2026届高三数学三轮复习三角函数与解三角形、圆锥曲线、数列、导数板块中档题抢分训练

**基本信息** 聚焦湖北地区高三数学中档题抢分，以三角函数与解三角形、圆锥曲线、数列、导数为核心模块，通过分层题型构建知识应用逻辑链，培养数学思维的推理能力与数学眼光的几何直观。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |三角函数与解三角形|7题|结合三角函数性质（周期、单调区间）与解三角形（求角、面积、长度、最值）|从三角函数公式应用到解三角形定理（正弦、余弦定理）的综合运用| |圆锥曲线|4题|椭圆方程求解、直线与椭圆位置关系（面积、圆方程）|从椭圆定义、标准方程到几何性质与代数运算的结合| |数列|9题|等差等比判定、通项公式、求和、单调性及恒成立问题|从递推关系到通项公式推导，再到求和方法（错位相减、裂项）的递进| |导数|5题|单调性讨论、极值、最值、不等式证明|导数工具性应用，从求导法则到函数性质分析的逻辑推理|

高三数学三轮复习三角函数与解三角形、圆锥曲线、数列、导数板块湖北地区中档题抢分押题训练 一、三角函数与解三角形模块 1．（2026·湖北孝感·模拟预测）已知 ，. (1)求的最小正周期和单调增区间； (2)已知锐角的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，且，，求BC边上的高的最大值. 【难度】0.6 2．（2026·湖北·模拟预测）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足． (1)求A； (2)若，，求的面积． 【难度】0.81 3．（2026·湖北·一模）在中，内角，，所对的边分别为，，，的面积为，是线段上一点，且. (1)求角； (2)若，平分，求. 【难度】0.65 4．（2026·湖北黄石·模拟预测）在中，角，，所对的边分别为，，，且. (1)求； (2)若，，的角平分线交于，求. 【难度】0.62 5．（2026·湖北武汉·三模）在中，内角，，的对边分别为，，， 若． (1)求角的大小； (2)若，的角平分线交于点，求线段长度的最大值． 【难度】0.54 6．（2026·湖北·三模）内角，，的对边分别为，，，满足． (1)求证：； (2)当角取得最大值时，的面积为，求． 【难度】0.51 7．（2026·湖北·模拟预测）中，为边上一点，且，，． (1)若，求的长； (2)若，求的长． 【难度】0.65 二、圆锥曲线模块 8．（2025·湖北·一模）已知椭圆的长轴长为4，焦点为，，过椭圆右焦点的直线交椭圆于A，B两点，当直线垂直于椭圆长轴时，线段的长度为1. (1)求椭圆的方程； (2)当直线倾斜角为时，求以线段为直径的圆的标准方程. 【难度】0.85 9．（2026·湖北鄂州·模拟预测）已知椭圆过点，其焦距为，直线交椭圆于两点． (1)求的标准方程； (2)求面积的最大值． 【难度】0.62 10．（2026·湖北恩施·二模）已知椭圆与直线交于两点． (1)求椭圆的方程； (2)若上存在关于原点对称的两点，使得与的面积相等，求这两点的坐标． 【难度】0.67 11．（2026·湖北荆州·一模）已知椭圆C：的一个焦点与抛物线的焦点重合，且椭圆C的离心率为. (1)求椭圆C的标准方程； (2)过椭圆C的左顶点A且倾斜角为30°的直线交椭圆C于另一点B，O为坐标原点，求的面积. 【难度】0.8 三、数列模块 12．（2025·湖北黄冈·模拟预测）已知数列是等差数列，. (1)求的通项公式；(2)设数列的前项和为，求. 【难度】0.85 13．（2026·湖北随州·三模）已知数列满足. (1)求的通项公式； (2)已知，求. 【难度】0.64 14．（2026·湖北孝感·二模）已知数列的前项和为，若对任意，向量，，有．数列满足，其前项和为． (1)求数列的通项公式； (2)若对任意恒成立，求实数的取值范围． 【难度】0.65 15．（2026·湖北恩施·二模）已知各项均为正数的数列，满足． (1)求； (2)设数列满足，记其前项和为，且，求 【难度】0.5 16．（2026·湖北黄石·一模）已知数列满足. (1)设，证明是等比数列，并求的通项公式； (2)判断数列的单调性. 【难度】0.72 17．（2026·湖北武汉·模拟预测）在数列中，，，，且是等差数列. (1)求； (2)证明：. 【难度】0.65 18．（2026·湖北·二模）记为数列的前n项和，已知． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 【难度】0.65 19．（2026·湖北十堰·一模）已知数列的前项和. (1)证明：是等比数列； (2)若，分别是等差数列的第1项与第3项，求的公差. 【难度】0.65 20．（2026·湖北宜昌·模拟预测）已知数列的前项和为，且． (1)求证：数列为等比数列； (2)若，求满足条件的最小整数． 【难度】0.65 四、导数模块 21．（2026·湖北·三模）已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)当时，，求实数的取值范围． 【难度】0.65 22．（2026·湖北宜昌·二模）已知函数. (1)当时，求函数的单调区间； (2)当时，求函数的最小值； (3)求证：. 【难度】0.55 23．（2026·湖北·三模）已知函数． (1)若存在大于零的极值，求a的取值范围； (2)对于函数，若，则称为的不动点．判断是否存在a，使得的极值点同时也是不动点，并说明理由． 【难度】0.54 24．（2026·湖北武汉·模拟预测）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)若有极小值，且，求a的取值范围. 【难度】0.53 25．（2026·湖北武汉·二模）已知函数，其中. (1)当时， （ⅰ）求曲线在点处的切线方程； （ⅱ）求函数的单调区间； (2)若，求的取值范围. 【难度】0.52 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学三轮复习三角函数与解三角形、圆锥曲线、数列、导数板块湖北地区中档题抢分押题训练 一、三角函数与解三角形模块 1．（2026·湖北孝感·模拟预测）已知 ，. (1)求的最小正周期和单调增区间； (2)已知锐角的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，且，，求BC边上的高的最大值. 【难度】0.6 【详解】（1）依题意，， 由，得， 所以函数的最小正周期，单调递增区间为. （2）由（1）得，即， 在锐角中，，，则，解得， 由余弦定理得，当且仅当时取等号， 设边上的高为，则，因此，所以的最大值为. 2．（2026·湖北·模拟预测）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足． (1)求A； (2)若，，求的面积． 【难度】0.81 【详解】（1）由，得，代入条件得：， 即，则，即， 因为，则，所以，则． （2）由余弦定理得，代入，可得， 整理得，解得（舍去负根）， 因此，的面积为． 3．（2026·湖北·一模）在中，内角，，所对的边分别为，，，的面积为，是线段上一点，且. (1)求角； (2)若，平分，求. 【难度】0.65 【详解】（1）由条件，利用正弦定理可得， 因为，所以，代入上式：，整理得：，又， 故即，又，所以. （2）由三角形面积公式知，可得， 又，由余弦定理，得， 于是可得或.因为平分，由角平分线性质，， 且，所以故的长度为或. 4．（2026·湖北黄石·模拟预测）在中，角，，所对的边分别为，，，且. (1)求； (2)若，，的角平分线交于，求. 【难度】0.62 【详解】（1），， 即，所以，又因为，， 所以或，所以（舍）或，因为，所以. （2）由余弦定理可得，，因为，解得：， 由可得，， 解得：. 5．（2026·湖北武汉·三模）在中，内角，，的对边分别为，，， 若． (1)求角的大小； (2)若，的角平分线交于点，求线段长度的最大值． 【难度】0.54 【详解】（1）由，整理得：. 由，得，所以.由正弦定理，得：.结合余弦定理，可得：， 因为，故. （2）由,可得， 由（1）知，又，所以，则，得，当且仅当时等号成立，又因为 ，所以.，因为在上递增，所以，即线段长度的最大值为 1. 6．（2026·湖北·三模）内角，，的对边分别为，，，满足． (1)求证：； (2)当角取得最大值时，的面积为，求． 【难度】0.51 【详解】（1）由，可得．  由正弦定理可得．   故．  由余弦定理可得．   化简得． （2）因为角取得最大值，所以为锐角，，因为，所以，所以，所以，所以为锐角，则，   当且仅当即时取等号．  此时最大，且．  所以．   解得． 7．（2026·湖北·模拟预测）中，为边上一点，且，，． (1)若，求的长； (2)若，求的长． 【难度】0.65 【详解】（1）在中，设，则，由余弦定理得，即，整理得，解得或，当时，，符合题意， 当时，，符合题意，所以的长为或. （2）由，得，所以， 因为，，所以，设，则， 由余弦定理得，， 即①，②， 因为，所以， 所以由①②可得，解得，所以. 二、圆锥曲线模块 8．（2025·湖北·一模）已知椭圆的长轴长为4，焦点为，，过椭圆右焦点的直线交椭圆于A，B两点，当直线垂直于椭圆长轴时，线段的长度为1. (1)求椭圆的方程； (2)当直线倾斜角为时，求以线段为直径的圆的标准方程. 【难度】0.85 【详解】（1）证明：依题意，故，则椭圆方程为， 设，则直线的方程为，代入得， 则，，则，，则， 又线段的长度为1 .则，故椭圆方程为. （2）由（1）知，又直线倾斜角为.故直线的方程为，代入并整理得 ，设，，则，，故， 故以线段为直径的圆的圆心为，半径为，故所求圆的标准方程为. 9．（2026·湖北鄂州·模拟预测）已知椭圆过点，其焦距为，直线交椭圆于两点． (1)求的标准方程； (2)求面积的最大值． 【难度】0.62 【详解】（1）依题意焦点坐标为 椭圆方程为 （2）设联立得 由得且 点到直线的距离为 设 令，则（舍去）或，当，， 故在上单调递增，在上单调递减，面积的最大值为 10．（2026·湖北恩施·二模）已知椭圆与直线交于两点． (1)求椭圆的方程； (2)若上存在关于原点对称的两点，使得与的面积相等，求这两点的坐标． 【难度】0.67 【详解】（1）将点代入椭圆方程得， 将代入直线方程得，解得或（舍去），所以椭圆的方程为. （2）连接，如图， ’ 因为与的面积相等，则直线， 设直线的方程为.由（1）可知，直线，所以．. 由，消去，整理得关于的方程，解得，所以这两点坐标为与． 11．（2026·湖北荆州·一模）已知椭圆C：的一个焦点与抛物线的焦点重合，且椭圆C的离心率为. (1)求椭圆C的标准方程； (2)过椭圆C的左顶点A且倾斜角为30°的直线交椭圆C于另一点B，O为坐标原点，求的面积. 【难度】0.8 【详解】（1）抛物线的焦点为，则， 又椭圆C的离心率，则，所以，故椭圆C的标准方程为 ； （2）由（1）可知，椭圆C的左顶点，则直线：，即：， 设，，消去得，解得或（舍去），所以. 三、数列模块 12．（2025·湖北黄冈·模拟预测）已知数列是等差数列，. (1)求的通项公式； (2)设数列的前项和为，求. (2) 【难度】0.85 【详解】（1）由可得，故公差，所以， （2）由于， 故 13．（2026·湖北随州·三模）已知数列满足. (1)求的通项公式； (2)已知，求. 【难度】0.64 【详解】（1）当时， 当时，，且， 两式作差得，所以显然符合上式，∴ （2）根据（1）中的结果得，， .则 . 14．（2026·湖北孝感·二模）已知数列的前项和为，若对任意，向量，，有．数列满足，其前项和为． (1)求数列的通项公式； (2)若对任意恒成立，求实数的取值范围． 【难度】0.65 【详解】（1）因为，即：．① 当时，，又，所以． 当时，，② 由①－②整理得：．整理得， 由累乘法得：，代入比值：， 当时，，符合上式，所以数列的通项公式为． （2）当为偶数时， ，所以，为偶数， 由恒成立，得，是偶数，当时，有最小值，所以； 当为奇数时，为偶数，， 所以，为奇数，由恒成立，得， 又在上单调递增，所以当时，有最小值1，所以． 综上，实数的取值范围是 15．（2026·湖北恩施·二模）已知各项均为正数的数列，满足． (1)求； (2)设数列满足，记其前项和为，且，求 【难度】0.5 【详解】（1）由题意得，则有，整理得，即， 两边同时平方，得，即，所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以. （2）， 则，即，所以， 若，则，显然不成立，若，即， 此时若：，则，亦不成立，故，于是， 若，不成立，所以，综上， 所以.故. 16．（2026·湖北黄石·一模）已知数列满足. (1)设，证明是等比数列，并求的通项公式； (2)判断数列的单调性. 【难度】0.72 【详解】（1）由，得：， 故，即，又，故是以为首项，为公比的等比数列，且. （2）由，解得 ，即，故数列为递增数列. 17．（2026·湖北武汉·模拟预测）在数列中，，，，且是等差数列. (1)求； (2)证明：. 【难度】0.65 【详解】（1）设，则， 因为是等差数列，即是等差数列， 则有，即，解得. （2）由（1）知，，则的公差为2，首项为6， 则，即， 当时， 将各式相加，得，即，即，而满足上式，因此，， 则， 因为，则，则，得证. 18．（2026·湖北·二模）记为数列的前n项和，已知． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 【难度】0.65 【详解】（1）当时，，即， 当时，，解得， 当时，，，则， 由可得：，即，因为，满足公比为， 所以数列是首项，公比为的等比数列，故数列的通项公式为. （2）由题意得，则设，则， ，， 即，化简得． 故数列的前n项和. 19．（2026·湖北十堰·一模）已知数列的前项和. (1)证明：是等比数列； (2)若，分别是等差数列的第1项与第3项，求的公差. 【难度】0.65 【详解】（1）数列的前项和，当时，， 即，而，解得，所以是以为首项，为公比的等比数列. （2）由（1）得，则，， 所以等差数列的公差. 20．（2026·湖北宜昌·模拟预测）已知数列的前项和为，且． (1)求证：数列为等比数列； (2)若，求满足条件的最小整数． 【难度】0.65 【详解】（1）当时，． 当时，，又， 两式相减得，即，因为，所以，则， 所以数列是首项为3，公比为3的等比数列． （2）由（1）知，则， 所以， 整理得，解得，所以满足条件的最小整数． 四、导数模块 21．（2026·湖北·三模）已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)当时，，求实数的取值范围． 【难度】0.65 【详解】（1）．   当时，恒成立，故函数在单调递增；  当时，令得． 故当时，，当时，，函数在上单调递减，在上单调递增， 综上，当时，函数在单调递增； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增； （2）令，，，，，． 令，，而在恒成立，即在单调递增，故当，即时，，在单调递增，在恒成立；当，即时，当时，，所以，存在，使得时，，时，，所以在单调递减，在上单调递增， 故由可知，时，与在恒成立矛盾；  综上，实数的取值范围是． 22．（2026·湖北宜昌·二模）已知函数. (1)当时，求函数的单调区间； (2)当时，求函数的最小值； (3)求证：. 【难度】0.55 【详解】（1）由题意得函数的定义域为，当时，，则在单调递增，所以函数的单调递增区间为，无单调递减区间. （2）当时，， 令，则，所以即在单调递增， 又，所以当时，，当时，， 所以在单调递减，在单调递增，故. （3）由（2）知当时，，即，当且仅当时取等号，令，则， 所以, 即. 23．（2026·湖北·三模）已知函数． (1)若存在大于零的极值，求a的取值范围； (2)对于函数，若，则称为的不动点．判断是否存在a，使得的极值点同时也是不动点，并说明理由． 【难度】0.54 【详解】（1）已知，其定义域为，则， 当时，，在上单调递减，无极值；当时，令得（负根舍去）， 当时，，则在单调递减，当时，，则在单调递增，所以是的极小值点，则，所以． （2）由（1）知时，的极小值点为，假设存在使得的极值点同时也是不动点，即，则，令，得， 令，则，所以在上单调递增，又，所以存在使得，所以存在使得，满足，因此，存在a，使得的极值点同时也是不动点． 24．（2026·湖北武汉·模拟预测）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)若有极小值，且，求a的取值范围. 【难度】0.53 【详解】（1）当时，，所以 所以切线方程为即， （2）， 若，可得时，，所以在上单调递增； 若时，当时，，所以在上单调递减； 当时，，所以在上单调递增； 综上所述：当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （3）由（2）可知当时，有极小值，极小值为， 此时极小值也是最小值，由，可得，， 又，所以.令，求导得，所以在上单调递减，又，当时，，当时，， 所以时，，此时满足，所以a的取值范围 25．（2026·湖北武汉·二模）已知函数，其中. (1)当时， （ⅰ）求曲线在点处的切线方程； （ⅱ）求函数的单调区间； (2)若，求的取值范围. 【难度】0.52 【详解】（1）当时，，. （ⅰ）因，，所以切线方程为. （ⅱ）由得，由得，所以在上单调递减，在上单调递增. （2）当时，，不满足题意.所以，此时. 显然是上的增函数，且时，，时，， 所以存在唯一正实数使得，即.此时在上单调递减，在上单调递增. 由题意.将代入上式整理得：，解得：. 此时，代入后. 化简得：，解得：.令，其中. 则，所以是区间上的增函数.所以，代入得到的取值范围是. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $