2026届高考数学三轮冲刺重点考点：函数主元法处理双变量问题专项训练

**基本信息** 聚焦函数主元法解决双变量问题，通过分层题型系统构建“变量转换-函数构造-导数应用”的解题体系，培养数学思维的逻辑性与数学语言的精确表达。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |选择/填空|14题|主元转换、换元法、构造函数求最值|双变量问题与函数单调性、导数工具的融合应用| |解答题|6题|分类讨论、不等式证明、恒成立问题转化|主元法从代数到三角背景的迁移，体现数学模型观念|

2026届高考数学三轮冲刺重点考点： 函数主元法处理双变量问题 一、单选题 1．已知正实数，满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 2．若正实数满足，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．已知任意，若存在实数b使不等式对任意的恒成立，则（    ） A．b的最小值为4 B．b的最小值为6 C．b的最小值为8 D．b的最小值为10 4．设角A，B，C分别是的三个内角，则的最大值（    ） A．等于 B．等于 C．等于 D．不存在 5．已知函数是定义在上的奇函数，对于任意，，总有且．若对于任意，存在，使成立，则实数的取值范围是（ ） A． B．或 C．或 D．或或 6．已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．设正实数满足，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 8．若正实数x，y满足，则的最大值为 ． 9．已知为锐角，若存在，使得，则的取值范围是 . 10．在锐角中，的最小值为 ． 11．已知不等式恒成立，其中，则的最大值为 ． 12．已知均为正实数，若，则的最小值为 . 13．若，，对，均有恒成立，则的取值范围为 . 14．若a，b为实数，且，，则的取值范围是 . 四、解答题 15．已知函数．求证：当且时，有． 16．我们可以用“配方法”和“主元法”等方法证明“二元不等式”：，当且仅当时，等号成立． (1)证明“三元不等式”： ． (2)已知函数． ①解不等式； ②对任意，恒成立，求实数的取值范围． 17．已知函数，. (1)求证：； (2)任意，不等式恒成立，求实数的取值范围. 18．若，，证明：． 19．设，，求证：． 20．已知函数． (1)讨论的单调性； (2)当，恒成立，求的取值范围． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 C B B C D C ACD 1．C 【分析】利用基本不等式可得最值. 【详解】根据题意，，可得， 则， 设，则，原式为， 当且仅当时等号成立， 故选：C. 2．B 【分析】利用基本不等式将方程化成，取求解关于的一元二次不等式即得. 【详解】正实数满足，又，则，当且仅当时取等号， 设则，代入整理可得，解得或， 因，故，故当时，取得最小值为2. 故选：B. 3．B 【解析】转化条件得，设，，根据、分类，分别求出函数的最值即可得解. 【详解】由题意， 设，，其图象为开口向上，对称轴为的抛物线的一部分， 当即时，，； 当即时，，； 若要对于任意，均成立， 则即，所以b的最小值为6. 故选：B. 【点睛】本题考查了绝对值不等式和利用函数单调性求函数的最值，考查了恒成立问题的解决和分类讨论思想，属于中档题. 4．C 【分析】利用辅助角公式和余弦函数的性质可得正确的选项. 【详解】根据题意， ， 等号当时取得． 因此所求的最大值为． 故选：C. 5．D 【分析】由条件先判断函数的单调性，利用奇偶性和单调性的性质将不等式转化f（x）min≤t2﹣2at﹣1成立，构造函数g（a）即可得到结论． 【详解】∵f（x）是定义在[﹣1，1]上的奇函数， ∴当x1、x2∈[﹣1，1]，且x1+x2≠0时，有0， ∴函数f（x）在[﹣1，1]上单调递增． ∵f（1）＝1， ∴f（x）的最小值为f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣1，最大值为f（1）＝1， 若对于任意a∈[﹣1，1]，存在x∈[﹣1，1]，使f（x）≤t2﹣2at﹣1成立， 即t2﹣2at﹣1≥﹣1对所有a∈[﹣1，1]恒成立， ∴t2﹣2at≥0， 设g（a）＝t2﹣2at＝﹣2ta+t2， 则满足， 即， ∴t≥2或t≤﹣2或t＝0， 故选D． 【点睛】本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，利用条件判断函数的单调性是解决本题的关键，综合考查函数的性质． 6．C 【分析】利用消元的思想，将待求表达式化成关于的式子后求解. 【详解】由可得，，即， 于是， 当，即时取得等号， 即，时，的最小值为. 故选：C 7．ACD 【分析】对于A：设，整理可得得，结合运算求解；对于BD：利用基本不等式分析判断；对于C：先证，即可得结果. 【详解】对于选项A：因为正实数满足， 设，则， 因为， 即，整理可得得， 将其看为关于的一元二次方程，则，解得， 即，故A正确； 对于选项D：因为，且，， 则，当且仅当时，等号成立， 所以，故D正确； 对于选项B：因为，则， 当且仅当时，等号成立， 则，得，当且仅当时，等号成立，故B错误； 对于选项C：因为 ， 因为，则，， 可得，当且仅当时，等号成立， 即，可得， 即，当且仅当时，等号成立 所以，故C正确； 故选：ACD. 8． 【分析】由同构可得，记，利用导数求出该函数的单调性后可得，记，由导数研究该函数的单调性后求出的最大值. 【详解】由可得，即， 记，则， 所以当时，，故在上单调递增， 当时，，故在上单调递减，从而， 因而，从而， 记，则， 所以当时，，故在单调递增， 当时，，故在调递减，即． 故答案为：. 9． 【分析】由及和角正切公式得，再结合，将问题化为在有解，即可求范围. 【详解】由知，故， 于是，由，知. 存在使等价于关于的方程在有解， 由，当且仅当时取等号，所以的取值范围是. 故答案为： 10． 【分析】构造函数，，利用二阶导函数的符号判断函数在上为下凸函数，根据琴生不等式可求最小值. 【详解】构造函数，，则， 令，则， 所以函数在上为下凸函数． 由琴生不等式得， 即，当且仅当时等号成立． 因此在锐角中，的最小值为． 故答案为：. 11． 【分析】构造函数并求出最小值，建立不等式并用表示，再构造函数并求出最大值即可. 【详解】令，求导得，而， 当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，， 依题意，，设， 求导得，当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减，， 则，解得，所以的最大值为. 故答案为： 12．25 【分析】由代入消去，整理得，设，则得，利用基本不等式即可求得. 【详解】由可得，代入中，可得， 设，则， 于是， 因，当且仅当时，等号成立， 即时，取得最小值25. 故答案为：25. 【点睛】关键点点睛：解题的关键在于通过代入消元后，需要将所得的分式的分子进行换元处理，即可利用基本不等式求其最值. 13． 【分析】设，，分和两种情况，构建，则，结合二次函数性质分类讨论求最值求解即可. 【详解】设，可得， 1.若，则， 可得对恒成立， 则，解得， 所以成立； 2.若，设，则， 可得对恒成立， 构建，则， （1）若，则二次函数的图象开口向上， 可得，消去解得； （2）若，则二次函数的图象开口向下，对称轴， ①当时，则在内单调递增， 可得，且， 则，解得； ②当时，则在内单调递减， 可得，且， 则，解得； ③当时，则， 整理可得， 即存在，使得， 可得，解得； 综上所述：的取值范围为. 故答案为：. 14． 【解析】构造函数，根据其在单调性，得到两边含有的不等式组，结合的范围、基本不等式，应用导数研究的最值，即可求的范围. 【详解】设， 故上单调减， ∴， 令，则， 即在上单调减，在上单调增， 有， 令，则， 即在上单调减，在上单调增， 而，，所以， 综上，有 故答案为：. 【点睛】本题考查了构造函数法求代数式的范围，利用导数研究函数最值，结合已知条件求目标式的范围. 15．证明见解析 【分析】求出,并判断在内单调递减,然后以为主元,要证，只需证，利用导数与函数单调性关系，即可证明. 【详解】由题意得，令 ，所以在内单调递减． 不妨设，要证， 只需证，，（以为主元）， 则． 因为单调递减，则, 所以在内单调递增，所以，则， 即，得证． 16．(1)见解析 (2)①；②. 【分析】（1）先证明，，，再将三式相加结合基本不等式即可证明； （2）①移项通分化为整式不等式，解高次不等式即可得出答案； ②由三元不等式求出在的最小值，可以将题意转为在恒成立，即，解不等式即可得出答案. 【详解】（1）因为， 则 （当且仅当时取等）， 所以（当且仅当时取等）， 同理（当且仅当时取等）， （当且仅当时取等）， 三式相加可得：， 又因为， 所以， 所以（当且仅当时取等）. （2）①由可得：， 所以，即， 即，则， 所以， 解得：. ②因为当时，， 当且仅当，即时取等， 所以当时，， 对任意，恒成立， 则， 所以，解得：. 所以实数的取值范围为：. 17．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由已知分别求解和的解析式，即可证明； （2）由已知可得，由，不等式等价变形为恒成立，换元令，构造新函数设，求解的取值范围，通过求导判断函数的单调性求解最值即可得到答案. 【详解】（1）因为，所以， 因为，， 所以， 所以. （2）因为，所以， 由，得. 因为，所以（当且仅当时取等号），故， 所以原不等式等价于恒成立. 因为，，所以，故为偶函数， 所以在上的值域等价于在上的值域. 因为在上恒成立，所以在上单调递增， 所以，即. 令， 则， 设，， 则，所以在上单调递减， 所以， 因为恒成立，所以，即， 所以实数m的取值范围是. 18．证明见解析 【分析】由，得，令，通过导数求函数的单调性及最小值即可. 【详解】因为， 所以， 又， 所以， 从而， 设， 则， 所以在上单调递增， 又， 从而恒成立， 因为， 所以． 19．证明见解析 【分析】先证明和，然后利用放缩法证得不等式成立. 【详解】令， 所以在区间上单调递减； 在区间上单调递增. 所以，所以， 对于，有， 整理得. ， 由， . 20．(1)当 时， 在上单调递减； 当 时， 在 是减函数，在 是增函数. (2). 【分析】（1）求得函数的导数，分类讨论，即可求得函数的单调性，得到答案； （2）由（1）得出的最小值，得出，设，求导，即可求得实数的取值范围. 【详解】（1）. ，，∴当 时，，∴ 在上单调递减； 当 时，. 令 ，解得：. 由，解得：；由，解得：. 时， 单调递减，单调递增； 综上可知：当 时， 在上单调递减； 当 时， 在 是减函数，在 是增函数. （2）由（1）知，当 时， 在 是减函数，在 是增函数， ， ∴， ∴（*）. 令，则， ∴在上单调递减， 又∵，∴不等式（*）的解集为，即的取值范围是. www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 1 学科网（北京）股份有限公司 $