23.4 实际问题与一次函数 第3课时 设计方案 课件 2025-2026学年人教版数学八年级下册

该初中数学课件聚焦“利用一次函数设计方案”，通过情境导入承接上节课方案比较知识，引导学生从需自主制定方案的问题出发，搭建从已有函数应用到方案设计的学习支架，核心是建立一次函数模型解决实际优化问题。 其亮点是以化肥调配、租车方案等实际问题为载体，通过问题链驱动学生用数学眼光抽象变量关系（模型意识），用数学思维推理确定自变量范围及函数增减性（推理能力），用数学语言表达最佳方案（应用意识）。小结提炼解决流程，助学生形成系统方法，提升实际运用能力，为教师提供优质教学案例。

第3课时 利用一次函数设计方案 23.4 实际问题与一次函数 1 素养目标 灵活运用变量关系建立一次函数模型，并设计最佳方案解决相关实际问题，强化实际运用能力与从问题中获取关键信息，从而抽象出一次函数模型的能力． 情境导入 上节课我们学习了如何运用函数知识比较方案并作出选择，但如果方案不是指定的，需要自己制定，又该怎么做呢？ 探索新知 A县和B县春季分别急需化肥100吨和60吨，C县和D县分别储存化肥110吨和50吨，全部调配给A县和B县.运费(单位：元/吨)如下表所示： 目的地 出发地 C县 D县 A 县 40 45 B县 35 50 问题1：C县和D县的化肥需要全部运往A县和B县吗?C县和D县的化肥能否满足A县和B县的需求? 问题2：设从C县运往A县的化肥为x吨，则从C县运往B县、从D县运往A县、从D县运往B县的化肥分别为多少? 问题3：各县之间的运费一样吗? 请设计一种方案，能满足 A县和B县的需求，并使得运费最低. 解：设从C县运往A县的化肥为x吨，则从C县运往B县的化肥为(110—x)吨，从D县运往A县的化肥为(100-x)吨，从D县运往B县的化肥为50-(100-x)=(x-50)吨. 依题意,得总运费w=40x+35(110-x)+45(100-x)+50(x-50)=10x+5 850. 若 A县的化肥全从C县运进，则 x=100， 若D县的化肥全运往A县,则x=100-50=50, ∴自变量x的取值范围是50≤x≤100. ω与x成一次函数，k=10>0，w随x的增大而增大， ∵50≤x≤100, ∴当x=50时,w最小. W最小=10×50+5 850=6 350. ∴从C县运往A县50吨化肥，从C县运往B县60吨化肥，从D县运往 A县50吨化肥，此时运费最低。 典型例题 客车种类 载客量/人 租金/元 甲 45 400 乙 30 280 某学校计划在总费用不超过2300元的情况下，租用客车送234名学生和6名教师集体外出活动，每辆客车上至少要有1名教师. 现有甲、乙两种大客车，它们的载客量和租金如表所示. （1）共需租多少辆客车？ （2）给出最节省费用的租车方案. ①要保证240名师生乘车都有座位； ②要使每辆客车上至少有1名教师. (教材第133~134 页探究 2) 客车种类 载客量/人 租金/元 甲 45 400 乙 30 280 问题1：影响租车费用的因素有哪些？ 甲、乙两种车所租辆数. 问题2：客车总数又与哪些因素有关？ 与乘车人数有关. 问题3：如何由乘车人数确定客车总数呢？ ①要保证240名师生都有车坐，客车总数不能小于6． ②要使每辆客车上至少要有1名教师，客车总数不能大于6． 综合起来可知客车总数为6辆． 客车种类 载客量/人 租金/元 甲 45 400 乙 30 280 问题4：在客车总数确定后，租车费用与租车的种类有关．如果租用甲种客车 x 辆，你能求出租车费用吗？ 解：设租用x辆甲种客车，则租用乙种客车(6－x)辆． 设租车费用为y元，根据表格可知： y=400x+280(6－x)， 化简，得y=120x+1680． 客车种类 载客量/人 租金/元 甲 45 400 乙 30 280 问题5：如何确定y=120x+1680中x的取值？ 为使240名师生乘车都有座位，则 45x+30(6－x) ≥ 240； 为使租车费用不超过2300元，则 120x+1680 ≤ 2300. 由 45x+30(6－x) ≥ 240， 120x+1680 ≤ 2300， 得 4 ≤ x ≤ . 5 综合起来可知x的取值为4或5. 问题6：在考虑上述问题的基础上，你能得出几种不同的租车方案？为节省费用应选择其中哪种方案？试说明理由． 方案一：租用甲种客车4辆，乙种客车2辆； 方案二：租用甲种客车5辆，乙种客车1辆； 对于y=120x+1680，因为120＞0，所以y随x的增大而增大，反映到实际即为尽可能少地租用甲种客车可以节省费用． 所以为节省费用应选择方案一，即租用甲种客车4辆，乙种客车2辆，此时的租车费用为400×4+280×2=2160 (元)． 解决含有多个变量的问题时，可以分析这些变量之间的关系，从中选取一个取值能影响其他变量的值的变量作为自变量. 然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数，以此作为解决问题的数学模型. 归纳结论 为响应“全民植树增绿，共建美丽中国”的号召，学校组织学生到郊外参加义务植树活动，并准备了 A，B两种食品作为午餐.这两种食品每包质量均为50g，营养成分表如下。 (1)若要从这两种食品中摄入 4 600 kJ 热量和70 g蛋白质，应选用 A，B 两种食品各多少包? (2)运动量大的人或青少年对蛋白质的摄入量应更多.若每份午餐选用这两种食品共7包，要使每份午餐中的蛋白质含量不低于 90 g，且热量最低，应如何选用这两种食品? 变式训练 解：(1)设选用A种食品x包，B 种食品 y 包，根据题意，得 解得 答：选用A种食品4包，B种食品2包. (2)设选用 A 种食品a包，则选用B种食品(7-a)包，根据题意，得 10a+15（7−a）≥90.∴a≤3. 设总热量为w kJ，则 w=700a+900(7-a)=-200a+6300. ∵-200<0, ∴w随a的增大而减小. ∴当a=3时,w最小. ∴7-a=7-3=4. 答：选用A种食品3包，B种食品4包. 巩固练习 某文具店购进 A，B 两种型号的计算器进行销售，其进价与售价如下表所示. 型号 进价/元 售价/元 A 22 32 B 19 25 为了满足市场需求，第二季度文具店计划用不超过 2 000 元的资金采购这两种计算器共 100 台，若所采购的计算器能全部售出，给出利润最大的进货方案，并求出最大利润是多少. 选自教材第134页 练习 解：设购进 A 型号计算器 x 台，利润为 y 元，则购进 B 型号计算器(100－x)台. 由题意，得 y 随 x 的增大而增大. y = (32－22)x + (25－19)(100－x) = 4x + 600. x在取值范围内取最大值时，y有最大值. 型号 进价/元 售价/元 A 22 32 B 19 25 因为采购资金不超过 2000 元， 所以 22x + 19(100－x) ≤ 2000，解得 x ≤ . 又 x 为整数， 所以当 x = 33 时，y 取最大值，最大值为 4×33 + 600 = 732. 答：利润最大的进货方案为购进 A 型号计算器 33 台，B 型号计算器 67 台，最大利润为 732 元. 型号 进价/元 售价/元 A 22 32 B 19 25 课堂检测 某班计划采购A，B两种型号的羽毛球拍，已知购买2副A型羽毛球拍和3副B型羽毛球拍共需 426 元，购买 4副 A型羽毛球拍和1副B型羽毛球拍共需442元. (1)求A，B两种型号羽毛球拍的单价； (2)该班准备采购A，B两种型号的羽毛球拍共20副，且A型羽毛球拍的数量不少于 B型羽毛球拍数量的2倍，请给出最省钱的购买方案，并求出最少费用. 解：(1)设A型羽毛球拍的单价为x元，B型羽毛球拍的单价为y元.由题意，得 解得 答：A型羽毛球拍的单价为90元，B型羽毛球拍的单价为82元. (2)设该班采购A型羽毛球拍m副，购买的费用为 W 元，则采购B型羽毛球拍(20-m)副.由题意,得 W=90m+82(20-m)=8m+1640. ∵A型羽毛球拍的数量不少于B型羽毛球拍数量的2倍， ∴ 解得 13≤m<20. ∵8>0,∴W随m的增大而增大. 又∵m是整数， ∴当m=14时,W取得最小值,最小值为8×14+1 640=1752, 此时20-m=20-14=6. 答：最省钱的购买方案是采购14副A型羽毛球拍、6副 B型羽毛球拍，最少费用为1752元. 课堂小结 实际问题 (多个) 函数模型 设计方案 限制条件 函数增减性 抽象 构造 课后作业 某小区物业计划购买白丁香、紫丁香两个品种的丁香，用于美化小区.白丁香的单价为50元，紫丁香的单价为 80元.该小区物业计划购买白丁香和紫丁香共45株，其中紫丁香至少购买20株，则总费用y(元)与紫丁香的数量 x(株)的函数解析式为 __________________ ；最少费用为_________ 元. y=30x+2250(x≥20) 2850 $