精品解析：2025年广东省汕头市濠江区中考一模数学试题

2024~2025学年度第二学期学业质量检测九年级数学 说明：本卷试题共6页，满分为120分，考试用时为120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡上填写自己的准考证号、姓名、座位号．用2B铅笔把对应该号码的标号涂黑． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试题上． 3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔或涂改液，不按以上要求作答的答案无效． 4．考生务必保持答题卡的整洁，考试结束时，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题10题，每小题3分，共30分，在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑） 1. 某市2025年1月份连续四天的天气预报信息如图所示，其中日温差最大的一天是（ ） 1月28日（除夕） 1月29日（春节） 1月30日（初二） 1月31日（初三） A. 1月28日 B. 1月29日 C. 1月30日 D. 1月31日 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数减法的实际应用，用当天的最高气温减去最低气温可求出当天的温差，据此求出四天的温差，比较即可得到答案． 【详解】解：1月28日的温差为， 1月29日的温差为， 1月30日的温差为， 1月31日的温差为， ∵， ∴1月30日的温差最大， 故选：C． 2. （深度求索）是由中国某公司开发的通用人工智能系统，以搜索增强架构和混合专家模型为核心技术，具备跨领域推理、实时信息处理与创造性输出能力．截至2025年3月，的全球日活跃用户总量达到亿，将数据亿用科学记数法表示是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：亿， 故选C． 3. 由5个相同的小正方体组成的几何体，如图所示，该几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案． 【详解】解：从左边看，底层是三个小正方形，上层的中间是一个小正方形， 如图示： 故选：D． 【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，掌握“从左边看得到的图形是左视图”是解本题的关键． 4. 实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了数轴的特征，绝对值的几何意义，有理数的运算等知识点，解题的关键是掌握数形结合的数学思想． 利用数轴的特征，绝对值的几何意义，有理数的运算法则逐项判断即可． 【详解】解：由数轴可知， A．，该选项正确，故符合题意； B．，该选项错误，故不符合题意； C．，该选项错误，故不符合题意； D．，该选项错误，故不符合题意； 故选：A． 5. 随着时代到来，光纤通信越来越被大家熟知．如图，是光信号在光纤中传输的一小段过程，图示中可看作两个平行放置的平面镜，光信号经过平面镜反射时，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，解题的关键是由平行线的性质推出．由平行线的性质推出，得到，由平角定义即可求出的度数． 【详解】解：如图： 两平面镜平行， ， 由光的反射定律可知， ． 故选：B． 6. 科学家记录了四种花卉的平均开花天数（天数越短开花越快）和方差（方差越小开花越稳定），数据如表所示，开花最快且最稳定的是（ ） 种类 甲种类 乙种类 丙种类 丁种类 平均数 方差 A. 甲种类 B. 乙种类 C. 丙种类 D. 丁种类 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了用平均数和方差做决策，根据平均数的定义以及方差的定义做决策即可． 解题的关键是掌握方差的意义：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好． 【详解】解：∵由表格可知四种花开花时间最短的为甲种类和乙种类， 四种花的方差最小的为乙种类和丁种类，方差越小越稳定， ∴乙种类开花时间最短的并且最平稳的， 故选：B． 7. 如图，四边形为平行四边形，，，相交于点．设和的面积分别为，，则（ ） A. 1：2 B. 1：3 C. 4：9 D. 1：4 【答案】D 【解析】 【分析】证明，利用相似三角形的面积比等于像是比的平方即可得到答案． 【详解】解：四边形为平行四边形， ， ， ， ， ． 故选：D． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 8. 如图，函数和函数的图象相交于点，，若，则x的取值范围是（ ） A. B. 或 C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，先求出，再结合函数图象即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：∵函数和函数的图象相交于点， ， ， ， 由图象可得：若，则的取值范围是或， 故选：C． 9. 在20世纪70年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果．如图，利用黄金分割法，所作将矩形窗框分为上下两部分，其中E为边的黄金分割点，即，已知为2米，则线段的长为（ ）米． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据，求出，可得结论． 【详解】解：为边的黄金分割点，即 米 米 故选B． 【点睛】本题考查了黄金分割，解题的关键是记住黄金分割的定义． 10. 如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=5，点P是BC边上的一个动点（点P与点B，C都不重合），现将△PCD沿直线PD折叠，使点C落到点F处；过点P作∠BPF的角平分线交AB于点E，设BP=x，BE=y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先证明△BPE∽△CDP，再根据相似三角形对应边成比例列出式子变形可得. 【详解】由已知可知∠EPD=90°， ∴∠BPE+∠DPC=90°， ∵∠DPC+∠PDC=90°， ∴∠CDP=∠BPE， ∵∠B=∠C=90°， ∴△BPE∽△CDP， ∴BP：CD＝BE：CP，即ｘ：3＝ｙ：（5-ｘ）， ∴ｙ＝（0＜ｘ＜5）； 故选C． 考点：1．折叠问题；2．相似三角形的判定和性质；3．二次函数的图象． 二、填空题（本大题5题，每小题3分，共15分，请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应的位置上） 11. 一个袋子中有2个白球和若干个黑球，它们除了颜色外都相同，随机从中摸一个球，恰好摸到黑球的概率是，则袋子中有________个黑球． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的运用，概率的计算，掌握分式方程解概率的计算方法是解题的关键． 设袋子中有个黑球，由此列式求解即可． 【详解】解：设袋子中有个黑球， ∴， 解得，， 检验，当时，原分式方程有意义， ∴袋子中有个黑球， 故答案为：3 ． 12. 如图，的直径平分弦（不是直径）.若，则___________ 【答案】55 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理的推论，圆周角定理，直角三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 先由垂径定理得到，由得到，故． 【详解】解：∵直径平分弦， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的加减运算，根据同分母分式的加减，分子相加减，分母不变，进行计算，注意结果要化成最简分式． 【详解】解：． 故答案为： ． 14. 若抛物线（是常数）与轴没有交点，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了抛物线与x轴的交点问题，掌握抛物线与x轴没有交点与没有实数根是解题的关键． 由抛物线与x轴没有交点，运用根的判别式列出关于c的一元一次不等式求解即可． 【详解】解：∵抛物线与x轴没有交点， ∴没有实数根， ∴，． 故答案为：． 15. 如图，在中，，，，以为边向下作等边，则的长为______． 【答案】14 【解析】 【分析】方法一：如图，以为边向外作等边，连接，过点作于，证明出，得到，然后求出，然后根据勾股定理求解即可； 方法二：如图，取的中点为，以为坐标原点建立平面直角坐标系如图所示，证明出，勾股定理求出，然后利用等面积法求出，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】方法一：如图，以为边向外作等边，连接，过点作于， ∵、均为等边三角形； ∴，，； ∴，即： ∴ ∴ ∵，， ∴ ∴， ∴，，； ∴； 方法二：如图，取的中点为，以为坐标原点建立平面直角坐标系如图所示，过点作， ∵是等边三角形 ∴ ∵ ∴， ∵在中，，，， ∴ ，， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：14． 【点睛】此题考查了相似三角形的性质和判定，勾股定理，等边三角形的性质，全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 三、解答题（二）（本大题共3小题，每小题7分，共21分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是实数的混合运算，零次幂，负整数指数幂，先计算负整数指数幂，零次幂，乘方运算，算术平方根，再合并即可． 【详解】解：原式． 17. 如图，在中，，分别是，的中点，连接． （1）实践与操作：作出线段的中点（尺规作图，保留痕迹，不写作法）； （2）应用与证明：在（1）的条件下，连接，．若，，，求证：四边形是菱形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）利用尺规作图作线段的垂直平分线，即可得到线段的中点F； （2）利用三角形中位线定理证明四边形是平行四边形，利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，推出，根据对角相互垂直的平行四边形是菱形即可证明结论成立． 【小问1详解】 解：如图，点F即为所作； 【小问2详解】 证明：连接． ∵D，E分别是，的中点， ∴，， ∵线段的中点是F， ∴， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵D是的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴是直角三角形，且，即， ∵E是的中点，线段的中点是F， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． 【点睛】本题考查作图复杂作图，三角形中位线定理，勾股定理的逆定理，菱形的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 18. 某户外实践活动小组欲测量球罐外斜梯的长度，实施了如下方案：先测得球罐最低处离地面高度米．接着一人站在球罐最高点处，看到斜梯末端处恰好被斜梯顶端遮挡（此时与⊙相切），已知过切点恰有一水平横梁交于斜梯末端处． （1）连接，求证：； （2）若眼睛与点的距离为1.5米，，求斜梯的长． 【答案】（1）见解析 （2）18米 【解析】 【分析】本题考查了相切的性质，切线长的性质，解直角三角形，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据题意得，均与相切，结合四边形内角和为，故，根据，则，即可作答． （2）先设半径为，结合，即，解得，，设，得，则，算出米，最后根据切线长定理可知米，即可作答． 【小问1详解】 解：由题意得：，均与相切， ∴， 又∵四边形内角和为， ∴， 又∵， ∴； 【小问2详解】 解：设半径为， 在中，， ∴， 即， 解得， 在中，（米）， ∵， 设 ∴ ∴， ∴（米） ∵，均与相切， ∴根据切线长定理可知（米）． 答：斜梯的长为18米． 四、解答题（一）（本大题共3小题，每小题9分，共27分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 2025年央视春晚节目《秧BOT》以机器人表演传统秧歌为主题，燃爆全球，广受好评．为调查观众对某创新节目的评价，组委会收集了50名现场观众和5000名线上观众的评分（满分10分），并根据得分绘制了以下不完整的统计表和统计图： 两个观众群体对《秧BOT》打分样本数据的平均数、中位数、众数如下： 平均数 中位数 众数 现场 8 8 线上 7.6 7 （1）直接写出，，的值； （2）请你计算出线上观众评分不低于8分的总人数； （3）小明认为线上观众群体对《秧BOT》打分样本数据更能贴合实际，你同意他的说法吗？简要说明理由． 【答案】（1）7.6，7，12 （2）2400人 （3）同意，因为线上观众群体样本容量大，更具有代表性 【解析】 【分析】本题考查平均数、中位数、样本估计总体，统计图等知识点，理解相关知识是解决问题的关键． （1）根据平均数、中位数的定义即可求得，结合扇形统计图中所占百分比即可求得； （2）利用总人数乘以不低于8分的百分比即可； （3）根据样本容量大更具有代表性即可作答． 【小问1详解】 解：根据题意，得（分）， 根据中位线的定义，得应该在的7分范围内， 故中位数为（分）， 根据题意，得， 故， 故答案为：7.6，7，12； 【小问2详解】 解：根据题意，得（人）， 答：线上观众评分不低于8分的人数为2400人； 【小问3详解】 解：同意，理由：线上观众群体样本容量大，更具有代表性． 20. 暑假期间，小林一家乘坐高铁前往某市旅游，计划第二天租用新能源汽车自驾出游，爸爸找两家公司进行对比： 甲公司：按日收取固定租金80元，另外再按租车时间计费； 乙公司：无固定租金，直接以租车时间计费，每小时的租费是30元． 根据如图信息，解答下列问题： （1）设租车时间为x小时，租用甲公司的车所需费用为（元），租用乙公司的车所需费用为（元），分别求出，关于x的函数解析式； （2）请你帮助小林计算并选择哪个出游方案合算． 【答案】（1）； （2）当租车时间为小时，选择甲、乙公司一样合算；当租车时间小于小时，选择乙公司合算；当租车时间大于小时，选择甲公司合算 【解析】 【分析】（1）依据题意，设，把点代入，确定的值；设，把点代入，确定的值，由于自变量x是租车时间，所以取值范围为． （2）甲公司的车所需要费用函数表达式：，乙公司的车所需费用的表达式：，结合两个一次函数解析式，分为三种情况：，，，分别求出对应x的值可判断哪个方案合算． 【小问1详解】 解：设，把点代入， 得， 解得， ∴， 设，把点代入， 得， ∴． 【小问2详解】 当时，， 解得：， ∴当租车时间为时，此时选择甲乙公司一样合算； 当时，， 解得：， ∴当租车时间小于时，此时选择乙公司合算； 当时，， 解得：， ∴当租车时间大于时，选择甲公司合算． 【点睛】此题考查了一次函数的综合运用，解题关键是用待定系数法求出一次函数的解析式． 21. 综合与实践【主题】足球最佳射门位置． 【素材】某足球场上，运动员在练习选择适合的位置射门．线段表示球门，、为射门张角．理论上当射门张度越大时，进球的可能性越大．如图1，_____.（用“”、“”或“”填空） 【实践探索】假设运动员沿着直线l带球跑动，寻找最佳射门位置．如图2，以线段为弦作，恰与直线相切，切点为A．若点M是上一个异于点A的动点，求证：当运动员跑动到切点A处时，射门张角最大，即． 【迁移应用】如图3，点，点，点A为y轴正半轴上的一个动点，当最大时，请求出点A的坐标． 【答案】[素材]：；[实践探索]：见解析；[迁移应用]： 【解析】 【分析】[素材]利用圆周角定理和三角形外角的性质解答即可； [实践探索]同理可得结论； [迁移应用]如图3，以为弦作，过点M作于N，连接，由[实践探索]可知：当与y轴相切， 且切点为A时，最大，此时，由勾股定理和坐标与图形的性质即可解答． 【详解】[素材] 解：如图1，设交圆于点C，连接， ∵， ∴； [实践探索] 证明：如图2，设交于C， ∵， ∴， ∵线段为弦作，恰与直线l相切，切点为A， 即当运动员跑动到切点A处时，射门张角最大，此时； [迁移应用] 解：如图3，以为弦作，过点M作于N，连接， 由[实践探索]可知：当与y轴相切，且切点为A时，最大，此时， ∵点，点， . ∴， ∴.， ∵ ∴， ∵ ∴四边形是矩形， ∴， 由勾股定理得：， ∴点A的坐标为． 【点睛】本题是圆的综合题，主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，三角形的外角的性质，圆的切线的性质，勾股定理，矩形的判 定与性质，利用圆周角定理构建圆内角是解决此类问题常添加的辅助线． 五、解答题（三）（本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 22. 如图，在矩形中，，，以点为旋转中心，将矩形沿顺时针方向旋转，得到矩形，点，，的对应点分别是点，，． 【知识技能】 （1）如图①，当点落在矩形的对角线上时，求线段的长； 【数学理解】 （2）如图②，当点落在矩形的对角线的延长线上时，求的面积； 【拓展探索】 （3）如图③，将矩形旋转一定角度后，连接，交于点，连接，，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理求出，由矩形旋转可知：，即可求出线段的长； （2）过点作于点，在中，，由矩形旋转可知：，根据，利用三角形面积公式求出，由勾股定理求出，即可求解； （3）连接，根据矩形的性质结合勾股定理即可求解． 【详解】解：（1）如图① 四边形是矩形， ， 在中，， 由矩形旋转可知：， ， 则线段的长为； （2）解：如图②，过点作于点， 在中，， 由矩形旋转可知：， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， 则的面积为； （3）解：的值为， 如图③， 连接， 由矩形旋转可知：，，， ，， ， 四边形是矩形， ， 则可证：， 在中，， 在中，， 在中，， 在中，， ， ， 则的值为． 【点睛】本题考查旋转的问题，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，矩形的性质；熟练掌握矩形的性质和旋转的性质是解题的关键． 23. 【问题背景】 已知抛物线（a，b为常数，）的顶点为，对称轴与轴相交于点，点在抛物线上，为坐标原点. 【构建联系】 （1）如图1，当，与交于点时，求该抛物线顶点的坐标； （2）如图2，当时，求的值； 【深入探究】 （3）如图3，若是抛物线上的点，且点在第四象限，，，点在线段上，点在线段上，，当取得最小值为时，求的值. 【答案】（1）该抛物线顶点的坐标为；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求得的值，即可求解； （2）过点作轴，在中，利用勾股定理求得，在中，勾股定理求得，得该抛物线顶点的坐标为，再利用待定系数法求解即可； （3）过点作轴，过点作轴，证明，求得点的坐标为，在中，利用勾股定理结合题意求得，在的外部，作，且，证明，得到，当满足条件的点落在线段上时，取得最小值，求得点的坐标为，再利用待定系数法求解即可． 【详解】解：（1）∵，与交于点， ∴， 解得， ∴该抛物线的解析式为， ∴该抛物线顶点的坐标为； （2）解：过点作轴，垂足为， 则． 在中，由， ． 解得（舍）． 点的坐标为． ∵， ∴抛物线的对称轴为， 对称轴与轴相交于点，则． 在中，由， ． 解得（正值舍去）． 由，得该抛物线顶点的坐标为． 该抛物线的解析式为． 点在该抛物线上，有． ； （3）过点作轴，垂足为， 则． ． 在中，． 过点作轴，垂足为，则． ，又， ． ∴，， ∴点的坐标为． 在中，， ，即． 根据题意，，得． 在的外部，作，且，连接， 得． ． ∴． ． 当满足条件的点落在线段上时，取得最小值，即． 在中，， ．得． ．解得（舍）． 点的坐标为，点的坐标为． 点都在抛物线上， 得，， 解得，． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数的顶点式，勾股定理，垂线段最短，全等三角形的判定和性质，正确引出辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024~2025学年度第二学期学业质量检测九年级数学 说明：本卷试题共6页，满分为120分，考试用时为120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡上填写自己的准考证号、姓名、座位号．用2B铅笔把对应该号码的标号涂黑． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试题上． 3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔或涂改液，不按以上要求作答的答案无效． 4．考生务必保持答题卡的整洁，考试结束时，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题10题，每小题3分，共30分，在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑） 1. 某市2025年1月份连续四天的天气预报信息如图所示，其中日温差最大的一天是（ ） 1月28日（除夕） 1月29日（春节） 1月30日（初二） 1月31日（初三） A. 1月28日 B. 1月29日 C. 1月30日 D. 1月31日 2. （深度求索）是由中国某公司开发的通用人工智能系统，以搜索增强架构和混合专家模型为核心技术，具备跨领域推理、实时信息处理与创造性输出能力．截至2025年3月，的全球日活跃用户总量达到亿，将数据亿用科学记数法表示是（ ） A. B. C. D. 3. 由5个相同的小正方体组成的几何体，如图所示，该几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 4. 实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 随着时代到来，光纤通信越来越被大家熟知．如图，是光信号在光纤中传输的一小段过程，图示中可看作两个平行放置的平面镜，光信号经过平面镜反射时，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 科学家记录了四种花卉的平均开花天数（天数越短开花越快）和方差（方差越小开花越稳定），数据如表所示，开花最快且最稳定的是（ ） 种类 甲种类 乙种类 丙种类 丁种类 平均数 方差 A. 甲种类 B. 乙种类 C. 丙种类 D. 丁种类 7. 如图，四边形为平行四边形，，，相交于点．设和的面积分别为，，则（ ） A. 1：2 B. 1：3 C. 4：9 D. 1：4 8. 如图，函数和函数的图象相交于点，，若，则x的取值范围是（ ） A. B. 或 C. 或 D. 或 9. 在20世纪70年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果．如图，利用黄金分割法，所作将矩形窗框分为上下两部分，其中E为边的黄金分割点，即，已知为2米，则线段的长为（ ）米． A. B. C. D. 10. 如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=5，点P是BC边上的一个动点（点P与点B，C都不重合），现将△PCD沿直线PD折叠，使点C落到点F处；过点P作∠BPF的角平分线交AB于点E，设BP=x，BE=y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题5题，每小题3分，共15分，请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应的位置上） 11. 一个袋子中有2个白球和若干个黑球，它们除了颜色外都相同，随机从中摸一个球，恰好摸到黑球的概率是，则袋子中有________个黑球． 12. 如图，的直径平分弦（不是直径）.若，则___________ 13. 计算：______． 14. 若抛物线（是常数）与轴没有交点，则的取值范围是________． 15. 如图，在中，，，，以为边向下作等边，则的长为______． 三、解答题（二）（本大题共3小题，每小题7分，共21分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算：． 17. 如图，在中，，分别是，的中点，连接． （1）实践与操作：作出线段的中点（尺规作图，保留痕迹，不写作法）； （2）应用与证明：在（1）的条件下，连接，．若，，，求证：四边形是菱形． 18. 某户外实践活动小组欲测量球罐外斜梯的长度，实施了如下方案：先测得球罐最低处离地面高度米．接着一人站在球罐最高点处，看到斜梯末端处恰好被斜梯顶端遮挡（此时与⊙相切），已知过切点恰有一水平横梁交于斜梯末端处． （1）连接，求证：； （2）若眼睛与点的距离为1.5米，，求斜梯的长． 四、解答题（一）（本大题共3小题，每小题9分，共27分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 2025年央视春晚节目《秧BOT》以机器人表演传统秧歌为主题，燃爆全球，广受好评．为调查观众对某创新节目的评价，组委会收集了50名现场观众和5000名线上观众的评分（满分10分），并根据得分绘制了以下不完整的统计表和统计图： 两个观众群体对《秧BOT》打分样本数据的平均数、中位数、众数如下： 平均数 中位数 众数 现场 8 8 线上 7.6 7 （1）直接写出，，的值； （2）请你计算出线上观众评分不低于8分的总人数； （3）小明认为线上观众群体对《秧BOT》打分样本数据更能贴合实际，你同意他的说法吗？简要说明理由． 20. 暑假期间，小林一家乘坐高铁前往某市旅游，计划第二天租用新能源汽车自驾出游，爸爸找两家公司进行对比： 甲公司：按日收取固定租金80元，另外再按租车时间计费； 乙公司：无固定租金，直接以租车时间计费，每小时的租费是30元． 根据如图信息，解答下列问题： （1）设租车时间为x小时，租用甲公司的车所需费用为（元），租用乙公司的车所需费用为（元），分别求出，关于x的函数解析式； （2）请你帮助小林计算并选择哪个出游方案合算． 21. 综合与实践【主题】足球最佳射门位置． 【素材】某足球场上，运动员在练习选择适合的位置射门．线段表示球门，、为射门张角．理论上当射门张度越大时，进球的可能性越大．如图1，_____.（用“”、“”或“”填空） 【实践探索】假设运动员沿着直线l带球跑动，寻找最佳射门位置．如图2，以线段为弦作，恰与直线相切，切点为A．若点M是上一个异于点A的动点，求证：当运动员跑动到切点A处时，射门张角最大，即． 【迁移应用】如图3，点，点，点A为y轴正半轴上的一个动点，当最大时，请求出点A的坐标． 五、解答题（三）（本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 22. 如图，在矩形中，，，以点为旋转中心，将矩形沿顺时针方向旋转，得到矩形，点，，的对应点分别是点，，． 【知识技能】 （1）如图①，当点落在矩形的对角线上时，求线段的长； 【数学理解】 （2）如图②，当点落在矩形的对角线的延长线上时，求的面积； 【拓展探索】 （3）如图③，将矩形旋转一定角度后，连接，交于点，连接，，求的值． 23. 【问题背景】 已知抛物线（a，b为常数，）的顶点为，对称轴与轴相交于点，点在抛物线上，为坐标原点. 【构建联系】 （1）如图1，当，与交于点时，求该抛物线顶点的坐标； （2）如图2，当时，求的值； 【深入探究】 （3）如图3，若是抛物线上的点，且点在第四象限，，，点在线段上，点在线段上，，当取得最小值为时，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $