专题07正方形 专项训练(16大核心题型精讲+分层训练突破)-2025-2026学年人教版数学八年级下学期.

**基本信息** 聚焦正方形性质与判定，通过17类分层题型构建从基础理解到综合应用的系统性训练，突出几何直观与推理能力培养。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |性质应用|6题型（含折叠、重叠面积）|以角度、线段长、面积计算为主，结合折叠变换|从性质理解到变式应用，强化空间观念| |判定应用|3题型（含添加条件证明）|围绕判定定理，设置条件补充与证明题|从概念辨析到逻辑推理，培养推理意识| |综合拓展|8题型（含动点、最值）|结合中点四边形、动点问题、线段最值，融合跨知识点|从单一应用到综合探究，发展创新意识|

专题07正方形 专项训练 题型梳理归纳 题型1.正方形性质理解 题型2.根据正方形的性质求角度 题型3.根据正方形的性质求线段长 题型4.根据正方形的性质求面积 题型5正方形折叠问题 题型6.求正方形重叠部分面积 题型7.正方形的判定定理理解 题型8.添加一个条件使四边形是正方形 题型9证明四边形是正方形 题型10.正方形的性质与判定综合应用 题型11正方形的性质与判定证明 题型12.中点四边形问题 题型13.用平行四边形的对称性求阴影面积 题型14.（特殊）平行四边形的动点问题 题型15.四边形中的线段最值问题 题型16.四边形其他综合问题 题型17.分层练习9题 核心题型精讲 题型1.正方形性质理解 1．正方形具有而矩形不一定具有的性质是（  ） A．对角相等 B．对角线相等 C．邻边互相垂直 D．对角线互相垂直 【答案】D 【分析】对比正方形和矩形的性质，逐一分析选项，即可得到答案． 【详解】解：由于对角相等、对角线相等、邻边互相垂直均为矩形的性质， ∵正方形是特殊的矩形，正方形也具有这些性质， ∴选项不符合题意， ∵正方形的对角线互相垂直，矩形只有是正方形时对角线才互相垂直，普通矩形对角线不互相垂直， ∴对角线互相垂直是正方形具有而矩形不一定具有的性质， ∴选项符合题意． 2．平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系如图所示，其中A区域图形具有而B区域图形不具有的性质是______（写出一个即可）． 【答案】邻边相等（或对角线垂直） 【分析】先根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系得A区域图形表示的是正方形，B区域图形表示的是矩形，再根据正方形和矩形的性质即可解答． 【详解】解：由图可知，A区域图形表示的是正方形，B区域图形表示的是矩形， 正方形具有而矩形不具有的性质是邻边相等（或对角线垂直）， 即A区域图形具有而B区域图形不具有的性质是邻边相等（或对角线垂直）． 故答案为：邻边相等（或对角线垂直）． 3．如图，点是正方形对角线的延长线上任意一点，以线段为边作一个正方形，连接、，和相交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由正方形的性质，可得，，，可得，证明，即可证得结论； （2）连接交于点，由正方形的性质，结合勾股定理，可得，可得，根据勾股定理即可得的长． 【详解】（1）证明：∵四边形和四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴． （2）解：如图，连接交于点， ∵四边形是正方形， ∴，，，，，， ∵， ∴， ∴ ∴ ∴． 题型2.根据正方形的性质求角度 1．如图，在正方形中，点在对角线的延长线上，且满足，连接，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵是正方形的对角线， ∴， ∵， ∴， ∴． 2．如图，点是正方形外一点，且，连接，，交于点，连接．若，则的度数是________． 【答案】/69度 【分析】本题考查正方形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质．根据正方形的性质和已知可得，求出，由三角形外角的性质可得，通过证明得到． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， 在和中， ， ∴ ∴． 3．正方形中，点是边上的任意一点，连接，作，连接，． (1)当时，求的度数； (2)当时，，请直接写出正方形的边长为______． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用正方形的性质和的度数，根据直角三角形的两锐角互余和三角形内角和定理依次求出，的度数，再通过证明， 得到，即可得解； （2）通过已知条件可以证明为等腰直角三角形，在中，利用勾股定理可求得的长， 在中，利用含角直角三角形的性质结合勾股定理可求得的长，根据线段和差关系可得的长， 在中，利用勾股定理即可求得的长． 【详解】（1）解：四边形是正方形， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； （2）解：四边形是正方形， ， ，， ， ，， ， ，为等腰直角三角形， ， 在中，，即， ， 在中，， ，， ， 在中，，即， ， 即正方形的边长为． 题型3.根据正方形的性质求线段长 1．如图所示的图形是由两个直角三角形和三个正方形组成的，其中三个正方形阴影部分的面积和是90，大直角三角形一边长为6，则斜边长（   ） A．8 B．9 C．10 D．12 【答案】B 【分析】根据勾股定理及正方形面积公式，可知下方两个小正方形面积之和等于大正方形面积，结合三个正方形面积和求出大正方形面积，再利用勾股定理求出斜边长即可． 【详解】解：设大直角三角形的竖直直角边长为x，则大正方形的面积为， ∵下方两个小正方形建立在一个以x为斜边的直角三角形上， ∴下方两个小正方形的面积和等于， ∵三个正方形阴影部分的面积和是90， ∴，即， 在中，一直角边长为6，另一直角边长的平方为45 ， ∴斜边长． 2．如图，在正方形中，点E为正方形内一点，且，，若，则的长为_______． 【答案】 【分析】过点A作的垂线，交的延长线于点F，证明，设，可得，先在中，利用勾股定理求出，再在中，利用勾股定理求出x即可． 【详解】解：如图，过点A作的垂线，交的延长线于点F， ∵四边形为正方形， ，， ， ， ， 在和中，， ， ， 设，则， ， 在中，， ， 在中，由勾股定理，得， ， 解得（负值已舍去）， ． 3．如图，点是边长为4的正方形的边上任意一点，过点作于点，过点作于点，连接．    (1)如图1，若点是的中点，求的长； (2)如图2，当点在边上运动时（不与、重合），请写出线段、、的关系并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】（1）利用三角形面积公式求三角形的高，再证明，等量代换求解即可； （2）在上取一点，使，连接，利用三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理证明即可； 【详解】（1）解：当点是的中点时，如图1所示：     四边形是正方形，且边长为4， ，， 点是的中点， ， 在中，由勾股定理得：， ， 由三角形的面积公式得：， ， ，， ， 在和中， ， ， ； （2）解：. 理由如下： 当点在边上运动时（不与、重合）时，在上取一点，使，连接，如图2所示：   四边形是正方形， ，， 在中，. ，是直角三角形， 在中，. ， ， 在和中， ， ， ，， ， ，即. ， 是等腰直角三角形， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， ， ； 题型4.根据正方形的性质求面积 1．如图，正方形的边长为，以为边在正方形外作等边三角形，连接，，则的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作于点，延长交于点，容易证明四边形是矩形，则，由等边三角形的性质可得，，由勾股定理可得，则，利用三角形面积公式进行计算即可． 【详解】解：如图，过点作于点，延长交于点， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， 由勾股定理可得，， ∴， ∴． 2．如图，小正方形和大正方形相邻，且B、C、G三点在同一条直线上，C、D、E三点在同一条直线上，连接．若阴影部分的面积为16，则大正方形的面积与小正方形的面积之差为___． 【答案】32 【分析】设正方形的边长为x，小正方形的边长为y，则，根据题意，得，求的值即可； 【详解】解：设正方形的边长为x，小正方形的边长为y， 则，根据题意，得， 故， 故， 因为正方形的面积为，小正方形的面积为， 故大正方形的面积与小正方形的面积之差为， 故大正方形的面积与小正方形的面积之差为32 3．如图，、为正方形的对角线，若，求正方形的面积． 【答案】8 【分析】根据平行四边形的性质即可求得对角线长，进而即可求解． 【详解】解：在正方形中， ∴，， ∴正方形的面积为：． 题型5正方形折叠问题 1．如图，正方形中，，点在边上，且．将沿对折至，延长交边于点，连接．下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（    ） A．①②④ B．①②③ C．④③② D．①③④ 【答案】B 【分析】根据翻折变换的性质和正方形的性质可证；根据勾股定理可知；通过等腰三角形中角度关系可知，即可证明；通过等高的三角形底边之比即可计算面积求解． 【详解】解：根据折叠可知， ∴， 在和中， ， ∴， ∴①正确； ∵，， ∴，， 设， 根据勾股定理可得，， 解得：， ∴， ∴②正确； ∵， ∴， ∴是等腰三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴③正确； ∵，且，，和等高， ∴， ∴， ∴④错误， ∴①②③正确． 2．边长为的正方形中，是边上的动点，以为折痕将翻折，使点落在处，延长交于点． （1）若，，三点共线，则________； （2）若，则________． 【答案】 【分析】（1）根据三点共线，得出，进而得出为等腰直角三角形，根据勾股定理，即可求解； （2）连接，证明得出，设，则，在中，根据勾股定理建立方程，解方程，即可求解． 【详解】解析：①如图： ∵以为折痕将翻折，使点落在处， ∴ ∵三点共线，则 ∵边长， ， ∵正方形中，为对角线 ∴ 又∵ 为等腰直角三角形， ． ②如图：连接， ， ， ， ， 设，则． 在中，， ∴ 解得：． ． 3．综合与实践：折纸， 素材：一张正方形纸片 步骤：（1）如图，将正方形纸片对折，沿折痕剪开，取其中一张矩形，将矩形对折，使边与重合，折痕交于点，展开； （2）分别将、沿过点的直线折叠，点，重合于点处，折痕分别交、于点、． 猜想与证明： (1)直接写出与的位置关系和数量关系； (2)证明（1）中你发现的结论． 【答案】(1)， (2)见解析 【分析】（1）根据折叠的性质可得结论：，； （2）如图，过点作于点．先证明，再证明，可得结论． 【详解】（1）解： ，； （2）证明：如图，由折叠可知，， ， ， ， 过点作于点， 则四边形是长方形， ， ， ， 四边形是正方形对折得到的长方形，得， ， ， ， ． 题型6.求正方形重叠部分面积 1．如图，正方形的对角线相交于点，点又是另一个正方形的一个顶点．如果两个正方形的边长均为2，则两个正方形重叠部分的面积为（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】A 【分析】根据旋转的性质，可得，结合正方形的性质证明，则两个正方形重叠部分的面积等于，即正方形面积的四分之一，已知正方形的边长，可据此求出重叠部分的面积． 【详解】解：如图，设与交于点，与交于点， 根据旋转的性质，， 四边形是正方形， ，， 在和中， ， ， ， 则两个正方形重叠部分的面积． 2．如图：现有甲、乙两个正方形纸片，将甲、乙并列放置后得到图1，已知甲、乙两个正方形边长之和为8，点H为的中点，连接．将乙纸片放到甲的内部得到图2，图2的阴影部分面积为6，则图1的阴影部分面积为__________． 【答案】19 【分析】先设甲正方形的边长为a，乙正方形的边长为b，即可求出，然后根据中点的定义可得，接下来求出，最后根据得出答案． 【详解】解：设甲正方形的边长为a，乙正方形的边长为b，根据题意得 ，， 由①，得， 由，得， ∴． ∵点H是的中点， ∴， ∴， ∴． 3．【教材呈现】下图是华师版八年级下册数学教材第121页的部分内容．如图，在正方形中，．    (1)求证：． (2)【结论应用】如图②，设，相交于点G，若，图中阴影部分的面积和与正方形的面积之比为，则的面积为______，的长为______．    【答案】(1)见解析 (2)； 【分析】本题主要考查正方形的性质，熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定和性质等知识是解题的关键． （1）根据证即可得证； （2）设三角形的面积为，根据题意列出方程求解即可得出的面积，设，，根据数量关系推出的值，即可得出的长． 【详解】（1）证明：设、交于点，   ， ， ， 四边形是正方形， ，， ， ， 在和中， ， ， ； （2）由（1）知，， 四边形的面积的面积的面积的面积， 即四边形的面积的面积， 设的面积为， 则阴影部分的面积为：， 即， 解得， 设，， ， ，， ， 即， ． 题型7.正方形的判定定理理解 1．如图，在正方形中，E、F、G、H分别为，，，边上的动点，且．设，，，，则下列结论正确的是（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点作交于，过点作交于，根据正方形的性质及平行四边形的判定和性质得出四边形是平行四边形，，同理可得四边形是平行四边形，，再由全等三角形的判定和性质得出，，结合图形求解即可． 【详解】解：过点作交于，过点作交于，交于点O， 四边形是正方形， ，， ，， 四边形是平行四边形， ， 同理可得四边形是平行四边形， ， ，，， ， ， 又， ， 在和中 ， ， 由图可知，， ， ， ． 2．如图，在正方形中，点E在边上，点F在的延长线上，且，点H为中点，连接和，M为的中点，连接，作于点G，若，则_______． 【答案】 【分析】连接，证明，进而推出为等腰直角三角形，勾股定理求出的长，等积法求出的长，三角形的中位线定理求出的长，进一步计算即可． 【详解】解：连接， ∵正方形， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，即， ∵点H为中点，M为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴． 3．如图，四边形是正方形，是边上一点，于点，且交于点．已知，求的长度． 【答案】 【分析】先通过证明，进而得到，，从而可得，代入数据进而可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ，． 又，， ， ， ． ，，， ， ，， ． 题型8.添加一个条件使四边形是正方形 1．下列说法错误的是（   ） A．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 B．对角线互相垂直的平行四边形是正方形 C．每组邻边都相等的四边形是菱形 D．四个角都相等的四边形是矩形 【答案】B 【详解】解：A．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，符合平行四边形的判定定理，说法正确，不符合题意． B．对角线互相垂直的平行四边形是菱形，不是正方形，说法错误，符合题意． C．每组邻边都相等的四边形，四条边都相等，符合菱形的判定定理，说法正确，不符合题意． D．四边形内角和为，四个角相等时每个角均为，四个角都是直角的四边形是矩形，说法正确，不符合题意． 2．如图，平行四边形中，过作于，交于，过作于，交于，连结，那么： ①； ②四边形是平行四边形； ③当时，四边形是菱形； ④当分别是中点时，四边形是正方形． 则下列结论中正确的有 _____________． 【答案】①②③ 【分析】根据全等三角形判定定理，平行四边形判定定理，菱形，矩形，正方形判定定理逐项判定即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形，故②正确； 连接，如图所示： 当时，四边形是菱形， ∴，即， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形，故③正确； ∵， ∴， ∴四边形是矩形， 当分别是中点时，不能证明两边相等，如图所示： 故④错误； 综上所述，结论正确的有①②③， 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查平行四边形及特殊平行四边形的判定与性质，涉及平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、平行线的性质、矩形的判定、正方形的判定，解题的关键是熟记平行四边形及特殊平行四边形的判定与性质． 3．如图，在矩形中，连接，点是的中点，点是的中点，连接并延长交于点，，求证：四边形是正方形．    【答案】见解析 【分析】利用矩形的性质可证得，进而可知，，则，由题意可知，则，进而可知四边形是长方形，再结合，进而可证得四边形是正方形． 【详解】证明：∵四边形是矩形， ∴，，， ∵， ∴，， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∵，， ∴， ∴四边形是正方形． 【点睛】本题考查矩形的性质，正方形的判定，全等三角形的判定及性质，熟练掌握相关性质定理是解决问题的关键． 题型9证明四边形是正方形 1．如图，四边形是平行四边形，下列说法不正确的是（    ） A．当时，四边形是矩形 B．当时，四边形是菱形 C．当时，四边形是菱形 D．当时，四边形是正方形 【答案】D 【分析】根据矩形、菱形、正方形的判定定理，对各选项逐一判断，找出说法错误的选项即可． 【详解】解：A、， 根据对角线相等的平行四边形是矩形可得，四边形是矩形，故说法正确，不符合题意； B、， 根据一组邻边相等的平行四边形是菱形可得，四边形是菱形，故说法正确，不符合题意； C、∵， 根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可得，四边形是菱形，故说法正确，不符合题意； D、， 根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可得，四边形是矩形，不一定是正方形，故说法错误，符合题意． 2．如图，菱形的对角线相交于点O，请你添加一个条件：________ ， 使得该菱形为正方形． 【答案】（或等，答案不唯一） 【分析】本题考查了正方形的判定方法，已知四边形是菱形，根据对角线相等的菱形是正方形或有一个角是直角的菱形是正方形进行添加条件即可． 【详解】解：已知四边形是菱形， 若添加条件：，则满足“对角线相等的菱形是正方形”的判定定理， 若添加条件：，则满足“有一个角是直角的菱形是正方形”的判定定理， 任选其中一个为答案即可． 3．已知：如图，在中，点是它的对称中心，过点分别作于M，于N，． (1)求证：是菱形； (2)请添加一个条件______，使是正方形．（写出所有正确答案的序号） ①；②M是的中点；③；④． 【答案】(1)见解析 (2)①，②，③，④任意一个即可（答案不唯一） 【分析】（1）连接、，根据平行四边形的性质得出点O为、的交点，，根据平行线的性质得出，根据角平分线的判定可得出，根据等角对等边得出，然后根据菱形的判定即可得证； （2）添加①，根据四边形内角和求出，然后根据正方形的判定即可得证；添加②M是的中点，根据线段的垂直平分线的性质得出，结合平行四边形的性质可得出，然后根据正方形的判定即可得证；添加③，证明，得出，则可判断垂直平分，设与的交点为H，则，根据等积法可得出，根据勾股定理得出，则，结合完全平方公式可得出，则，则可判断四边形是菱形，结合，得出菱形是正方形，则，然后根据正方形的判定即可得证；添加④，根据等边对等角和三角形内角和定理得出，则，然后根据正方形的判定即可得证． 【详解】（1）证明：连接、， ∵在中，点是它的对称中心， ∴点O为、的交点，， ∴， ∵，，， ∴平分， ∴， ∴， ∴， ∴是菱形； （2）解：添加①， ∵，， ∴， 又是菱形， ∴是正方形； 添加②M是的中点， ∵， ∴， ∵， ∴，，， ∴， 又是菱形， ∴是正方形； 添加③， ∵，，， ∴， ∴， 又， ∴垂直平分， 设与的交点为H， 则， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， 又，， ∴， ∴四边形是菱形， 又， ∴菱形是正方形， ∴， 又是菱形， ∴是正方形； 添加④， ∵， ∴， ∵， ∴， 又是菱形， ∴是正方形， 故添加①，②，③，④中的任意一个条件，即可使是正方形 题型10.正方形的性质与判定综合应用 1．下列条件： ①对角线互相垂直且相等的平行四边形； ②对角线互相垂直的矩形； ③对角线相等的菱形； ④对角线互相垂直平分且相等的四边形； ⑤有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形． 其中能判定四边形为正方形的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D 【分析】根据正方形的判定定理逐一判断每个条件即可． 【详解】解：①∵该图形是平行四边形，且对角线互相垂直且相等， ∴该平行四边形既是对角线互相垂直的平行四边形（菱形），又是对角线相等的平行四边形（矩形），既是菱形又是矩形的四边形是正方形， ∴该四边形是正方形，符合题意； ②∵该图形是矩形，对角线互相垂直， ∴该四边形是正方形，符合题意； ③∵该图形是菱形，对角线相等， ∴该四边形是正方形，符合题意； ④∵对角线互相垂直平分的四边形是菱形，再加上对角线相等，即可判定对角线相等的菱形是正方形， ∴该四边形是正方形，符合题意； ⑤∵该图形是平行四边形，有一组邻边相等可得它是菱形，有一个角是直角可得它是矩形，既是菱形又是矩形的四边形是正方形， ∴该四边形是正方形，符合题意； 综上其中能判定四边形为正方形的有5个． 2．四边形的对角线、相交于点O，给出下列6个条件：①；②；③；④；⑤；⑥；请从中选取4个条件，使四边形为正方形，你的选择是__________（写出一种即可） 【答案】③④⑤⑥（答案不唯一） 【分析】先判定四边形是平行四边形，再根据③对角线相等判定平行四边形为矩形，最后根据④对角线互相垂直的矩形是正方形得到结论． 【详解】解：选择③④⑤⑥，理由如下： ，， ∴四边形是平行四边形，（对角线互相平分的四边形是平行四边形） ， ∴ 平行四边形是矩形，（对角线相等的平行四边形是矩形） ， ∴ 矩形是正方形，（对角线互相垂直的矩形是正方形）． 3．综合探究 (1)如图，在四边形中，，，，分别为，，，的中点，当 时，四边形为正方形； (2)如图，在四边形中，，，，分别为，，，的中点． 当 时，四边形为矩形； 当 时，四边形为菱形． (3)如图，在四边形中，，，，分别为，，，的中点．若，，试判断四边形的形状并加以证明． 【答案】(1)， (2)； (3)四边形为正方形，证明见解析 【分析】本题主要考查中位线的性质，平行四边形的判定与性质，菱形的判定，矩形的判定，以及正方形的判定． （1）由中位线的性质先推出四边形是平行四边形，当时，证明四边形是菱形，再由，证明菱形是正方形； （2）由中位线的性质先推出四边形是平行四边形，当时，证明四边形是矩形；当时，证明四边形是菱形； （3）由中位线的性质先推出四边形是平行四边形，再由，证明四边形为菱形，最后由证明菱形为正方形． 【详解】（1）解：∵在四边形中，，，，分别为，，，的中点， ∴，，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是菱形， ∵， ∴， ∴四边形是正方形． 故答案为；，； （2）解：∵在四边形中，，，，分别为，，，的中点， ∴，，， ∴， ∴四边形是平行四边形． 当时，可得， ∴四边形是矩形； 当时，可得， ∴四边形是菱形； （3）解：四边形为正方形． 证明：∵在四边形中，，，，分别为，，，的中点 ∴，，，， ∴，，， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴， 四边形为菱形， ∵，，， ， ∴， ， ∴菱形为正方形． 题型11正方形的性质与判定证明 1．如图，在正方形ABCD中，以对角线BD为边作菱形BDFE，连接BF，则∠AFB＝（　　） A．22.5° B．25° C．30° D．不能确定 【答案】A 【分析】根据正方形的对角线平分一组对角可得∠ADB=45°，再根据菱形的四条边都相等可得BD=DF，根据等边对等角可得∠DBF=∠DFB，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和进行计算即可得解． 【详解】解：在正方形ABCD中，∠ADB=∠ADC=×90°=45°， 在菱形BDFE中，BD=DF， 所以，∠DBF=∠AFB， 在△BDF中，∠ADB=∠DBF+∠AFB=2∠AFB=45°， 解得∠AFB=22.5°． 故选：A． 【点睛】本题考查了正方形的四个角都是直角，对角线平分一组对角的性质，菱形的四条边都相等的性质，以及等边对等角，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，难度不大，熟记各性质是解题的关键． 2．如图，正方形中，，是对角线，E是上一点，过点E作，垂足为F，连接，若，则的长为__________． 【答案】 【分析】过点E作于点M，根据正方形的性质先求得以及证明四边形为正方形，得到，结合，从而求得，进而求得和，最后利用勾股定理解答即可． 【详解】解：如图，过点E作于点M，则， ∵正方形中，，， ∴，，，， ∴四边形为矩形，， ∴， ∴四边形为正方形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴． 3．我们知道：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形．类似地，我们定义：至少有一组对角是直角的四边形叫做对角直角四边形． (1)下列图形：①有一个内角为的平行四边形；②矩形；③菱形； ④直角梯形，其中对角直角四边形是 （只填序号）； (2)如图，菱形的对角线，相交于点，在菱形的外部以为斜边作等腰直角，连接． ①求证：四边形是对角直角四边形； ②若点到的距离是2，求四边形的面积． 【答案】(1)② (2)①见解析；②4． 【分析】（1）根据对角直角四边形的定义逐个判断即可； （2）①根据菱形的性质得到，即，根据等腰直角三角形的性质可得，进而得到，然后根据对角直角四边形的定义即可证明结论；②如图：过N作于H，于G，证明四边形是矩形可得，进而证明，根据全等三角形的性质得到，根据正方形的判定定理得到四边形是正方形，最后四边形的面积=正方形的面积． 【详解】（1）解：①有一个内角为45°的平行四边形，没有的内角，不是对角直角四边形；②矩形的对角为，是对角直角四边形；③菱形的对角不一定为，不是对角直角四边形；④直角梯形，的邻角为，但对角不一定为，不是对角直角四边形． 故答案为：②． （2）①证明:∵.四边形是菱形， ∴，即， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴四边形是对角直角四边形； ②如图：过N作于H，于G， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴, ∴四边形是正方形， ∴四边形的面积=正方形的面积. 【点睛】本题主要考查了菱形的性质、矩形的判定和性质、正方形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识点，正确地找出辅助线是解题的关键． 题型12.中点四边形问题 1．某矩形的对角线长度为8，顺次连接该矩形各边的中点，得到新的四边形，则新四边形的边长为（    ） A．2 B．4 C．8 D．不确定 【答案】B 【详解】解：原矩形对角线长为，顺次连接各边中点得到新四边形，新四边形的每条边都是对应三角形中以矩形对角线为第三边的中位线， ∵三角形中位线的长度等于矩形对角线长度的，矩形对角线长度相等， ∴新四边形每条边的长度， ∴新四边形的边长为． 2．若顺次连接四边形各边中点所得四边形是矩形，则原四边形的对角线必须满足条件______． 【答案】 【分析】根据三角形中位线定理，可得到中点四边形的边与原四边形对角线的位置和数量关系，先判定中点四边形为平行四边形，再结合矩形的内角为直角的性质，即可推出原四边形对角线满足的条件． 【详解】解：如图：设，，，分别是四边形的边，，，的中点， ， 根据三角形中位线定理可得：，，，，，， ，， 四边形是平行四边形， 四边形是矩形， ， ，， ． 3．【猜想结论】如图1，在中，点、分别是边、的中点，可以根据度量或目测猜想结论：且. 【验证结论】 (1)如图2，是小丽同学所作的辅助线，延长至，使得，连接，根据所作的辅助线，求证：，且． 【应用结论】 (2)如图3，在四边形中，点、、、分别为边、、、的中点，顺次连接四边形各边中点得到新四边形，请利用上述结论和符号语言说明四边形是平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了三角形中位线性质的证明和应用，平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质等知识，掌握三角形中位线的性质是解题的关键． （）先证明可得，，可得四边形是平行四边形，由此即可得出结论. （）连接，利用三角形中位线的性质分别得到，，，，即可得到，，进而由平行四边形的判定定理即可求证； 【详解】（1）证明：延长至，使得，连接， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴（）， ∴，， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴. （2）证明：连接， ∵点分别为边的中点，    ∴，， 同理可得，， ∴，， ∴四边形是平行四边形． 题型13.用平行四边形的对称性求阴影面积 1．下图中，阴影部分面积与其他三幅不相等的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】运用平行四边形的面积，三角形的面积公式，先计算出每个阴影部分的面积，比较大小即可． 【详解】解：设平行四边形的面积为S， A选项中阴影部分面积小于，B、C、D三个选项中阴影部分的面积都等于， ∴阴影部分面积与其他三幅不相等的是A选项． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了图形面积的计算，解题的关键是根据平行四边形的面积得出各个图形中阴影部分的面积． 2．如图，点，分别是矩形的边，的中点，两条平行线，分别经过菱形的顶点，和边，的中点，，已知菱形的面积为，则图中阴影部分的面积和为___________．（用含的代数式表示） 【答案】 【分析】连接、交于点，设交于点，交于点，连接，由、分别是、的中点，得，，得出四边形是平行四边形，再利用四边形是菱形，可得，，，利用证明，再利用证明，从而得出，根据菱形的面积为，进而得出，运用平行四边形面积可得，，最后根据即可求得答案． 【详解】解：如图，连接、交于点，设交于点，交于点，连接， 四边形是矩形， ，，， 、分别是、的中点， ，， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， ，，， 四边形是菱形， ，， ， ， ， ， 点是的中点， ， 在和中，， ， ， ， ，，， 点是矩形的中心，即、、三点在同一条直线上， ， ， ， 在和中，， ， ， ，， 四边形是平行四边形， 同理，四边形是平行四边形， ， ， 同理可得，， ， 菱形的面积为， ， ， ， ， ， ； 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形性质，平行四边形的判定与性质，菱形性质，全等三角形判定和性质，平行四边形面积等知识点，熟练掌握平行四边形的判定与性质及全等三角形判定和性质等相关知识是解题关键． 3．如图所示，四边形是正方形的内接四边形，与都是锐角，已知，，四边形的面积是．求正方形的面积．    【答案】 【分析】过点，，，，分别作，，，的垂线，分别交于,于，于,于,得矩形，利用勾股定理表示出，，然后由，，，，推出，即可得出，得到最后结果． 【详解】解：过点，，，，分别作，，，的垂线，分别交于,于，于,于,得矩形，      设正方形的边长为，，， ，，，， ，，四边形的面积为， ，， 由，，，， 得到， ， 即， 又四边形的面积是， ， 解得：，即正方形的面积为． 【点睛】本题主要考查了三角形的面积、正方形的性质以及勾股定理，此题难度较大，在解题时需灵活运用图中的直角三角形和矩形的性质． 题型14.（特殊）平行四边形的动点问题 1．如图，在矩形中，分别是边上的动点，点从出发到停止运动，点从出发到停止运动，若P，Q两点以相同的速度同时出发，匀速运动．下面四个结论中：①存在四边形是矩形；②存在四边形是菱形；③存在四边形是矩形；④存在四边形是正方形．所有正确结论的序号是（　　） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 【答案】A 【分析】设两点速度为每秒1个单位长度，则，，由题意可得四边形是平行四边形，再利用矩形，菱形，正方形的性质分别进行求解即可． 【详解】解：设两点速度为每秒1个单位长度，则，， ∵四边形是矩形，， ∴，，， ∴四边形是平行四边形， 当时，点与点重合，点与点重合，此时四边形是矩形，故①正确； 当四边形是菱形时，， 则，解得：，符合题意， 即：当时，四边形是菱形，故②正确； 当四边形是矩形时，，则，解得， 即：当时，四边形是矩形，故③正确； 当四边形是正方形时，， 则，解得，但此时，不符合题意，故④不正确， 综上，正确的有①②③， 故选：A． 【点睛】本题考查动点问题，特殊四边形的存在问题，特殊四边形的性质等知识点，理解并熟练掌握相关图象的性质是解决问题的关键． 2．如图，在四边形中，，，，、分别从、两点同时出发，以的速度由向运动，以的速度由向运动．当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止．经过_________秒，直线将四边形截出一个平行四边形． 【答案】或 【分析】根据平行四边形的性质可知当直线将四边形截出一个平行四边形时，或，设运动时间为，可得，，根据或列方程求解即可． 【详解】解：设运动时间为， ∵， ∴当直线将四边形截出一个平行四边形时，或， ∵、的速度分别为和， ∴，， ∵，， ∴当时，， 解得：， 当时，， 解得：． 综上所述：经过或秒，直线将四边形截出一个平行四边形． 3．如图，在Rt中，，，．点从点出发沿方向以每秒2个单位长的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以每秒1个单位长的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点、运动的时间是秒．过点作于点，连接． (1)求证：； (2)四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，直接写出相应的值；如果不能，说明理由． (3)当为何值时，四边形为矩形？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)能， (3)，见解析 【分析】本题考查菱形的判定与性质，矩形的性质，含角的直角三角形的性质，能够利用代数式表示相关边的长度是解题的关键． （1）根据在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半，即可证得； （2）由（1）易证四边形为平行四边形，根据邻边相等的平行四边形为菱形，即可求解； （3）根据矩形的性质即可求解． 【详解】（1）解：在中，， ． 又， ； （2）解：能，时，四边形能够成为菱形．理由如下： ， ． 由勾股定理得，， ， ， ， 又， 四边形为平行四边形， 若使四边形为菱形，则需， 即， 解得：． 即当时，四边形为菱形； （3）当秒时，四边形为矩形．理由如下： 当时， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴平行四边形为矩形， 由（1）可知，，, 则此时，解得． 题型15.四边形中的线段最值问题 1．如图，在矩形中，，，是上一动点，平行于交于，是上一动点，平行于交于，则的最小值为（    ） A．5 B．10 C．12 D．13 【答案】D 【分析】本题考查矩形的性质和判定，解题的关键是学会用转化的思想思考问题．设交于，连接、．由四边形、四边形是矩形，推出，，推出，由，即可解决问题． 【详解】解：如图，设交于，连接、、． 四边形是矩形，，， 可得四边形、四边形是矩形， ，， ， ，， 的最小值为13， 的最小值为13． 2．如图，矩形中，，点是边上的动点，点在边上，．连接，则的最小值为___． 【答案】 【分析】如图，延长，使，连接，，求解，证明，可得，当共线时，最小，再进一步求解即可． 【详解】解：如图，延长，使，连接，， ∵矩形，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 当共线时，最小， ∴， ∴的最小值为． 3．定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”，如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”． (1)下列四边形中一定是“中方四边形”的是______． A．平行四边形            B．矩形            C．菱形            D．正方形 (2)如图，已知四边形是“中方四边形”，、分别是、的中点． ①试探索与的数量关系，并说明理由； ②若线段的长度为，则的最小值是______．（不需要解答过程） 【答案】(1)D (2)①，见解析；② 【分析】本题考查了三角形的中位线的性质，正方形的判定和性质，勾股定理等知识，理解“中方四边形”的定义并运用是本题的关键． （1）由正方形对角线相等且互相垂直可得答案； （2）①如图，记、的中点分别为、，可得四边形是正方形，再根据等腰直角三角形性质与三角形的中位线的性质即可证得结论． ②令与的交点为，连接、，当点在上(即、、共线)时，最小，最小值为的长，得到，，再根据①可知，从而计算的最小值，进而求解； 【详解】（1）解：∵在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，正方形的对角线相等且互相垂直， ∴一定是“中方四边形”的是正方形； 故选：D； （2）解：①如图，记、的中点分别为、，连接，，， ∵四边形是“中方四边形”，，分别是，的中点， ∴四边形是正方形， ，， ， ，分别是，的中点， ， ； ②令与的交点为，连接、； 由①可知，； 当点在上(即、、共线)时，最小，最小值为的长， 的最小值， 由题意可知；为正方形； ， ，， ， ，分别是，的中点， ，， ， 的最小值， 即时，最小，即最小； 线段的长度为， 则； 故； 故答案为： 题型16.四边形其他综合问题 1．如图，在中，O为的中点，点E，M为同一边上任意两个不重合的动点（不与端点重合），的延长线分别与的另一边交于点F，N，连接，下面四个推断： ①；②；③若是菱形，则至少存在一个四边形是菱形；④对于任意的，存在无数个四边形是矩形；其中所有正确的有（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的判定，菱形的判定和性质，平行四边形的性质与判定，全等三角形的判定和性质，证明四边形是平行四边形是解题的关键． 由“”可证，，可证四边形是平行四边形，可得，与不一定相等，故①错误，②正确，由菱形的判定和性质和矩形的判定可判断③错误，④正确． 【详解】解：如图1，∵O为对角线的中点， ∴，， ∴， 在和中， ，    ∴， ∴， 同理可得：， ∴，即； 又∵， ∴四边形是平行四边形，   ∴，故②正确； 根据现有条件无法证明，故①错误． 若平行四边形是菱形，则， ∴， ∵点E，M为边上任意两个不重合的动点(不与端点重合)， ∴， ∴四边形不可能是菱形，故③不正确； 如图2，当时，则， ∵四边形是平行四边形， ∴边形是矩形， 又∵存在无数个点E、M满足， ∴对于任意的，存在无数个四边形是矩形，故④正确；        综上所述，正确结论为②④． 故选：D． 2．【阅读材料】如图①，四边形中，，，点，分别在，上，若，则． 【解决问题】如图②，在某公园的同一水平面上，四条道路围成四边形．已知，，，，道路，上分别有景点，，且，，若在，之间修一条直路，则路线的长比路线的长少_________（结果取整数，参考数据：）． 【答案】370 【分析】延长交于点，根据已知条件求得,进而根据含30度角的直角三角形的性质，求得，，从而求得的长，根据材料可得，即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点，连接， ，，， ，， 是等边三角形， , , 在中，，， ，， ， 中，，， ， ， ， 中， 是等腰直角三角形 由阅读材料可得， 路线的长比路线的长少． 故答案为：370． 【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，理解题意是解题的关键． 3．新定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的四边形叫做“等对角四边形”． (1)如图1，若四边形是“等对角四边形”，，，，则的度数为_________． (2)如图2，“等对角四边形”，已知：，，你认为成立吗？若成立，请你证明此结论，若不成立，请说明理由． 【答案】(1)135 (2)成立，见解析 【分析】（1）根据新定义，得，结合，，计算即可． （2）连接，根据得到，结合，得到，继而得到得证． 本题考查了四边形综合题，新定义难题，等腰三角形的判定和性质，四边形的内角和定理，熟练掌握新定义，等腰三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：根据新定义，得， ∵，， ∴， 故答案为：135． （2）连接， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 分层精练 一、单选题 1．如图，点，，将线段平移到线段，连接，若，，则点D的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点D作轴于点H，先根据平移的性质证明四边形是平行四边形，结合，，得出四边形是正方形，再证，推出，，即可求解． 【详解】解：点，， ，， 如图，过点D作轴于点H， 线段平移到线段， ，， 四边形是平行四边形， ，， 四边形是正方形， ，， ， 又， ， 又，， ， ，， ， 点的坐标是． 2．如图，四边形和是两个不全等的正方形，连接交于，如果面积为，则面积为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接、，由正方形的性质可得，，则，，结合等量代换可得． 【详解】解：如图，连接、， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 3．我们将宽与长之比为的矩形称为黄金矩形．如图，矩形为黄金矩形（），在其内部作正方形，若矩形的边，那么的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据黄金矩形的定义求出的长，由矩形的性质和正方形的性质求出的长即可得到答案． 【详解】解：∵四边形为黄金矩形（）， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴． 二、填空题 4．如图，大、小两个正方形连在一起，大正方形的面积为20，小正方形的面积为12，则阴影部分的面积为_________． 【答案】10 【分析】连接，根据正方形的性质推出，则和等底等高，所以，，，即阴影部分的面积等于大正方形的面积的一半． 【详解】解：如图，连接， ∵、为正方形的对角线， ∴， ∴， ∴和等底等高， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵大正方形的面积为20， ∴． 即阴影部分的面积为10． 5．如图，在正方形中，E，F分别是，边上的点，．设，，则的面积为______________．(结果用含a，b的代数式表示)    【答案】 【分析】延长至点，使，连接，利用正方形的性质和全等三角形的判定与性质证明，从而得出，设，，利用勾股定理和完全平方公式建立关于的方程组，求出的值即可求解． 【详解】解：如图，延长至点，使，连接，   四边形是正方形， ，， ， 在和中 ， ， ， ， ， ， ， 在和中 ， ， ， ， ， 设，， ， ，， ， ， ， 在中，由勾股定理得 ， ， ， ， ， ， ． 6．如图，把一个等腰直角△ABC纸片沿斜边上的高CD（裁剪线）剪一刀，再把剪得的三角形纸片与剩下的部分重新拼接，能拼成的特殊四边形是_________． 【答案】平行四边形或正方形/正方形或平行四边形 【分析】先根据等腰三角形的性质可得,,进而可得，再根据题意拼接成四边形，进而证明四边形是正方形或者平行四边形即可 【详解】根据题意，是等腰三角形 , ， 又 ①如图，若拼成如下图形，则 四边形是菱形， 又 四边形是正方形 ②如图， 四边形是平行四边 故答案为：平行四边形或正方形 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，正方形和平行四边形的判定，掌握特殊四边形的判定是解题的关键． 三、解答题 7．如图，已知在菱形中，点为对角线上一点，连结，过点作，与交于点，． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）通过证明和全等得到、，结合推出，进而证得； （2）利用菱形性质、全等三角形判定与性质，结合等腰三角形三线合一、矩形及正方形的判定，推导得出． 【详解】（1）解：∵四边形是菱形，是对角线， ∴，． 在和中， ， ∴（）， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：∵四边形是菱形，是对角线， ∴，． 在和中， ， ∴（）， ∴． 又∵， ∴， ∴是等腰三角形． 过点作于，交于， ∴（等腰三角形三线合一）． ∵四边形是菱形，，， ∴， ∴， ∵，， ∴ ∵是菱形对角线， ∴， 又∵，， ∴（）， ∴， ∴． 又∵， ∴． ∵四边形是菱形， ∴菱形是正方形， ∴． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、正方形的判定，熟练掌握菱形的性质及全等三角形的判定方法是解题的关键． 8．已知，矩形中，，，的垂直平分线分别交、于点、，垂足为． (1)如图1，连接、．求证四边形为菱形，并求的长； (2)如图2，动点、分别从、两点同时出发，沿和各边匀速运动一周．即点自停止，点自停止．在运动过程中， ①已知点的速度为每秒，点的速度为每秒，运动时间为秒，当、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时，求的值． ②若点、的运动路程分别为、（单位：，），已知、、、四点为顶点的四边形是平行四边形，求与满足的数量关系式． 【答案】(1)证明见解析； (2)①秒；②与满足的数量关系式是 【分析】（1）先证明四边形为平行四边形，再根据对角线互相垂直平分的平行四边形是菱形作出判定；根据勾股定理即可求得的长； （2）①分情况讨论可知，当P点在上、Q点在上时，才能构成平行四边形，根据平行四边形的性质列出方程求解即可． ②由题意得，以A、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时，点、在互相平行的对应边上，分三种情况，根据平行四边形对边相等建立等式即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴， ∴，＝， ∵垂直平分，垂足为， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， 又， ∴四边形为菱形． 设菱形的边长，则， 在中，， 由勾股定理得， 解得， ∴． （2）①显然当P点在上时，Q点在上， 此时A、 C、P、Q四点不可能构成平行四边形； 同理P点在上时，Q点在或上或P在上， Q在时不构成平行四边形，也不能构成平行四边形． 因此只有当P点在上、Q点在上时，才能构成平行四边形， ∴以A、 C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，， ∵点P的速度为每秒5 cm，点Q的速度为每秒4 cm，运动时间为t秒， ∴，＝，即＝， ， 解得， 以A、 C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，秒． ②由题意得，四边形是平行四边形时，点、在互相平行的对应边上． 分三种情况： i）如图1，当点在上、点在上时，，即，得； ii）如图2，当点在上、点在上时，，即，得； iii）如图3，当点在上、点在上时，，即，得． 综上所述，与满足的数量关系式是． 9．如图，在中，，，，点为上一个动点，连接，以，为邻边作平行四边形，连接交于点． (1)若，求的长； (2)当长为何值时，平行四边形是菱形？为什么？ (3)在点P的运动过程中，线段的长度是否存在最小值，若存在，请直接写出最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)3 (2)当时平行四边形是菱形，理由见解析 (3)存在最小值 【分析】（1）当时，平行四边形是矩形，此时，据此求出即可； （2）当时，，此时平行四边形是菱形； （3）设与交于点，作于．首先求出，当与重合时，的值最小，的最小值． 【详解】（1）当时，平行四边形是矩形，则， ，， ， ，， ； （2），当时， ∴，此时平行四边形是菱形， ，，， ， ； （3）如图，设与交于点，作于．    在中，， ，， 四边形是平行四边形， ， ，， ， 当与重合时，的值最小，则的值最小， 的最小值． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了平行四边形的性质，矩形的判定，菱形的判定，垂线段最短，30度直角三角形性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07正方形 专项训练 题型梳理归纳 题型1.正方形性质理解 题型2.根据正方形的性质求角度 题型3.根据正方形的性质求线段长 题型4.根据正方形的性质求面积 题型5正方形折叠问题 题型6.求正方形重叠部分面积 题型7.正方形的判定定理理解 题型8.添加一个条件使四边形是正方形 题型9证明四边形是正方形 题型10.正方形的性质与判定综合应用 题型11正方形的性质与判定证明 题型12.中点四边形问题 题型13.用平行四边形的对称性求阴影面积 题型14.（特殊）平行四边形的动点问题 题型15.四边形中的线段最值问题 题型16.四边形其他综合问题 题型17.分层练习9题 核心题型精讲 题型1.正方形性质理解 1．正方形具有而矩形不一定具有的性质是（  ） A．对角相等 B．对角线相等 C．邻边互相垂直 D．对角线互相垂直 2．平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系如图所示，其中A区域图形具有而B区域图形不具有的性质是______（写出一个即可）． 3．如图，点是正方形对角线的延长线上任意一点，以线段为边作一个正方形，连接、，和相交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 题型2.根据正方形的性质求角度 1．如图，在正方形中，点在对角线的延长线上，且满足，连接，则（    ） A． B． C． D． 2．如图，点是正方形外一点，且，连接，，交于点，连接．若，则的度数是________． 3．正方形中，点是边上的任意一点，连接，作，连接，． (1)当时，求的度数； (2)当时，，请直接写出正方形的边长为______． 题型3.根据正方形的性质求线段长 1．如图所示的图形是由两个直角三角形和三个正方形组成的，其中三个正方形阴影部分的面积和是90，大直角三角形一边长为6，则斜边长（   ） A．8 B．9 C．10 D．12 2．如图，在正方形中，点E为正方形内一点，且，，若，则的长为_______． 3．如图，点是边长为4的正方形的边上任意一点，过点作于点，过点作于点，连接．    (1)如图1，若点是的中点，求的长； (2)如图2，当点在边上运动时（不与、重合），请写出线段、、的关系并说明理由． 题型4.根据正方形的性质求面积 1．如图，正方形的边长为，以为边在正方形外作等边三角形，连接，，则的面积为（     ） A． B． C． D． 2．如图，小正方形和大正方形相邻，且B、C、G三点在同一条直线上，C、D、E三点在同一条直线上，连接．若阴影部分的面积为16，则大正方形的面积与小正方形的面积之差为___． 3．如图，、为正方形的对角线，若，求正方形的面积． 题型5正方形折叠问题 1．如图，正方形中，，点在边上，且．将沿对折至，延长交边于点，连接．下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（    ） A．①②④ B．①②③ C．④③② D．①③④ 2．边长为的正方形中，是边上的动点，以为折痕将翻折，使点落在处，延长交于点． （1）若，，三点共线，则________； （2）若，则________． 3．综合与实践：折纸， 素材：一张正方形纸片 步骤：（1）如图，将正方形纸片对折，沿折痕剪开，取其中一张矩形，将矩形对折，使边与重合，折痕交于点，展开； （2）分别将、沿过点的直线折叠，点，重合于点处，折痕分别交、于点、． 猜想与证明： (1)直接写出与的位置关系和数量关系； (2)证明（1）中你发现的结论． 题型6.求正方形重叠部分面积 1．如图，正方形的对角线相交于点，点又是另一个正方形的一个顶点．如果两个正方形的边长均为2，则两个正方形重叠部分的面积为（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 2．如图：现有甲、乙两个正方形纸片，将甲、乙并列放置后得到图1，已知甲、乙两个正方形边长之和为8，点H为的中点，连接．将乙纸片放到甲的内部得到图2，图2的阴影部分面积为6，则图1的阴影部分面积为__________． 3．【教材呈现】下图是华师版八年级下册数学教材第121页的部分内容．如图，在正方形中，．    (1)求证：． (2)【结论应用】如图②，设，相交于点G，若，图中阴影部分的面积和与正方形的面积之比为，则的面积为______，的长为______．    题型7.正方形的判定定理理解 1．如图，在正方形中，E、F、G、H分别为，，，边上的动点，且．设，，，，则下列结论正确的是（） A． B． C． D． 2．如图，在正方形中，点E在边上，点F在的延长线上，且，点H为中点，连接和，M为的中点，连接，作于点G，若，则_______． 3．如图，四边形是正方形，是边上一点，于点，且交于点．已知，求的长度． 题型8.添加一个条件使四边形是正方形 1．下列说法错误的是（   ） A．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 B．对角线互相垂直的平行四边形是正方形 C．每组邻边都相等的四边形是菱形 D．四个角都相等的四边形是矩形 2．如图，平行四边形中，过作于，交于，过作于，交于，连结，那么： ①； ②四边形是平行四边形； ③当时，四边形是菱形； ④当分别是中点时，四边形是正方形． 则下列结论中正确的有 _____________． 3．如图，在矩形中，连接，点是的中点，点是的中点，连接并延长交于点，，求证：四边形是正方形．    题型9证明四边形是正方形 1．如图，四边形是平行四边形，下列说法不正确的是（    ） A．当时，四边形是矩形 B．当时，四边形是菱形 C．当时，四边形是菱形 D．当时，四边形是正方形 2．如图，菱形的对角线相交于点O，请你添加一个条件：________ ， 使得该菱形为正方形． 3．已知：如图，在中，点是它的对称中心，过点分别作于M，于N，． (1)求证：是菱形； (2)请添加一个条件______，使是正方形．（写出所有正确答案的序号） ①；②M是的中点；③；④． 题型10.正方形的性质与判定综合应用 1．下列条件： ①对角线互相垂直且相等的平行四边形； ②对角线互相垂直的矩形； ③对角线相等的菱形； ④对角线互相垂直平分且相等的四边形； ⑤有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形． 其中能判定四边形为正方形的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．四边形的对角线、相交于点O，给出下列6个条件：①；②；③；④；⑤；⑥；请从中选取4个条件，使四边形为正方形，你的选择是__________（写出一种即可） 3．综合探究 (1)如图，在四边形中，，，，分别为，，，的中点，当 时，四边形为正方形； (2)如图，在四边形中，，，，分别为，，，的中点． 当 时，四边形为矩形； 当 时，四边形为菱形． (3)如图，在四边形中，，，，分别为，，，的中点．若，，试判断四边形的形状并加以证明． 题型11正方形的性质与判定证明 1．如图，在正方形ABCD中，以对角线BD为边作菱形BDFE，连接BF，则∠AFB＝（　　） A．22.5° B．25° C．30° D．不能确定 2．如图，正方形中，，是对角线，E是上一点，过点E作，垂足为F，连接，若，则的长为__________． 3．我们知道：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形．类似地，我们定义：至少有一组对角是直角的四边形叫做对角直角四边形． (1)下列图形：①有一个内角为的平行四边形；②矩形；③菱形； ④直角梯形，其中对角直角四边形是 （只填序号）； (2)如图，菱形的对角线，相交于点，在菱形的外部以为斜边作等腰直角，连接． ①求证：四边形是对角直角四边形； ②若点到的距离是2，求四边形的面积． 题型12.中点四边形问题 1．某矩形的对角线长度为8，顺次连接该矩形各边的中点，得到新的四边形，则新四边形的边长为（    ） A．2 B．4 C．8 D．不确定 2．若顺次连接四边形各边中点所得四边形是矩形，则原四边形的对角线必须满足条件______． 3．【猜想结论】如图1，在中，点、分别是边、的中点，可以根据度量或目测猜想结论：且. 【验证结论】 (1)如图2，是小丽同学所作的辅助线，延长至，使得，连接，根据所作的辅助线，求证：，且． 【应用结论】 (2)如图3，在四边形中，点、、、分别为边、、、的中点，顺次连接四边形各边中点得到新四边形，请利用上述结论和符号语言说明四边形是平行四边形． 题型13.用平行四边形的对称性求阴影面积 1．下图中，阴影部分面积与其他三幅不相等的是（    ） A．   B． C．    D．   2．如图，点，分别是矩形的边，的中点，两条平行线，分别经过菱形的顶点，和边，的中点，，已知菱形的面积为，则图中阴影部分的面积和为___________．（用含的代数式表示） 3．如图所示，四边形是正方形的内接四边形，与都是锐角，已知，，四边形的面积是．求正方形的面积．    题型14.（特殊）平行四边形的动点问题 1．如图，在矩形中，分别是边上的动点，点从出发到停止运动，点从出发到停止运动，若P，Q两点以相同的速度同时出发，匀速运动．下面四个结论中：①存在四边形是矩形；②存在四边形是菱形；③存在四边形是矩形；④存在四边形是正方形．所有正确结论的序号是（　　） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 2．如图，在四边形中，，，，、分别从、两点同时出发，以的速度由向运动，以的速度由向运动．当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止．经过_________秒，直线将四边形截出一个平行四边形． 3．如图，在Rt中，，，．点从点出发沿方向以每秒2个单位长的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以每秒1个单位长的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点、运动的时间是秒．过点作于点，连接． (1)求证：； (2)四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，直接写出相应的值；如果不能，说明理由． (3)当为何值时，四边形为矩形？请说明理由． 题型15.四边形中的线段最值问题 1．如图，在矩形中，，，是上一动点，平行于交于，是上一动点，平行于交于，则的最小值为（    ） A．5 B．10 C．12 D．13 2．如图，矩形中，，点是边上的动点，点在边上，．连接，则的最小值为___． 3．定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”，如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”． (1)下列四边形中一定是“中方四边形”的是______． A．平行四边形            B．矩形            C．菱形            D．正方形 (2)如图，已知四边形是“中方四边形”，、分别是、的中点． ①试探索与的数量关系，并说明理由； ②若线段的长度为，则的最小值是______．（不需要解答过程） 题型16.四边形其他综合问题 1．如图，在中，O为的中点，点E，M为同一边上任意两个不重合的动点（不与端点重合），的延长线分别与的另一边交于点F，N，连接，下面四个推断： ①；②；③若是菱形，则至少存在一个四边形是菱形；④对于任意的，存在无数个四边形是矩形；其中所有正确的有（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 2．【阅读材料】如图①，四边形中，，，点，分别在，上，若，则． 【解决问题】如图②，在某公园的同一水平面上，四条道路围成四边形．已知，，，，道路，上分别有景点，，且，，若在，之间修一条直路，则路线的长比路线的长少_________（结果取整数，参考数据：）． 3．新定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的四边形叫做“等对角四边形”． (1)如图1，若四边形是“等对角四边形”，，，，则的度数为_________． (2)如图2，“等对角四边形”，已知：，，你认为成立吗？若成立，请你证明此结论，若不成立，请说明理由． 分层精练 一、单选题 1．如图，点，，将线段平移到线段，连接，若，，则点D的坐标是（   ） A． B． C． D． 2．如图，四边形和是两个不全等的正方形，连接交于，如果面积为，则面积为（   ）． A． B． C． D． 3．我们将宽与长之比为的矩形称为黄金矩形．如图，矩形为黄金矩形（），在其内部作正方形，若矩形的边，那么的长为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 4．如图，大、小两个正方形连在一起，大正方形的面积为20，小正方形的面积为12，则阴影部分的面积为_________． 5．如图，在正方形中，E，F分别是，边上的点，．设，，则的面积为______________．(结果用含a，b的代数式表示)    6．如图，把一个等腰直角△ABC纸片沿斜边上的高CD（裁剪线）剪一刀，再把剪得的三角形纸片与剩下的部分重新拼接，能拼成的特殊四边形是_________． 三、解答题 7．如图，已知在菱形中，点为对角线上一点，连结，过点作，与交于点，． (1)求证：； (2)求证：． 8．已知，矩形中，，，的垂直平分线分别交、于点、，垂足为． (1)如图1，连接、．求证四边形为菱形，并求的长； (2)如图2，动点、分别从、两点同时出发，沿和各边匀速运动一周．即点自停止，点自停止．在运动过程中， ①已知点的速度为每秒，点的速度为每秒，运动时间为秒，当、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时，求的值． ②若点、的运动路程分别为、（单位：，），已知、、、四点为顶点的四边形是平行四边形，求与满足的数量关系式． 9．如图，在中，，，，点为上一个动点，连接，以，为邻边作平行四边形，连接交于点． (1)若，求的长； (2)当长为何值时，平行四边形是菱形？为什么？ (3)在点P的运动过程中，线段的长度是否存在最小值，若存在，请直接写出最小值；若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $