精品解析：2025年湖北省襄阳市樊城区中考适应性考试数学试题

2025年樊城区中考适应性考试 数学试题 （本试卷共6页，满分120分，考试时间120分钟） ★祝考试顺利★ 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效，作图一律用2B铅笔或黑色签字笔． 4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将其序号在答题卡上涂黑作答． 1. 一只蚂蚁从数轴上一点A出发向右爬了3个单位长度到了原点，则点A所表示的数是（ ） A. 3 B. C. D. 2. 下面四个化学仪器示意图中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 小明和小强参加100米短跑训练，教练对他们最近10次训练成绩分别进行了统计分析．为评估他们成绩的稳定性，教练需要了解这10次成绩的（ ） A 平均数 B. 众数 C. 中位数 D. 方差 5. 一副直角三角板按如图所示的方式摆放，点E在的延长线上，当时，的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 下列说法正确的是（ ） A. “明天降雨的概率为”表示明天有半天时间都在降雨 B. 成语“刻舟求剑”所描述的事件是随机事件 C. 太阳从东方升起是必然事件 D. 了解全国中学生的视力情况应采用全面调查 7. 五边形的外角和为（ ） A. B. C. D. 8. 某体育中心准备改扩建一块运动场地，现有甲、乙两个工程队参与施工，相关信息如下： 工程队 每天施工面积（单位：） 施工总面积（单位：） 施工时间（单位：天） 甲 两个工程队同时完成工作任务 乙 x 根据以上信息求x的值，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，点A、B、C在上， ，垂足分别为D、E，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，已知开口向下的抛物线与x轴交于点，对称轴为直线．则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 抛物线上有两点和，若且，则． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）把答案填在答题卡的相应位置上． 11. 2025年，智能语音交互应用横空出世，凭借创新的语音合成技术和丰富的语音指令功能，吸引全球大量用户．截止3月31且，它的下载量达到了125000000次．数“125000000”用科学记数法表示为________． 12. 小明和小亮两人相约周末去游玩，两人分别从关圣古镇、襄水街、华侨城三个游乐区中随机选择一个，则两人选中同一地点的概率为_________． 13. 阅读理解：已知实数m，n满足，且，可以把m，n看成是方程的两个不相等的实数根，根据根与系数的关系可得，． 类比探究：已知实数m，n满足，且，则_________． 14. 如图，将菱形绕其对角线的交点顺时针旋转后点对应点的坐标为_________． 15. 如图，在等边中，，D、E是的中点，的直径为，P为边上一动点，以为直径的圆交于点G，若，则的长为_________． 三、解答题（本大题共9个小题，共75分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并且写在答题卡上每题对应的答题区域内． 16 计算：． 17. 小婷为了解某小区居民的健身意识，设计了一份调查问卷，并在该小区随机调查了50人，她将部分调查数据绘制成如下两个统计图． 调查问卷 年龄 岁 问题1：你会主动了解健身知识吗? A.从不了解 B.偶尔了解 C.经常了解 问题2：生活中你参加健身锻炼吗? A.从不参加 B.偶尔参加 C.经常参加 请根据统计图回答问题： （1）在小婷调查的50人中，35岁以下的有 人，35岁 ~50岁的有 人，50岁以上的有 人． （2）小婷所居住的小区共有居民800人，请你估计经常参加健身锻炼的有多少人? （3）小婷认为从条形统计图中可以看出经常了解健身锻炼知识和经常参加健身锻炼的人群中，都是“35岁~50岁”的人数最多，因此，小婷认为小区中“35岁~50岁”这个年龄段的人最具有健身意识，你认为小婷的判断正确吗？请说明理由． 18. 已知关于x的方程有两个不相等的实数根． （1）求k的取值范围； （2）若，且k和方程的根都是整数，则_________． 19. 【问题呈现】如图1，在边长为1的正方形网格中，连接格点D，N和E，C，DN和EC相交于点P，求tan∠CPN的值． 【方法归纳】求一个锐角的三角函数值，我们往往需要找出（或构造出）一个直角三角形．观察发现问题中∠CPN不在直角三角形中，我们常常利用网格画平行线等方法解决此类问题，比如连接格点M，N，可得MN∥EC，则∠DNM＝∠CPN，连接DM，那么∠CPN就变换到Rt△DMN中． 【问题解决】（1）直接写出图1中tan∠CPN的值为　 　； （2）如图2，在边长为1的正方形网格中，AN与CM相交于点P，求cos∠CPN的值． 20. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）过线段上的动点P作x轴的垂线，垂足为点M，其交反比例函数的图像于点Q，若的值随P点的横坐标增大而减小，直接写出P点横坐标b的取值范围． 21. 如图，内接于，点D为的中点，连接、，平分交于点E． （1）求证：； （2）如图2，若经过点O，过点D作的切线交的延长线于点F，若，求阴影部分的面积． 22. 某学习小组在一次“综合实践活动”中，遇到了一个小区增加绿化面积的设计任务：紧靠一面墙体（墙长）建一个矩形篱笆花园；建设费用是业主集资所得，总费用（新墙的建筑费与门的价格和）不能超过1330元，如何设计最大花圃面积的方案？ 素材1：如图，花圃的一面靠现有墙体，中间用一道篱笆墙隔开，计划建筑材料可建篱笆围墙的总长为，开两个门且门宽均为． 素材2：两个门要求同一型号，收集到的有关门的采购信息如下表． 型号 Ⅰ Ⅱ Ⅲ 规格（门宽） 价格（元） 45 65 75 素材3：与现有墙平行方向的建墙费用为60元/米，与现有墙垂直方向的建墙费用为50元/米． 【问题解决】 任务1 确定花圃的形状 设，矩形的面积的面积为S，求S关于x的函数表达式？ 任务2 确定形状的限定 探究自变量x的取值范围？ 任务3 确定设计的方案 我设计的方案是选_________型号门（填“Ⅰ”“Ⅱ”或“Ⅲ”），_________m，_________m，S的最大值为_________． 23. 在矩形中，（k为常数），E为射线上一动点，连接．将沿翻折，使点B落在射线上的点F处，交于点G． （1）如图①，当点E在边上，点F是中点时，则_________； （2）如图②，当点E在边上，点F在线段上时，探究与数量关系，并说明理由； （3）如图③，当点E在线段的延长线上，点F在射线上时，与交于点H，平分，求的值． 24. 在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为P． （1）如图1，若抛物线过原点，求抛物线的解析式； （2）如图2，动直线经过（1）中抛物线的顶点，与其交于另一点C，与y轴交于点B，若，求出B点坐标； （3）如图3，若，直线交抛物线y于点Q，令点Q到x轴距离为d， ①请直接写出d关于a的函数关系式_________； ②令直线与y轴的夹角为，当时，d的取值范围是_________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年樊城区中考适应性考试 数学试题 （本试卷共6页，满分120分，考试时间120分钟） ★祝考试顺利★ 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效，作图一律用2B铅笔或黑色签字笔． 4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将其序号在答题卡上涂黑作答． 1. 一只蚂蚁从数轴上一点A出发向右爬了3个单位长度到了原点，则点A所表示的数是（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了对数轴的认识，根据题意知，点A位于原点左侧3个单位的位置，据此可得答案． 【详解】解：根据题意知，点A位于原点左侧3个单位的位置， 则点A所表示的数是， 故选：B． 2. 下面四个化学仪器示意图中，是轴对称图形的是（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形，将一个图形沿着某条直线对折，直线两旁的图形能够互相重合，那么这个图形就是轴对称图形．据此逐项判断即可． 【详解】解：A、它不是轴对称图形；不符合题意； B、它不是轴对称图形；不符合题意； C、它不是轴对称图形；不符合题意； D、它是轴对称图形．符合题意； 故选：D． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项、幂的乘方、同底数幂的乘法与除法，熟练掌握运算法则是解题关键．根据合并同类项、幂的乘方、同底数幂的乘法与除法法则逐项判断即可得． 【详解】解：A、，则此项错误，不符合题意； B、，则此项错误，不符合题意； C、，则此项正确，符合题意； D、，则此项错误，不符合题意； 故选：C． 4. 小明和小强参加100米短跑训练，教练对他们最近10次训练成绩分别进行了统计分析．为评估他们成绩的稳定性，教练需要了解这10次成绩的（ ） A. 平均数 B. 众数 C. 中位数 D. 方差 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查数据分析．注意：方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．根据众数、平均数、中位数、方差的概念逐一分析即可． 【详解】解：众数、平均数、中位数是反映一组数据的集中趋势，只有方差是反映数据的波动大小的．故为了判断成绩是否稳定，需要知道的是方差． 故选：D． 5. 一副直角三角板按如图所示的方式摆放，点E在的延长线上，当时，的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键．由题意，得：，利用两直线平行，内错角相等即可解答． 【详解】解：由题意，得：， ∵， ∴， 故选：B． 6. 下列说法正确的是（ ） A. “明天降雨的概率为”表示明天有半天时间都在降雨 B. 成语“刻舟求剑”所描述的事件是随机事件 C. 太阳从东方升起是必然事件 D. 了解全国中学生的视力情况应采用全面调查 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查全面调查与抽样调查；随机事件；概率的意义，掌握基本概念是解题关键．利用事件的分类、普查和抽样调查的特点、概率的意义即可作出判断． 【详解】解：A．“明天降雨概率为”，表示明天有可能降雨，原说法错误，故该选项不符合题意； B．成语“刻舟求剑”所描述的事件是不可能事件，原说法错误，故该选项不符合题意； C．太阳从东方升起是必然事件，说法正确，故该选项符合题意； D．了解全国中学生的视力情况应采用抽样调查，原说法错误，故该选项不符合题意； 故选：C． 7. 五边形的外角和为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了多边形的外角和，熟练掌握多边形的外角和等于是解题的关键． 根据多边形的外角和等于即可直接得出答案． 【详解】解：多边形的外角和等于， 五边形的外角和为， 故选：． 8. 某体育中心准备改扩建一块运动场地，现有甲、乙两个工程队参与施工，相关信息如下： 工程队 每天施工面积（单位：） 施工总面积（单位：） 施工时间（单位：天） 甲 两个工程队同时完成工作任务 乙 x 根据以上信息求x的值，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用．根据题意正确的列方程是解题的关键．根据两个工程队用时相同，可列方程，然后作答即可． 【详解】解：依题意得，， 故选：A． 9. 如图，点A、B、C在上， ，垂足分别为D、E，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】在优弧AB上取一点F，连接AF，BF，先根据四边形内角和求出∠O的值，再根据圆周角定理求出∠F的值，然后根据圆内接四边形的性质求解即可． 【详解】解：在优弧AB上取一点F，连接AF，BF． ∵ ， ∴∠CDO=∠CEO=90°． ∵， ∴∠O=140°， ∴∠F=70°， ∴∠ACB=180°-70°=110°． 故选C． 【点睛】本题考查了多边形的内角和，圆周角定理，以及圆内接四边形的性质，正确作出辅助线是解答本题的关键． 10. 如图，已知开口向下的抛物线与x轴交于点，对称轴为直线．则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 抛物线上有两点和，若且，则． 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数图像与系数的关系，二次函数的性质，根据抛物线开口方向，抛物线与轴交点位置判断A；由二次函数的对称轴为可判断B；由抛物线的对称性可判断C；由二次函数的性质可判断D．解题关键是掌握二次函数的图像与性质． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线交轴于正半轴， ∴， ∴，故A正确； ∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，故B正确； ∵抛物线对称轴为直线，且当时，， ∴时，，则时，， 即，故C正确； ∵抛物线开口向下，对称轴为直线， ∵且，则点和关于对称， ∴， ∵时，，时，， ∴， 当时，与矛盾，故D错误； 故选：D． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）把答案填在答题卡的相应位置上． 11. 2025年，智能语音交互应用横空出世，凭借创新语音合成技术和丰富的语音指令功能，吸引全球大量用户．截止3月31且，它的下载量达到了125000000次．数“125000000”用科学记数法表示为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查科学记数法表示较大的数，熟练掌握其定义是解题的关键．将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案． 【详解】解： 故答案为：． 12. 小明和小亮两人相约周末去游玩，两人分别从关圣古镇、襄水街、华侨城三个游乐区中随机选择一个，则两人选中同一地点的概率为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了画树状图法或列表法求等可能情形下的概率计算；画树状图法或列表法，利用概率计算公式，即可求解；能用画树状图法或列表法求概率是解题的关键． 【详解】解：：关圣古镇，：襄水街，：华侨城 共有种等可能结果，其中两人选中同一地点的结果有3种， ∴两人选中同一地点的概率为， 故答案为：． 13. 阅读理解：已知实数m，n满足，且，可以把m，n看成是方程的两个不相等的实数根，根据根与系数的关系可得，． 类比探究：已知实数m，n满足，且，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程．根据题意得到m，是方程的实数根，解方程得到解为，根据m，n的取值分情况讨论即可． 【详解】解：∵实数m，n满足， ∴m，是方程的实数根， 解方程得， ∴分情况讨论： ①若，则； ②若，则 若，，，不合题意，舍去； 若，，，不合题意，舍去． 综上所述，． 故答案为：． 14. 如图，将菱形绕其对角线的交点顺时针旋转后点对应点的坐标为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质、平面直角坐标系中的图形，由图可知，点的坐标是，点的坐标是，点的坐标是，点的坐标是，所以可知，，根据菱形的性质可知，，，将菱形绕其对角线的交点顺时针旋转后点对应点在点的上方，根据和的长度即可得到点的坐标． 【详解】解：如下图所示，连接，交于点， 由图可知，点的坐标是，点的坐标是，点的坐标是，点的坐标是， ，， 四边形是菱形， ，，， ， 将菱形绕其对角线交点顺时针旋转后点对应点的坐标为． 故答案为：． 15. 如图，在等边中，，D、E是的中点，的直径为，P为边上一动点，以为直径的圆交于点G，若，则的长为_________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，三角形中位线的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握性质是解题的关键； 取中点，分点P在M的右侧和左侧两种情况，连接，则，根据题意易证为的中位线，可得，进而得到，由圆周角定理得到，利用勾股定理求出，由等边三角形的性质可证，，求出，进而求出，利用勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：如图，取中点， 当点P在M的右侧时， 连接， ∵在等边中，， ∴， ∴， ∵D、E是的中点， ∴为的中位线， ∴， ∴， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∵D、E是的中点， ∴， ∴是等边三角形， ∵，即点F是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴三点共线， ∴， ∴， ∴， ∴． 当点P在点M的左侧时 同理，在中，（计算过程同情况一）． 此时． 故答案为：或． 三、解答题（本大题共9个小题，共75分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并且写在答题卡上每题对应的答题区域内． 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的混合运算，首先根据算术平方根的定义、指数幂、负指数幂、绝对值的定义，把算式中的各部分分别计算出来，可得：原式，再根据有理数的运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 17. 小婷为了解某小区居民的健身意识，设计了一份调查问卷，并在该小区随机调查了50人，她将部分调查数据绘制成如下两个统计图． 调查问卷 年龄 岁 问题1：你会主动了解健身知识吗? A.从不了解 B.偶尔了解 C.经常了解 问题2：生活中你参加健身锻炼吗? A.从不参加 B.偶尔参加 C.经常参加 请根据统计图回答问题： （1）在小婷调查的50人中，35岁以下的有 人，35岁 ~50岁的有 人，50岁以上的有 人． （2）小婷所居住的小区共有居民800人，请你估计经常参加健身锻炼的有多少人? （3）小婷认为从条形统计图中可以看出经常了解健身锻炼知识和经常参加健身锻炼的人群中，都是“35岁~50岁”的人数最多，因此，小婷认为小区中“35岁~50岁”这个年龄段的人最具有健身意识，你认为小婷的判断正确吗？请说明理由． 【答案】（1）5，30，15 （2）该小区经常参加健身锻炼的约为336人 （3）小婷的判断不正确，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查的是条形统计图，扇形统计图，统计表和用样本估计总体，能从图表中获取信息和正确计算比例是解题的关键． （1）35岁以下的有：，35岁岁的有：，50岁以上的有：，分别计算即可； （2）先计算出经常参加健身锻炼的占比，再乘800人，即可； （3）先计算出经常了解健身锻炼知识和经常参加健身锻炼的人群中三个时间段的各人数占比，然后再进行比较，即可得出结果． 【小问1详解】 解：35岁以下的有：（人）， 35岁岁的有：（人）， 50岁以上的有：（人）， 故答案为：5，30，15； 【小问2详解】 解：（人）， 答：估计经常参加健身锻炼的约为336人； 【小问3详解】 解：判断不正确． 理由如下： 调查的50人中，35岁以下的有 5人，35岁岁的有 30人，50岁以上的有 15人， 经常了解健身锻炼知识中35岁岁的占比：， 经常了解健身锻炼知识中35岁以下的占比：， 经常了解健身锻炼知识中50岁以上的占比：， 而， 经常了解健身锻炼知识中50岁以上的占比最高； 经常参加健身锻炼的人群中35岁岁的占比：， 经常参加健身锻炼的人群中35岁以下的占比：， 经常参加健身锻炼的人群中50岁以上的占比：， 而， 经常参加健身锻炼的人群中35岁以下的占比最高， 综上，从条形统计图中不能看出小区中“35岁~50岁”这个年龄段的人最具有健身意识． 18. 已知关于x的方程有两个不相等的实数根． （1）求k的取值范围； （2）若，且k和方程的根都是整数，则_________． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了由一元二次方程根的判别式求参数的取值范围，一元二次方程根的定义，掌握根的判别式是解题的关键． （1）方程化为：，由一元二次方程根的判别式：时，方程有两个不相等的实数根；据此即可求解； （2）根据题意可得是整数的平方，再根据结合（1）中，进行逐一判断即可求解． 【小问1详解】 解：方程化为：， 一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 解得：， 故的取值范围：． 【小问2详解】 解：方程的根都是整数， 是整数的平方， ， 取，， 由（1）知， ∴． 19. 【问题呈现】如图1，在边长为1的正方形网格中，连接格点D，N和E，C，DN和EC相交于点P，求tan∠CPN的值． 【方法归纳】求一个锐角的三角函数值，我们往往需要找出（或构造出）一个直角三角形．观察发现问题中∠CPN不在直角三角形中，我们常常利用网格画平行线等方法解决此类问题，比如连接格点M，N，可得MN∥EC，则∠DNM＝∠CPN，连接DM，那么∠CPN就变换到Rt△DMN中． 【问题解决】（1）直接写出图1中tan∠CPN的值为　 　； （2）如图2，在边长为1的正方形网格中，AN与CM相交于点P，求cos∠CPN的值． 【答案】（1）2；（2） 【解析】 【分析】（1）结合已知可得tan∠CPN＝tan∠DNM＝；（2）取格点D，连接CD，DM．由∠DCM＝∠D＝45°得，cos∠CPN＝cos∠DCM＝. 【详解】解：（1）如图1中， ∵EC∥MN， ∴∠CPN＝∠DNM， ∴tan∠CPN＝tan∠DNM， ∵∠DMN＝90°， ∴tan∠CPN＝tan∠DNM＝＝2； （2）如图2中，取格点D，连接CD，DM． ∵CD∥AN， ∴∠CPN＝∠DCM， ∵△DCM是等腰直角三角形， ∴∠DCM＝∠D＝45°， ∴cos∠CPN＝cos∠DCM＝． 故答案为2． 【点睛】考核知识点：三角函数.理解定义是关键. 20. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）过线段上的动点P作x轴的垂线，垂足为点M，其交反比例函数的图像于点Q，若的值随P点的横坐标增大而减小，直接写出P点横坐标b的取值范围． 【答案】（1）一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，二次函数的性质，一次函数和反比例函数的交点问题，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题关键． （1）先把、代入得，再代入，解二元一次方程组得，，即可得一次函数和反比例函数的解析式； （2）设，，，列出关系式，利用二次函数的性质即可求解． 【小问1详解】 解：一次函数的图象与反比例函数为的图象交于，两点， ， 解得：， ， 解得：， 一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为； 【小问2详解】 解：设， 轴， ，， ∴，， ∴ ， ∵， ∴当时，的值随b的增大而减小，即的值随P点的横坐标增大而减小． 21. 如图，内接于，点D为的中点，连接、，平分交于点E． （1）求证：； （2）如图2，若经过点O，过点D作的切线交的延长线于点F，若，求阴影部分的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由题意，得，则，因为，所以，即可证明，则； （2）证明，得，得，证明是等边三角形，得，，再证明，得，，由勾股定理得，求出，，从而求出． 【小问1详解】 证明：∵点D为的中点， ∴， ∴， ∴， ∵平分交于点E， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：连接，如图， ∵点D为的中点， ∴， ∴， 由（1）知，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵是的切线， ∴，即， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查圆周角定理、角平分线定义、切线的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理、求扇形面积等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 22. 某学习小组在一次“综合实践活动”中，遇到了一个小区增加绿化面积的设计任务：紧靠一面墙体（墙长）建一个矩形篱笆花园；建设费用是业主集资所得，总费用（新墙的建筑费与门的价格和）不能超过1330元，如何设计最大花圃面积的方案？ 素材1：如图，花圃的一面靠现有墙体，中间用一道篱笆墙隔开，计划建筑材料可建篱笆围墙的总长为，开两个门且门宽均为． 素材2：两个门要求同一型号，收集到的有关门的采购信息如下表． 型号 Ⅰ Ⅱ Ⅲ 规格（门宽） 价格（元） 45 65 75 素材3：与现有墙平行方向的建墙费用为60元/米，与现有墙垂直方向的建墙费用为50元/米． 【问题解决】 任务1 确定花圃的形状 设，矩形的面积的面积为S，求S关于x的函数表达式？ 任务2 确定形状的限定 探究自变量x的取值范围？ 任务3 确定设计的方案 我设计的方案是选_________型号门（填“Ⅰ”“Ⅱ”或“Ⅲ”），_________m，_________m，S的最大值为_________． 【答案】任务1：；任务2：当选Ⅰ型号门时，自变量x的取值范围为；当选Ⅲ型号门时，自变量x的取值范围为：；任务3、我的设计方案是选Ⅰ型号门，，，S的最大值为 【解析】 【分析】题目主要考查二次函数的应用及不等式的应用，理解题意，列出函数关系式及不等式是解题关键． 任务1：根据题意得出，然后计算面积即可得出函数关系式； 任务2：根据题意得出，代入确定，再由所需费用分两种情况列出不等式求解即可； 任务3：根据任务1中函数关系式及其性质求解即可． 【详解】解：任务1： 由题可知，设，则， 则 ； 任务2： 由题意得，， 即， 解得：， 根据题意可得：新墙建筑费用为（元）， 若选Ⅰ型号门，则总费用为（元）， ∵总费用不高于1330元， ∴， 解得：， ∴自变量x的取值范围为； 若选Ⅲ型号门，则总费用为（元）， ∵总费用不高于1330元， ∴，解得：， ∴自变量x的取值范围为 综上所述：当选Ⅰ型号门时，自变量x的取值范围为；当选Ⅲ型号门时，自变量x的取值范围为：； 任务3： 由任务1知：， ∵，图象开口向下，且， ∴当时，面积S有最大值为， 此时，， ∴我的设计方案是选Ⅰ型号门，，，S的最大值为． 故答案为：Ⅰ；4；12；48． 23. 在矩形中，（k为常数），E为射线上一动点，连接．将沿翻折，使点B落在射线上的点F处，交于点G． （1）如图①，当点E在边上，点F是的中点时，则_________； （2）如图②，当点E在边上，点F在线段上时，探究与的数量关系，并说明理由； （3）如图③，当点E在线段的延长线上，点F在射线上时，与交于点H，平分，求的值． 【答案】（1） （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）由矩形的性质，得到，，根据点F是的中点，得到，由翻折知：，，，易证是等边三角形，求出，根据即可解答； （2），根据四边形是矩形，得到，，由翻折知：，，，推出，易证，再根据正切的定义即可解答； （3）利用角平分线的性质结合矩形的性质证明，推出，设，得到，，证明，利用正切的定义求出，再利用余弦的定义求出，即可得出结果． 【小问1详解】 解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵点F是的中点， ∴， 由翻折知：，，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：，理由如下： ∵四边形是矩形， ∴，， 由翻折知：，，， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴，即； 【小问3详解】 解：由翻折知：， ∵四边形是矩形， ∴，即， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴，即， ∵， ∴，即， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、折叠的性质、等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、解直角三角形等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 24. 在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为P． （1）如图1，若抛物线过原点，求抛物线的解析式； （2）如图2，动直线经过（1）中抛物线的顶点，与其交于另一点C，与y轴交于点B，若，求出B点坐标； （3）如图3，若，直线交抛物线y于点Q，令点Q到x轴的距离为d， ①请直接写出d关于a的函数关系式_________； ②令直线与y轴的夹角为，当时，d的取值范围是_________． 【答案】（1） （2）或 （3）①（）；② 【解析】 【分析】（1）根据抛物线经过原点，可得，求出a的值，即可解答； （2）根据抛物线的解析式得到顶点，令，得到．分两种情况讨论：①点B在y轴的正半轴时，由，得到点B为的中点，从而，把点代入抛物线，即可求出b的值，进而得到点B的坐标；②点B在y轴的负半轴时，由得到，从而，同①方法即可求解； （3）①求出抛物线顶点的坐标为，运用待定系数法求得直线的函数解析式为，联立抛物线与直线的函数解析式组成方程组，求解得到点Q的坐标，即可解答； ②设直线与y轴交于点F，过点作轴于点E，在中，求得，根据，得到，即，进而根据即可求得． 【小问1详解】 解：∵抛物线经过原点， ∴， 解得或（不合题意，舍去） ∴抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：∵抛物线的解析式为， ∴顶点的坐标为， ∵直线与y轴交于点B， ∴令，则， ∴， ①若点B在y轴的正半轴时， ∵， ∴点B为的中点， ∴， ∵点在抛物线上， ∴， ∴， ∴； ②若点B在y轴的负半轴时， ∵， ∴， ∴， ∵点在抛物线上， ∴， ∴， ∴； 综上所述，点B的坐标为或． 【小问3详解】 解：①∵抛物线， ∴顶点的坐标为， 设过点，的直线的函数解析式为， ∴，解得， ∴直线的函数解析式为， 解方程组得或， ∴， ∴点Q到x轴的距离为（）； ②设直线：与y轴交于点F，则， 过点作轴于点E， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴当时，d随a的增大而增大， ∴当时，， 当时，， ∴d的取值范围是． 故答案为：①（）；②． 【点睛】本题考查待定系数法求解析式，二次函数的图象及性质，坐标系中线段的中点，函数图象的交点，锐角三角函数等，熟练掌握相关知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$