专题05矩形 专项训练（11大核心题型精讲+分层训练突破）-2025-2026学年人教版数学八年级下学期.

**基本信息** 聚焦矩形性质与判定，通过11类核心题型+分层精练构建“概念-性质-判定-综合应用”的完整逻辑链，强化几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |核心题型精讲|11类题型，每类3题|涵盖性质理解、角度/线段/面积计算、证明、坐标系、折叠、判定等|从性质基础认知到判定应用，结合折叠、动态问题等综合场景，形成递进式知识链| |分层精练|9题（选择3/填空3/解答3）|基础巩固到综合拔高，含中点、折叠等高频考点|通过变式训练深化性质与判定的关联，培养空间观念与应用意识|

专题05矩形 专项训练 题型梳理归纳 题型1.矩形性质理解 题型2.利用矩形的性质求角度 题型3.利用矩形的性质求线段长 题型4.利用矩形的性质求面积 题型5.利用矩形的性质证明 题型6.求矩形在坐标系中的坐标 题型7.矩形与折叠问题 题型8.斜边的中线等于斜边的一半 题型9.矩形的判定定理 题型10.添加条件使四边形是矩形 题型11.矩形性质与判定的综合应用 题型12.分层练习9题 核心题型精讲 题型1.矩形性质理解 1．矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（    ） A．对边平行 B．对边相等 C．对角线互相平分 D．对角线相等 【答案】D 【分析】平行四边形的性质为：对边平行且相等，对角线互相平分．矩形是特殊的平行四边形，矩形除了具有平行四边形的所有性质，还具有对角线相等，四个角都是直角的特有性质． 【详解】解：对边平行，对边相等，对角线互相平分都是平行四边形和矩形共有的性质，故A，B，C不符合要求． 对角线相等是矩形具有而平行四边形不一定具有的性质，故D符合要求． 2．如图，若将四根木条钉成的矩形木框变形为的形状，并使其面积变为矩形面积的一半，则的最小内角的大小为_____________． 【答案】/度 【分析】过点作于点，可知在中，，取中点，连接，可证得为等边三角形，可知，则． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵平行四边形的面积为矩形的一半且同底， ∴平行四边形的高是矩形宽的一半． 在中，， 取中点，连接， 则， ∴，则为等边三角形， ∴， 则． 3．某居民小区有块矩形绿地，矩形绿地的长为，宽为，现要在矩形绿地中间修建一个小矩形花坛（阴影部分），小矩形花坛的长为，宽为． (1)求矩形的周长．（结果化为最简二次根式） (2)除去修建花坛的地方，其他地方全修建为通道，通道上要铺设价为6元的地砖，要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？（结果化为最简二次根式） 【答案】(1) (2)元 【分析】（1）根据矩形的周长计算即可； （2）分别算出矩形，花坛的面积后得到通道的面积，结合题意即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴矩形的周长； （2）解：∵矩形绿地的长为，宽为，小矩形花坛的长为，宽为， ∴矩形绿地的面积为，花坛的面积为， ∴通道的面积为， ∵通道上要铺设价为6元的地砖， ∴购买地砖需要花费元． 题型2.利用矩形的性质求角度 1．如图，在矩形中，．按以下步骤作图：①分别以点A，C为圆心，大于线段的长为半径画弧，两弧交于点E，F；②作直线交于点G；③连接，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由矩形的性质可得，，则，，由作图可得垂直平分，则，从而可得，由此计算即可得出结果． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，， ∴，， 由作图可得：垂直平分， ∴， ∴， ∴． 2．如图，在矩形中，对角线、相交于点，若，则等于_____． 【答案】28 【分析】根据矩形的对角线相等且互相平分可得，利用等边对等角可得，再结合三角形外角的性质即可求解． 【详解】解：四边形是矩形， ，，， ， ， 是的外角， ， ， ， ． 3．如图，在矩形中，对角线与交于点，点是上一点，连接，若，．求的度数． 【答案】 【分析】根据矩形的性质得到，，，，可知，根据等边对等角得到，则，根据等边对等角即可求出的度数． 【详解】解：∵四边形是矩形，对角线与交于点， ∴，，，， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． 题型3.利用矩形的性质求线段长 1．如图，四边形是矩形，，，则的长为（    ） A．6 B．8 C． D．10 【答案】B 【分析】根据矩形的性质得出，利用邻补角求出，判定为等边三角形即可求解． 【详解】解：四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ，， 是等边三角形， ． 2．在矩形中，的平分线交边所在的直线于点，若，，则边的长为______． 【答案】或 【分析】分点在边上和点在的延长线上两种情况讨论，利用矩形的性质和角平分线的定义得到线段关系，再结合勾股定理计算的长度． 【详解】解：四边形是矩形， ，，，， 平分， ， ， ， ， ， 在直角中，，，， 由勾股定理得：， 当点在边上时， ， ； 当点在的延长线上时， ， ； 综上所述，的长为或． 3．已知：如图，在矩形中，点E为上一点，平分，点F为的中点，． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相关性质，根据勾股定理构造出方程． （1）根据矩形的性质可得，再根据角平分线可得，从而得到，即可求证； （2）根据F为的中点，可得，设，根据线段之间的关系，得到，，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：∵矩形中，， ∴， ∵平分， ∴，则， ∴； （2）解：∵F为的中点，， ∴， 设，则，， ∵矩形， ∴，，， ∵， ∴，则， ∴， 在中，∵， ∴，解得，则， 在中，． 题型4.利用矩形的性质求面积 1．学校花圃设计成矩形．如图，在矩形中，对角线，相交于点O，过点O的直线交，于点E，F．若，，则图中阴影部分的面积为（   ） A．5 B．6 C．4 D．3 【答案】B 【分析】根据矩形的性质得到，证明，得到，结合题意得到阴影部分的面积为的面积，由此即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形，，， ∴，，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积 2．如图，在长方形电子广告屏中，．动态效果设计如下：动点从点出发沿长方形的边以的速度向点运动，逐渐展开主体广告画面．当屏幕展开面积达到电子屏面积的时开始播放广告语，播放时间持续3，则播放结束时电子屏幕未展开的面积是________． 【答案】 【分析】先求出电子屏总面积，再根据展开面积达到总面积的条件，分情况求出开始播放的时间t，计算时的展开面积，最后用总面积减去该值得到未展开面积． 【详解】解：设点P的运动时间为t（单位：s）， 电子屏总面积：，展开面积达到时，， ， 解得， 播放结束时， ∴， ∴未展开面积为． 3．如图，平行四边形中，对角线交于点O，点E为的中点，于点F，点G为上一点，连接，且． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，，，求矩形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由矩形的性质得，由点O为的中点，点E为的中点，得，因为于点F，点G为上一点，所以，因为，所以四边形为平行四边形，而，则四边形为矩形． （2）由，，得，求得，由，，推导出，则，所以，则，求得． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，对角线交于点O， ∴， ∵点O为的中点，点E为的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵于点F，点G为上一点， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形． （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴矩形的面积为． 题型5.利用矩形的性质证明 1．按如图方式，将矩形木板截去一个直角三角形木板，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】延长交于点F，利用平行线的性质得，然后利用三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：如图， 延长交于点F， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵，， ∴． 2．如图，在矩形中，为对角线的中点，若，则______． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质、直角三角形的性质，根据矩形的性质可知，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得：． 【详解】解：四边形是矩形， ， 点是的中点， ． 故答案为：． 3．如图，在平行四边形中，O为对角线与的交点，M、N分别是的中点， (1)证明：； (2)若，证明：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据平行四边形的性质得，再根据中点的定义得，进而得出，然后说明四边形是平行四边形，则此题可证； （2）先说明，进而得出，再说明四边形是矩形，最后根据矩形的性质得出答案． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴． ∵点M，N分别是的中点， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∴， ∴， 即． ∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是矩形， ∴． 题型6.求矩形在坐标系中的坐标 1．定义：如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么称三角形为智慧三角形．如图，在平面直角坐标系中，矩形的边，，点，在边存在点，使得为智慧三角形，则点的坐标为（   ） A．或 B．或或 C．或 D．或或 【答案】D 【分析】由题意可知，智慧三角形是直角三角形，或，设，则，；分两种情况：①若，②若，根据勾股定理分别求出、、，并根据图形列出关于的方程，解得的值，则可得答案． 【详解】解：由题意可知，智慧三角形是直角三角形，或， 设，则，； ①若，在中，由勾股定理得： ， 在中，由勾股定理得： ， 在中，由勾股定理得： ， 又， ， ， 解得：或， 或； ②若，在中，由勾股定理得： ， 在中，由勾股定理得： ， ， 在中，由勾股定理得： ， ， 解得：， ． 综上，或或． 2．如图，四边形是矩形，点O，A，B的坐标分别为，，，则点C的坐标为_____． 【答案】 【分析】根据矩形的性质可知对边平行且相等，结合点、的坐标即可确定点的横纵坐标． 【详解】解：因为四边形是矩形， 所以，，且，， 因为点的坐标为，点的坐标为， 所以，， 所以，， 因为点在第一象限，则点的横坐标为，纵坐标为， 所以点的坐标为． 3．在平面直角坐标系中，已知、、、 (1)判断四边形的形状并求出面积； (2)点在四边形的内部（不包括边），直接写出，的取值范围． 【答案】(1)四边形是矩形，面积为18 (2)， 【分析】（1）根据点的坐标判定图形的形状，根据点的坐标求出线段的长度； （2）根据点的坐标确定点的坐标的取值范围． 【详解】（1）解：由、、、得， 点的横坐标相同，点的横坐标相同，点的纵坐标相同，点的纵坐标相同， ∴轴，轴，轴，轴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴； （2）解：∵点在四边形的内部（不包括边）， ∴由（1）可得，． 题型7.矩形与折叠问题 1．如图，将矩形沿对角线折叠，点落在处，交于点．将沿折叠，点落在内的处．若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由矩形的性质得到，推出，然后结合折叠的性质得到，进而求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形 ∴ ∴ 由折叠得， ∴ 由折叠得， ∴． 2．如图，在矩形中，，，点为射线上一个动点，将沿直线折叠，当点的对应点刚好落在线段的垂直平分线上时，的长为_______． 【答案】或 【分析】设的垂直平分线交于点，交直线于点，根据题意分两种情况点在矩形内部时，点在矩形外部（下方）时，构造直角三角形，结合矩形的性质和判定，折叠的性质，垂直平分线性质，勾股定理求解，即可解题． 【详解】解：设的垂直平分线交于点，交直线于点， ∵ 四边形是矩形，，， ∴，，， ∵垂直平分， ∴，，， ∴，， 由折叠的性质可知：，， 设，则， 分两种情况讨论： 情况一：当点在矩形内部时， 在中，， ， 在中， 由勾股定理得：即 ， 解得， ∴； 情况二：当点在矩形外部（下方）时， 在中，， ∴， 在中，， 由勾股定理得：， 即， 解得， ∴， 综上所述，的长为或， 故答案为：或． 3．综合与实践：折纸，操作简单，富有数学趣味，我们可以通过折纸开展数学探究，探索数学奥秘． 【动手操作】现有一张直角三角形纸片，，，，小明用这张直角三角形纸片进行折纸操作，折叠，折痕为，顶点的对应点是点． (1)①如图1，当点与点重合时，则的长为______； ②如图2，当点与点重合时，求的面积； (2)【类比操作】如图，折叠矩形的一角，使点落在边的点处，折痕交于点，若，，求的长． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】（1）①根据折叠的性质即可求解； ②根据折叠的性质及勾股定理求出的长，面积即可求解； （2）先根据折叠的性质及勾股定理在中求出，进而即可在中求出． 【详解】（1）解：①∵当点与点重合时， ∴； ②如图，当点与点重合时， 设， 则， 在中，∵， ， 解得， ， ； （2）解： ∵四边形是矩形， ，，， 由折叠得，，， 在中，， 即， 解得：， 又， ， 设，则， 在中，， ， 解得，即． 题型8.斜边的中线等于斜边的一半 1．如图，在中，，是的中点，，则的长是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直角三角形斜边的中线等于斜边的一半. 【详解】解：，是的中点，， ． 2．如图，，在中，，，，顶点B、C分别在边、上滑动，滑动过程中，点A到点O的最大距离为________． 【答案】25 【分析】取的中点M，连接，，由直角三角形斜边中线的性质得，在中，由勾股定理得，然后根据即可求出点A到点O的最大距离． 【详解】解：取的中点M，连接，，， ∵， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∵， ∴当O、M、A三点共线时，取得最大值，最大值为． 3．如图，在四边形中，． (1)求证：四边形是矩形； (2)点E是上一点，点F是的中点，连接，若 求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可解决问题； （2）根据勾股定理的逆定理证明是直角三角形，进而根据直角三角形斜边上的中线性质即可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴四边形是矩形； （2）解：∵ ∴， ∴， ∵点F是的中点， ∴． 题型9.矩形的判定定理 1．下列四边形是矩形的是（   ） A．对角线相等的四边形 B．对角线互相平分的四边形 C．对角线互相平分且相等的四边形 D．对角线互相垂直的平行四边形 【答案】C 【详解】解：选项A、对角线相等的四边形不一定是矩形，例如等腰梯形对角线相等但不是矩形，故A错误； 选项B、对角线互相平分的四边形是平行四边形，不一定是矩形，故B错误； 选项C、初中矩形判定定理明确：对角线互相平分且相等的四边形是矩形，符合判定规则，故C正确； 选项D、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，不是矩形，故D错误． 2．如图，用一根绳子检查一个平行四边形书架的侧边是否和上、下底都垂直，只需要用绳子分别测量书架的两条对角线，的长就可以判断，其数学依据是_____________________． 【答案】对角线相等的平行四边形是矩形 【分析】本题主要考查了矩形的判定定理，熟练掌握对角线相等的平行四边形是矩形这一判定方法是解题的关键． 先明确平行四边形的性质，再根据对角线相等的平行四边形是矩形这一判定定理，判断该平行四边形是否为矩形，从而得出侧边与上下底垂直的结论． 【详解】解：已知四边形是平行四边形， 若对角线， 则平行四边形是矩形， 其数学依据是对角线相等的平行四边形是矩形． 故答案为：对角线相等的平行四边形是矩形． 3．如图，的对角线相交于点O，是等边三角形，． (1)证明是矩形； (2)求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先根据平行四边形的性质可得，再根据等边三角形的性质可得，从而可得，然后根据矩形的判定即可得证； （2）先根据等边三角形的性质可得，从而可得，再根据矩形的性质可得，然后在中，利用勾股定理即可得的长，进而即可求出的面积． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ， 是等边三角形， ， ， 是矩形； （2）是等边三角形，， ， ， 由（1）已证：是矩形， ， 则在中，， 是矩形， ． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的性质、等边三角形的性质，勾股定理等知识点，熟练掌握矩形的判定与性质是解题关键． 题型10.添加条件使四边形是矩形 1．如图，在平行四边形中，是对角线，添加下列选项中的一个条件，不能判定平行四边形为矩形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据矩形的判定求解即可． 【详解】解：在平行四边形中，是对角线， ， ， ∵， ∴， ， ， ， 故平行四边形为矩形，故选项A能判定，不符合题意；     ， 故平行四边形为矩形，故选项B能判定，不符合题意； ， 故平行四边形为菱形，故C不能判定，符合题意； ， ， 故平行四边形为矩形，故选项D能判定，不符合题意． 2．如图，在中，相交于点O，，则当______时，四边形是矩形． 【答案】6 【分析】根据对角线相等的平行四边形是矩形，可得，再根据平行四边形的对角线互相平分，可得． 【详解】解：当是矩形时，， ． 3．如图，在中，点E是线段的中点，连接，，延长交的延长线于点F，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，当________时，四边形是矩形，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)13，理由见解析 【分析】（1）根据平行四边形的性质得，则，证明，得，根据对边平行且相等，即可证明四边形是平行四边形； （2）当时，，由平行四边形的性质得，则，根据对角线相等的平行四边形是矩形，即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵点E是线段的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：当时，四边形是矩形，理由如下： ∵四边形是平行四边形， ∴， 又∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形． 题型11.矩形性质与判定的综合应用 1．如图，在矩形ABCD中，对角线分得到的两个角的度数之比是，延长至点E，连接交于点，若上有一点，使得，且，则的长为（　　） A．2.5 B． C． D．3 【答案】D 【分析】由矩形中，对角线分得到的两个角的度数之比是，，且，得，，由，得，，由，得，得，得，即可得． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵对角线分得到的两个角的度数之比是， ∴设，则， ∴， 解得：， ∴，， ∴，， ∵， ∴设，， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查了矩形的性质，平行线的性质，三角形的外角定理，等腰三角形的判定，熟练掌握知识点是解题的关键． 2．若一个三角形三边长之比为，则称这个三角形为“勾股三角形”，如图，在矩形中，，，点在边上，将沿折叠，得到，过点作于点．若是“勾股三角形”，则的长为______． 【答案】或 【分析】过点作于点，则四边形是矩形．进而分两种情况讨论，①当，时，②当，时，结合图形，根据勾股定理，即可求解． 【详解】解：在矩形中，．将沿折叠，得到， ∴，，． 过点作于点，则四边形是矩形． ∴．若是“勾股三角形”， 分两种情况：①当，时，， 设，则， 在中，由勾股定理得， 即，解得． ②当，时，， 设，则， 在中，由勾股定理得， 即，解得． 综上：的长为或． 3．如图，和是两个全等的共斜边的直角三角形，，是的中点，连接，． （1）线段和的数量关系为__________； （2）分别过点，作于点，于点，连接，若，，则四边形的面积是__________． 【答案】 12 【分析】本题主要查了直角三角形斜边的性质，勾股定理，矩形的判定和性质． （1）根据直角三角形斜边的性质，即可求解； （2）过点M作于点N，由（1）得：，可得到，再由勾股定理可得的长，再证明四边形是矩形，即可求解． 【详解】解∶（1）∵，是的中点， ∴， ∴． 故答案为： （2）如图，过点M作于点N， 由（1）得：， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵和是两个全等的共斜边的直角三角形，，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴四边形的面积是． 故答案为：12 分层精练 一、单选题 1．顺次连接四边形四边的中点所得的四边形为矩形，则四边形一定满足（   ） A．两组对边分别相等 B．两条对角线互相平分 C．两条对角线互相垂直 D．四个角相等 【答案】C 【分析】根据中位线定理得到中点四边形边与原四边形对角线的关系，结合矩形性质推导即可． 【详解】解：点分别是四边形四边的中点，顺次连接得四边形为矩形，根据三角形中位线定理，可得：，， 四边形是矩形， ， ， 即四边形的两条对角线互相垂直， 2．如图，将矩形放置在刻度尺上，顶点，对应的刻度（单位：）分别为 和，则的长为（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据矩形的对角线相等，可得，先由刻度尺求出线段的长度，即可得到的长． 【详解】解： 四边形是矩形， ， 由题意，顶点对应刻度，顶点对应刻度， ， ． 3．如图，点是矩形的对角线上一点，过点作，分别交，于，，连接，，若，，则图中阴影部分的面积为（   ）    A．10 B．12 C．16 D．8 【答案】C 【分析】过点作构造矩形，利用矩形对角线平分所在矩形面积的性质，证明两个阴影三角形面积相等，算出单个阴影三角形面积进而求得阴影总面积． 【详解】解：如图，过点作，交于点，交于点， 则四边形、四边形、四边形、四边形为矩形，， ，，， ， ， ，， ， ． 二、填空题 4．如图，在平面直角坐标系中，矩形的对角线、相交于点，，，如果平行于轴，那么点的坐标为____________________ ． 【答案】 【分析】先根据矩形的性质得到，设 ，利用两点间距离公式求出点的坐标，再根据中点公式得到点的坐标． 【详解】解：∵四边形是矩形， ， 平行于轴，， 纵坐标都是． 设 ， ， ， ， 解得， ∴． ∵， 设， 由中点公式：，， ，， ． 5．如图，在中，，，，点是的中点，则长为________． 【答案】 【分析】根据勾股定理逆定理判断是直角三角形，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可求解． 【详解】解：，，， ， ， 是直角三角形， 点是的中点， ， ． 6．已知矩形，E为的中点，F为上一点．若，，，则_____． 【答案】或 【分析】本题分两种情况讨论，即点F分别靠近点A和靠近点B两种情况，作辅助线构造直角三角形，利用矩形的性质得到对应边的长度，再结合勾股定理逐步计算即可得到答案． 【详解】解：分两种情况： ①点F靠近点A时，过点F作于G， 四边形是矩形， ，，， 四边形是矩形， ， 在中，， 是的中点， ， ， 在中，； ②点F靠近点B时，过点F作于G， 同理可得，，， ， 在中，； 综上所述，的长为或． 三、解答题 7．如图在矩形中，，，将矩形沿对角线折叠，使点C落在点E处，交于点F．求的长． 【答案】 【分析】由矩形的性质可得，，由勾股定理可得，由折叠的性质可得，即，由等面积法求出，最后再由勾股定理计算即可得出结果． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，， ∴， 由折叠的性质可得：，即， ∵， ∴， ∴． 8．已知中，点E为上一点，且，的延长线交于点F，连． (1)如图1，求证：； (2)如图2，若，M是的中点，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据两直线平行内错角相等和对顶角相等可证，再根据等角对等边可证结论成立； （2）连接，根据等腰直角三角形的性质和平行线的性质可证是等腰直角三角形，根据等腰三角形三线合一定理可证，证，根据全等三角形对应边相等、对应角相等可证是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可知． 【详解】（1）证明：∵中，， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． （2）解：如图所示，连接． ∵， ∴． 又 ， ∴． ∴，． ∵点M是的中点， ∴． ∴． ∴，． 在和中，， ∴． ∴． ∴． ∴是等腰直角三角形． ∴． 【点睛】本题考查了四边形与三角形综合．熟练掌握平行四边形性质，矩形判定和性质，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，作辅助线构造全等三角形，是解题的关键． 9．如图，在中，，E、F分别是的中点，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先根据的性质以及线段中点的意义证明四边形是平行四边形，再由等腰三角形三线合一得到，即可证明四边形是矩形； （2）先证明为等边三角形，结合三线合一得到，再由勾股定理求解，即可求解面积． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ，， ∵E、F分别是的中点， ，， ， ， ∴四边形是平行四边形， ，E为中点， ， ， ∴四边形是矩形； （2）解：∵在中，，， ∴是等边三角形， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∵四边形是矩形， ， ∴在中， ∴矩形的面积． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05矩形 专项训练 题型梳理归纳 题型1.矩形性质理解 题型2.利用矩形的性质求角度 题型3.利用矩形的性质求线段长 题型4.利用矩形的性质求面积 题型5.利用矩形的性质证明 题型6.求矩形在坐标系中的坐标 题型7.矩形与折叠问题 题型8.斜边的中线等于斜边的一半 题型9.矩形的判定定理 题型10.添加条件使四边形是矩形 题型11.矩形性质与判定的综合应用 题型12.分层练习9题 核心题型精讲 题型1.矩形性质理解 1．矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（    ） A．对边平行 B．对边相等 C．对角线互相平分 D．对角线相等 2．如图，若将四根木条钉成的矩形木框变形为的形状，并使其面积变为矩形面积的一半，则的最小内角的大小为_____________． 3．某居民小区有块矩形绿地，矩形绿地的长为，宽为，现要在矩形绿地中间修建一个小矩形花坛（阴影部分），小矩形花坛的长为，宽为． (1)求矩形的周长．（结果化为最简二次根式） (2)除去修建花坛的地方，其他地方全修建为通道，通道上要铺设价为6元的地砖，要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？（结果化为最简二次根式） 题型2.利用矩形的性质求角度 1．如图，在矩形中，．按以下步骤作图：①分别以点A，C为圆心，大于线段的长为半径画弧，两弧交于点E，F；②作直线交于点G；③连接，则（   ） A． B． C． D． 2．如图，在矩形中，对角线、相交于点，若，则等于_____． 3．如图，在矩形中，对角线与交于点，点是上一点，连接，若，．求的度数． 题型3.利用矩形的性质求线段长 1．如图，四边形是矩形，，，则的长为（    ） A．6 B．8 C． D．10 2．在矩形中，的平分线交边所在的直线于点，若，，则边的长为______． 3．已知：如图，在矩形中，点E为上一点，平分，点F为的中点，． (1)求证：； (2)若，求的长． 题型4.利用矩形的性质求面积 1．学校花圃设计成矩形．如图，在矩形中，对角线，相交于点O，过点O的直线交，于点E，F．若，，则图中阴影部分的面积为（   ） A．5 B．6 C．4 D．3 2．如图，在长方形电子广告屏中，．动态效果设计如下：动点从点出发沿长方形的边以的速度向点运动，逐渐展开主体广告画面．当屏幕展开面积达到电子屏面积的时开始播放广告语，播放时间持续3，则播放结束时电子屏幕未展开的面积是________． 3．如图，平行四边形中，对角线交于点O，点E为的中点，于点F，点G为上一点，连接，且． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，，，求矩形的面积． 题型5.利用矩形的性质证明 1．按如图方式，将矩形木板截去一个直角三角形木板，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 2．如图，在矩形中，为对角线的中点，若，则______． 3．如图，在平行四边形中，O为对角线与的交点，M、N分别是的中点， (1)证明：； (2)若，证明：． 题型6.求矩形在坐标系中的坐标 1．定义：如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么称三角形为智慧三角形．如图，在平面直角坐标系中，矩形的边，，点，在边存在点，使得为智慧三角形，则点的坐标为（   ） A．或 B．或或 C．或 D．或或 2．如图，四边形是矩形，点O，A，B的坐标分别为，，，则点C的坐标为_____． 3．在平面直角坐标系中，已知、、、 (1)判断四边形的形状并求出面积； (2)点在四边形的内部（不包括边），直接写出，的取值范围． 题型7.矩形与折叠问题 1．如图，将矩形沿对角线折叠，点落在处，交于点．将沿折叠，点落在内的处．若，则等于（    ） A． B． C． D． 2．如图，在矩形中，，，点为射线上一个动点，将沿直线折叠，当点的对应点刚好落在线段的垂直平分线上时，的长为_______． 3．综合与实践：折纸，操作简单，富有数学趣味，我们可以通过折纸开展数学探究，探索数学奥秘． 【动手操作】现有一张直角三角形纸片，，，，小明用这张直角三角形纸片进行折纸操作，折叠，折痕为，顶点的对应点是点． (1)①如图1，当点与点重合时，则的长为______； ②如图2，当点与点重合时，求的面积； (2)【类比操作】如图，折叠矩形的一角，使点落在边的点处，折痕交于点，若，，求的长． 题型8.斜边的中线等于斜边的一半 1．如图，在中，，是的中点，，则的长是（     ） A． B． C． D． 2．如图，，在中，，，，顶点B、C分别在边、上滑动，滑动过程中，点A到点O的最大距离为________． 3．如图，在四边形中，． (1)求证：四边形是矩形； (2)点E是上一点，点F是的中点，连接，若 求的长． 题型9.矩形的判定定理 1．下列四边形是矩形的是（   ） A．对角线相等的四边形 B．对角线互相平分的四边形 C．对角线互相平分且相等的四边形 D．对角线互相垂直的平行四边形 2．如图，用一根绳子检查一个平行四边形书架的侧边是否和上、下底都垂直，只需要用绳子分别测量书架的两条对角线，的长就可以判断，其数学依据是_____________________． 3．如图，的对角线相交于点O，是等边三角形，． (1)证明是矩形； (2)求的面积． 题型10.添加条件使四边形是矩形 1．如图，在平行四边形中，是对角线，添加下列选项中的一个条件，不能判定平行四边形为矩形的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，在中，相交于点O，，则当______时，四边形是矩形． 3．如图，在中，点E是线段的中点，连接，，延长交的延长线于点F，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，当________时，四边形是矩形，并说明理由． 题型11.矩形性质与判定的综合应用 1．如图，在矩形ABCD中，对角线分得到的两个角的度数之比是，延长至点E，连接交于点，若上有一点，使得，且，则的长为（　　） A．2.5 B． C． D．3 2．若一个三角形三边长之比为，则称这个三角形为“勾股三角形”，如图，在矩形中，，，点在边上，将沿折叠，得到，过点作于点．若是“勾股三角形”，则的长为______． 3．如图，和是两个全等的共斜边的直角三角形，，是的中点，连接，． （1）线段和的数量关系为__________； （2）分别过点，作于点，于点，连接，若，，则四边形的面积是__________． 分层精练 一、单选题 1．顺次连接四边形四边的中点所得的四边形为矩形，则四边形一定满足（   ） A．两组对边分别相等 B．两条对角线互相平分 C．两条对角线互相垂直 D．四个角相等 2．如图，将矩形放置在刻度尺上，顶点，对应的刻度（单位：）分别为 和，则的长为（     ）． A． B． C． D． 3．如图，点是矩形的对角线上一点，过点作，分别交，于，，连接，，若，，则图中阴影部分的面积为（   ）    A．10 B．12 C．16 D．8 二、填空题 4．如图，在平面直角坐标系中，矩形的对角线、相交于点，，，如果平行于轴，那么点的坐标为____________________ ． 5．如图，在中，，，，点是的中点，则长为________． 6．已知矩形，E为的中点，F为上一点．若，，，则_____． 三、解答题 7．如图在矩形中，，，将矩形沿对角线折叠，使点C落在点E处，交于点F．求的长． 8．已知中，点E为上一点，且，的延长线交于点F，连． (1)如图1，求证：； (2)如图2，若，M是的中点，求的度数． 9．如图，在中，，E、F分别是的中点，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求四边形的面积． 学科网（北京）股份有限公司 $