精品解析：2026年广东省珠海市斗门区一模数学试题

2026年初中学业水平第一次模拟考试数学试题 说明：1.全卷共6页，考试用时120分钟，满分为120分． 2.考生用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡填写自己的准考证号、姓名、试室号、座位号．用2B铅笔把对应该号码的标号涂黑． 3.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试题上． 4.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请将所选选项在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑． 1. 9的算术平方根是（ ） A. 3 B. 81 C. D. 2. 国产人工智能大模型DeepSeek横空出世，其低成本、高性能的特点，迅速吸引了全球投资者的目光．以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 年，珠海市全面贯彻落实党的二十届四中全会精神，奋力拼搏、攻坚克难，全市经济运行总体平稳，高质量发展扎实推进，根据广东省地区生产总值统一核算结果，年全市地区生产总值约亿元．数据亿用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 4. 反比例函数的图象分别位于（ ） A. 第一、三象限 B. 第二、四象限 C. 第二、三象限 D. 第三、四象限 5. 如图，有一个公园有两个入口、三个出口，从入口A进入，从出口E离开的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 如图是某包装盒的简易图，由一个正方体和一个三棱柱组成，则它的俯视图为（ ） A. B. C. D. 7. 如图是集热板示意图，集热板与太阳光线垂直时，光能利用率最高，春分日长春市正午太阳光线与水平面的夹角为，若光能利用率最高，则集热板与水平面夹角度数是（ ） A. B. C. D. 8. 下列选项中是一元二次方程的解是（ ） A. B. C. D. 9. 甲、乙两人在相同的条件下，各射击5次，经计算：甲射击成绩的平均数是8环，方差是；乙射击成绩的平均数是8环，方差是，且甲射击成绩比乙射击成绩更稳定，则下列判断一定正确的是（ ） A. 为正数 B. a小于b C. 甲、乙成绩的众数相同 D. 甲、乙成绩的中位数相同 10. 如图，已知是的直径，把为的直角三角板的一条直角边放在直线上，斜边与交于点，点与点重合，且大于，将三角板沿方向平移，使得点与点重合为止．设，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共5题，每题3分，共15分） 11. 因式分解：______． 12. 比较大小： __________填“”“”或“” 13. 如果，相似比为，且的面积为4，那么的面积为______． 14. 若二次函数与x轴的交点分别为，，则______． 15. 在中，，点是上一点，且，以点为圆心，为半径的圆与相切于点，与相交于点，若，则图中阴影部分的面积是__________ （结果保留） 三、解答题（一）（共3题，每题7分，共21分） 16. 在解分式方程时，小明的解法如下： 解： 检验：当时， ∴原分式方程的解为 请判断小明的解答过程______（填选：正确/不正确），若不正确，请你写出正确的解答过程． 17. 如图，在中，，平分，，连接．求证：是等腰三角形． 18. 如图是我国古代园林的圆形拱门，它是的一部分，已知拱门的地面宽度，线段是过圆心且垂直于于点M，，求构成该拱门的的半径． 四、解答题（二）（共3题，每题9分，共27分） 19. 如图，在中，，，，D是的中点． （1）用尺规作图作出的中点E；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，连接，求的长度． 20. 小华爸爸新购买了一辆新能源汽车，现在面临充电方案的选择，经过调研，他收集到以下信息： 方案 一次性安装费用（元） 电费（元/度） A家用充电 3000 0.6 B公用充电 0 1.1 （1）请分别写出方案A和方案B的总费用y（元）关于充电量x（度）的函数关系式与（注：A方案总费用包括一次性安装费用）； （2）请问该车充电量达到多少度时，两种方案的总费用相同？ （3）已知该款车百公里能耗为12度电，预计小华爸爸每年行驶10000公里，计划车辆使用时间为6年，比较哪种充电方案更合算，并说明理由． 21. 如图1是一个装有橙汁的杯子放置在水平桌面上，一根吸管斜插在杯子中，如图2四边形是其杯子的轴截面，折线为吸管．其中，，，，，．如图3，将水平放置杯子沿着点C倾斜，使与水平线平行由图2到图3的变化过程中，点A的位置是升高了还是下降了？变化了多少毫米？（结果精确到．参考数据：，，，） 五、解答题（三）（共2题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 如图，抛物线与y轴交于点C，以原点O为圆心，长为半径作，交x轴于A，B两点，在x轴上方交对称轴于点D，对称轴与x轴交点为E；点P为抛物线上的一个动点，过点P作轴于点M． （1）求点C坐标及抛物线的顶点坐标； （2）求； （3）在x轴上方是否存在点P，使得？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 23. 综合与探究 问题情境：我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为秦九韶公式：三角形的三边长分别为a，b，c则其面积．此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，海伦公式：记，则其面积． （1）如图1，的三边的长依次为5、6、7， ①利用上面其中一个公式求的面积． ②请利用勾股定理求出的高的长度． （2）如图2，锐角的三边的长依次为a、b、c，请仿照第（1）问利用勾股定理求出高的长度（用含有a、b、c表达）． （3）在（2）的条件下，证明秦九韶公式． （4）通过秦九韶公式推导出海伦公式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年初中学业水平第一次模拟考试数学试题 说明：1.全卷共6页，考试用时120分钟，满分为120分． 2.考生用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡填写自己的准考证号、姓名、试室号、座位号．用2B铅笔把对应该号码的标号涂黑． 3.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试题上． 4.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请将所选选项在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑． 1. 9的算术平方根是（ ） A. 3 B. 81 C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：，且算术平方根本身为非负数， 的算术平方根是． 2. 国产人工智能大模型DeepSeek横空出世，其低成本、高性能的特点，迅速吸引了全球投资者的目光．以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A、B、D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； C选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 3. 年，珠海市全面贯彻落实党的二十届四中全会精神，奋力拼搏、攻坚克难，全市经济运行总体平稳，高质量发展扎实推进，根据广东省地区生产总值统一核算结果，年全市地区生产总值约亿元．数据亿用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：亿． 4. 反比例函数的图象分别位于（ ） A. 第一、三象限 B. 第二、四象限 C. 第二、三象限 D. 第三、四象限 【答案】A 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质解答即可． 【详解】解：∵， ∴反比例函数的图象分别位于第一、三象限． 5. 如图，有一个公园有两个入口、三个出口，从入口A进入，从出口E离开的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果，可求得从入口A进入，从出口E离开的情况，再利用概率公式求解即可求得答案． 【详解】解：如图，画树状图得， 由树状图可知所有可能的结果有6种，其中选择从入口A进入，从出口E离开的只有1种结果， ∴选择从入口A进入，从出口E离开的概率为． 6. 如图是某包装盒的简易图，由一个正方体和一个三棱柱组成，则它的俯视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了几何体的三视图，根据几何体的三视图的定义即可得出答案，掌握几何体的三视图的定义是解题的关键． 【详解】解：由题意可知，该组合体的俯视图为：， 故选：B． 7. 如图是集热板示意图，集热板与太阳光线垂直时，光能利用率最高，春分日长春市正午太阳光线与水平面的夹角为，若光能利用率最高，则集热板与水平面夹角度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，垂直的定义，根据题意可得，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，， ∵为， ∴， 故选：A． 8. 下列选项中是一元二次方程的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，将题中的一元二次方程通过因式分解得到或，解得x的值，再对应选项中的值即可． 【详解】解：， 或， 解得：，． 故选：C． 9. 甲、乙两人在相同的条件下，各射击5次，经计算：甲射击成绩的平均数是8环，方差是；乙射击成绩的平均数是8环，方差是，且甲射击成绩比乙射击成绩更稳定，则下列判断一定正确的是（ ） A. 为正数 B. a小于b C. 甲、乙成绩的众数相同 D. 甲、乙成绩的中位数相同 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平均数、方差、众数、中位数的意义，解答本题的关键是掌握方差的定义：方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 根据方差、平均数的意义进行判断，平均数相同则总环数相同，方差越大，波动越大即可求出答案． 【详解】解：∵各射击10次，甲射击成绩的平均数是8环，方差是； ∴，即为正数或零，故A选项错误，不符合题意； 又∵乙射击成绩的平均数是8环，方差是，且甲射击成绩比乙射击成绩更稳定， ∴，故B选项正确，符合题意； ∵甲、乙成绩的众数不能确定，可能相同也可能不同，故C选项不一定正确，不符合题意； ∵甲、乙成绩的中位数不能确定，可能相同也可能不同，故D选项不一定正确，不符合题意； 故选：B． 10. 如图，已知是的直径，把为的直角三角板的一条直角边放在直线上，斜边与交于点，点与点重合，且大于，将三角板沿方向平移，使得点与点重合为止．设，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分析可得：开始移动时，x=30°，移动开始后，∠POF逐渐增大，最后当B与E重合时，∠POF取得最大值，即2×30°=60°，故x的取值范围是30≤x≤60． 【详解】解：开始移动时，x=30°， 移动开始后，∠POF逐渐增大， 最后当B与E重合时，∠POF取得最大值， 则根据同弧所对的圆心角等于它所对圆周角的2倍得： ∠POF=2∠ABC=2×30°=60°， 故x的取值范围是． 故选：A． 【点睛】本题考查圆周角定理和平移的基本性质是：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行（或在同一条直线上）且相等，对应线段平行（或在同一条直线上）且相等，对应角相等． 二、填空题（共5题，每题3分，共15分） 11. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】先将原式变形为平方差的形式，再利用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解： ． 12. 比较大小： __________填“”“”或“” 【答案】 【解析】 【分析】本题考查实数的大小比较的应用，熟练掌握并能根据实数的大小比较法则比较两个实数的大小是解答此题的关键．将两个分数分别化简为 和，然后比较大小． 【详解】解：，，且， ， ， 故答案为：． 13. 如果，相似比为，且的面积为4，那么的面积为______． 【答案】16 【解析】 【分析】利用相似三角形面积的比等于相似比的平方，结合已知条件即可求解． 【详解】解：，相似比为， ， ， ． 14. 若二次函数与x轴的交点分别为，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数与轴交点的横坐标是对应一元二次方程的两个根，利用根与系数的关系即可求解． 【详解】解：∵二次函数与轴交点的横坐标，是一元二次方程的两个根， ∴． 15. 在中，，点是上一点，且，以点为圆心，为半径的圆与相切于点，与相交于点，若，则图中阴影部分的面积是__________ （结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查扇形面积公式，涉及含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，切线的性质，扇形的面积公式等知识，综合程度较高．设交于点，连接、、，由切线的性质得，则，因为，所以，则，由，得，则是等边三角形，可证明是等边三角形，求得，则，所以，则，由求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：设交于点，连接、、，则， 以点为圆心，为半径的圆与相切于点， ， ， ，且， ， ， ， ， ， ，而， 是等边三角形， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 三、解答题（一）（共3题，每题7分，共21分） 16. 在解分式方程时，小明的解法如下： 解： 检验：当时， ∴原分式方程的解为 请判断小明的解答过程______（填选：正确/不正确），若不正确，请你写出正确的解答过程． 【答案】不正确，见解析 【解析】 【分析】按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解法，再检验即可． 【详解】解：小明的解答过程不正确，正确解答如下： ， 两边同时乘以得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得 检验：当时，， ∴原分式方程的解为． 17. 如图，在中，，平分，，连接．求证：是等腰三角形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】先根据角平分线的定义得出，再利用平行线的内错角相等性质得到，通过等量代换推出，进而证得，最后结合已知条件，等量代换得到，根据等腰三角形的定义即可证明是等腰三角形． 【详解】证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴是等腰三角形． 18. 如图是我国古代园林的圆形拱门，它是的一部分，已知拱门的地面宽度，线段是过圆心且垂直于于点M，，求构成该拱门的的半径． 【答案】构成该拱门的的半径为． 【解析】 【分析】根据垂径定理求出，设的半径为，则，，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵，线段是过圆心且， ∴， 设的半径为，则， ∴， 在中，，即， 解得：， ∴构成该拱门的的半径为． 四、解答题（二）（共3题，每题9分，共27分） 19. 如图，在中，，，，D是的中点． （1）用尺规作图作出的中点E；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，连接，求的长度． 【答案】（1）见解析； （2）． 【解析】 【分析】（1）作的垂直平分线即可得到的中点； （2）先求出，再得到是的中位线，即可求解． 【小问1详解】 解：如图，点即为所求 【小问2详解】 解：连接，如图： ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵D是的中点，E是的中点， ∴是的中位线， ∴． 20. 小华爸爸新购买了一辆新能源汽车，现在面临充电方案的选择，经过调研，他收集到以下信息： 方案 一次性安装费用（元） 电费（元/度） A家用充电 3000 0.6 B公用充电 0 1.1 （1）请分别写出方案A和方案B的总费用y（元）关于充电量x（度）的函数关系式与（注：A方案总费用包括一次性安装费用）； （2）请问该车充电量达到多少度时，两种方案的总费用相同？ （3）已知该款车百公里能耗为12度电，预计小华爸爸每年行驶10000公里，计划车辆使用时间为6年，比较哪种充电方案更合算，并说明理由． 【答案】（1）， （2）充电量达到6000度时，两种方案的总费用相同； （3）A家用充电方案更合算，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意列出函数解析式即可； （2）根据题意列方程求解即可； （3）先求出6年的充电量，再分别代入（1）中两个解析式求值，比较即可． 【小问1详解】 解：由表格得出：， ； 【小问2详解】 解：令， 即， 解得：． 所以当充电量达到6000度时，两种方案的总费用相同； 【小问3详解】 解：每年充电量：度， 6年总充电量：度， 将代入， 得元， 将代入， 得元， ，则方案A家用充电更合算． 21. 如图1是一个装有橙汁的杯子放置在水平桌面上，一根吸管斜插在杯子中，如图2四边形是其杯子的轴截面，折线为吸管．其中，，，，，．如图3，将水平放置杯子沿着点C倾斜，使与水平线平行由图2到图3的变化过程中，点A的位置是升高了还是下降了？变化了多少毫米？（结果精确到．参考数据：，，，） 【答案】点A的位置升高了，升高了约 【解析】 【分析】在图2中，过点B作于点H．在图3中，过点B作于点N，作，过点A作于点K．分别解直角三角形求出，，再求出，即可求，进而可得杯子倾斜后点A到桌面的距离约为，从而可得答案． 【详解】解：如图，过点B作于点H． ∵， ∴， 在中，∵， ∴； 如图，过点B作于点N，作，过点A作于点K． ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在中，， ∴． ∵， ∴， 在中，， ∴杯子倾斜后点A到桌面的距离约为， ∴， 答：点A的位置升高了，升高了约． 【点睛】解题的关键是添加合适的辅助线构造直角三角形，通过解直角三角形求出杯子倾斜前后点A到桌面的距离． 五、解答题（三）（共2题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 如图，抛物线与y轴交于点C，以原点O为圆心，长为半径作，交x轴于A，B两点，在x轴上方交对称轴于点D，对称轴与x轴交点为E；点P为抛物线上的一个动点，过点P作轴于点M． （1）求点C坐标及抛物线的顶点坐标； （2）求； （3）在x轴上方是否存在点P，使得？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），顶点坐标为 （2） （3）存在，点P的坐标为或或或 【解析】 【分析】（1）对于抛物线，令，即可求出点C的坐标，将抛物线解析式化为顶点式，即可得到顶点坐标； （2）连接，，由，得到，根据点E为对称轴与x轴的交点，得到轴，，从而在中，根据勾股定理求出，再根据求解即可； （3）连接，在中，求得．设，其中或，则，．分两种情况讨论：①若，则，则，即，代入，，求出m的值即可；②若，则，同①方法求解即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线与y轴交于点C， ∴当时，， ∴点C的坐标为， ∵抛物线， ∴顶点坐标为． 【小问2详解】 解：连接， ∵， ∴， ∴在中，， ∵抛物线，点E为对称轴与x轴的交点， ∴对称轴为，，轴， ∴， ∴在中，， ∵， ∴在中，． 【小问3详解】 解：存在，理由如下： 连接， ∵，， ∴， ∴在中，． 对于抛物线，令，则， 解得， ∴抛物线与x轴的交点坐标为，， ∵点P为抛物线在x轴上方的点， ∴设，其中或． ∵轴， ∴， ∴，． ①如图，若，则， ∴， ∴，即， ∴． 当时，， 整理，得，该方程无解； 当时，， 整理，得，符合题意， 此时点P的坐标为或． ②如图，若，则， ∴， ∴，即， ∴． 当时，， 整理，得， 解得，均小于5，舍去； 当时，， 整理，得， 解得或， 此时点P的坐标为或． 综上所述，符合条件的点P的坐标为或或或． 23. 综合与探究 问题情境：我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为秦九韶公式：三角形的三边长分别为a，b，c则其面积．此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，海伦公式：记，则其面积． （1）如图1，的三边的长依次为5、6、7， ①利用上面其中一个公式求的面积． ②请利用勾股定理求出的高的长度． （2）如图2，锐角的三边的长依次为a、b、c，请仿照第（1）问利用勾股定理求出高的长度（用含有a、b、c表达）． （3）在（2）的条件下，证明秦九韶公式． （4）通过秦九韶公式推导出海伦公式． 【答案】（1）①；②； （2）； （3）见解析； （4）见解析． 【解析】 【分析】（1）①代入海伦公式求解即可； ②设，则，由勾股定理得，，则，求出即可求解； （2）设，则，由勾股定理得，求出，即可得出答案； （3）根据三角形面积公式，再把代入即可得出结论； （4）根据平方差公式得到，令，得到，，，，再得到，再代入即可得出结论． 【小问1详解】 解：①∵的三边的长依次为5、6、7，即， ∴， ∴ ； ②设，则， 在中，， 在中，， ∴， 整理得：， 解得：， ∴； 【小问2详解】 解：如图： 设，则， 在中，， 在中，， ∴， 整理得：， ∴， 将代入，得： ； 【小问3详解】 解：如图： 根据三角形面积公式可得： ， 即； 【小问4详解】 解： ， 令， ∴， ， ， ， ∴， ∴ ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $