精品解析：2026年陕西省商洛市山阳县二模数学试题

试卷类型：SY 2026年九年级第二次模拟考试 数学 注意事项： 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共6页，总分120分．考试时间120分钟． 2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名和准考证号． 3．请在答题卡上各题的规定区域内作答，否则作答无效． 4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 5．考试结束，请将本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题目要求的） 1. 下列各数中，最小的数为（ ） A. 2 B. C. 0 D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用实数大小比较的法则即可求解． 【详解】解：∵实数大小比较的性质为：负数小于0，0小于正数， ∴四个选项中，只有是负数， ∴最小的数是． 2. 汉服承载着中华千年服饰文化，其纹样更是蕴含着丰富的文化寓意．下列汉服纹样中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：选项A既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； 选项B既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； 选项C既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； 选项D是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意． 3. 如图，，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，根据两直线平行，同旁内角互补求得，再两直线平行，内错角相等可得．熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：如图， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴的度数为． 故选：B． 4. 计算的结果为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】运用积的乘方与幂的乘方法则计算结果，选出正确选项 【详解】解：∵ 积的乘方法则为，幂的乘方法则为 ∴ 5. 如图，在中，，，分别是边上的中线和高，若，，则的长为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，求三角形的面积，先根据三角形的面积公式求出，再根据直角三角形斜边中线等于斜边一半得即可． 【详解】解：∵是高，，， ∴， ∴， ∵，是中线， ∴， 故选：A． 6. 一个正比例函数的图象经过点和点，若点与点关于原点对称，则过原点和点的直线所对应的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据关于原点对称的两个点的横纵坐标均互为相反数，求出a、b的值，进而利用待定系数法求出函数表达式即可． 【详解】解： ∵和关于原点对称， ∴ ，， 即点为． 设过原点的直线的表达式为， 将代入，得 ， 解得． ∴所求直线的函数表达式为． 7. 如图所示，在菱形中，E为边中点，连接，交于点P，过点P作，交于点F．若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，相似三角形的判定与性质等知识．由菱形性质先判定，可得，所以．再由，可得，故，即可求解． 【详解】解：∵在菱形中，， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 8. 已知抛物线过点，若点在对称轴右侧，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；抛物线开口向上，对称轴为直线，点C在对称轴上为顶点，y值最小；点A在对称轴右侧，点B在对称轴左侧，且点B离对称轴更远，故y值最大；然后问题可求解． 【详解】解：∵抛物线（）的对称轴为直线，且开口向上， ∴点在对称轴上，为顶点，故最小， ∵点在对称轴右侧， ∴，即， ∴点的横坐标，故在对称轴左侧， ∵点离对称轴的距离为 点离对称轴的距离为， ∵， ∴点离对称轴更远，故； 综上，； 故选D． 第二部分（非选择题 共96分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 如图，数轴上点，对应的数分别是0，2，若点在线段上运动，则点对应的无理数可以是_____．（写出一个符合题意的数即可） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【详解】解：点在线段上运动，，即，根据无理数的大小关系：被开方数越大，算术平方根越大，所以点对应的无理数可以是、等，任取其中一个即可． 10. 如图，要用三块正多边形的木板铺地，使拼在一起并相交于点的各边完全吻合，其中已经拼好的两块木板的边数分别是4和6，则第三块木板的边数应是__________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了正多边形的内角与多边形内角和定理、平面镶嵌，先求出第三块正多边形木板的内角，再根据多边形内角和列方程解方程即可． 【详解】解：∵正方形的内角为，正六边形的内角为， ∴第三块正多边形木板的内角为， 设第三块正多边形木板的边数为, 解得， 即第三块木板的边数应是， 故答案为： 11. 修一条排水渠，甲队独做需10天，乙队独做需15天，现由两队合修，中途乙队被调走，余下的任务由甲队单独做，又修了5天后完成。在这个过程中，甲、乙两队合修了_______天． 【答案】 3 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找出题目中的等量关系是解题的关键．设甲、乙两队合修了x天，根据整个工程量为1，列出方程求解． 【详解】解：甲队的工作效率为，乙队的工作效率为，两队合修的工作效率为． 设甲乙两队合修x天完成的工作量为，甲队单独修5天完成的工作量为． 根据题意，得 ， 解得． 故答案为：3． 12. 如图，点在上，是弧的中点，交于点．若，，则的度数是_______． 【答案】##95度 【解析】 【分析】连接，由圆心角、弧、弦的关系定理推出，由圆周角定理得到，由三角形内角和定理求出，最后根据可得答案． 【详解】解：如图，连接， ∵是弧的中点，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即的度数是． 故答案为：． 【点睛】本题考查圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，三角形内角和定理，解题的关键是由圆周角定理推出． 13. 钢琴调音时（将琴弦拧紧或放松，使其达到一定的音高），琴弦的振动频率是琴弦张力的反比例函数，其函数图象如图所示，若要使频率为（即达到标准音高），则张力为_____． 【答案】100 【解析】 【分析】设反比例函数解析式为，将图象上已知点代入求出的值，确定函数解析式，再将代入计算即可求解 【详解】解：设与的函数解析式为 由图象可知，函数图象经过点 将代入，得 解得 函数解析式为 当时， 解得 检验，是原方程的解且符合题意 14. 如图，已知正方形的边长为，是边上一动点，连接，以为直角顶点作等腰，连接．当取得最小值时，的周长为_____． 【答案】## 【解析】 【分析】延长至点，使得，连接、、，，由正方形的性质和等腰直角三角形的性质可得 ，则、、、四点共圆，因此，进而计算出 ．容易证明，则，因此 ，当、、三点共线时，取得最小值，用勾股定理计算出，并求出的周长即可． 【详解】解：如图，延长至点，使得，连接、、，， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∵ ， ∴、、、四点共圆， ∴， ∴ ， ∴ ， ∵， ∴， ， 在中，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴ ，当、、三点共线时，取得最小值，此时的周长为 ． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式除法法则，零指数幂的性质，按照先算乘除后算加减的运算顺序逐步计算即可； 【详解】解：原式 ． 16. 解不等式组：． 【答案】 【解析】 【详解】解： 由①得， 由②得， ∴不等式组的解集为． 17. 化简：． 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 18. 如图，已知．请用尺规作图法，求作一点，使得点到边，的距离相等，且的长度最短．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】图见解析 【解析】 【分析】先用尺规作图画出的平分线，再过点作的平分线的垂线，交点即为点． 【详解】解：如图，点即为所求． 由角平分线的性质可知，点到边，的距离相等， ∵垂线段最短， ∴的长度最短． 19. 如图，在四边形中，点在对角线上，，，．求证：． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】由可得，进而证明，因此． 【详解】证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 20. 酚酞溶液是初中化学常用的酸碱指示剂，其特性为：遇碱性溶液变红，遇酸性或中性溶液不变色（仍为无色）．某化学实验小组用酚酞溶液检测了编号为甲、乙、丙、丁的四种无色溶液，结果如下表所示： 溶液编号 甲 乙 丙 丁 酚酞变色 红色 无色 无色 红色 已知这四种溶液中只有酸性和碱性两种类型（无中性溶液）． （1）若从这四种溶液中随机选取一种进行检测，则检测到碱性溶液的概率为___________； （2）若从这四种溶液中随机选取两种进行检测，请用画树状图或列表的方法，求恰好有一种酸性溶液和一种碱性溶液的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据概率公式求解即可； （2）先列表得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵四种溶液中，甲和丁变红色， ∴从这四种溶液中随机选取一种进行检测，则检测到碱性溶液的概率为； 【小问2详解】 解：画表格如下： 甲 乙 丙 丁 甲 甲乙 甲丙 甲丁 乙 乙甲 乙丙 乙丁 丙 丙甲 丙乙 丙丁 丁 丁甲 丁乙 丁丙 共有12种等可能出现的结果，其中恰好有一种酸性溶液和一种碱性溶液的结果有8种， 则恰好有一种酸性溶液和一种碱性溶液的概率是． 21. 为测量一座桥的拱顶距离水面的竖直高度，学习小组设计了一个方案：如图，点，是水平地面上两点，且与点，均在同一竖直平面内，．测角仪，在测角仪顶端处测得拱顶的仰角为，在测角仪顶端处测得拱顶的仰角为．已知水平地面离水面的高度为，且，，，，求拱顶距离水面的竖直高度．（参考数据：，，） 【答案】拱顶距离水面的竖直高度约为 【解析】 【分析】延长交于点，延长交于点，容易证明四边形和四边形都是矩形，则．，，．设，则，利用三角函数可得，，构造方程求出的值，进而求出的值． 【详解】解：如图，延长交于点，延长交于点， ∵，，，，， ∴四边形和四边形都是矩形， ∴．，，， 设 ，则， 由题意可知，，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 在中，， ∵ ， ∴ ，解得， ∴． 答：拱顶距离水面的竖直高度约为． 22. 珍珠养殖产业中，调控育珠蚌养殖密度是提升珍珠品质与经济效益的关键举措，养殖密度的变化会直接影响超大型珍珠的产出占比．研究表明，超大型珍珠的比例是育珠蚌养殖密度（只/）的一次函数．当育珠蚌养殖密度为0.5只/时，超大型珍珠的比例为；当育珠蚌养殖密度为2只/时，超大型珍珠的比例为． （1）求与之间的函数表达式； （2）若育珠蚌养殖密度为1.25只，求超大型珍珠的比例是多少？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据y是x的一次函数，设出解析式，代入已知的两组对应值求解系数，结合实际意义确定自变量取值范围； （2）将给定的x代入解析式计算y即可得到结果． 【小问1详解】 解：设与之间的函数表达式为， 由题意得，当时，；当时，； 将两组值代入函数表达式得， 解得， ∵是养殖密度， ∴， ∵ ， ∴， ∴， 因此与之间的函数表达式为； 【小问2详解】 解：将代入得， 答：超大型珍珠的比例是． 23. 4月22日是世界地球日，2026年的主题是“我们的力量，我们的星球”，该主题呼吁全球民众以集体行动推动环保与气候保护，某校组织八、九年级学生参加了世界地球日知识竞赛，现从八、九年级各随机抽取20名学生的竞赛成绩（用表示，单位：分，满分为100分，均为整数）进行整理、分析． 八年级学生的成绩：56，70，72，75，75，76，77，78，81，82，84，88，88，88，89，91，95，95，100，100． 九年级学生的成绩：54，68，71，73，75，76，76，78，80，86，86，86，87，90，90，92，95，98，99，100． 八、九年级20名学生的竞赛成绩统计表 平均数 中位数 众数 方差 八年级 九年级 根据以上信息，回答下列问题： （1）表中的_____，_____； （2）你认为哪个年级的竞赛成绩更好，并说明理由；（写出一个理由即可） （3）该校八年级有名学生，九年级有名学生，若将竞赛成绩不低于分认定为A等级，估计该校八、九年级竞赛成绩为A等级的学生总人数． 【答案】（1）， （2）八年级的竞赛成绩更好，理由见解析 （3）该校八、九年级竞赛成绩为A等级的学生总人数约为名 【解析】 【分析】（1）根据众数和中位数的定义进行计算即可； （2）从平均数、众数、中位数和方差的角度评价两个年级的成绩即可； （3）根据样本中两个年级A等级学生的占比，乘以对应年级的学生总人数，再求和即可． 【小问1详解】 解：∵八年级学生的成绩中，88出现3次，出现的次数最多， ∴八年级学生成绩的众数为88，即， 九年级学生的成绩中，第10个数和第11个数都是， ∴九年级学生成绩的中位数为，即； 【小问2详解】 解：八年级的竞赛成绩更好．因为八、九年级竞赛成绩的平均数相同，但八年级竞赛成绩的方差小于九年级竞赛成绩的方差，所以八年级的竞赛成绩更稳定，因此八年级的竞赛成绩更好．（答案不唯一） 【小问3详解】 （名）． 答：该校八、九年级竞赛成绩为等级的学生总人数约为134名． 24. 如图，是的直径，点D在直径上（D与A，B不重合），且，连接，与交于点F，在上取一点E，使与相切． （1）求证：； （2）若D是的中点，，求的长． 【答案】（1）证明见详解 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据垂直定义可得，从而可得，然后利用等腰三角形的性质可得，由切线的性质得，继而得到，即可解答； （2）连接，根据已知可得，，从而在中，利用勾股定理求出，，然后利用直径所对的圆周角是直角可得，从而可证，进而利用相似三角形的性质可求出的长，最后进行计算即可解答． 【小问1详解】 证明：连接， ， ， ， 是的半径，是的切线， ∴， ∴ ， ， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：解：连接， ， ， 是的中点， ， ， 在中，， ， 是的直径， ， ，， ， ， ， ， ， 的长为． 【点睛】本题考查了切线的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 25. 城市高层建筑火灾一直是消防救援中难度极高的场景，面对复杂的建筑结构和多变的火情，消防员需要精准把控水枪射流的力度与角度，才能在安全距离内高效扑灭不同高度的火源．已知某次消防实战演练中，消防水枪喷出的水流呈抛物线形状．如图，点是消防水枪喷水口，喷出的水流与点的水平距离为时达到最高点，最大高度为，水流落在高楼外墙上的点处，高楼外墙与点的水平距离为．以为原点，水平地面所在直线为轴，过点且垂直于水平地面的直线为轴，建立平面直角坐标系． （1）求点处喷出的抛物线形状水流的函数表达式； （2）若消防员将水枪喷水口从点处向右移动至点处，但不改变消防水枪喷水角度与水压（即水流的抛物线形状与大小不变），此时水流未达到最高点但恰好到达点处．求喷水口移动的距离． 【答案】（1） （2）喷水口移动的距离为 【解析】 【分析】（1）使用待定系数法求函数表达式即可； （2）先利用表达式求出点的坐标，设喷水口移动的距离为．写出平移后的表达式，再将点的坐标代入，求出的值． 【小问1详解】 解：由题意得抛物线的顶点为， ∴设抛物线的函数表达式为， 将代入，得， 解得， ∴点处喷出的抛物线形状水流的函数表达式为； 【小问2详解】 解：当时，， ∴点的坐标为， 设喷水口移动的距离为， ∴喷水口移动后，喷出的抛物线形状水流的函数表达式为， 将代入，得， ， 解得，（舍去）． 答：喷水口移动的距离为． 26. 按要求解答问题： 【问题提出】 （1）如图①，在中，，，分别是边，的中点．若，，则的长为_____； （2）如图②，正方形的边长为，，分别是边，上一点，且，连接，交于点，连接，求的最小值； 【问题解决】 （3）如图③是一个以为圆心的圆形警戒海域的示意图，半径为海里．海域边界上设有两个固定航标，，海里．一艘巡逻艇在警戒海域边界上巡航（不与重合），将的中点设为辅助定位点，的中点设为临时指挥点．为确保指挥通信距离在安全范围内，求巡航过程中临时指挥点到航标的距离的最大值． 【答案】（1）6 （2） （3）海里 【解析】 【分析】（1）先利用中位线的性质求出，再使用勾股定理求出； （2）容易证明，则，进而得到，因此点在以为直径的上运动，当、、三点共线时，取得最小值，用勾股定理求出即可； （3）连接、、，取的中点，连接、，取的中点，连接、，作于点，由中位线的性质可得，， ，因此点在以点为圆心，1为半径的圆上运动，当、、三点依次共线时，取得最大值．使用勾股定理的逆定理容易判断，进而可证明，，计算得，，使用勾股定理计算出，因此的最大值为． 【小问1详解】 解：∵，分别是边，的中点， ∴是的中位线， ∴， 在中，； 【小问2详解】 解：如图，取的中点，连接，， ∵四边形是正方形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点在以为直径的上运动， ∴， 在中，， ∵， ∴的最小值为； 【小问3详解】 解：如图，连接、、，取的中点，连接、，取的中点，连接、，作于点， ∵、分别为、的中点， ∴是的中位线， ∴，， 同理，是的中位线， ∴ ，， ∴点在以点为圆心，1为半径的圆上运动， ∵， ∴当、、三点依次共线时，取得最大值， 在中，，， ∵， ∴， ∵， ∴ ， 又∵， ∴， ∴， ∴ ，，， ∴， 在中，， ∴的最大值为． 答：临时指挥点到航标的距离的最大值为海里． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 试卷类型：SY 2026年九年级第二次模拟考试 数学 注意事项： 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共6页，总分120分．考试时间120分钟． 2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名和准考证号． 3．请在答题卡上各题的规定区域内作答，否则作答无效． 4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 5．考试结束，请将本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题目要求的） 1. 下列各数中，最小的数为（ ） A. 2 B. C. 0 D. 2. 汉服承载着中华千年服饰文化，其纹样更是蕴含着丰富的文化寓意．下列汉服纹样中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 计算的结果为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，，分别是边上的中线和高，若，，则的长为（ ） A. B. C. 1 D. 6. 一个正比例函数的图象经过点和点，若点与点关于原点对称，则过原点和点的直线所对应的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 7. 如图所示，在菱形中，E为边中点，连接，交于点P，过点P作，交于点F．若，则的长为（ ） A. B. C. D. 8. 已知抛物线过点，若点在对称轴右侧，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 第二部分（非选择题 共96分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 如图，数轴上点，对应的数分别是0，2，若点在线段上运动，则点对应的无理数可以是_____．（写出一个符合题意的数即可） 10. 如图，要用三块正多边形的木板铺地，使拼在一起并相交于点的各边完全吻合，其中已经拼好的两块木板的边数分别是4和6，则第三块木板的边数应是__________． 11. 修一条排水渠，甲队独做需10天，乙队独做需15天，现由两队合修，中途乙队被调走，余下的任务由甲队单独做，又修了5天后完成。在这个过程中，甲、乙两队合修了_______天． 12. 如图，点在上，是弧的中点，交于点．若，，则的度数是_______． 13. 钢琴调音时（将琴弦拧紧或放松，使其达到一定的音高），琴弦的振动频率是琴弦张力的反比例函数，其函数图象如图所示，若要使频率为（即达到标准音高），则张力为_____． 14. 如图，已知正方形的边长为，是边上一动点，连接，以为直角顶点作等腰，连接．当取得最小值时，的周长为_____． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 计算：． 16. 解不等式组：． 17. 化简：． 18. 如图，已知．请用尺规作图法，求作一点，使得点到边，的距离相等，且的长度最短．（保留作图痕迹，不写作法） 19. 如图，在四边形中，点在对角线上，，，．求证：． 20. 酚酞溶液是初中化学常用的酸碱指示剂，其特性为：遇碱性溶液变红，遇酸性或中性溶液不变色（仍为无色）．某化学实验小组用酚酞溶液检测了编号为甲、乙、丙、丁的四种无色溶液，结果如下表所示： 溶液编号 甲 乙 丙 丁 酚酞变色 红色 无色 无色 红色 已知这四种溶液中只有酸性和碱性两种类型（无中性溶液）． （1）若从这四种溶液中随机选取一种进行检测，则检测到碱性溶液的概率为___________； （2）若从这四种溶液中随机选取两种进行检测，请用画树状图或列表的方法，求恰好有一种酸性溶液和一种碱性溶液的概率． 21. 为测量一座桥的拱顶距离水面的竖直高度，学习小组设计了一个方案：如图，点，是水平地面上两点，且与点，均在同一竖直平面内，．测角仪，在测角仪顶端处测得拱顶的仰角为，在测角仪顶端处测得拱顶的仰角为．已知水平地面离水面的高度为，且，，，，求拱顶距离水面的竖直高度．（参考数据：，，） 22. 珍珠养殖产业中，调控育珠蚌养殖密度是提升珍珠品质与经济效益的关键举措，养殖密度的变化会直接影响超大型珍珠的产出占比．研究表明，超大型珍珠的比例是育珠蚌养殖密度（只/）的一次函数．当育珠蚌养殖密度为0.5只/时，超大型珍珠的比例为；当育珠蚌养殖密度为2只/时，超大型珍珠的比例为． （1）求与之间的函数表达式； （2）若育珠蚌养殖密度为1.25只，求超大型珍珠的比例是多少？ 23. 4月22日是世界地球日，2026年的主题是“我们的力量，我们的星球”，该主题呼吁全球民众以集体行动推动环保与气候保护，某校组织八、九年级学生参加了世界地球日知识竞赛，现从八、九年级各随机抽取20名学生的竞赛成绩（用表示，单位：分，满分为100分，均为整数）进行整理、分析． 八年级学生的成绩：56，70，72，75，75，76，77，78，81，82，84，88，88，88，89，91，95，95，100，100． 九年级学生的成绩：54，68，71，73，75，76，76，78，80，86，86，86，87，90，90，92，95，98，99，100． 八、九年级20名学生的竞赛成绩统计表 平均数 中位数 众数 方差 八年级 九年级 根据以上信息，回答下列问题： （1）表中的_____，_____； （2）你认为哪个年级的竞赛成绩更好，并说明理由；（写出一个理由即可） （3）该校八年级有名学生，九年级有名学生，若将竞赛成绩不低于分认定为A等级，估计该校八、九年级竞赛成绩为A等级的学生总人数． 24. 如图，是的直径，点D在直径上（D与A，B不重合），且，连接，与交于点F，在上取一点E，使与相切． （1）求证：； （2）若D是的中点，，求的长． 25. 城市高层建筑火灾一直是消防救援中难度极高的场景，面对复杂的建筑结构和多变的火情，消防员需要精准把控水枪射流的力度与角度，才能在安全距离内高效扑灭不同高度的火源．已知某次消防实战演练中，消防水枪喷出的水流呈抛物线形状．如图，点是消防水枪喷水口，喷出的水流与点的水平距离为时达到最高点，最大高度为，水流落在高楼外墙上的点处，高楼外墙与点的水平距离为．以为原点，水平地面所在直线为轴，过点且垂直于水平地面的直线为轴，建立平面直角坐标系． （1）求点处喷出的抛物线形状水流的函数表达式； （2）若消防员将水枪喷水口从点处向右移动至点处，但不改变消防水枪喷水角度与水压（即水流的抛物线形状与大小不变），此时水流未达到最高点但恰好到达点处．求喷水口移动的距离． 26. 按要求解答问题： 【问题提出】 （1）如图①，在中，，，分别是边，的中点．若，，则的长为_____； （2）如图②，正方形的边长为，，分别是边，上一点，且，连接，交于点，连接，求的最小值； 【问题解决】 （3）如图③是一个以为圆心的圆形警戒海域的示意图，半径为海里．海域边界上设有两个固定航标，，海里．一艘巡逻艇在警戒海域边界上巡航（不与重合），将的中点设为辅助定位点，的中点设为临时指挥点．为确保指挥通信距离在安全范围内，求巡航过程中临时指挥点到航标的距离的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $