集合的基本运算，考查数学运算的核心素养． 因为，所以． 2．C 【解析】本题考查复数的运算与模，考查数学运算的核心素养． 根据题意可得． 3．A 【解析】本题考查圆柱的体积和球的体积，考查数学运算的核心素养． 设该圆柱的高为，则，得． 4．B 【解析】本题考查经验回归方程，考查数学运算的核心素养． 由题意可知，所以，解得，所以经验回归方程为，当时，． 5．C 【解析】本题考查离散型随机变量的期望，考查数学运算的核心素养． 根据题意可得1张彩票中奖金额的均值为 6．C 【解析】本题考查抛物线的定义与几何性质，考查直观想象与数学运算的核心素养． 由题意得，设，则．因为，所以，解得，所以． 7．D 【解析】本题考查排列组合与空间几何体，考查逻辑推理与直观想象的核心素养． 正五棱柱共10个顶点，2个底面为正五边形，5条侧棱互相平行，四点共面中，出现底面对角线（不含侧棱与侧棱平行）的共有10种情况，则以正五棱柱的顶点为顶点的三棱锥的个数为 8．D 【解析】本题考查利用导数分析函数的最值，考查逻辑推理与数学运算的核心素养． 的定义域为，易得在上单调递减，当时，，当时，，所以存在，，使得，即，则当时，单调递增，当时，单调递减，所以-1，即，易得函数在上单调递增，且0，所以，所以，解得． 9．ABC 【解析】本题考查正态分布与独立性检验，考查逻辑推理的核心素养． 正态分布密度曲线关于直线对称，，A正确． 130），B正确． 因为，所以根据小概率值0.10的独立性检验，认为变量A与变量B不独立，C正确，D错误． 10．BCD 【解析】本题考查与圆相关的最值问题，考查直观想象与数学运算的核心素养． 设，则， 因为，所以的取值范围为． 11．BC 【解析】本题考查正弦、余弦定理，考查逻辑推理与数学运算的核心素养． 由，得． 设函数，则， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 所以，则， 由，得1，解得A错误． 因为是锐角三角形，所以且，所以，B正确． 由正弦定理可得，因为为锐角，所以，即C正确． 由余弦定理可得，所以，当且仅当时，等号成立，此时符合为锐角三角形，D错误． 12． 【解析】本题考查二项式定理，考查数学运算的核心素养． 的展开式的第3项是． 13． 【解析】本题考查分段函数的值域，考查逻辑推理与数学运算的核心素养． 当时，，当且仅当，即时，等号成立，所以在上的值域为，所以解得． 14． 【解析】本题考查双曲线的几何性质，考查逻辑推理与直观想象的核心素养． 如图，作轴，垂足为，作轴，垂足为，当线段平移秒后，，即，解得， 此时， 则解得 所以的离心率为． 15．【解析】本题考查数列的通项与求和，考查数学运算的核心素养． 证明：（1）由，得， 因为为正项数列，所以，即， 所以是以13为首项，4为公差的等差数列． （2）由（1）可知，， 则， 所以， 因为，所以． 【评分细则】 【1】第（1）问中，没有说明为正项数列，直接得出，扣1分． 【2】第（1）问中，结论没有说明的首项和公差，不扣分． 【3】第（2）问中，没有说明（或），不扣分． 16．【解析】本题考查立体几何与空间向量，考查逻辑推理、直观想象及数学运算的核心素养． （1）证明：因为四边形是正方形，，所以． 因为四边形是正方形，，所以，所以， 又因为，所以四边形为平行四边形，所以， 因为平面平面， 所以平面． （2）解：以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，则，， 所以，． 设平面的法向量为，则 令则 设直线与平面所成的角为，则 故直线与平面所成角的正切值为． 【评分细则】 【1】第（1）问还可以这样解答： 证明：取的中点，连接． 易得是的中位线，所以． 根据棱台的性质可得，所以， 因为，所以，则， 所以四边形示，为平行四边形，所以， 因为平面平面， 所以平面． 【2】第（2）问中，平面的法向量不唯一，只要求出的法向量是与共线的非零向量均可． 【3】第（2）问还可以这样解答： 设与交于点，连接．过点作，交于． 因为四边形为正方形，所以四边形为正方形，所以． 因为平面，所以平面，则． 因为，所以平面． 因为平面，所以， 因为，所以平面， 所以即为直线与平面所成的角， 因为，所以即为直线与平面所成的角． 连接，则， 所以， 所以，故直线与平面所成角的正切值为． 17．【解析】本题考查椭圆与直线的综合，考查逻辑推理与数学运算的核心素养． 解：（1）由题意得，即， 因为点在上，所以， 故的方程为． （2）设， 则， 所以， 因为，所以，则，所以的取值范围是． （3）设，，则， 由得， 所以， ，解得， 则， 因为，所以， 解得，满足，所以． 【评分细则】 第（1）问中，的方程也可以写成． 18．【解析】本题考查导数的几何意义、函数的单调性及零点，考查逻辑推理与数学运算的核心素养． 解：（1）当时，，， 所以， 则曲线在点处的切线方程为，即． （2）的定义域为，． 当时，恒成立，在上单调递增； 当时，由，得，由，得， 所以在上单调递减，在上单调递增． 综上，当时，的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，的单调递减区间为，单调递增区间为． （3）由题意得，． 因为，所以关于的方程恰有一个正根和一个负根， 因为的定义域为，所以设关于的方程的正根为， 则，得，解得． 当时，单调递减； 当时，单调递增． 因为有两个零点，所以 因为，所以，即． 设函数，则． 当时，单调递增； 当时，单调递减． 因为，所以由，得． 当时，， 因为，所以在上有唯一零点1， 因为， 所以，所以在上有唯一零点， 此时有两个零点，符合题意． 当时，， 因为，所以在上有唯一零点1， 设函数， 则单调递增，，且， 所以 由函数在上单调递增， 得 所以，所以在上有唯一零点， 此时有两个零点，符合题意． 故的取值范围为． 【评分细则】 【1】第（1）问中，切线方程还可以写成． 【2】第（2）问中，未写成，不扣分． 【3】第（3）问还可以这样解答： 因为，所以1为的一个零点． 当时，由，得关于的方程有唯一实数根． 设，则， 设， 则，易得在上单调递增，在上单调递增． 当时，单调递减； 当时，，单调递增． 所以当时，单调递增； 当时，单调递增． 当时，； 当且时，； 当且时，； 当时，． 综上，的取值范围为． 19．【解析】本题考查概率的实际应用，考查逻辑推理与数学运算的核心素养． （1）证明：设实验终止时种子经历了次达标，次不达标，， 则或， 则或，所以或， 因为为整数，所以为奇数． （2）解：由得或 所以． （3）解：当为奇数时，是定值，定值为3. 理由如下： 依题意可得 即 所以， 因为，所以， 所以，即，所以当为奇数时，是定值，定值为3. 【评分细则】 【1】第（1）问中，得出或后，若未说明为整数或为偶数，扣1分． 【2】若第（3）问中，学生得出后，写出“当为奇数时，是等比数列”，扣2分；若将定值错写为，扣2分；若将定值错写为，扣1分． 学科网（北京）股份有限公司 $