23.4 第2课时利用一函数选择方案2025-2026学年八年级数学下册

该初中数学课件聚焦“利用一次函数选择方案”，通过宽带收费、游泳套餐等实际情境导入，引导学生从方案选择问题中抽象出一次函数模型，搭建从一次函数概念到实际应用的学习支架。 其亮点是以生活实例为载体，通过建立分段函数、比较函数关系培养数学眼光（抽象问题）、数学思维（推理讨论）、数学语言（模型表达），如宽带收费问题引导学生经历“建模-分析-决策”过程，提升学生应用能力，为教师提供分层教学资源。

第2课时 利用一次函数选择方案 23.4 实际问题一次函数 1 素养目标 1. 根据实际问题背景建立分段函数模型，体会分类讨论 思想在解决实际问题中的应用． 2. 灵活运用变量关系建立一次函数模型并选择最佳方案 解决相关实际问题． 3. 体会“问题情境—建立模型—解释应用—回顾拓展” 这一数学建模的基本思想，感受函数知识的应用价值． 情境导入 做一件事情，有时有不同的实施方案，从中选择最佳方案是十分必要的. 在选择方案时，往往需要从数学角度进行分析，涉及变量的问题常用到函数． 如表给出了 A，B，C 三种上宽带网的收费方式． 收费方式 月使用费用/元 包时上网时间/h 超时费用/(元/min) A 30 25 0.05 B 50 50 0.05 C 120 不限时 选取哪种方式能节省上网费？ 探究新知 收费方式 月使用费用/元 包时上网时间/h 超时费用/(元/min) A 30 25 0.05 B 50 50 0.05 C 120 不限时 解:设月上网时间为 x h，A，B，C 三种收费方式的月上网费用分别为 y1 元、y2 元、y3 元，则 y1，y2，y3 关于 x 的函数解析式如下: y1 = 30，0 ≤ x ≤ 25， 30 + 0.05×60(x－25)，x > 25 . 化简，得 y1 = 30，0 ≤ x ≤ 25， 3x－45，x > 25 . 收费方式 月使用费用/元 包时上网时间/h 超时费用/(元/min) A 30 25 0.05 B 50 50 0.05 C 120 不限时 方式 B： y2 = 50，0 ≤ x ≤ 50， 50 + 0.05×60(x－50)，x > 50 . 化简，得 y2 = 50，0 ≤ x ≤ 50， 3x－100，x > 50 . 方式 C：y3 = 120，x ≥ 0 . 画出函数图象如图所示. 收费方式 月使用费用/元 包时上网时间/h 超时费用/(元/min) A 30 25 0.05 B 50 50 0.05 C 120 不限时 结合解析式及函数图象可知: 当月上网时间不足 h时，选择方式 A 最省钱; 当月上网时间超过 h 而不足 h 时, 选择方式 B 最省钱; 当月上网时间超过 h时，选择方式 C 最省钱． （教材132-133页探究1）下表给出了某游泳馆 A，B，C 三种年卡套餐的收费标准. 典型例题 套餐 年卡费用/元 套餐内游泳次数/次 套餐外单次收费/元 A 600 20 40 B 1200 50 40 C 1800 不限次 选取哪种年卡套餐能节省游泳费用？ 提出问题1：该问题要我们做什么？ 提出问题2：选择方案的依据是什么？ 根据省钱原则选择方案 套餐 年卡费用/元 套餐内游泳次数/次 套餐外单次收费/元 A 600 20 40 B 1200 50 40 C 1800 不限次 分析： 1.要比较三种收费方式的费用，需要做什么？ 分别计算每种套餐的费用. 2.怎样计算费用？ 费用=年卡费用+套餐外费用 套餐外费用=套餐外单次收费×次数 套餐 年卡费用/元 套餐内游泳次数/次 套餐外单次收费/元 A 600 20 40 B 1200 50 40 C 1800 不限次 3. A，B，C三种套餐中，所需要的费用是固定的还是变化的？ 在套餐A，B中，游泳次数是影响所需的费用的变量； 在套餐C中，所需的费用是定值. 请写出三种套餐的游泳费用y与年游泳次数x之间的函数解析式. 套餐 年卡费用/元 套餐内游泳次数/次 套餐外单次收费/元 A 600 20 40 B 1200 50 40 C 1800 不限次 解：设年游泳x次，则套餐A，B的游泳费用y1，y2都是x的函数. 在套餐A中，考虑游泳费用时，要把年游泳次数分为不超过20次和超过20次两种情况，得到刻画套餐A的游泳费用的函数解析式 y1 = 600，0 ≤ x ≤ 20， 600 + 40(x－20)，x > 20 . 化简，得 y1 = 600，0 ≤ x ≤ 20， 40x－200，x > 20 . 类似地，可以得到刻画套餐B，C的游泳费用 y2，y3 关于年游泳次数 x 的函数解析式. 套餐A费用y1 = 600，0 ≤ x ≤ 20， 40x－200，x > 20 . 套餐B费用y2 = 1200，0 ≤ x ≤ 50， 40x－800，x > 50 . 套餐C费用y3 = 1800，x≥0. 请比较 y1，y2，y3 的大小. y/元 O 400 200 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 x/次 20 10 30 40 50 y2 y3 y1 结合图象与解析式可知： 当年游泳次数__________时，选择套餐 A 能节省游泳费用； 当年游泳次数__________时，选择套餐 B 能节省游泳费用； 当年游泳次数__________时，选择套餐 C 能节省游泳费用. 0≤x<35 35<x<65 x>65 画出y1，y2，y3 的图象如图所示. 变式训练 某剧院举行专场音乐会，成人票每张20元，学生票每张5元.暑假期间，为了丰富广大师生的业余文化生活，剧院制定了两种优惠方案，方案1：购买一张成人票赠送一张学生票；方案2：按总价的90%付款. 某校有4名老师与若干名(不少于4人)学生听音乐会. (1)设学生人数为x人，付款总金额为y元，分别建立两种优惠方案中y与x的函数解析式； (2)请计算并确定出最节省费用的购票方案. 解:(1)y₁=20×4+(x-4)×5=5x+60(x≥4). y₂=(5x+20×4)×90%=4.5x+72(x≥4). 2y₁−y₂=0.5x−12x≥4 ①当 y₁−y₂=0时,0.5x-12=0,解得x=24. ∴当x=24时, y₁=y₂,，两种优惠方案付款一样多； ②当y₁-y₂<0时,0.5x-12<0,解得x<24. ∴当4≤x<24时,y₁<y₂,优惠方案1付款较少; ③当y₁-y₂>0时,0.5x-12>0,解得x>24. ∴当x>24时,y₁>y₂,优惠方案2付款较少. 归纳结论 这个实际问题的解决过程中是怎样思考的？ 实际问题 一次函数问题 设变量找对应关系 实际问题的解 一次函数问题的解 解释实际意义 巩固练习 某公司要印制产品宣传材料. 甲印刷厂的收费方案是：收1500元制版费，每份材料再收 1 元印制费；乙印刷厂的收费方案是：不收制版费，每份材料收 2.5 元印制费. （1）分别写出两家印刷厂的收费 y（单位：元）关于印制宣传材料数量 x（单位：份）的函数解析式； 解：甲印刷厂的收费 y 关于印制宣传材料数量 x 的函数解析式为 y = 1500 + x，乙印刷厂的收费 y 关于印制宣传材料数量 x 的函数解析式为 y = 2.5x . 选自教材第133页 练习 令 1500 + x = 2.5x，解得 x = 1000. （2）选择哪家印刷厂比较合算？ 在同一平面直角坐标系中画出函数 y=1500+x与y=2.5x 的图象如图所示. 由图象可知，当印制宣传材料数量小于1000 份时，选择乙印刷厂比较合算；当印制宣传材料数量为 1000 份时，选择甲、乙两家印刷厂的费用相同；当印制宣传材料数量大于 1000 份时，选择甲印刷厂比较合算. 1.某市体育馆将举办明星足球赛，为此体育馆推出两种团体购票方案(设购票张数为x张，购票总价为y元). 方案一：购票总价由图中的折线OAB所表示的函数关系确定； 方案二：提供8 000元赞助后，每张票的票价为50元.当两种方案购票总价相同时，x的值为( ) D A.80 B.120 C.160 D.200 当堂检测 2.某化妆品公司每月付给销售人员的薪酬有两种方案. 方案一：没有底薪，只拿销售提成； 方案二：底薪加销售提成. 设x(件)是销售商品的数量，y(元)是销售人员的月薪酬.如图所示，l₁ 为方案一的函数图象，l₂ 为方案二的函数图象.根据图中信息解答如下问题： (1)方案二中每月付给销售人员的底薪是______元； (2)求l₁,l₂ 图象的函数解析式; (3)小丽应选择哪种薪酬方案，才能使月工资更多? 1 800 解：(2)由题意，设l₁ 的函数解析式为 y=k₁x. ∵图象 l₁ 过点(30,2 250),∴2 250=30k₁. ∴k₁=75. ∴l₁ 的函数解析式为 y=75x. 设 l₂ 的函数解析式为 y=k₂x+b. ∵图象 l₂ 过点(0,1 800),(30,3 150), ∴ ∴ ∴l₂ 的函数解析式为y=45x+1800. (3)由题意可知， 当75x>45x+1800,即x>60时,方案一月工资更多; 当75x=45x+1800,即x=60时,两种方案月工资相同; 当75x<45x+1800,即0≤x<60时,方案二月工资更多. 课堂小结 实际问题 (多个)函数模型 确定方案 抽象构造 直线交点 图象间位置关系 课后分层作业 基础层：1.为吸引顾客，某游乐场推出了甲、乙两种消费卡.设消费的次数为 x 时，所需的费用为 y元，且y与x之间的函数关系如图所示.观察图象可知，当消费的次数x _______ 时，选择乙种消费卡更为划算. 提升层：2.某通信公司提供了 A，B两种方案的通信费用y(元)与通话时间x(分)之间的关系，如图所示，则下列说法正确的是( ) A.若通话时间少于 100 分钟，则 A 方案比 B方案便宜 B.若通话时间超过160 分钟，则 B 方案比 A方案便宜 C.若通信费用为80元，则A方案比B方案的通话时间多 D.若两种方案的通话时间相同，则通信费用相差20元 >10 C $