精品解析：2026年湖北省襄阳市樊城区中考适应性考试数学试卷

2026年樊城区中考适应性考试数学试卷 （本卷共8页，满分120分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效，作图一律用2B铅笔或黑色签字笔． 4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（有10题，每题3分，共30分．在每题给出的四个选项中，只有：一项符合题目要求） 1. 手机信号的强度通常采用负数来表示．绝对值越小表示信号越强（单位：），则下列信号最强的是（ ） A. B. C. D. 2. 剪纸是我国最古老的民间艺术之一．下列剪纸图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. “绿水青山就是金山银山”．为响应国家碳中和号召，我市今年在“3.12植树节”当天完成了48000棵植树量．将数据48000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算结果是的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，直线c与直线a相交于点A，与直线b相交于点B，∠1＝130°，∠2＝60°，若要使直线ab，则将直线a绕点A按如图所示的方向至少旋转（　　） A. 10° B. 20° C. 60° D. 130° 6. 下列说法正确的是（ ） A. “掷一次骰子，向上一面的点数是6”是随机事件 B. “射击运动员射击一次，命中八环”是必然事件 C. “翻开九年上册数学课本，恰好是第38页”是不可能事件 D. “某彩票的中奖率是，买10张彩票一定中奖”是必然事件 7. 综合实践课上，嘉嘉画出了，利用尺规作图画出了；使：图1～图3是其作图过程． （1）以点A为圆心，以适当长为半径画弧，交于点M，交于点N． （2）以点N为圆心，以长为半径画弧，与（1）中的弧交于点P，作射线． （3）以点A为圆心，分别以，长为半径画弧，与边交于点D，与射线交于点E，连接． 在嘉嘉的作法中，可直接判定的依据是（ ） A. B. C. D. 8. 《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，书中记载了这样一个题目：今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？其大意是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问长木长多少尺？这个问题可用方程来解决，则方程中的x表示（　　） A. 长木的长 B. 长木一半的长 C. 绳子的长 D. 绳子对折后的长 9. 如图，在中，，，以为直径的圆与交于点，则的长是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，，．正方形的顶点，分别在，边上，设，与正方形重叠部分的面积为，则下列图象中能表示与之间的函数关系的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（有5题，每题3分，共15分） 11. 写出使分式有意义的的一个值______． 12. 京剧脸谱是一种内涵丰富的艺术表现形式，每个脸谱都有一种主色调，以显示剧中人物的性格特征，如关羽脸谱为红色，曹操是白色，包拯是黑色，窦尔敦是蓝色． 美术课上，老师准备了如图所示的A、B、C、D四张不同的脸谱（大小、形状及背面完全相同），并将这四张脸谱背面朝上，洗匀放好．文文从这四张脸谱中同时随机抽取两张，则她抽到脸谱是B、C的概率为______． 13. 物理实验中，小明分别测量电路中经过甲、乙、丙、丁四个用电器的电流（安）和它们的电压（伏），根据图象及物理学知识，可判断这四个用电器功率（P）最大的是_____（填用电器名称）． 14. 一元二次方程的两根为，，则______． 15. 如图，已知菱形，，，则菱形的面积为______；点是射线上一点，过点分别作、的垂线，垂足分别为，，则线段，满足的数量关系式为_______． 三、解答题（有9题，共75分） 16. 计算：． 17. 某校要从甲、乙两位射击队员中挑选一人参加比赛．在最近10次的选拔赛中，他们的射击成绩（单位：环）信息如下： 信息一：乙队员的射击成绩条形统计图和扇形统计图 信息二：甲队员射击成绩10，8，8，10，6，8，6，9，10，8 信息三：甲、乙队员射击成绩的部分统计量 队员 平均数 中位数 众数 方差 甲 8.3 8 2.01 乙 8.3 9 1.61 根据以上信息，解答下列问题： （1）写出表中，的值：______，______，并补全条形统计图； （2）______队员在射击选拔赛中发挥更稳定（填“甲”或“乙”）； （3）求扇形统计图中10环所对扇形圆心角的度数． 18. 学习投影的知识后，小明、小颖想利用灯光下自己影子的长度来测量一路灯的高度，并探究影子长度的变化规律． 如图，在同一时刻，身高为的小明（）的影子的长是，而身高为的小颖（）刚好在路灯灯泡的正下方点处，并测得． （1）请在图中画出形成小明的影子的光线，并确定路灯灯泡所在的位置．（保留痕迹即可） （2）求路灯灯泡离小颖头顶（）的距离． 19. 如图，中，，相交于点，，分别是，上的点，且． 命题1：连接，，若，则四边形是矩形． 命题2：连接，，若，则四边形是菱形． 任选一个命题，先判断真假，再证明或举反例． 20. 已知为的直径，为上一点，和过点的直线互相垂直，垂足为，，连接． （1）如图1，求证：是的切线； （2）如图2，连接，延长交的延长线于点，的平分线分别交，于点，，连接，若，，，求的长． 21. 请根据下列素材完成相应的任务． 素材一 两千多年前我们的祖先就使用“算筹”表示数．算筹有纵式和横式两种排列方式，0～9各个数字及其算筹表示的对应关系如下表．排列数字时，个位采用纵式，十位采用横式，百位采用纵式，千位采用横式…纵式和横式依次交替出现．如“ ”表示87，“ ”表示502． 0～9各个数字及其算筹表示的对应关系如下表： 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 纵式 横式 素材二 随着社会的发展，人们对于计算的速度和准确性的要求越来越高，古代数学家对算筹的计算方法开始进行改革，在晚唐出现了真正的算盘．算盘以排列成串的算珠作为计算工具，成串算珠称为档，中间横梁把算珠分为上、下两部分，每个上珠代表5，每个下珠代表1，每串算珠从右至左依次代表十进位制中由低到高的位数，并且可以任意选定某档为个位，不拨出算珠表示0． 如图，该算盘表示的数是600． 任务一： （1）请你直接写出“”表示_______． （2）在虚线框中用算筹表示数字“114”． 任务二： （3）在虚线框中画出数字“635”在算盘上如何表示． （4）若将个位往上拨粒下珠；十位往上拨粒下珠，百位往上拨粒下珠，往下拨1粒上珠，则此时算盘表示的数是_____．（用含的式子表示，且为不大于4的自然数） 22. 某条东西方向道路双向共有三条车道，在早晚高峰经常会拥堵，数学研究小组希望改善道路拥堵情况．他们对该路段的交通量（辆/分钟）和时间进行了统计和分析，得到下列表格，并发现时间和交通量的变化规律符合一次函数的特征． 时间 8时 11时 14时 17时 20时 自西向东交通量（辆/分钟） 10 16 22 28 34 自东向西交通量（辆/分钟） 25 22 19 16 13 （1）请用一次函数分别表示、与之间的函数关系．（直接写出结果，不写自变量取值范围） （2）如图，同学们希望设置可变车道来改善拥堵状况，根据车流量情况改变可变车道的行车方向．单位时间内双向交通总量为，车流量大的方向交通量为，经查阅资料得：当，需要使可变车道行车方向与拥堵方向相同，以改善交通情况．该路段从8时至20时，如何设置可变车道行车方向以缓解交通拥堵，并说明理由． （3）当且时，直接写出时间的取值范围_____． 23. 已知：中，，，直角边上取一点，连接，线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接交直线于． （1）喜欢思考问题的小婷同学，想探索图中线段和线段的数量关系．于是她画了图1所示，当时，并通过测量得到了线段与的数量关系．你认为小婷的猜想是______（填“”，“”或“”）； （2）如图2，当时，判断与的数量关系（用含的式子表示），并说明理由； （3）如图3，当时，若，，求的值． 24. 在平面直角坐标系中，对“纵横值”给出如下定义：点是函数图象上任意一点，纵坐标与横坐标的差“”称为点的“纵横值”．函数图象上所有点的“纵横值”中的最大值称为函数的“最优纵横值”． 例如：点在函数图象上，点的“纵横值” ，函数图象上所有点的“纵横值”可以表示为 ，当时，的最大值为6，所以函数的“最优纵横值”为6． 已知：在平面直角坐标系中，已知二次函数的顶点为． （1）若， ①抛物线顶点的坐标______； ______； ②求该抛物线的“最优纵横值”； （2）①当抛物线顶点的“纵横值” 时，求出的值； ②若，直接写出的取值范围______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年樊城区中考适应性考试数学试卷 （本卷共8页，满分120分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效，作图一律用2B铅笔或黑色签字笔． 4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（有10题，每题3分，共30分．在每题给出的四个选项中，只有：一项符合题目要求） 1. 手机信号的强度通常采用负数来表示．绝对值越小表示信号越强（单位：），则下列信号最强的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，只需比较各选项数的绝对值大小，绝对值越小信号越强，即可得到答案. 【详解】解：∵ ，，，， 且 ， ∴ 的绝对值最小，根据题意得信号最强的是 2. 剪纸是我国最古老的民间艺术之一．下列剪纸图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合． 【详解】解：A．图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B．图形是中心对称图形，但不是轴对称图形，故此选项不合题意； C．图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故此选项不合题意； D．图形既是轴对称图形又是中心对称图形形，故此选项符合题意， 故选：D． 3. “绿水青山就是金山银山”．为响应国家碳中和号召，我市今年在“3.12植树节”当天完成了48000棵植树量．将数据48000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据科学记数法的定义，确定和的值即可得到答案； 【详解】解：是位整数， 可得，， ． 4. 下列计算结果是的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据合并同类项、单项式乘单项式、积的乘方、单项式除以单项式法则计算各选项，即可得出结论． 【详解】解：A、，故A选项不符合题意； B、，故B选项不符合题意； C、，故C选项不符合题意； D、，故D选项符合题意． 故选：D． 5. 如图，直线c与直线a相交于点A，与直线b相交于点B，∠1＝130°，∠2＝60°，若要使直线ab，则将直线a绕点A按如图所示的方向至少旋转（　　） A. 10° B. 20° C. 60° D. 130° 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行线的判定可得，当c与a的夹角为60°时，存在b∥a，由此得到直线a绕点A顺时针旋转60°−50°＝10°． 【详解】解：∵∠2＝60°， ∴若要使直线ab，则∠3应该为60°， 又∵∠1＝130°， ∴∠3＝50°， ∴直线a绕点A按顺时针方向至少旋转：60°﹣50°＝10°， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质以及平行线的判定，解题时注意：同位角相等，两直线平行． 6. 下列说法正确的是（ ） A. “掷一次骰子，向上一面的点数是6”是随机事件 B. “射击运动员射击一次，命中八环”是必然事件 C. “翻开九年上册数学课本，恰好是第38页”是不可能事件 D. “某彩票的中奖率是，买10张彩票一定中奖”是必然事件 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了随机事件，必然事件与不可能事件．解题的关键在于明确各名词的含义．依据各选项中事件的可能性进行判断即可． 【详解】解：A．“掷一次骰子，向上一面的点数是6”是随机事件，故选项正确，符合要求； B．射击运动员射击一次，命中八环是随机事件，故选项错误，不符合要求； C．“翻开九年上册数学课本，恰好是第38页”是随机事件，故选项错误，不符合要求； D．“某彩票的中奖率是，买10张彩票一定中奖”是随机事件，故选项错误，不符合要求． 故选：A． 7. 综合实践课上，嘉嘉画出了，利用尺规作图画出了；使：图1～图3是其作图过程． （1）以点A为圆心，以适当长为半径画弧，交于点M，交于点N． （2）以点N为圆心，以长为半径画弧，与（1）中的弧交于点P，作射线． （3）以点A为圆心，分别以，长为半径画弧，与边交于点D，与射线交于点E，连接． 在嘉嘉的作法中，可直接判定的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】作一个角等于已知角，根据题意得到，，，进而证明出即可． 【详解】解：由作图可得， ， ∴， ∴在嘉嘉的作法中，可直接判定的依据是， 8. 《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，书中记载了这样一个题目：今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？其大意是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问长木长多少尺？这个问题可用方程来解决，则方程中的x表示（　　） A. 长木的长 B. 长木一半的长 C. 绳子的长 D. 绳子对折后的长 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，正确理解题意是解题的关键． 根据“用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺”，而方程中出现，可得方程中的x表示绳子的长，再检查符合题意． 【详解】解：∵用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，则可得方程， ∴方程中的x表示绳子的长， 故选：C． 9. 如图，在中，，，以为直径的圆与交于点，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】取的中点，连接，根据平行四边形的性质求出的度数和的长，圆周角定理求出的度数，再根据弧长公式进行计算即可. 【详解】解：取的中点，连接， ∵在中，，， ，， ∵以为直径的圆与交于点， ∴ ， ， ∴的长是 . 10. 如图，在中，，，．正方形的顶点，分别在，边上，设，与正方形重叠部分的面积为，则下列图象中能表示与之间的函数关系的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据题意求得，然后分和两种情况解答即可． 【详解】解：在中，，，， ∴ ，， ∴， 当点落在上时， ∵正方形， ∴ ， ， ∴，， ∴ ； 当时，重叠部分即为正方形，故； 当时，设交于M，交于N， 如图： ∵， ∴， 在中，，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴ ， ∴， 同理可得， ， ∴， ∴ ， ∴当时，y为开口向下的抛物线， 观察各选项，只有B符合题意． 二、填空题（有5题，每题3分，共15分） 11. 写出使分式有意义的的一个值______． 【答案】 0（答案不唯一） 【解析】 【分析】先根据分式有意义的条件确定x的取值范围，再在取值范围内选取一个x的值即可. 【详解】解：∵分式有意义， ∴，解得：； ∴x的一个值可以为0（答案不唯一）. 12. 京剧脸谱是一种内涵丰富的艺术表现形式，每个脸谱都有一种主色调，以显示剧中人物的性格特征，如关羽脸谱为红色，曹操是白色，包拯是黑色，窦尔敦是蓝色． 美术课上，老师准备了如图所示的A、B、C、D四张不同的脸谱（大小、形状及背面完全相同），并将这四张脸谱背面朝上，洗匀放好．文文从这四张脸谱中同时随机抽取两张，则她抽到脸谱是B、C的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用列举法求概率即可. 【详解】解：由题意，同时随机抽取两张脸谱共有，共6种等可能的结果，其中抽到脸谱是B、C的结果只有1种， 故她抽到脸谱是B、C的概率为. 13. 物理实验中，小明分别测量电路中经过甲、乙、丙、丁四个用电器的电流（安）和它们的电压（伏），根据图象及物理学知识，可判断这四个用电器功率（P）最大的是_____（填用电器名称）． 【答案】 甲 【解析】 【分析】本题考查反比例函数图象与性质；根据公式，即，结合反比例函数的性质，图象离原点越远，值越大，即用电器功率（）越大． 【详解】解：， ，即当电功率一定时，其图象是反比例函数的图象， 乙、丁两点在曲线上， 乙、丁两用电器的功率相等， 甲点在曲线上方，丙点在曲线下方， 功率最大的是甲． 14. 一元二次方程的两根为，，则______． 【答案】1 【解析】 【详解】解：∵一元二次方程的两根为，， ∴， ∴ ． 15. 如图，已知菱形，，，则菱形的面积为______；点是射线上一点，过点分别作、的垂线，垂足分别为，，则线段，满足的数量关系式为_______． 【答案】 ①. ②. 或 【解析】 【分析】连接，交于点，根据菱形的性质，求出对角线的长，进而求出菱形的面积，分点在线段上和线段的延长线上，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：连接，交于点， ∵菱形，，， ∴ ，，，， ∴ ， ∴ ， ∴菱形的面积为； 当点在线段上时，如图，连接， ∵过点分别作、的垂线，垂足分别为，， ∴， ∴； 当点在线段的延长线上时， ∵，， ∴， ∴， ∵过点分别作、的垂线，垂足分别为，， ∴ ， ∴； 综上：或． 三、解答题（有9题，共75分） 16. 计算：． 【答案】2026 【解析】 【详解】解：原式 . 17. 某校要从甲、乙两位射击队员中挑选一人参加比赛．在最近10次的选拔赛中，他们的射击成绩（单位：环）信息如下： 信息一：乙队员的射击成绩条形统计图和扇形统计图 信息二：甲队员射击成绩10，8，8，10，6，8，6，9，10，8 信息三：甲、乙队员射击成绩的部分统计量 队员 平均数 中位数 众数 方差 甲 8.3 8 2.01 乙 8.3 9 1.61 根据以上信息，解答下列问题： （1）写出表中，的值：______，______，并补全条形统计图； （2）______队员在射击选拔赛中发挥更稳定（填“甲”或“乙”）； （3）求扇形统计图中10环所对扇形圆心角的度数． 【答案】（1），图见解析 （2）乙 （3） 【解析】 【分析】（1）根据中位数和众数的定义作答，求出10环次数，进而补全条形统计图即可； （2）根据方差作答即可； （3）用10环次数除以总数乘以即可． 【小问1详解】 解：乙中第5个和第6个数据分别为：和， ∴； 甲中数据出现次数最多的是，则众数为，故； 乙中10环次数为， 补全条形统计图如下： 【小问2详解】 解：∵ ∴乙队员在射击选拔赛中发挥更稳定； 【小问3详解】 解：． 18. 学习投影的知识后，小明、小颖想利用灯光下自己影子的长度来测量一路灯的高度，并探究影子长度的变化规律． 如图，在同一时刻，身高为的小明（）的影子的长是，而身高为的小颖（）刚好在路灯灯泡的正下方点处，并测得． （1）请在图中画出形成小明的影子的光线，并确定路灯灯泡所在的位置．（保留痕迹即可） （2）求路灯灯泡离小颖头顶（）的距离． 【答案】（1）见解析 （2）路灯灯泡离小颖头顶（）的距离 【解析】 【分析】（1）与的延长线相交于G，即为所求； （2）根据，即可求解． 【小问1详解】 解：如图，与的延长线相交于G，即为所求． 【小问2详解】 解：根据题意得：，，，，， ∴， ∴，即 ∴， ∴路灯灯泡离小颖头顶（）的距离． 19. 如图，中，，相交于点，，分别是，上的点，且． 命题1：连接，，若，则四边形是矩形． 命题2：连接，，若，则四边形是菱形． 任选一个命题，先判断真假，再证明或举反例． 【答案】命题1为假命题，举反例见解析；命题2为真命题，证明见解析 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质，矩形的判定，菱形的判定和性质解答即可． 【详解】解：如图，连接，， 命题1为假命题，举反例如下： 当，时，此时，则四边形不是矩形； 命题2为真命题，证明如下： ∵四边形为平行四边形，， ∴四边形为菱形，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． 20. 已知为的直径，为上一点，和过点的直线互相垂直，垂足为，，连接． （1）如图1，求证：是的切线； （2）如图2，连接，延长交的延长线于点，的平分线分别交，于点，，连接，若，，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）6 【解析】 【分析】（1）连接，根据等腰三角形的性质以及，可得，即可求证； （2）过点O作于点K，可得，，再证明，可得，进而得到，即可求解． 【小问1详解】 证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵为半径， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：如图，过点O作于点K， ∴， ∵， ∴， 由（1）得：， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 21. 请根据下列素材完成相应的任务． 素材一 两千多年前我们的祖先就使用“算筹”表示数．算筹有纵式和横式两种排列方式，0～9各个数字及其算筹表示的对应关系如下表．排列数字时，个位采用纵式，十位采用横式，百位采用纵式，千位采用横式…纵式和横式依次交替出现．如“ ”表示87，“ ”表示502． 0～9各个数字及其算筹表示的对应关系如下表： 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 纵式 横式 素材二 随着社会的发展，人们对于计算的速度和准确性的要求越来越高，古代数学家对算筹的计算方法开始进行改革，在晚唐出现了真正的算盘．算盘以排列成串的算珠作为计算工具，成串算珠称为档，中间横梁把算珠分为上、下两部分，每个上珠代表5，每个下珠代表1，每串算珠从右至左依次代表十进位制中由低到高的位数，并且可以任意选定某档为个位，不拨出算珠表示0． 如图，该算盘表示的数是600． 任务一： （1）请你直接写出“”表示_______． （2）在虚线框中用算筹表示数字“114”． 任务二： （3）在虚线框中画出数字“635”在算盘上如何表示． （4）若将个位往上拨粒下珠；十位往上拨粒下珠，百位往上拨粒下珠，往下拨1粒上珠，则此时算盘表示的数是_____．（用含的式子表示，且为不大于4的自然数） 【答案】（1）1 （2）图见解析 （3）图见解析 （4） 【解析】 【分析】（1）根据表格即可得出结果； （2）根据题意，个位采用纵式，十位采用横式，百位采用纵式，表示出数字即可； （3）根据算盘中的表示方法，画图即可； （4）根据题意，以及数字的表示方法，列出代数式即可. 【小问1详解】 解：由表格可知：“”表示数字1； 【小问2详解】 解：由题意，个位采用纵式，十位采用横式，百位采用纵式，故数字“114”表示为 ； 【小问3详解】 解：由题意，数字“635”在算盘上表示如下： 【小问4详解】 解：由题意，个位数字为，十位数字为，百位数字为， 故此时算盘表示的数是 . 22. 某条东西方向道路双向共有三条车道，在早晚高峰经常会拥堵，数学研究小组希望改善道路拥堵情况．他们对该路段的交通量（辆/分钟）和时间进行了统计和分析，得到下列表格，并发现时间和交通量的变化规律符合一次函数的特征． 时间 8时 11时 14时 17时 20时 自西向东交通量（辆/分钟） 10 16 22 28 34 自东向西交通量（辆/分钟） 25 22 19 16 13 （1）请用一次函数分别表示、与之间的函数关系．（直接写出结果，不写自变量取值范围） （2）如图，同学们希望设置可变车道来改善拥堵状况，根据车流量情况改变可变车道的行车方向．单位时间内双向交通总量为，车流量大的方向交通量为，经查阅资料得：当，需要使可变车道行车方向与拥堵方向相同，以改善交通情况．该路段从8时至20时，如何设置可变车道行车方向以缓解交通拥堵，并说明理由． （3）当且时，直接写出时间的取值范围_____． 【答案】（1）； （2）8时到9时，可变车道行车方向必须自东向西，18时到20时，可变车道行车方向必须自西向东，理由见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）根据，求出关于的函数关系式，分，两种情况讨论，即可； （3）分，两种情况讨论，即可． 【小问1详解】 解：设与之间的函数关系式为， 把点代入得： ，解得：， ∴与之间的函数关系式为； 设与之间的函数关系式为， 把代入得： ，解得：， ∴与之间的函数关系式为； 【小问2详解】 解：8时到9时，可变车道行车方向必须自东向西，18时到20时，可变车道行车方向必须自西向东，理由如下： 根据题意得，早晚高峰的时间是8时到20时之间， 由（1）得：， 当时，， 解得：， 当时，， 解得：， 综上所述，8时到9时，可变车道行车方向必须自东向西，18时到20时，可变车道行车方向必须自西向东； 【小问3详解】 解：当时，此时 ， 解得：； 当时， 此时， 解得：， 综上所述，当且时，时间的取值范围． 23. 已知：中，，，直角边上取一点，连接，线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接交直线于． （1）喜欢思考问题的小婷同学，想探索图中线段和线段的数量关系．于是她画了图1所示，当时，并通过测量得到了线段与的数量关系．你认为小婷的猜想是______（填“”，“”或“”）； （2）如图2，当时，判断与的数量关系（用含的式子表示），并说明理由； （3）如图3，当时，若，，求的值． 【答案】（1） （2），理由见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）过点作于点L，证明，可得，可证明，即可解答； （2）过点作于点K，证明，可得，从而得到，再证明，即可解答； （3）过点作于点H，由（2）得：，，由等腰三角形的性质可得，，可证明，可得，再由，可得，设，则，可得，，即可解答． 【小问1详解】 解：当时，， 如图，过点作于点L， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：，理由如下： 如图，过点作于点K， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图，过点作于点H， 由（2）得：，， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 设，则， ∴，， ∴， 解得：． 24. 在平面直角坐标系中，对“纵横值”给出如下定义：点是函数图象上任意一点，纵坐标与横坐标的差“”称为点的“纵横值”．函数图象上所有点的“纵横值”中的最大值称为函数的“最优纵横值”． 例如：点在函数图象上，点的“纵横值” ，函数图象上所有点的“纵横值”可以表示为 ，当时，的最大值为6，所以函数的“最优纵横值”为6． 已知：在平面直角坐标系中，已知二次函数的顶点为． （1）若， ①抛物线顶点的坐标______； ______； ②求该抛物线的“最优纵横值”； （2）①当抛物线顶点的“纵横值” 时，求出的值； ②若，直接写出的取值范围______． 【答案】（1）①；4；② （2）①；②或 【解析】 【分析】（1）①根据“纵横值”的概念解答即可；②将二次函数图象上所有点的“纵横值”可以表示为顶点式，即可求解； （2）①将二次函数图象上所有点的“纵横值”可以表示为顶点式，即可求出它的“最优纵横值”；②将二次函数图象上所有点的“纵横值”可以表示为顶点式，即可求出它的“最优纵横值”，再由得到关于m的不等式组，即可求解． 【小问1详解】 解：①当时，， ∴抛物线顶点的坐标为， ∴ ； ②当时，， ∵， ∴当时，取得最大值，为， 即该抛物线的“最优纵横值”； 【小问2详解】 解：① ， ∴抛物线顶点P的坐标为， ∴ ， ∵抛物线顶点的“纵横值” ， ∴， 解得：； ②由（1）得：， ， ∵， ∴当时，取得最大值，为， 即， ∵ ∴， 解得：或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $