21.3.3正方形培优同步自主达标训练题 2025—2026学年人教版数学八年级下册

21.3.3正方形培优同步自主达标训练题人教版2025一2026学年八年级数学下册（含答案） 一、选择题 1.下列说法正确的是() A.对角线相等且互相平分的四边形是矩形 B.一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形 C.对角线互相垂直且平分的四边形是正方形 D.一组邻边相等的四边形是菱形 2.四边形ABCD是平行四边形，下列说法不正确的是() A.当AC=BD时，四边形ABCD是矩形 B.当AB=BC时，四边形ABCD是菱形 C.当AC平分∠BAD时，四边形ABCD是菱形 D.当∠DAB=90°时，四边形ABCD是正方形 3,如图，在正方形ABCD中，点E是对角线AC上一点，连接BE、DE,DE的延长线交 BC于点F.若BF=EF,则∠CDF的度数为() A.20° B.30° C.35° D.40° 4.正方形的一条对角线长为4，则该正方形的面积是() A.4 B.8 C.12 D.16 5.如图，在菱形ABCD中，∠D=90°，点E在CD上.若AE=√7，DE=√3，则图中阴 影部分的面积为() B CE D A.5 B.3 C.4-V5 D.4-5 2 6.如图所示，在正方形ABCD中，O是对角线AC,BD的交点，过点O作OE⊥OF,分 别交AB,BC于点E、F.若AE=4,CF=2,则EF的长为() B A.2N2 B.3V2 C.25 D.5√2 7.如图，正方形ABCD的对角线AC为菱形AEFC的一边，则∠FAB的度数为() A.30° B.67.5° C.15 D.22.5° 8.如图，在正方形ABCD中，E、F分别是AB,BC的中点CE,DF交于点G,连接AG, 下列结论：①CE=DF;②CE⊥DF;③LAGE=∠CDF;④LEAG=30°，其中正确的结 论是() D A.①② B.①③ C.①②④ D.①②③ 二、填空题 9.如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点B在x轴上，顶点C在y轴上， 且C(0,-4),D(b,-2),则正方形ABCD的面积是 10.在边长为5的正方形ABCD中，点E在直线AD上，点C到直线BE的距离为，则线 段DE的长为 11.四边形ABCD是正方形，O是其中心，以OC为边作一个正六边形，a度数是： 12.如图正方形ABCD,点E为边AB上一动点，连接EC,作BF⊥EC于点F,连接AF, 以AE长为横坐标x,以AF长为纵坐标y,绘制图象如图所示，则(1)AD=;(2) y的最小值为 2.万 三、解答题 I3.如图，己知BD为正方形ABCD对角线，E为线段BD上一点，连接AE,过点A作 AF⊥AE,AF=AE,连接BF, (1)求∠ABF (2)连接FC,己知G为FC中点，请写出BG与EF的数量关系，并证明. A D G B 14.已知在四边形ABCD中，AD∥BC,，∠ABC=90°，AD=DC. A D E B 图1 图2 (I)如图1，当AB=BC时，求证：四边形ABCD是正方形： (2)连接AC,过点B作B01AC,垂足为O,延长BO交边AD或边CD于点E, ①如图2，如果点E在边AD上，且BE=AD,求∠AEB的度数： ②如果BE=2√万，AC=3,求AB的长. l5.如图，在正方形ABCD中，E,F分别为AB,BC上的点，M,N分别为DE,AF的中 点，连接AM并延长交DC于点G. y E B D G (1)求证：M为AG的中点： ②若AB=3N5,且AE=AB,F为BC中点，求MN的长. I6.如图，在正方形ABCD中，E为对角线AC上一点，连接BE,过点E作EF⊥BE,交 直线AD于点F. F D B (I)求证：∠AEF+∠CBE=45°； (②)连接CF,点G是CF的中点，连接EG, ①依题意补全图形： ②用等式表示线段EG与AF的数量关系，并证明. 17.如图1，点M,N分别是正方形ABCD的边AB、AD的中点，连接CN、DM y A D D M A B 图1 图2 (1)求证： ①CN=DM; ②CN⊥DM; (2)将△ADM沿DM翻折得到aADM,延长MA'交DC的延长线于点E，,如图2，求证： △DEM是等腰三角形； 18.如图，正方形ABCD的对角线AC、BD交于点O,E是OB上一点，DG⊥CE,垂足 为G,DG与0C相交于点F. A D E G B (I)求证：∠ODF=∠GCF; (2)求证：CE=DF. 参考答案 一、选择题 1.A 2.D 3.B 4.B 5.c 6.C 7.D 8.D 二、填空题 9.20 10.√3±1 11.1059 12.4 2V5-2/-2+2V5 三、解答题 13.【详解】(1)解：：四边形ABCD是正方形， AB=AD,∠BAD=90°，∠ADB=45°， .∠DAE+∠BAE=90 :AF⊥AE, .∠EAF=90°， ∠BAF+LBAE=90°， .∠BAF=∠DAE, 在△ABF和△ADE中， AF=AE ∠BAF=∠DAE, AB=AD △ABF≌△ADE(SAS), ∠ABF=∠ADE=45°； (2)解：EF=2√2BG, 证明：如图，延长BG到点H,使GH=BG,连接FH, D 之G2H B G为FC中点， .FG=CG, 在△BGC和△HGF中， BG=HG ∠BGC=∠HGF, CG=FG △BGC≌aHGF(SAS), .BC=FH,∠BCG=∠HFG, FHI‖BC, ∠HFB+∠FBC=180°， :∠FBC=LABF+∠ABC=45°+90°=135°， .∠HFB=180°-135°=45°， ∠HFB=LABF=45°， .BC=AB,BC=FH, :FH=AB, 在△ABF和△HFB中， AB=HE ∠ABF=∠HFB, BF=FB △ABF≌△HFB(SAS), .AF=BH, .BH=BG+GH=2BG .AF =2BG, :AF⊥AE且AF=AE, :EF=VAE2+AF☐=V2AF2=√2AF, EF=2xV2BG=2√2BG. 14.【详解】(1)证明：连接BD, B :AD∥BC,LABC=90°， .∠A=180°-∠BC=90°， AD DC,AB=BC,BD=BD, △ABD≌aCBD(SSS), .LA=∠C=90°， .四边形ABCD是矩形， 又AD=DC, .矩形ABCD是正方形： (2)解：①过D作DF∥CE, F B F DE∥BF, 四边形BFDE是平行四边形， :BE DF, 又BE=AD,AD=CD, DF=CD,∠DAC=∠DCA, :ZDFC =ZDCF 设LDAC=∠DCA=a, :AD∥BC, .∠ACB=∠DAC=a,LAEB=∠CBE, .∠DFC=∠DCF=LACD+∠ACF=2a, DF BE, .∠CBE=∠CDF=2a, .∠AEB=2a, :BE⊥AC, ∠0AE+LAE0=90°，即a+2a=90°， .a=30°， .∠AEB=60°； ②当E在边AD上，过A作AM∥BE交CB的延长线于点M, A D M人-- B BE⊥AC, AM⊥AC, :AM∥BE,AE∥BM, 四边形AMBE是平行四边形， .AM=BE=2√2， 又AC=3, .CM=AM2+AC2=7, sa号4w4c-CM4, 1 x2x3-x4B. 2 :AB=6V34 17 当E在CD上，此时AB>BC, D E :BE⊥AC, .∠0CB+L0BC=90°，L0CE+L0EC=90°， 由①知∠0CB=∠0CE, :Z0BC =Z0EC .BC=EC, :BO=EO=BE=2, .∠ABC=90°，AC=3, 4848c=40-9,5c48-8c-4C-B0-3x5, 2 .AB·BC=3V2, (4B+BC)2=AB+BC2+24B.BC=9+6=(+), (AB-BC2=AB2+BC2-2AB·BC=9-62=(N6-V5, :AB+BC=+3,AB-BC=6-3, AB=√6， 综上，4B的长为34或6 17 15.【详解】(1)证明：：四边形ABCD是正方形， AB∥CD, ∠EAM=∠DGM,∠AEM=∠GDM. :M为DE的中点， :EM =DM, △AEM≌△GDM(AAS, .AM =GM M为AG的中点： (2)解：如图，连接FG D G :△AEM≌△GDM, :DG=AE, AB=3N2,且AEAB AE=DG=√2， :四边形ABCD是正方形， .CD=BC=AB=3V2,∠C=90°， .CG=CD-DG=2√2 :F为BC中点， ÷FC=号BC=32 2 .FG=GC2+FC2 2+ 32 5v2 2 :M为AG的中点，N为AF的中点 :MN是△AFG的中位线 “MN=FG=52 4 16.【详解】(1)证明：：四边形ABCD是正方形， ∴∠ABC=90°，∠BAC=45°， .∠ABE+∠AEB=180°-∠BAE=135°， ∠ABE+∠CBE=90°， ∠ABE=135°-∠AEB=90°-∠CBE, LAEB=45°+∠CBE; :EF⊥BE, .∠BEF=90°， .∠AEB+LAEF=90°， .45°+∠CBE+∠AEF=90°， LAEF+LCBE=45°； (2)解：①如图所示，即为所求； F G E ②AF=2EG,证明如下： 如图所示，延长FE分别交BC于点O,交DC的延长线于点K,连接BF,BK,DE, F K :四边形ABCD是正方形， .CB=CD,∠BCE=∠DCE=45°， AB=BC,∠BAD=∠BCD=∠ABC=∠ADC=90°， 又：CE=CE, .△BCE≌△DCE(SAS), .ZEBC ZEDC :BE⊥EF, .∠BEF=∠BEK=90°， :∠BCK=180°-∠BCD=90°， .∠BE0=∠KC0=90°， 又：∠EOB=∠COK, .90°-∠E0B=90°-∠C0K, ∴∠EB0=∠CK0, .∠EDK=∠EKD, .ED=EK, :ED EK =EB :∠EDF+∠EDK=90°，∠EKD+∠EFD=90°， .∠EFD=LEDF, .EF =ED, :EF EB=EK ∴.△EBF和△EBK都是等腰直角三角形， .∠EBF=∠EFB=∠EBK=∠EKB=45°， .BF=BK,∠FBK=90°=∠ABC, ∠ABC-∠CBF=∠FBK-∠CBF, ∠ABF=∠CBK, 又：AB=CB,∠BAF=∠BCK=90°， △ABF≌△CBK(ASA, .AF=CK :点G为CF的中点，EF=EK, .EG为△FCK的中位线， .CK =2EG, :AF =2EG. 17.【详解】(1)证明：①：四边形ABCD是正方形， .AD=DC,∠A=∠ADC=90°， :点M、N分别是AB、AD的中点， :.AM =4B,DN=TAD, 1 2 2 :AB AD, :AM =DN 在△ADM和aDCN中， AD=DC {∠A=∠ADC, AM=DN △ADM≌aDCN(SAS), :CN =DM ②由①得△ADM≌△DCN, ∠ADM=∠DCN, :在Rt△DCN中，∠DCN+∠DNC=90°， .∠ADM+∠DNC=90°， :在△DHN中，∠DHN=180°-（∠ADM+∠DNC=90°， CN⊥DM (2)证明：：四边形ABCD是正方形， .ABI DC, ∠AMD=∠CDM, 由翻折的性质可知，∠AMD=∠A'MD, :点E在MA的延长线上， .∠A'MD=∠EMD, .∠CDM=∠EMD, :DE ME, △DEM是等腰三角形 18.【详解】(1)证明：：正方形ABCD的对角线AC、BD交于点O, .LD0F=90°， :DG⊥CE, ∴.∠FGC=90°， :∠DF0=LCFG, .∠0DF=90°-∠DF0=90°-∠CFG=∠GCF; (2)证明：：正方形ABCD的对角线AC、BD交于点O, .OD=OC, :∠ODF=∠GCF,即LODF=∠OCE, .'∠D0F=∠C0E=90°， aODF≌△OCE(ASA), .CE=DF.