精品解析：2026年广东省汕头市濠江区九年级下学期学业质量检测卷（数学）

2025~2026学年度第二学期学业质量检测九年级数学 说明：本卷满分为120分，考试用时为120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡上填写自己的准考证号、姓名、座位号．用2B铅笔把对应该号码的标号涂黑． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，作答在试卷上的答案无效． 3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，再写上新的答案；不准使用铅笔或涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生务必保持答题卡的整洁．考试结束时，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）．在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑． 1. 下列以数学家名字命名的图形中，是轴对称图形的是（ ） A. 赵爽弦图 B. 斐波那契螺旋线 C. 阿基米德螺线 D. 笛卡尔心形线 【答案】D 【解析】 【分析】根据轴对称图形的定义，判断每个选项中的图形是否能沿着某条直线对折后，直线两侧的部分完全重合． 【详解】解：、赵爽弦图是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的大正方形，无论沿哪条直线对折，直线两侧的部分都无法完全重合，所以它不是轴对称图形； 、斐波那契螺旋线是一种优美的曲线，它没有对称轴，无论沿哪条直线对折，直线两侧的部分都不能完全重合，因此不是轴对称图形； 、阿基米德曲线是一种螺旋线，它也不存在对称轴，沿任何直线对折后，直线两侧的部分都无法完全重合，所以不是轴对称图形； 、笛卡尔心形线是一个经典的轴对称图形，它有一条对称轴，沿这条对称轴对折后，直线两侧的部分能够完全重合； 故选． 2. 2025年是不平凡的一年．这一年，我国有效应对局地干旱、洪涝、连阴雨等不利气象灾害，粮食总产量达14298亿斤，再创历史新高，连续两年站稳1．4万亿斤台阶．“14298亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：14298亿． 3. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先解出，再根据解集在数轴上的表示规则判断选项． 【详解】解：， ， 又， ． 4. 下列视图中，可能是圆柱体的俯视图的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆柱体的摆放位置不同，其俯视图可能是圆或矩形，结合选项进行判断即可． 【详解】解：圆柱体竖直放置时，俯视图是圆；圆柱体水平放置时，俯视图是矩形，  观察选项，A是三角形，B是平行四边形，C是正方形，D是六边形， 只有C选项可能是圆柱体的俯视图． 5. 实数在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据实数在数轴上的对应点的位置确定其大小及绝对值的大小，依次判断对错即可 【详解】解：A．∵表示数a的点比表示数b的点离原点远，∴，故正确； B．∵且，∴，故不正确； C．∵，∴，故不正确； D．由数轴可知：，故不正确 6. 如果圆的半径是，圆心到直线的距离是，那么直线与圆的位置关系是（ ） A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】先确定圆的半径和圆心到直线的距离，再比较与的大小，根据直线与圆位置关系的判定规则即可得出结论． 【详解】解：由题意得，圆的半径，圆心到直线的距离 根据直线与圆位置关系的判定规则，当圆心到直线的距离大于圆的半径时，直线与圆相离. 直线与圆的位置关系是相离． 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据完全平方公式得到，然后代入求值即可． 【详解】解：． 8. 如图是年月的月历，小李同学用图2形框在图1的月历上框出四个数字，将该图形框上下左右移动，且一定要框住月历中的四个日期．若其中两个日期如图3所示，则与的数量关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了数形结合与代数推理的知识点，通过观察月历，月历横排相邻两个数相差，竖排相邻两个数相差，从而可以推出与的数量关系． 【详解】解：月历横排相邻两个数相差，竖排相邻两个数相差， 第一排的两个数字为，，第二排的两个数字为，， ， ， 故选． 9. 如图，用边长相等的3个正五边形和中间的正三角形密铺成了如图所示的花瓣形图案，每个正五边形均与三角形有一组公共边，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正五边形和正三角形的内角，以及周角，求出的度数． 【详解】解：3个正五边形的边长相等， 所以3个正五边形的每个内角都相等， 正五边形的内角和为， 每个内角度数为，正三角形的每个内角度数为，周角为， ． 10. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点都在网格的格点上，则下列结论中不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据勾股定理，等腰三角形的性质，平行线的性质，逐项判断，即可求解． 【详解】解：A、，故A选项正确，不符合题意； B、根据题意得：，故B选项正确，不符合题意； C、∵， ∴， ∴，故C选项错误，符合题意； D、∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故D选项正确，不符合题意； 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）．请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应的位置上． 11. 分式方程的解是_________． 【答案】5 【解析】 【分析】去分母将原分式方程化为整式方程，求解后对所得根进行检验即可得到原方程的解． 【详解】解：原方程两边同乘最简公分母去分母得： 去括号得： 移项合并同类项得： 检验：当时， 故原方程的解为 12. 2026年3月14日是全球的第七个“国际数学日”，其主题为“数学与希望”．为了让同学们更好地领略数学的魅力，某校在活动日策划了“数阵寻宝”“方程追击”“连数成画”三个挑战游戏．每人随机选择参与其中一个游戏，则小陈和小赵选择的游戏相同的概率为___________． 【答案】 【解析】 【分析】先确定所有等可能的结果总数，再找出小陈和小赵选择游戏相同的结果数，利用概率公式计算即可． 【详解】解：记三个挑战游戏分别为，，． 根据题意，画出树状图： 所有等可能的结果总数为9种．其中小陈和小赵选择相同游戏的结果有种． 所以小陈和小赵选择的游戏相同的概率为． 13. 如图，数学课上，老师让同学们从卡纸上剪下一个扇形，它可以折成一个底面半径为，高为的圆锥体，那么这个扇形的面积是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据勾股定理可知母线的长度，再根据弧长公式可知圆心角，进而可知扇形的面积． 【详解】解：设圆锥的母线为，这个扇形的圆心角， 则， ∵圆锥的底面周长等于扇形的弧长， 则， ∴， 解得：， 则． 14. 钢琴调音时，琴弦的振动频率 f（单位：）与琴弦的张力调节系数满足某种函数关系．调音师在某架钢琴调音时记录了以下数据： 张力调节系数 … 1 2 3 4 … 振动频率（） … 429 432 435 438 … 已知钢琴标准音高为，此时琴弦的振动频率为，调音师要将该钢琴调至标准音高，则张力调节系数应增加_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意得：琴弦的振动频率 f（单位：）与琴弦的张力调节系数满足一次函数关系，利用待定系数法求出函数解析式，即可求解． 【详解】解：根据题意得：琴弦的振动频率 f（单位：）与琴弦的张力调节系数满足一次函数关系， 设该函数关系式为， 把代入得： ， 解得：， ∴该函数关系式为 ， 当时， ，此时， 当时， ，此时， ∵， ∴调音师要将该钢琴调至标准音高，则张力调节系数应增加． 15. 计算：_________．（结果用乘方表示） 【答案】 【解析】 【分析】把原式变形为，即可求解． 【详解】解： 三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分）．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的化简以及特殊角的三角函数值，解题的关键在于将各项进行化简，再进行加减运算． 【详解】解：原式 ． 17. 如图，在中，． （1）【动手操作】按以下要求，用无刻度的直尺和圆规作图（不写作法，保留作图痕迹）： ①作边的中线； ②再作点关于点的对称点，并连接、； （2）【推理证明】求证：四边形是菱形． 【答案】（1）①见解析；②见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）先作线段的垂直平分线，与交于点，连接即得到边上的中线，再延长至点，使，最后连接、，即可完成全部作图； （2）先由得出是等腰三角形，再根据等腰三角形三线合一的性质得到，结合利用对角线互相平分的四边形是平行四边形证明四边形是平行四边形，最后结合这一组邻边相等的条件，即可证明该平行四边形是菱形． 【小问1详解】 解：①如图所示，即为所求． ②如图所示，点、、即为所求． 【小问2详解】 证明：∵， ∴是等腰三角形． ∵是边的中线， ∴． ∵， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴四边形是菱形． 18. 近年来，露营成为广受人们欢迎的假日休闲方式，从家边绿地到旷野山林，各具特色的露营地吸引着大家前去体验，各式帐篷已成为户外活动的必要装备，其中抛物线型帐篷支架简单，携带方便，适合休闲旅行使用．如图1，这款帐篷搭建时张开的宽度，顶部高度，在图1中以所在直线为x轴，的中点为原点，建立平面直角坐标系． （1）求帐篷支架对应的抛物线的函数表达式； （2）每款帐篷张开时的宽度和顶部高度都会影响其容纳椅子的数量，图2为一张椅子摆人这款帐篷后的简易视图，椅子高度，宽度，若在帐篷内沿所在的水平方向摆放一排这种椅子（椅子间的间隔忽略不计），求最多可摆放的椅子数量． 【答案】（1） （2）6把 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用． （1）先求出，顶点坐标为，设抛物线的函数表达式为，然后用待定系数法求解即可； （2）将代入，解出的值，然后用两根之差除以椅子的宽度即可作答． 【小问1详解】 解：帐逢张开时的宽度，顶部高度， ，顶点坐标为． 设抛物线的函数表达式为， 将代入，得， 解得， 抛物线的函数表达式为． 【小问2详解】 解：椅子的高度，宽度， 将代入， 得， 解得， ， （把）， 最多可撰放6把椅子． 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分）．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19. 问题：如何仅用直尺和圆规，过圆上一点作已知圆的切线？ 【拓展作法】小明提出一种想法：如图，设点为上一点，先作射线交于点，再以上一点为圆心（点不与点、重合），以长为半径画圆弧，交射线于点，交射线于点，连接． （1）【推理证明】小明认为此时是的切线．请你帮小明写出证明过程； （2）【数值计算】若，，求的半径． 【答案】（1）见解析； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查圆的切线判定定理、圆周角定理(直径所对圆周角是直角)、等腰三角形性质以及锐角三角函数的定义。重难点在于利用辅助圆(以A为圆心)的性质证明垂直，以及通过角度转换，利用三角函数求半径． （1）根据直径所对圆周角是直角，结合圆的切线判定定理，即可证明，从而求证是的切线． （2）根据等腰三角形性质以及锐角三角函数的定义，即可求证，从而利用三角函数求半径． 【小问1详解】 证明：依题意得． 点在同一条直线上， 为的直径． ，即． 为的半径， 为的切线． 【小问2详解】 解：如图，连接， 为的直径， ． ， ， ， ． ． ． ， ． ． 的半径为． 20. 英歌舞是潮汕特色民俗，融武术、舞蹈、戏剧于一体，文化底蕴深厚、艺术魅力独特．当地精选甲、乙、丙三名青年重点培养，助力非遗活态传承．现组织专项测试，综合考评三人理论与实操能力，精准掌握优缺点，为定制培养、推动青年创新传承英歌舞提供依据． 在英歌舞理论知识测试中，甲、乙、丙三名青年的得分（满分为分）分别为分，分，分．技艺实践能力由位评委根据其表演呈现效果进行评分（每位评委打分分且为整数），各位评委打分之和作为该培养对象技艺实践能力成绩．甲、乙两人技艺实践能力得分的条形图，丙技艺实践能力得分的扇形图如下： 甲、乙、丙三名青年的技艺实践能力情况统计表 培养对象 评委打分的中位数 评委打分的众数 技艺实践能力成绩 方差 甲 乙 丙 （1）填空： ， ； （2）请根据方差数据，分析哪位培养对象的技艺实践能力表现更稳定，评委对其评价的一致性程度更高？并说明理由． （3）为全面考量三名培养对象的综合素质，组委会决定按照英歌舞理论知识测试成绩占，技艺实践能力成绩占的比例计算综合成绩．请分别计算甲、乙、丙三名培养对象的综合成绩，并判断谁的综合成绩最高，以此作为后续重点培养对象？ （4）如果你是组委会成员，为了使得选拔的英歌舞传承人培养对象的综合素质更全面，请你再增加一个评分维度，并基于这三个评分维度重新分配评分权重． 【答案】（1）， （2）乙，理由见解析； （3）乙； （4）例如：增加“团队协作能力”这一个评分维度 【解析】 【分析】本题主要考查了数据分析和统计的知识点，包含中位数、众数的定义与计算，方差的统计意义，加权平均数的计算，以及统计评价方案的合理设计． （1）先根据丙的扇形图占比，算出不同得分对应的评委人数，将所有得分从小到大排序，找到中位数，再从甲、乙得分条形图中统计乙的个评委的所有打分，找出出现次数最多的得分，找到众数； （2）方差的统计意义是衡量数据的波动程度，方差越小，数据的波动越小，稳定性越高，先算出甲的方差，再对比三人的方差大小，方差最小的对象表现最稳定，评委评价一致性最高； （3）按照题目给定的权重，分别将三人的理论成绩乘以对应权重、技艺实践成绩乘以对应权重后求和，得到各自的综合成绩，对比大小后选出综合成绩最高的人选； （4）新增的维度需要贴合英歌舞传承人的实际需求，权重分配要保证原有核心考察项的占比不被过度削弱，同时覆盖传承人需要具备的其他重要能力，保障选拔的综合素质更全面． 【小问1详解】 解：计算丙的各分数评委人数： 得分的人数： 得分的人数： 得分的人数： 得分的人数： 得分的人数： 将丙的个得分从小到大排序，取第、第位得分的平均值得到中位数：； 统计乙的个评委得分的出现次数，得分出现的次数和得分出现的次数最多，得到众数； 所以，． 【小问2详解】 解：评委对乙青年技艺实践能力的评价一致性程度更高． 理由如下：由条形图可知，甲青年评委打分从低到高排列为：，，，，，，，，，． ． ． ， ． 评委对乙青年技艺实践能力的评价一致性程度更高． 【小问3详解】 解：甲青年的综合成绩为， 乙青年的综合成绩为， 丙青年的综合成绩为． ， 乙青年的综合成绩最高，可作为后续重点培养对象． 【小问4详解】 解：例如：增加“团队协作能力”这一个评分维度． 评分权重重新分配为：英歌舞理论知识、技艺实践能力、团队协作能力这三个维度的评分权重分别为30%、50%、20%． 21. 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点在轴的正半轴上，，点在反比例函数的图象上，为等边三角形，延长与反比例函数的图象在第三象限交于点．连接并延长与反比例函数的图象在第一象限交于点． （1）求反比例函数的表达式； （2）求点的坐标及的面积． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质、等边三角形的性质、一次函数解析式的求解及三角形面积的计算；解题的关键是利用等边三角形的性质求出点的坐标，进而确定反比例函数表达式，再通过求直线解析式与反比例函数的交点得到点的坐标． （1）由及为等边三角形，可得点的坐标为；将点代入反比例函数，求出，从而得到反比例函数表达式． （2）先求出直线的解析式，再联立反比例函数解析式求出点的坐标；最后以为底，点的纵坐标为高，计算的面积． 【小问1详解】 解：，为等边三角形， ， 过点B作，垂足为H， 则，， ． 点在上， ，得． 反比例函数的表达式为． 【小问2详解】 解：点与点关于原点对称 ． 设直线的解析式为， 代入，得，， 解得， 直线的解析式为． 联立得， 解得或． 将代入得，， ． 的面积． 答：点的坐标为，的面积为． 五、解答题（三）（本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分）．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22. 【停车位的数学建模】 某住宅小区为方便业主停车，拟在角落处增设一个矩形停车位，其中，．车位的三面围墙及墙高度高于车顶，车库门前有一条平行于且与距离为的人行横道线．已知车辆停在该车位，驾驶座车门完全打开时，车门与车身夹角为．当驾驶座车门与车身夹角不小于时，驾驶员能顺畅从驾驶座下车． 图2是汽车外形的部分数据：①车身长度；②驾驶座车门长度；③车头宽度；④两个车外后视镜完全打开时车身宽度为；⑤车身宽度（不含两个后视镜）；⑥车外后视镜纵向长度． 假设：车身始终与墙保持平行，车外后视镜完全打开时，后视镜与墙之间有的安全距离． 参考数据：，，；，，；，，． 结合上述条件，回答下列问题： （1）【实际应用】如图1，当汽车倒入矩形停车位时，驾驶员能否顺畅从驾驶座下车？请说明理由； （2）【实践探究】如图3，当汽车车身的一部分停放在直角梯形区域内，驾驶员将驾驶座车门完全打开时，汽车是否占用人行横道？请说明理由． 【答案】（1）能顺畅从驾驶座下车，理由见解析 （2）汽车不会占用人行横道，理由见解析 【解析】 【分析】（1）先根据车身宽度与后视镜安全距离，算出车身与墙的可用间距，假设车门与车身夹角为临界值，求出车门横向伸出的距离，比较伸出距离与可用间距，判断能否顺畅下车即可； （2）考虑极限状态，假设前车门顶在墙上，计算车门完全打开时的水平、垂直伸出长度，结合几何辅助线的线段关系，求出车头到的总距离，与人行道距离比较，即可判断是否占用． 【小问1详解】 解：驾驶员能顺畅从驾驶座下车．理由如下： 在图1中，过点作于点， 依题意，车外后视镜完全打开时与车身的距离为，， 车外后视镜完全打开时与墙之间有的安全距离， 此时另一侧车身与墙之间的距离为， 车身与墙之间的距离为， 假设驾驶座车门与车身的夹角， 在中，， ， ∵， 驾驶员能顺畅从驾驶座下车； 【小问2详解】 解：当汽车车身的一部分停放在直角梯形区域内，驾驶员将驾驶座车门完全打开时，汽车不会占用人行横道．理由如下： 考虑极限状态，汽车车头刚好到达线段，若此时O点到的距离超过，则车门能完全打开， 如图，设与交点为J，则，则， 过点O作，交于点P，过点D作，交于点Q，过点Q作，交于点H， 四边形是矩形， ，， ， ，则， 在中，由（1）知：， ， ， 在中，，， ， ， 驾驶座车门能完全打开， 当汽车车身的一部分停放在直角梯形区域内，驾驶员将驾驶座车门完全打开时，汽车不会占用人行横道． 23. 中，已知，平分． （1）如图1，如果，，求的长； （2）如图2，过点作的垂线，与边的延长线交于点． ①试猜想线段与边的数量关系，并证明； ②在线段上截取，连接，当时，探究是否存在实数，使得成立？如果存在，请求出的值；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1）的长为 （2）①，证明见解析；②存在实数，且 【解析】 【分析】（1）利用角平分线性质得等角，进而判定等腰三角形，结合相似三角形的判定与性质，通过相似比计算线段长度； （2）①取中点，连接，证明，即可； ②通过角度关系推导出特殊角度，结合等腰三角形性质与三角形相似，分析线段间的等量关系，进而确定的值． 【小问1详解】 解：∵平分， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵，， ∴，， ∴， ∴，（负值舍去）． ∴， ∴； 【小问2详解】 解：①如图，取中点，连接， ∵， ∴是直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； ②如图，∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴， ∴， ∴， 同理：， ∴ 由（1）得， 设，则，，， 由（1）得，即 整理得，解得(负值舍去 由①得， ∴ ∴，， ∴， ∴， ∴存在实数，且使得成立． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质、直角三角形斜边中线的性质、等腰三角形判定与性质等知识，涉及角度关系推导与线段长度计算，综合性较强． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度第二学期学业质量检测九年级数学 说明：本卷满分为120分，考试用时为120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡上填写自己的准考证号、姓名、座位号．用2B铅笔把对应该号码的标号涂黑． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，作答在试卷上的答案无效． 3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，再写上新的答案；不准使用铅笔或涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生务必保持答题卡的整洁．考试结束时，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）．在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑． 1. 下列以数学家名字命名的图形中，是轴对称图形的是（ ） A. 赵爽弦图 B. 斐波那契螺旋线 C. 阿基米德螺线 D. 笛卡尔心形线 2. 2025年是不平凡的一年．这一年，我国有效应对局地干旱、洪涝、连阴雨等不利气象灾害，粮食总产量达14298亿斤，再创历史新高，连续两年站稳1．4万亿斤台阶．“14298亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列视图中，可能是圆柱体的俯视图的是（ ） A. B. C. D. 5. 实数在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如果圆的半径是，圆心到直线的距离是，那么直线与圆的位置关系是（ ） A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 不能确定 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图是年月的月历，小李同学用图2形框在图1的月历上框出四个数字，将该图形框上下左右移动，且一定要框住月历中的四个日期．若其中两个日期如图3所示，则与的数量关系是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，用边长相等的3个正五边形和中间的正三角形密铺成了如图所示的花瓣形图案，每个正五边形均与三角形有一组公共边，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点都在网格的格点上，则下列结论中不正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）．请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应的位置上． 11. 分式方程的解是_________． 12. 2026年3月14日是全球的第七个“国际数学日”，其主题为“数学与希望”．为了让同学们更好地领略数学的魅力，某校在活动日策划了“数阵寻宝”“方程追击”“连数成画”三个挑战游戏．每人随机选择参与其中一个游戏，则小陈和小赵选择的游戏相同的概率为___________． 13. 如图，数学课上，老师让同学们从卡纸上剪下一个扇形，它可以折成一个底面半径为，高为的圆锥体，那么这个扇形的面积是________． 14. 钢琴调音时，琴弦的振动频率 f（单位：）与琴弦的张力调节系数满足某种函数关系．调音师在某架钢琴调音时记录了以下数据： 张力调节系数 … 1 2 3 4 … 振动频率（） … 429 432 435 438 … 已知钢琴标准音高为，此时琴弦的振动频率为，调音师要将该钢琴调至标准音高，则张力调节系数应增加_________． 15. 计算：_________．（结果用乘方表示） 三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分）．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 计算：． 17. 如图，在中，． （1）【动手操作】按以下要求，用无刻度的直尺和圆规作图（不写作法，保留作图痕迹）： ①作边的中线； ②再作点关于点的对称点，并连接、； （2）【推理证明】求证：四边形是菱形． 18. 近年来，露营成为广受人们欢迎的假日休闲方式，从家边绿地到旷野山林，各具特色的露营地吸引着大家前去体验，各式帐篷已成为户外活动的必要装备，其中抛物线型帐篷支架简单，携带方便，适合休闲旅行使用．如图1，这款帐篷搭建时张开的宽度，顶部高度，在图1中以所在直线为x轴，的中点为原点，建立平面直角坐标系． （1）求帐篷支架对应的抛物线的函数表达式； （2）每款帐篷张开时的宽度和顶部高度都会影响其容纳椅子的数量，图2为一张椅子摆人这款帐篷后的简易视图，椅子高度，宽度，若在帐篷内沿所在的水平方向摆放一排这种椅子（椅子间的间隔忽略不计），求最多可摆放的椅子数量． 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分）．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19. 问题：如何仅用直尺和圆规，过圆上一点作已知圆的切线？ 【拓展作法】小明提出一种想法：如图，设点为上一点，先作射线交于点，再以上一点为圆心（点不与点、重合），以长为半径画圆弧，交射线于点，交射线于点，连接． （1）【推理证明】小明认为此时是的切线．请你帮小明写出证明过程； （2）【数值计算】若，，求的半径． 20. 英歌舞是潮汕特色民俗，融武术、舞蹈、戏剧于一体，文化底蕴深厚、艺术魅力独特．当地精选甲、乙、丙三名青年重点培养，助力非遗活态传承．现组织专项测试，综合考评三人理论与实操能力，精准掌握优缺点，为定制培养、推动青年创新传承英歌舞提供依据． 在英歌舞理论知识测试中，甲、乙、丙三名青年的得分（满分为分）分别为分，分，分．技艺实践能力由位评委根据其表演呈现效果进行评分（每位评委打分分且为整数），各位评委打分之和作为该培养对象技艺实践能力成绩．甲、乙两人技艺实践能力得分的条形图，丙技艺实践能力得分的扇形图如下： 甲、乙、丙三名青年的技艺实践能力情况统计表 培养对象 评委打分的中位数 评委打分的众数 技艺实践能力成绩 方差 甲 乙 丙 （1）填空： ， ； （2）请根据方差数据，分析哪位培养对象的技艺实践能力表现更稳定，评委对其评价的一致性程度更高？并说明理由． （3）为全面考量三名培养对象的综合素质，组委会决定按照英歌舞理论知识测试成绩占，技艺实践能力成绩占的比例计算综合成绩．请分别计算甲、乙、丙三名培养对象的综合成绩，并判断谁的综合成绩最高，以此作为后续重点培养对象？ （4）如果你是组委会成员，为了使得选拔的英歌舞传承人培养对象的综合素质更全面，请你再增加一个评分维度，并基于这三个评分维度重新分配评分权重． 21. 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点在轴的正半轴上，，点在反比例函数的图象上，为等边三角形，延长与反比例函数的图象在第三象限交于点．连接并延长与反比例函数的图象在第一象限交于点． （1）求反比例函数的表达式； （2）求点的坐标及的面积． 五、解答题（三）（本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分）．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22. 【停车位的数学建模】 某住宅小区为方便业主停车，拟在角落处增设一个矩形停车位，其中，．车位的三面围墙及墙高度高于车顶，车库门前有一条平行于且与距离为的人行横道线．已知车辆停在该车位，驾驶座车门完全打开时，车门与车身夹角为．当驾驶座车门与车身夹角不小于时，驾驶员能顺畅从驾驶座下车． 图2是汽车外形的部分数据：①车身长度；②驾驶座车门长度；③车头宽度；④两个车外后视镜完全打开时车身宽度为；⑤车身宽度（不含两个后视镜）；⑥车外后视镜纵向长度． 假设：车身始终与墙保持平行，车外后视镜完全打开时，后视镜与墙之间有的安全距离． 参考数据：，，；，，；，，． 结合上述条件，回答下列问题： （1）【实际应用】如图1，当汽车倒入矩形停车位时，驾驶员能否顺畅从驾驶座下车？请说明理由； （2）【实践探究】如图3，当汽车车身的一部分停放在直角梯形区域内，驾驶员将驾驶座车门完全打开时，汽车是否占用人行横道？请说明理由． 23. 中，已知，平分． （1）如图1，如果，，求的长； （2）如图2，过点作的垂线，与边的延长线交于点． ①试猜想线段与边的数量关系，并证明； ②在线段上截取，连接，当时，探究是否存在实数，使得成立？如果存在，请求出的值；如果不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $