精品解析：2026年安徽马鞍山市博望初级中学等校初中学业水平考试第二次模拟考试数学试题

九年级数学 中考全部内容 说明：共8大题，计23小题，满分150分，作答时间120分钟． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1. 数轴上表示的点到原点的距离是（ ） A. B. 1 C. 0 D. 2 2. 如图所示的几何体由一个圆锥和一个圆柱组成，其左视图为（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算结果等于的是（ ） A. B. C. D. 4. 两个等宽的矩形纸带交叉叠合能得到菱形，连接．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 化简：（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数的图象与直线相交于点，，其中．若点也在函数的图象上，则与的大小关系为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在矩形中，，，平分交于点E，连接，作交于点F，交的延长线于点G，则的长为（ ） A. B. C. D. 8. 小明的妈妈蒸了外形和大小均相同的5个粽子（其中3个肉粽、2个蜜枣粽），小明随机取两个粽子作为早餐，他取到一个肉粽和一个蜜枣粽的概率是（ ） A. B. C. D. 9. 已知三个实数，，，满足，，则下列结论不正确的是( ) A. B. 若，则 C. D. 10. 如图，在中，，，，点是线段上的动点，点在上，，作交于点，设，四边形的面积为，则与之间的函数关系的大致图象是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 根据国家卫生健康委员会统计数据，截至2026年3月，全国已有3300万婴幼儿家庭领到育儿补贴．数据3300万用科学记数法表示为______． 12. 欧拉发现的一个有关三角形的定理：在中，R和r分别是外接圆和内切圆的半径，O和I分别是外接圆和内切圆的圆心，则．若，，则______4．（填“”“”或“”） 13. 如图，是的直径，是的弦，连接 ， ．若，则的长为______． 14. 如图，在矩形中，E是延长线上一点，且，连接，以为边向左侧作正方形，与交于点M，的延长线与交于点N．已知． （1）若，则的长为______． （2）______．（用含k的代数式表示） 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算：． 16. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的三个顶点和点O都是格点． （1）将先向右平移3个单位长度，再向上平移3个单位长度得到，请你画出． （2）以O为位似中心，作，使与的相似比为2． （3）用无刻度直尺过点向画垂线段． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 《道德经》中记载：“合抱之木，生于毫末；九层之台，起于累土；千里之行，始于足下．”小冉用小长方形搭建了“九层之台”（“九层”为虚数，指按一定规律搭出的高台），其中每层高台由上、中、下三行构成． 请你观察图形，回答下列问题： （1）第4层用了 个小长方形． （2）某层的中行用了a个小长方形，则这一层用了 个小长方形．（用含a的代数式表示） （3）小冉对小玲说：“我搭建某一层用了90个小长方形．”小玲想了想，质疑道：“这一层用的小长方形的数量不可能是90．”小玲的质疑有道理吗？请说明理由． 18. 如图（1）中的鹤壁浚县大佛是全国最早、北方最大的石佛造像．某数学兴趣小组用无人机测量浚县大佛AB的高度，测量方案：如图（2），先将无人机垂直上升至距离大佛底端所在水平面高的点，测得浚县大佛顶端的俯角为；再将无人机沿浚县大佛的方向水平飞行到达点，测得浚县大佛底端的俯角为，求浚县大佛的高度．（结果精确到，参考数据：， 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 购物节期间，某电商平台推出了一款热门智能家居产品．为了分析用户对该产品的兴趣程度，平台随机抽取了100名用户在该商品页面的停留时间（单位：秒）．停留时间被认为是衡量用户兴趣的重要指标：停留时间越长，用户对商品的兴趣可能越高． 平台将用户的停留时间分为6个区间，并统计了每个区间的用户数量．以下是具体的频数分布表： 组别 停留时间/秒 频数（用户数量） 组内用户平均停留时间/秒 A 5 5 B 10 15 C 20 25 D 30 35 E 25 45 F 10 55 根据上述信息，解答下列问题： （1）这100名用户停留时间的中位数落在组．（填写组别） （2）求这100名用户停留时间的平均数． （3）如果有8000名用户浏览了该产品，请估算停留时间不少于40秒的用户数． 20. 如图，内接于，为直径，是的切线，交的延长线于点D，作交的延长线于点E． （1）求证：． （2）若，，求的长． 21. 【综合与实践】设计校园太阳能路灯的“最大服务区域”． 【活动目标】利用固定长度的导线连接太阳能板与路灯，探究在“沿墙布线”和“直线布线”两种不同方案下，路灯所能覆盖的有效服务区域（矩形面积）的最值问题，并设计最优方案． 【活动准备】皮尺、模拟导线（绳子）、绘图纸、计算器． 【活动任务】定义：如图1，太阳能板安装在原点O，路灯安装在点．我们将“有效服务区域”定义为以为对角线的矩形的面积S（）． （1）任务1（沿墙布线方案）：在广场上，为了美观和安全，导线从原点出发，先沿x轴铺设一段，再向上转弯形成直角，一直铺设到点P处．已知导线总长为40米．当路灯P安装在何处时，有效服务区域最大？最大面积是多少？ （2）任务2（直线布线方案）：如图2，在广场上，允许导线悬空或埋地直线铺设（导线为线段）．已知导线总长为40米．当路灯P安装在何处时，有效服务区域最大？最大面积是多少？（提示：若直角三角形斜边长为定值，当两条直角边相等时，该三角形面积最大） （3）任务3（比较与决策）：若只考虑“单位导线长度所能获得的最大服务面积”，请比较任务1和任务2的计算结果，哪种布线方案的效率更高？高多少倍？ （4）任务4（现实约束优化）：在实际工程中，除了导线长度，还需考虑穿过广场中央导致阻碍通行或容易损坏等问题，请提一个合理的优化方案． 22. 如图，在四边形中，点E在边上，且，，的延长线交于点G，F是延长线上一点，，． （1）如图1，求证：． （2）如图2，作于点M，交于点N，若，． ①当，时，求的长； ②求证：． 23. 已知抛物线：与直线：相交于，两点． （1）求，，的值． （2）将抛物线平移，平移后的抛物线与直线的两交点为，（在的左边），且． ①若点与点重合，求抛物线的顶点坐标； ②设点的横坐标为，抛物线与轴交于点，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学 中考全部内容 说明：共8大题，计23小题，满分150分，作答时间120分钟． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1. 数轴上表示的点到原点的距离是（ ） A. B. 1 C. 0 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了数轴上两点的距离计算，数轴上两点的距离等于两点表示的数的差的绝对值，据此求解即可． 【详解】解：数轴上表示的点到原点的距离是， 故选：B． 2. 如图所示的几何体由一个圆锥和一个圆柱组成，其左视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆锥和圆柱的左视图组合可得答案． 【详解】解：左视图上面是一个三角形，下面是一个长方形，如图所示． 3. 下列运算结果等于的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、和不是同类项，不能合并，不符合题意； B、，不符合题意； C、，不符合题意； D、，符合题意． 4. 两个等宽的矩形纸带交叉叠合能得到菱形，连接．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据菱形的性质得，即可求出，再根据三角形外角的性质求出，然后根据得出答案． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵是的外角， ∴， 解得， ∴． 5. 化简：（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解： ． 6. 已知函数的图象与直线相交于点，，其中．若点也在函数的图象上，则与的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据反比例函数与直线的交点位置判断反比例函数图象所在象限，再利用反比例函数的增减性比较与的大小． 【详解】解：∵函数与交于两点，，且， ∵直线经过第二，四象限 ∴函数在第二，四象限，且在每一象限内，y随x的增大而增大 ∴点在第二象限 ∵点也在函数的图象上， ∴点也在第二象限，且 ∴． 7. 如图，在矩形中，，，平分交于点E，连接，作交于点F，交的延长线于点G，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先由矩形的性质得到，，，，求出，证明，得到，然后证明得到，然后代入求解． 【详解】解：∵四边形是矩形 ∴，，， ∵平分 ∴ ∴是等腰直角三角形 ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴，即 ∴． 8. 小明的妈妈蒸了外形和大小均相同的5个粽子（其中3个肉粽、2个蜜枣粽），小明随机取两个粽子作为早餐，他取到一个肉粽和一个蜜枣粽的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设3个肉粽分别为，，，2个蜜枣粽分别为，，画树状图得出所有可能的情况和取到一个肉粽和一个蜜枣粽的情况，然后利用概率公式求解． 【详解】解：设3个肉粽分别为，，，2个蜜枣粽分别为，， 画树状图如下： 共有20种等可能的情况，其中取到一个肉粽和一个蜜枣粽的情况有12种， ∴取到一个肉粽和一个蜜枣粽的概率是． 9. 已知三个实数，，，满足，，则下列结论不正确的是( ) A. B. 若，则 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据不等式的性质结合二次函数的性质对各选项逐一判断即可. 【详解】解：由，得 ，代入中，得 ， ∴， ∴A选项正确． ， ，结合，不能判定， 例如，，，符合题意，显然， ∴B选项不正确． 由，得 ①， 由，得②， ①②，得， C选项正确． 对于函数，根据题意可知，函数图象经过点，点 ． ， 点在第三象限． 若，则已知的两式变为 ， ∴ ， 解得， 成立， 若，则抛物线一定与x轴有两个不同的交点，且 ∴即成立， ∴D选项正确． 10. 如图，在中，，，，点是线段上的动点，点在上，，作交于点，设，四边形的面积为，则与之间的函数关系的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数在几何图形中的应用，解题的关键是通过相似三角形求出相关线段的长度，进而表示出四边形的面积，得到函数关系式，再根据函数性质判断图象． 先求出的长度，再通过以及三角函数正切，得到， ，，分别求出、和的面积表达式，用的面积减去和的面积得到四边形的面积表达式，分析其函数图象． 【详解】解：如图，作于点，于点， ， ，，， ，， ，，， ， ， ， ． ， ， ， ， ， ，， ，其中， 与之间的函数关系的大致图象为A． 故选A． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 根据国家卫生健康委员会统计数据，截至2026年3月，全国已有3300万婴幼儿家庭领到育儿补贴．数据3300万用科学记数法表示为______． 【答案】 【解析】 【详解】解：数据3300万用科学记数法表示为． 12. 欧拉发现的一个有关三角形的定理：在中，R和r分别是外接圆和内切圆的半径，O和I分别是外接圆和内切圆的圆心，则．若，，则______4．（填“”“”或“”） 【答案】 【解析】 【详解】解：∵，， ∴ ∵ ∴ ∴． 13. 如图，是的直径，是的弦，连接，．若，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，易得为等边三角形，求出的度数，圆周角定理求出，利用三角函数求出直径的长，进而得到半径的长，再利用弧长公式进行求解即可. 【详解】解：如图，连接． ∵，， ∴为等边三角形， ， ∴， ∴ ， ∴． ∵是的直径， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 14. 如图，在矩形中，E是延长线上一点，且，连接，以为边向左侧作正方形，与交于点M，的延长线与交于点N．已知． （1）若，则的长为______． （2）______．（用含k的代数式表示） 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）根据，，，得出，，根据矩形的性质得出，在中，由勾股定理得，根据四边形是正方形，得出，，证明，则，即可求解． （2）设，则， ，在矩形中，，，证明 ，得出，结合，即可得​． 【详解】解：（1）∵，，， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ． （2）设，则， ， 在矩形中，，， 在正方形中，，， ∴，， ∴， 又， ∴ ， ∴， ∴， ∵， ∴​． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】先化简二次根式、负整数指数幂、零指数幂，再合并即可求解． 【详解】解：， ， ． 16. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的三个顶点和点O都是格点． （1）将先向右平移3个单位长度，再向上平移3个单位长度得到，请你画出． （2）以O为位似中心，作，使与的相似比为2． （3）用无刻度直尺过点向画垂线段． 【答案】（1）作图见解析 （2）作图见解析 （3）作图见解析 【解析】 【分析】（1）将点A向右平移3个单位长度，再向上平移3个单位长度得到点，再将点B，C向右平移3个单位长度，向上平移3个单位长度得到点，然后依次连接，则即为所求； （2）连接并延长至,使得，同理可得，然后依次连接，则即为所求； （3）取点E，F，G，可得，可得，即可得，再由，可得，即，则，所以即为所求． 【小问1详解】 解：如图所示，则即为所求； 【小问2详解】 解：如图所示，则即为所求； 【小问3详解】 解：如图所示，取点E，连接，交于点D，则即为所求． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 《道德经》中记载：“合抱之木，生于毫末；九层之台，起于累土；千里之行，始于足下．”小冉用小长方形搭建了“九层之台”（“九层”为虚数，指按一定规律搭出的高台），其中每层高台由上、中、下三行构成． 请你观察图形，回答下列问题： （1）第4层用了 个小长方形． （2）某层的中行用了a个小长方形，则这一层用了 个小长方形．（用含a的代数式表示） （3）小冉对小玲说：“我搭建某一层用了90个小长方形．”小玲想了想，质疑道：“这一层用的小长方形的数量不可能是90．”小玲的质疑有道理吗？请说明理由． 【答案】（1）27 （2） （3）小玲的质疑有道理，见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意得出规律第层的中行小长方形个数为（永远是奇数），第层小长方形总个数（为中行个数），即可解答； （2）根据（1）中规律解答即可； （3）根据某一层小长方形总个数为，得出，再根据任意一层的中行个数（为正整数，层数），一定是奇数，而是偶数，不可能是某层的中行个数，因此总个数不可能是，小玲的质疑有道理． 【小问1详解】 解：观察图形可得，阴影为每层的中行，第层的中行小长方形个数为（永远是奇数），且上行个数中行个数，下行个数中行个数， 因此第层小长方形总个数（为中行个数）． 第层的中行个数为：，第4层小长方形总个数为． 【小问2详解】 解：由上述推导，若中行个数为，这一层总个数为． 【小问3详解】 解：小玲的质疑有道理， 理由：若某一层小长方形总个数为，则 ，得， 因为任意一层的中行个数（为正整数，层数），一定是奇数，而是偶数，不可能是某层的中行个数，因此总个数不可能是，小玲的质疑有道理． 18. 如图（1）中的鹤壁浚县大佛是全国最早、北方最大的石佛造像．某数学兴趣小组用无人机测量浚县大佛AB的高度，测量方案：如图（2），先将无人机垂直上升至距离大佛底端所在水平面高的点，测得浚县大佛顶端的俯角为；再将无人机沿浚县大佛的方向水平飞行到达点，测得浚县大佛底端的俯角为，求浚县大佛的高度．（结果精确到，参考数据：， 【答案】浚县大佛的高度约为 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．延长交直线于点，由题意得．在中，由，得到．则．在中，．最后根据计算即可． 【详解】解：延长交直线于点，如图． 由题意得． 在中，， ． ． 在中，， ． ． 浚县大佛的高度约为． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 购物节期间，某电商平台推出了一款热门智能家居产品．为了分析用户对该产品的兴趣程度，平台随机抽取了100名用户在该商品页面的停留时间（单位：秒）．停留时间被认为是衡量用户兴趣的重要指标：停留时间越长，用户对商品的兴趣可能越高． 平台将用户的停留时间分为6个区间，并统计了每个区间的用户数量．以下是具体的频数分布表： 组别 停留时间/秒 频数（用户数量） 组内用户平均停留时间/秒 A 5 5 B 10 15 C 20 25 D 30 35 E 25 45 F 10 55 根据上述信息，解答下列问题： （1）这100名用户停留时间的中位数落在组．（填写组别） （2）求这100名用户停留时间的平均数． （3）如果有8000名用户浏览了该产品，请估算停留时间不少于40秒的用户数． 【答案】（1）D （2）这100名用户停留时间的平均数为34秒 （3）停留时间不少于40秒的用户数约为2800 【解析】 【分析】（1）根据中位数的定义求解； （2）根据平均数的定义求解； （3）利用样板估计总体求解． 【小问1详解】 解：∵共有100个数据， ∴中位数为第50个数据和第51个数据的平均数 ∵ ， ∴这100名用户停留时间的中位数落在组； 【小问2详解】 解： （秒）， ∴这100名用户停留时间的平均数为34秒； 【小问3详解】 解：． 答：停留时间不少于40秒的用户数约为2800． 20. 如图，内接于，为直径，是的切线，交的延长线于点D，作交的延长线于点E． （1）求证：． （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）如图，连接，由切线的性质得到，然后由得到，等量代换得到，即可得到； （2）由（1）可知，，，证明，得到，然后利用勾股定理求解． 【小问1详解】 解：如图，连接， ∵是的切线， ∴，即． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）可知，，． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ． 21. 【综合与实践】设计校园太阳能路灯的“最大服务区域”． 【活动目标】利用固定长度的导线连接太阳能板与路灯，探究在“沿墙布线”和“直线布线”两种不同方案下，路灯所能覆盖的有效服务区域（矩形面积）的最值问题，并设计最优方案． 【活动准备】皮尺、模拟导线（绳子）、绘图纸、计算器． 【活动任务】定义：如图1，太阳能板安装在原点O，路灯安装在点．我们将“有效服务区域”定义为以为对角线的矩形的面积S（）． （1）任务1（沿墙布线方案）：在广场上，为了美观和安全，导线从原点出发，先沿x轴铺设一段，再向上转弯形成直角，一直铺设到点P处．已知导线总长为40米．当路灯P安装在何处时，有效服务区域最大？最大面积是多少？ （2）任务2（直线布线方案）：如图2，在广场上，允许导线悬空或埋地直线铺设（导线为线段）．已知导线总长为40米．当路灯P安装在何处时，有效服务区域最大？最大面积是多少？（提示：若直角三角形斜边长为定值，当两条直角边相等时，该三角形面积最大） （3）任务3（比较与决策）：若只考虑“单位导线长度所能获得的最大服务面积”，请比较任务1和任务2的计算结果，哪种布线方案的效率更高？高多少倍？ （4）任务4（现实约束优化）：在实际工程中，除了导线长度，还需考虑穿过广场中央导致阻碍通行或容易损坏等问题，请提一个合理的优化方案． 【答案】（1）当路灯安装在处时（构成正方形），有效服务区域最大，最大面积为400平方米 （2）当路灯安装在处时，有效服务区域最大，最大面积为800平方米 （3）直线布线（任务2）的效率更高．在消耗相同长度导线的情况下，直线布线所能覆盖的有效服务区域面积是沿墙布线的2倍 （4）采用对角线地下预埋管线，既享受了任务2的效率，又避免了地面导线阻碍交通的缺陷 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，则，得出当时，取得最大值，此时． （2）根据题意可得，同理求出的最大值，即可解答． （3）根据，即可得直线布线（任务2）的效率更高．在消耗相同长度导线的情况下，直线布线所能覆盖的有效服务区域面积是沿墙布线的2倍． （4）根据题意解答即可． 【小问1详解】 解：导线沿边缘铺设，点的横、纵坐标之和等于导线长， ∴， ∴， ∴当时，取得最大值，此时． 故当路灯安装在处时（围成正方形），有效服务区域最大，最大面积为400平方米． 【小问2详解】 解：导线拉直连接，点到原点的距离等于导线长， ∴， ， 故当时，取得最大值，最大值为640000， 即当时，取得最大值，最大值为， 此时． 故当路灯安装在处时，有效服务区域最大，最大面积为800平方米． 【小问3详解】 解：∵， ∴直线布线（任务2）的效率更高．在消耗相同长度导线的情况下，直线布线所能覆盖的有效服务区域面积是沿墙布线的2倍． 【小问4详解】 解：采用对角线地下预埋管线，既享受了任务2的效率，又避免了地面导线阻碍交通的缺陷． 22. 如图，在四边形中，点E在边上，且，，的延长线交于点G，F是延长线上一点，，． （1）如图1，求证：． （2）如图2，作于点M，交于点N，若，． ①当，时，求的长； ②求证：． 【答案】（1）见解析 （2）①；②见解析 【解析】 【分析】（1）证明，即可得． （2）①证明，即可求解． ②证明是等腰直角三角形，再证明，即可证出． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， 即． 又∵，， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：①∵，，， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∴， 即， ∴． ②证明：∵， ∴ ． ∴ ， ∴． ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴． ∵， ∴， 又， ∴， 又 ， ∴， ∴． 23. 已知抛物线：与直线：相交于，两点． （1）求，，的值． （2）将抛物线平移，平移后的抛物线与直线的两交点为，（在的左边），且． ①若点与点重合，求抛物线的顶点坐标； ②设点的横坐标为，抛物线与轴交于点，求的最小值． 【答案】（1），， （2）①抛物线的顶点坐标为；②最小值为 【解析】 【分析】本题属于二次函数综合题，涉及二次函数图像上点的坐标特征，二次函数的性质，待定系数法求函数解析式，平移等知识，熟练掌握二次函数的图象及性质，会用待定系数法求函数的解析式是解题的关键． （1）把代入，求得把代入中，求得，即得出点的坐标，再把，代入中，解方程组即可； （2）①求出抛物线的顶点坐标为，由平移可知，点M与点A是对应点，点N与点B是对应点，抛物线需向左平移5个单位长度，再向下平移5个单位长度得到抛物线，从而得到抛物线的顶点坐标为； ②点的横坐标为，则，，且与都在直线上，则，设抛物线的表达式为，得，配方得，从而得到当时，有最小值，最小值为． 【小问1详解】 解：把代入，得，解得， ∴直线l的解析式为； 把代入中，得，即点的坐标为， 把，代入中，得 解得 ∴，，． 【小问2详解】 解：①对于抛物线：，其顶点坐标为， ∵且与都在直线上， ∴抛物线沿直线平移得到抛物线, 由平移可知，点M与点A是对应点，点N与点B是对应点． ∵点与点重合， ∴抛物线需向左平移5个单位长度，再向下平移5个单位长度得到抛物线， ∴抛物线的顶点坐标为； ②∵点的横坐标为，且在直线上， ∴， ∵，且与都在直线上， ∴， ∵抛物线与轴交于点， ∴设抛物线的表达式为， ②－①，得 ， 代入①，得 ，即． ∴当时，有最小值，最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $