精品解析：2026年河北张家口市九年级中考第三次学情自测数学试题

九年级数学 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题意） 1. 如图，将线段向上平移的过程中，可能会经过点、点、点、点中的（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 2. 与相加得的是（ ） A. B. C. D. 3. 若有平方根，则满足的条件是（ ） A. B. C. D. 4. 在中，是边上的中线，点在上，且．若，，则的长度为（ ） A. B. C. D. 5. 如图是由大、小两个正方体搭成的几何体，关于此几何体的三视图，下列说法正确的是（ ） A. 主视图和左视图相同 B. 主视图和俯视图相同 C. 俯视图和左视图相同 D. 三视图都不相同 6. 若，是方程的两个实数根，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 甲、乙两名同学手中分别握有标着数字，，和，，的三张卡片（卡片除数字外其余完全相同），从两人手中各随机抽取一张，则抽到的两个数字之和为偶数的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在菱形中，，，相交于点，点为线段上一点（可与点重合，不与点重合），，的平分线交于点，则的度数可能为（ ） A. B. C. D. 9. 若关于的方程有两个相等的实数根，则下列关于双曲线的说法正确的是（ ） A. 与直线没有交点 B. 点可能在双曲线上 C. 可能分别位于第二、四象限 D. 在每一个象限内，随的增大而增大 10. 如图，在中，，点是的平分线上一点（不与点重合），连接，，可得 ♡ ，则♡处应填写的符号是（ ） A. B. C. D. 11. 抛物线：经过点，，，，则下列选项中，值不变的是（ ） A. B. C. D. 12. 如图，以正六边形的顶点为原点，，所在的直线分别为轴、轴建立平面直角坐标系，点，点，，，均在轴的上方，点，同时从点出发，在正六边形的边上移动，点沿逆时针方向移动，速度为个单位长度/秒，点沿顺时针方向移动，速度为个单位长度/秒，现有如下结论： 结论一：点的坐标为； 结论二：秒后点的位置是； 结论三：点，在第次相遇与第次相遇时的位置之间的距离为． 则下列判断正确的是（ ） A. 只有结论一不正确 B. 只有结论三正确 C. 只有结论二不正确 D. 三个结论都不正确 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 分解因式：______． 14. 小明用若干张图1中的长方形和正方形卡片，拼成了如图2所示的长方形图案，已知拼成的长方形周长为，则______． 15. 如图，，，分别平分，，且其所在直线交于点，则与的数量关系为______． 16. 如图，在矩形中，，，点，分别是边，上的点，连接，满足，，点在线段上，过点作直线，若直线上存在个点，使为直角三角形，设，则的取值范围是______． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算的值，其中“★”表示一个有理数． （1）若“★”表示的数为，求的值； （2）若算式的值为，求“★”所表示的数． 18. 已知关于的不等式． （1）求这个不等式的正整数解； （2）将关于的不等式与构成一个不等式组，已知它只有个整数解，求这三个整数解，并直接写出的取值范围． 19. 如图，，点在的延长线上，射线平分． （1）尺规作图：在射线上求作点，连接，使．（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，求证：． 20. 小丽、小华、小静三人进行定点投镖训练，每人投镖次，统计投镖投中得分的情况，绘制成如图1、图2所示的统计图． （1）直接写出小华定点投镖成绩的中位数和众数； （2）从平均数的角度判断小丽和小华的定点投镖成绩中，谁的成绩要好一些； （3）若小华又多投掷了一次镖，命中了7分，其中会改变的统计量为______；（填序号） ①平均数 ②众数 ③中位数 ④方差 （4）若小静的定点投镖成绩的众数、中位数、平均数均大于小华的定点投镖成绩的众数、中位数、平均数，在图2中补全小静的投镖成绩（画出一种即可）． 21. 如图1，在菱形中，，，连接，过点作交于点，将绕点逆时针旋转，得到，连接，． （1）求证：； （2）求的长； （3）如图2，将绕点逆时针旋转得到，直接写出当的边所在直线平分时，点经过的路径长． 22. 如图，矩形的顶点（，），（，），（，），其中＞，直线：与轴交于点（，）． （1）当直线经过点（，）时，求直线的解析式； （2）当时，若直线经过的中点，求的值； （3）当时，若直线将矩形分为两部分，且这两部分内部（不包含边界）的整点（横、纵坐标都为整数的点）个数的比为∶，求的取值范围． 23. 如图，抛物线：经过点，，将抛物线绕点旋转得到抛物线． （1）求抛物线的顶点坐标． （2）若， ①求抛物线的解析式； ②点是抛物线上一点，当点到轴的距离为时，求点的横坐标． （3）点，是抛物线上的两个点，对于，，总有，直接写出的取值范围（用含的代数式表示）． 24. 如图1，在矩形中，，，于点，点是线段上一点，以点为圆心，的长为半径作，交线段于另一点，交于点，连接，连接并延长交于点，设的半径为． （1）当与直线相切时， ①求的值； ②求边落在圆内部分（包括边界）的长度． （2）当时，如图2，求的面积． （3）若，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题意） 1. 如图，将线段向上平移的过程中，可能会经过点、点、点、点中的（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 【答案】C 【解析】 【分析】根据平移的定义进行判断即可． 【详解】可通过直尺与三角板相结合画平移线段，确定平移后的线段经过点P． 2. 与相加得的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据相反数的定义进行计算即可． 【详解】解：， 故． 3. 若有平方根，则满足的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平方根的定义可得，再解不等式求出解集． 【详解】解：∵有平方根， ∴， 解得． 4. 在中，是边上的中线，点在上，且．若，，则的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例得，进而得，计算即可． 【详解】解：如图， ∵， ∴， 又∵为的中线， ∴， ∴， ∴． 5. 如图是由大、小两个正方体搭成的几何体，关于此几何体的三视图，下列说法正确的是（ ） A. 主视图和左视图相同 B. 主视图和俯视图相同 C. 俯视图和左视图相同 D. 三视图都不相同 【答案】D 【解析】 【分析】画出三视图后，结合三视图即可选出正确答案． 【详解】解：三视图如下， 三视图都不相同． 故选D． 6. 若，是方程的两个实数根，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用一元二次方程根与系数的关系求出两根之和与两根之积，再代入因式分解后的表达式计算即可． 【详解】解：∵，是方程的两个实数根， ∴，， ∴． 7. 甲、乙两名同学手中分别握有标着数字，，和，，的三张卡片（卡片除数字外其余完全相同），从两人手中各随机抽取一张，则抽到的两个数字之和为偶数的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】列表法可得到共有9种等可能的结果，数字之和为偶数的结果有4种，即可得到答案． 【详解】列表如下： 甲 乙 1 3 4 5 6 8 9 6 7 9 10 8 9 11 12 抽到的数字之和共有9种等可能的结果，其中两个数字之和为偶数有4种结果， ∴抽到的两个数字之和为偶数的概率为． 8. 如图，在菱形中，，，相交于点，点为线段上一点（可与点重合，不与点重合），，的平分线交于点，则的度数可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据菱形的性质，得到对角线平分内角、对角线互相垂直，进而求出、的度数；再结合角平分线的定义，用表示出，最后根据的取值范围确定的可能值． 【详解】解：在菱形中，，平分，， ， ， 平分， ， 点为上一点（可与点重合，不与点重合）， ， 平分， ， ， ． 故选． 9. 若关于的方程有两个相等的实数根，则下列关于双曲线的说法正确的是（ ） A. 与直线没有交点 B. 点可能在双曲线上 C. 可能分别位于第二、四象限 D. 在每一个象限内，随的增大而增大 【答案】B 【解析】 【分析】根据根的判别式求出或1，得到双曲线与直线有交点，双曲线分别位于第一、三象限，即可得到答案。 【详解】解：有两个相等的实数根， ，解得或1， 双曲线的表达式可能为或， 双曲线与直线有交点，故选项错误； 点在双曲线上，故选项正确； 双曲线分别位于第一、三象限，故选项错误； 在每个象限内，y随x的增大而减小，故选项错误． 10. 如图，在中，，点是的平分线上一点（不与点重合），连接，，可得 ♡ ，则♡处应填写的符号是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】在上截取，证明，得到，利用三角形三边关系求解即可； 【详解】如图，在上截取， ，点是平分线上的点， ，， ， ∴． 在中，，即． 11. 抛物线：经过点，，，，则下列选项中，值不变的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线对称性计算对称轴，分析即可． 【详解】解：∵抛物线：经过点，， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵点，到对称轴的距离相等， ∴， ∴ ， 其他选项的值都不确定． 故选B． 12. 如图，以正六边形的顶点为原点，，所在的直线分别为轴、轴建立平面直角坐标系，点，点，，，均在轴的上方，点，同时从点出发，在正六边形的边上移动，点沿逆时针方向移动，速度为个单位长度/秒，点沿顺时针方向移动，速度为个单位长度/秒，现有如下结论： 结论一：点的坐标为； 结论二：秒后点的位置是； 结论三：点，在第次相遇与第次相遇时的位置之间的距离为． 则下列判断正确的是（ ） A. 只有结论一不正确 B. 只有结论三正确 C. 只有结论二不正确 D. 三个结论都不正确 【答案】B 【解析】 【分析】过点E向x轴作垂线，垂足为点F．先结合正六边形的性质、已知A点坐标，求出，的长度，验证结论一是否成立．先计算正六边形的周长，再根据P的运动速度和方向，求出P的运动周期，用2026除以周期得到余数，根据余数判断2026秒后P的位置，验证结论二是否成立．分别求出第13次、第14次相遇时的位置，最后用两点间距离公式计算两个位置的距离，验证结论三是否成立． 【详解】如图，过点E向x轴作垂线，垂足为点F． ∵六边形是正六边形，， ∴，， ∴，， ∴点E的坐标为．结论一错误． ∵点P从点B出发，以1个单位长度/秒的速度逆时针移动，， ∴2026秒后点P与原点重合，结论二错误． 点P与点Q第1次在点D处相遇，第2次在点O处相遇，第3次在点B处相遇，第4次在点D处相遇，……第13次在点D处相遇，第14次在点O处相遇． ∵， ∴点P、Q在第13次相遇与第14次相遇时的位置之间的距离为，结论三正确． 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 分解因式：______． 【答案】## 【解析】 【分析】原式提取2，再利用平方差公式分解即可． 【详解】解： =2（m2-9） =2（m+3）（m-3）． 故答案为：2（m+3）（m-3）． 【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 14. 小明用若干张图1中的长方形和正方形卡片，拼成了如图2所示的长方形图案，已知拼成的长方形周长为，则______． 【答案】6 【解析】 【分析】观察拼成的大长方形，可知该长方形的长为，宽为，通过周长为可列方程，利用上排3个小长方形的长等于下排2个小长方形的长加上2个小正方形的边长可列方程，联立方程，解方程组即可． 【详解】解：由题意得， 解方程组得：， ∴． 15. 如图，，，分别平分，，且其所在直线交于点，则与的数量关系为______． 【答案】 【解析】 【分析】由角平分线的定义得，，设 ， ，作，根据平行线的判定与性质，求出 ，同理求出 ，即可得答案． 【详解】解：分别平分，， ，， 设 ， ， 如下图，过点M作，则， ， ， 如上图，过点N作，则， ， ， ，即． 16. 如图，在矩形中，，，点，分别是边，上的点，连接，满足，，点在线段上，过点作直线，若直线上存在个点，使为直角三角形，设，则的取值范围是______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查矩形的性质与判定，直角三角形的判定，直径与圆周角的关系，直线与圆的位置关系等知识，利用分类讨论思想求解是解题的关键．分情况讨论：若为直角三角形，当l与圆相切时；当直线l过点Q时；当过点Q时；分别得出，即可得到t的取值范围． 【详解】解：过点作，垂足为，如图， ∵四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴ ， ， 在中， ， 以为直径作，当与相切时，过作，连接， ∴， ， 在 中，， ∴ ， ， ∴ ； ①若为直角三角形，如图（1），当直线与圆相切时，， 使为直角三角形的点有，，3个，继续向右运动，直线与圆有2个交点，此时点有4个； ②当直线l过点Q时，如图（2）， ， ∴， 使为直角三角形的点有，2个， 继续向右运动，此时点有4个； ③当直线经过点时，如图（3）， ， ∴， 使为直角三角形的点有，2个， ∴由图可知，满足条件的的取值范围是或． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算的值，其中“★”表示一个有理数． （1）若“★”表示的数为，求的值； （2）若算式的值为，求“★”所表示的数． 【答案】（1） （2）6 【解析】 【分析】（1）根据有理数混合运算法则计算即可； （2）设“★”所表示的数为，由题意得，，解一元一次方程即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：设“★”所表示的数为， 由题意得， ， ， ， ； 答：“★”所表示的数为6． 18. 已知关于的不等式． （1）求这个不等式的正整数解； （2）将关于的不等式与构成一个不等式组，已知它只有个整数解，求这三个整数解，并直接写出的取值范围． 【答案】（1）1 （2）三个整数解，0，1， 【解析】 【分析】（1）解不等式得到，即可得到答案； （2）解不等式组得，得，根据不等式组只有3个整数解，即可得到答案． 【小问1详解】 解：解不等式， ， ， 这个不等式的正整数解为1； 【小问2详解】 解：解不等式组， 得， 不等式组只有3个整数解， 这三个整数解为，0，1， 此时a的取值范围为． 19. 如图，，点在的延长线上，射线平分． （1）尺规作图：在射线上求作点，连接，使．（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据“到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”的性质，先作线段的垂直平分线，该垂直平分线与射线的交点即为所求的点，此时点到、两点的距离相等，满足的条件； （2）先利用等腰三角形等边对等角的性质，由推出；再根据角平分线的定义得到；接着利用三角形外角的性质，得出是的外角，因此∠ ，结合角平分线的结论进一步推出 ；然后结合作图得到的，再次利用等边对等角得到，从而推导出且 ；最后根据两角分别相等的两个三角形相似的判定定理，证明 ． 【小问1详解】 解：如图，点即为所求． 【小问2详解】 证明：∵， ∴， ∵射线平分， ∴， 又∵为的外角， ∴， ∴， 由作图可知， ∴， ∴， ∴． 20. 小丽、小华、小静三人进行定点投镖训练，每人投镖次，统计投镖投中得分的情况，绘制成如图1、图2所示的统计图． （1）直接写出小华定点投镖成绩的中位数和众数； （2）从平均数的角度判断小丽和小华的定点投镖成绩中，谁的成绩要好一些； （3）若小华又多投掷了一次镖，命中了7分，其中会改变的统计量为______；（填序号） ①平均数 ②众数 ③中位数 ④方差 （4）若小静的定点投镖成绩的众数、中位数、平均数均大于小华的定点投镖成绩的众数、中位数、平均数，在图2中补全小静的投镖成绩（画出一种即可）． 【答案】（1）中位数为7分，众数为6分 （2）小丽的成绩要好一些 （3）①④ （4）见解析 【解析】 【分析】（1）根据众数和中位数的定义计算即可得解；（3）根据平均数、中位数、众数的定义求解即可． （2）求出小华、小丽定点投镖成绩的平均数，比较即可得解； （3）根据众数、中位数、平均数、方差的定义和计算方法分析即可； （4）根据题意小静的定点投镖成绩的众数、中位数、平均数均大于小华的，设置出满足以上条件的7分和8分的成绩总次数为5次即可． 【小问1详解】 解：小华定点投镖成绩根据折线统计图，从低到高排列为： ， 中位数为分，众数为6分； 【小问2详解】 解：小华定点投镖成绩的平均数为 （分）． 小丽定点投镖成绩的平均数为 （分）． ∵ ， ∴从平均数的角度判断小丽和小华的定点投镖成绩中，小丽的成绩要好一些； 【小问3详解】 解：若小华又多投掷了一次镖，命中了7分， 则小华的定点投镖成绩从低到高排列为： ， 可得众数为：6分，中位数为：7分，均不变， 平均数：，已改变， 小华的定点投镖成绩原方差： ， 现方差： ，方差结果改变， 故答案为：①④； 【小问4详解】 解：补全条形统计图如下： 21. 如图1，在菱形中，，，连接，过点作交于点，将绕点逆时针旋转，得到，连接，． （1）求证：； （2）求的长； （3）如图2，将绕点逆时针旋转得到，直接写出当的边所在直线平分时，点经过的路径长． 【答案】（1）见解析 （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）先根据菱形的性质和旋转的性质得，，再说明 ，然后根据“边角边”证明，则答案可得； （2）作，先求出，再解直角三角形求出，然后说明，并解直角三角形求出，则此题可解； （3）有如下两种情况：当边所在直线平分时，求出旋转角 ，再根据弧长公式解答；当边DQ所在直线平分时，边DQ所在直线交MN于点E，然后求出 ，并根据弧长公式解答即可． 【小问1详解】 证明：在菱形中，， 由旋转可得， ， ∴ ，即， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图（1），过点D作于点G． ∵，， ∴． ∵， ∴． ∵，， ∴， ∴ ， ∴ ； 【小问3详解】 解：有如下两种情况： 情况一：如图（2），当边所在直线平分时， ∵ ， ∴． ∵，， ∴， ∴ ， ∴点M经过的路径长为； 情况二：如图（3），当边DQ所在直线平分时，边DQ所在直线交MN于点E． ∵， ∴． ∵， ∴ ， ∴ ． ∴点M经过的路径长为． 所以点M经过的路径的长为或． 22. 如图，矩形的顶点（，），（，），（，），其中＞，直线：与轴交于点（，）． （1）当直线经过点（，）时，求直线的解析式； （2）当时，若直线经过的中点，求的值； （3）当时，若直线将矩形分为两部分，且这两部分内部（不包含边界）的整点（横、纵坐标都为整数的点）个数的比为∶，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）因为直线过点和点，代入解析式求解出k，b的值即可得到解析式． （2）先根据矩形顶点的坐标，推出点的坐标，再求出中点的坐标；因为直线的且过，写出直线表达式，将中点坐标代入表达式求解． （3）先代入，确定矩形各顶点坐标，统计矩形内部不含边界的整点总数；根据整点个数比为，确定两部分分别的整点个数；找到直线经过矩形边上关键点时的值，结合整点分布确定的范围． 【详解】解：（1）∵直线l：与y轴交于点，过点， 代入得 解得 ∴直线l的解析式为． （2）如图，设点G为的中点， 由矩形性质得点坐标为， ∴的中点坐标为， ∴即． ∵直线l：与y轴交于点，， ∴直线l：． 将点代入直线l：中，得 ， 解得． （3）当时，矩形的各顶点坐标为，，，，矩形内部的整点有，，，，，． ∵直线l：与y轴交于点， ∴直线l：． 当直线l将矩形分为两部分，且这两部分内部（不包含边界）的整点个数的比为时， 情况一：直线左侧2个整点，右侧4个整点时， 将代入，得 ， ∴． 将代入，得 ， ∴， ∴． 情况二；直线左侧4个整点，右侧2个整点时， 将代入．得， ∴， ∴， ∴k的取值范围为或． 23. 如图，抛物线：经过点，，将抛物线绕点旋转得到抛物线． （1）求抛物线的顶点坐标． （2）若， ①求抛物线的解析式； ②点是抛物线上一点，当点到轴的距离为时，求点的横坐标． （3）点，是抛物线上的两个点，对于，，总有，直接写出的取值范围（用含的代数式表示）． 【答案】（1） （2）①；②或 （3） 或 【解析】 【分析】（1）用待定系数法求出抛物线的解析式，再转化为顶点式，即可得答案； （2）①先求出抛物线G的顶点坐标，旋转后，即可得答案；②令，解方程即可； （3）先求出抛物线G的对称轴，求出时，k的取值范围，即可得时，k的取值范围． 【小问1详解】 解：抛物线L经过点，， 所以将点，代入，得：， 解得：， ， 抛物线L的顶点坐标为； 【小问2详解】 ①设抛物线G的顶点坐标为， 点， ，， ，， 抛物线G的顶点坐标为， 旋转后抛物线开口向下， 抛物线， 抛物线G的解析式为； ②当点N到x轴的距离为2时，y只能为， 令，则， ，， 点N的横坐标为或； 【小问3详解】 设抛物线G的顶点坐标为， 抛物线L的顶点坐标为，两个顶点关于点中心对称， ， ， 抛物线G的对称轴为直线， 若，则和关于对称轴对称，即， ， ，， ，即， ， 解得：和 ， 和 ． 24. 如图1，在矩形中，，，于点，点是线段上一点，以点为圆心，的长为半径作，交线段于另一点，交于点，连接，连接并延长交于点，设的半径为． （1）当与直线相切时， ①求的值； ②求边落在圆内部分（包括边界）的长度． （2）当时，如图2，求的面积． （3）若，直接写出的长． 【答案】（1）①；② （2） （3） 【解析】 【分析】（1）①先根据勾股定理计算的长，再证明 ，得，计算的直径的长，从而求得的值； ②过点作于点，得，根据平行线分线段成比例得，计算的长，根据垂径定理得，边落在圆内部分（包括边界）的长度为 ，计算即可； （2）过点作于点，作 于点，对于根据等面积法计算的长，根据勾股定理计算的长，证明 ，根据角平分线性质定理得，根据得 ，进而得，根据垂直于同一条直线的两条直线平行得，得，计算，最后根据 计算即可； （3）连接，过点作 于点，由（2）可计算，根据 可计算，在 中，可得 的长，进而得的长，由 得，得，计算得，，进而得，根据勾股定理得，计算即可． 【小问1详解】 解：①在矩形中，，，，， ∴，， ∵与直线相切， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴，即， ∴， ∴； ②如图（1），过点作于点， ∴ ， ∴， ∴，即， ∴， ∴边落在圆内部分（包括边界）的长度为； 【小问2详解】 解：如图（2），过点作于点，作 于点， ∵在矩形中，，， ∴ ，即 ， ∴， ∴， ∵，∴ ， ∵ ，， ∴ ， ∵，， ∴， ∵， ∴ ，即 ， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图（3），连接，过点作 于点， 由（2）可知， ∴， ∵ ， ∴ ， ∴， 在 中，，即， ∴， ， ∴ ， ∵ ， ∴， ∴，即， ∴，， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $