精品解析：2026年山东菏泽市单县初中学业水平考试(中考)模拟数学试题

二○二六年初中学业水平考试（中考）模拟 数学试题 本试卷共8页．满分120分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号和座号填写在答题卡和试卷规定的位置上． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效． 3．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每题只有一个选项符合题目要求． 1. 点M，N，P，Q在数轴上的位置如图所示，其中所表示的数的绝对值最大的点是（） A. M B. N C. P D. Q 2. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 如果一个几何体的三视图都是矩形，那么这个几何体可能是（ ） A. 三棱柱 B. 长方体 C. 圆柱 D. 圆锥 4. 2025年初，中国科学院物理研究所的科研团队，成功为金属材料“重塑金身”，实现了厚度约为0.000000000375米的单原子层金属，为人类探索物质世界打开了全新维度．若数据0.000000000375用科学记数法表示成，则n的值是（ ） A. B. －9 C. 9 D. 10 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 将一副三角板（，）按如图所示的方式摆放，使得点D在三角板的一边上，且，则等于（　　） A. B. C. D. 7. 如图，正六边形的边长为6，以顶点A为圆心，的长为半径画圆，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 8. 2026年央视春晚创新推出智能互动红包活动，在晚会直播期间，观众可以参与三轮抢红包活动，如果小明和小红都只参与了其中一轮，那么小明和小红参与的是同一轮的概率是（ ） A. B. C. D. 9. 在平面直角坐标系中，矩形的边在x轴上，O为线段的中点，矩形的顶点，连接，按照下列方法作图：（1）以点C为圆心，适当的长度为半径画弧，分别交于点E，F；（2）分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点G；（3）作射线交于H，则线段的长为（ ） A. B. 1 C. D. 10. 鹰眼系统能够追踪、记录和预测球的轨迹，右图为足球比赛中某一时刻的鹰眼系统预测画面，足球的飞行轨迹可看成抛物线．若把对应的抛物线的函数表达式设为，画二次函数的图象时，列表如下： x … 1 2 3 4 … y … 0 1 0 … 关于此函数下列说法不正确的是（ ） A. 函数图象开口向下 B. 当时，该函数有最大值 C. 当时， D. 若在函数图象上有两点，，则 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分．只要求填写最后的结果． 11. 若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是________． 12. 若关于x，y的方程组的解满足，则k的值为______． 13. 如图，在中，，D为斜边上一点，以为直径的圆与相切于点E．若，则的长是_______． 14. 如图，经过点A的一束光线照射到平面镜（x轴）上的点B处，反射后的光线交y轴于点，若反射光线的函数关系式为，则入射光线的函数关系式为__________． 15. 爱好阅读的小胡购买了一本有关数学之美的课外书．下面是他的三个同学猜测该书价格的对话： 小胡在听到他们的对话后说：“你们三个都猜错了．”则这本书的价格（元）所在的范围是_______． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 计算与化简求值： （1）计算： （2）先化简，再求值：，其中． 17. 随着《青少年科学健身普及和运动干预三年行动计划》的推进，青少年的健身意识逐步增强．某运动场馆要采购A，B两种型号的计数跳绳．据了解，A型计数跳绳的单价比B型计数跳绳的单价低元，用元购买A型计数跳绳的数量和用元购买B型计数跳绳的数量相同． （1）求两种型号计数跳绳的单价； （2）该运动场馆计划购买两种型号的计数跳绳共根，且A型计数跳绳的购买数量不超过B型计数跳绳购买数量的2倍．购买A型计数跳绳多少根时采购费用最少？最少采购费用是多少元？ 18. 学科实践 【情境再现】如图，春节前夕，小东借助斜靠在墙上的梯子，帮助爷爷张贴院门春联． 【数学眼光】使用梯子时，安全攀爬高度不仅与梯子长度有关，还与梯子和地面所成的角度有关． 【来助力】借助模拟分析可知：要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角一般要满足：． 【数学思考】 （1）已知小东爷爷家的梯子长为3米，求安全攀爬到斜靠在墙面上的梯子的顶端距地面最大高度？（结果精确到0.1米） （2）若将梯子底端放在距离墙面1.5米处，已知小东的身高为1.65米，他能否安全使用这架梯子，将春联贴在3米高的院门上方？ （参考数据：，，，） 19. 在第十四届全国人大会议上，教育部长怀进鹏说：“身上出汗，让学生动起来”，为深入落实教育部“身上出汗，让学生动起来”的体育要求，全面提升学生体质健康水平，某校随机抽取了部分学生，调查他们每周日参加体育锻炼的时长（单位：），将结果分为A、B、C、D四个等级，并整理出如下不完整的统计图表，其中B等级的时长数据如下：75，80，75，65，70，85，65，60，75，75． 等级 时长分组 人数 A 18 B b C c D 7 请根据以上信息，解答下列问题： （1）统计表中的______，B等级时长数据的众数是______，调查的这部分学生体育活动时间的中位数是______； （2）求统计图中m的值； （3）统计图中C组对应扇形的圆心角为_________度； （4）若该校共有2000名学生，估计每天体育活动时间不少于的人数． 20. 将一副三角板按如图方式摆放在平面直角坐标系中，其中含角的三角板的直角边落在y轴上，含角的三角板的直角顶点C的坐标为，反比例函数的图象经过点C． （1）求反比例函数的表达式． （2）如图1，将三角板绕点O顺时针旋转至的位置，点D为三角板边上一点，旋转后点D的对应点G点恰好落在反比例函数图象上，求旋转前点D的坐标． （3）如图2，若将三角板绕点O顺时针旋转使点C落在边上的点，请判断点A旋转后的对应点是否在反比例函数图象上，并说明理由． 21. 如图，是半的直径，点在半上，，，连接、． （1）求证：是的切线； （2）求证： （3）若，，求的长． 22. 已知，二次函数（为常数）的图象经过点，两点． （1）求二次函数的表达式及顶点坐标； （2）若点先向下平移6个单位长度，再向右平移个单位长度后，恰好落在的图象上，求的值； （3）当时，有最大值7，最小值，求的取值范围． 23. 综合与探究 问题情境：综合探究活动中，老师以菱形为基本图形，添加若干条件后，请同学们就几何元素之间的关系提出问题并解决问题．如图1，已知四边形是菱形，，，点是射线上的一个动点，连接，以为边作等边（点在的右侧），连接． 数学思考： （1）“敏学小组”提出问题：猜想图1中与之间的数量关系，并说明理由； 深入探究： 老师在图1的基础上过点作的平行线与的延长线交于点．请你解决同学们提出的新问题： （2）“善思小组”提出问题：如图2，若点在线段上，判断线段，与之间的数量关系，并证明你的结论； （3）“创新小组”提出问题：若点在射线上运动，连接，当时，请直接写出线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 二○二六年初中学业水平考试（中考）模拟 数学试题 本试卷共8页．满分120分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号和座号填写在答题卡和试卷规定的位置上． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效． 3．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每题只有一个选项符合题目要求． 1. 点M，N，P，Q在数轴上的位置如图所示，其中所表示的数的绝对值最大的点是（） A. M B. N C. P D. Q 【答案】A 【解析】 【分析】根据绝对值的几何意义，离原点越远的点表示的数的绝对值越大，由各点到原点的距离进行判断即可． 【详解】解：观察数轴可知：点M到原点的距离最远， ∴所表示的数的绝对值最大的点是点M． 2. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、B、C选项图形绕中心旋转后不能与原图形重合，不是中心对称图形，故不符合题意； D选项图形绕中心旋转后能与原图形重合，是中心对称图形，故符合题意． 3. 如果一个几何体的三视图都是矩形，那么这个几何体可能是（ ） A. 三棱柱 B. 长方体 C. 圆柱 D. 圆锥 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了简单几何图的三视图，根据几何体的三视图逐项判断即可求解． 【详解】解：三棱柱的两个底面是三角形，所以不可能三视图都是矩形，故选项A不符合题意； 长方体的三视图都是矩形，故选项B符合题意； 圆柱的两个底面是三角形，所以不可能三视图都是矩形，故选项C不符合题意； 正立的圆锥的主视图和左视图都是等腰三角形，俯视图是带圆心的圆，故选项D不符合题意． 故选：B． 4. 2025年初，中国科学院物理研究所的科研团队，成功为金属材料“重塑金身”，实现了厚度约为0.000000000375米的单原子层金属，为人类探索物质世界打开了全新维度．若数据0.000000000375用科学记数法表示成，则n的值是（ ） A. B. －9 C. 9 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法是解题的关键；科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数． 【详解】解：将数据0.000000000375用科学记数法表示为, ∴n的值是； 故选A． 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了幂的运算，解题的关键是熟练掌握幂的运算法则；根据幂的运算法则即可解答． 【详解】解：A、，此选项错误， B、，此选项正确， C、，此选项错误， D、，此选项错误， 故选：B． 6. 将一副三角板（，）按如图所示的方式摆放，使得点D在三角板的一边上，且，则等于（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由，，可得，再由，可求，最后利用三角形的内角和即可求出结果． 【详解】解：，， ， ， ， ， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了平行线的性质和三角形的内角和，熟练掌握三角形的性质是解题的关键． 7. 如图，正六边形的边长为6，以顶点A为圆心，的长为半径画圆，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正多边形内角公式求出的度数，再根据扇形面积公式计算即可． 【详解】解：由题意，， ∴． 8. 2026年央视春晚创新推出智能互动红包活动，在晚会直播期间，观众可以参与三轮抢红包活动，如果小明和小红都只参与了其中一轮，那么小明和小红参与的是同一轮的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意画出树状图，进而得到所有等可能结果数与符合条件的结果数，代入概率公式计算即可． 【详解】解：将三轮抢红包分别记为1、2、3，可画出树状图如下， 由树状图可知，所有等可能的结果总数为9种，小明和小红参与同一轮的情况共3种， ∴所求概率． 9. 在平面直角坐标系中，矩形的边在x轴上，O为线段的中点，矩形的顶点，连接，按照下列方法作图：（1）以点C为圆心，适当的长度为半径画弧，分别交于点E，F；（2）分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点G；（3）作射线交于H，则线段的长为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形，矩形的性质，勾股定理，角平分线的性质和角平分线的尺规作图，过点H作于T，根据矩形的性质和点D的坐标可得 ，利用勾股定理可得，由作图方法可得平分，则，再根据列式求解即可． 【详解】解：如图所示，过点H作于T， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵O为线段的中点， ∴， ∴， ∴， 由作图方法可知平分， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 10. 鹰眼系统能够追踪、记录和预测球的轨迹，右图为足球比赛中某一时刻的鹰眼系统预测画面，足球的飞行轨迹可看成抛物线．若把对应的抛物线的函数表达式设为，画二次函数的图象时，列表如下： x … 1 2 3 4 … y … 0 1 0 … 关于此函数下列说法不正确的是（ ） A. 函数图象开口向下 B. 当时，该函数有最大值 C. 当时， D. 若在函数图象上有两点，，则 【答案】D 【解析】 【分析】先利用待定系数法求二次函数的解析式，再根据二次函数图象与性质对各项进行判断即可． 【详解】解：由题意可知，抛物线的图象经过点、、， 即：，解得：， ∴抛物线的解析式为：， ∵， ∴抛物线开口向下，故A正确； ∵， ∴当时，该函数有最大值，故B正确； 当时，，故C正确； ∵当，即，解得：，， ∴抛物线与x轴的交点坐标为：、， ∴，y随x的增大而增大；，y随x的增大而减小， ∴当函数值时，，或，故D错误； 故选：D． 【点睛】本题考查用待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象与性质，熟练掌握用待定系数法求函数解析式是解题的关键． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分．只要求填写最后的结果． 11. 若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式被开方数大于等于零和分式的分母不等于零求解． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴， ∴， ∴． 12. 若关于x，y的方程组的解满足，则k的值为______． 【答案】4 【解析】 【分析】将两个方程相加，可得，结合列出关于k的方程，即可求解． 【详解】解： 得，， ， ， ， ． 13. 如图，在中，，D为斜边上一点，以为直径的圆与相切于点E．若，则的长是_______． 【答案】15 【解析】 【分析】根据切线的性质得到，结合勾股定理求出圆的半径，即可求出的长． 【详解】解：设圆心为，连接， 设的半径为， 以为直径的圆与相切于点， ， 在中，， 解得：， ∴． 14. 如图，经过点A的一束光线照射到平面镜（x轴）上的点B处，反射后的光线交y轴于点，若反射光线的函数关系式为，则入射光线的函数关系式为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，掌握光的反射定律及待定系数法求一次函数的关系式是解题的关键．将坐标代入，求出b，从而求得反射光线的函数关系式，当时，求出对应x的值，从而求得点B的坐标；求出点C关于x轴的对称点的坐标，由光的反射定律可知，点在入射光线上，进而利用待定系数法求出入射光线的函数关系式即可． 【详解】解：将坐标代入，得，解得， 反射光线的函数关系式为， 当时，， 解得， ， 根据光的反射定律，点关于x轴的对称点在入射光线上， 设入射光线的函数关系式为（m、n为常数，且）， 将坐标和分别代入， 得， 解得， 入射光线的函数关系式为． 15. 爱好阅读的小胡购买了一本有关数学之美的课外书．下面是他的三个同学猜测该书价格的对话： 小胡在听到他们的对话后说：“你们三个都猜错了．”则这本书的价格（元）所在的范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查不等式组的应用，根据对话列不等式组，求出解集即可． 【详解】解：根据对话可得， 解得， 故答案为：． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 计算与化简求值： （1）计算： （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1） （2），4 【解析】 【分析】（1）先化简二次根式，计算三角函数、零指数幂，再化简绝对值，计算乘法，最后计算加减即可； （2）先根据乘法公式化简原分式，再将代入化简结果计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：原式 ， 当时，原式． 17. 随着《青少年科学健身普及和运动干预三年行动计划》的推进，青少年的健身意识逐步增强．某运动场馆要采购A，B两种型号的计数跳绳．据了解，A型计数跳绳的单价比B型计数跳绳的单价低元，用元购买A型计数跳绳的数量和用元购买B型计数跳绳的数量相同． （1）求两种型号计数跳绳的单价； （2）该运动场馆计划购买两种型号的计数跳绳共根，且A型计数跳绳的购买数量不超过B型计数跳绳购买数量的2倍．购买A型计数跳绳多少根时采购费用最少？最少采购费用是多少元？ 【答案】（1）A型计数跳绳单价为元，B型计数跳绳单价为元 （2）购买A型计数跳绳根时采购费用最少，最少采购费用为元 【解析】 【分析】本题主要考查了运用分式方程解应用题，不等式的应用，一次函数的性质应用，熟练掌握相应知识是解题的关键． （1）设A型计数跳绳单价为x元，B型计数跳绳单价为元，根据题意，得，解方程即可； （2）设购买A型计数跳绳a根，则购买B型计数跳绳数量为根，且，根据题意，得，解答即可． 【小问1详解】 解：设A型计数跳绳单价为x元，B型计数跳绳单价为元， 根据题意，得 ， 解得 经检验是原方程的解． 此时．： 答：A型计数跳绳单价为元，B型计数跳绳单价为元． 【小问2详解】 解：设购买A型计数跳绳a根，则购买B型计数跳绳数量为根，即，，且a为非负整数， 根据题意，得 由，得w随a增大而减小， ，且a为非负整数， ∴当时，w取得最小值，最小值为(元)， 答：购买A型计数跳绳根时采购费用最少，最少采购费用为元． 18. 学科实践 【情境再现】如图，春节前夕，小东借助斜靠在墙上的梯子，帮助爷爷张贴院门春联． 【数学眼光】使用梯子时，安全攀爬高度不仅与梯子长度有关，还与梯子和地面所成的角度有关． 【来助力】借助模拟分析可知：要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角一般要满足：． 【数学思考】 （1）已知小东爷爷家的梯子长为3米，求安全攀爬到斜靠在墙面上的梯子的顶端距地面最大高度？（结果精确到0.1米） （2）若将梯子底端放在距离墙面1.5米处，已知小东的身高为1.65米，他能否安全使用这架梯子，将春联贴在3米高的院门上方？ （参考数据：，，，） 【答案】（1）使用这架梯子，可以安全攀爬到梯子顶端距地面最大高度2.9米 （2）小东能安全使用这架梯子将春联贴在3米高的大门上方 【解析】 【分析】（1）在中，当，安全攀爬到梯子的顶端距地面高度最大，根据求出结果； （2）根据判断的度数是否满足，再计算出长，加上小东的身高，与3米比较大小，确定答案． 【小问1详解】 解：根据题意可知，当时，安全攀爬到梯子的顶端距地面高度最大，如图所示，在中，，，， 由，得， （米）， 答：使用这架梯子，可以安全攀爬到梯子顶端距地面最大高度2.9米． 【小问2详解】 解：如图所示，根据题意得，在中，，，， ， ， 此时满足； 在中，， （米）． ， 小东能安全使用这架梯子将春联贴在3米高的大门上方． 19. 在第十四届全国人大会议上，教育部长怀进鹏说：“身上出汗，让学生动起来”，为深入落实教育部“身上出汗，让学生动起来”的体育要求，全面提升学生体质健康水平，某校随机抽取了部分学生，调查他们每周日参加体育锻炼的时长（单位：），将结果分为A、B、C、D四个等级，并整理出如下不完整的统计图表，其中B等级的时长数据如下：75，80，75，65，70，85，65，60，75，75． 等级 时长分组 人数 A 18 B b C c D 7 请根据以上信息，解答下列问题： （1）统计表中的______，B等级时长数据的众数是______，调查的这部分学生体育活动时间的中位数是______； （2）求统计图中m的值； （3）统计图中C组对应扇形的圆心角为_________度； （4）若该校共有2000名学生，估计每天体育活动时间不少于的人数． 【答案】（1）10，75，75 （2） （3）108 （4）1120人 【解析】 【分析】（1）由题意可知，由统计图表可用D级的人数除以占调查人数的百分比，求出调查总人数，根据众数与中位数的定义求解； （2）用B组人数除以总数乘以，进而可知m的值； （3）求出C组人数，即可得出C组对应扇形的圆心角度数； （4）用2000乘以每天体育活动时间不少于的人数所占总数的比值即可． 【小问1详解】 解：根据题意得：B级人数为10，即； 调查总人数为（人）， B等级时长数据中75出现次数最多，故众数为75； 数据按从小到大排列第25、26个数据是65，70， 故中位数为； 【小问2详解】 解：， ∴； 【小问3详解】 解：， ， 即统计图中C组对应扇形的圆心角为108度； 【小问4详解】 解：每周日体育活动时间不少于的人数为（人） 20. 将一副三角板按如图方式摆放在平面直角坐标系中，其中含角的三角板的直角边落在y轴上，含角的三角板的直角顶点C的坐标为，反比例函数的图象经过点C． （1）求反比例函数的表达式． （2）如图1，将三角板绕点O顺时针旋转至的位置，点D为三角板边上一点，旋转后点D的对应点G点恰好落在反比例函数图象上，求旋转前点D的坐标． （3）如图2，若将三角板绕点O顺时针旋转使点C落在边上的点，请判断点A旋转后的对应点是否在反比例函数图象上，并说明理由． 【答案】（1） （2） （3）在，理由见解析 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解； （2）过点作轴于点，根据求出，由旋转得，根据点在反比例函数图象上求出点G的坐标，进而求出，根据旋转得，进而即可求解； （3）过点作轴于点，过点作，交的延长线于点，证明，推出，．由旋转得：，进而得出点的坐标，即可判断． 【小问1详解】 解： 点在反比例函数的图象上， ， 反比例函数的表达式为：； 【小问2详解】 解：过点作轴于点， 三角板为等腰直角三角形，， ， ， 如图，旋转到的位置，点对应点， ， 点在的图象上， ， ， 由旋转可得：， ． 【小问3详解】 解：如图，过点作轴于点，过点作，交的延长线于点， ， ，， ， ， ， ，． 由旋转得：， 在中，，， ， ， 在反比例函数图象上． 21. 如图，是半的直径，点在半上，，，连接、． （1）求证：是的切线； （2）求证： （3）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）6 【解析】 【分析】（1）连接，由直径可得，利用等边对等角可推出，从而得出，即可得证； （2）根据两角分别相等的两个三角形相似证明即可； （3）由相似三角形对应边成比例，得出，在中，利用勾股定理列方程，求出，即可得解． 【小问1详解】 证明：如图，连接， 是半的直径， ， ， ， ， ， ， ，即， ， 又是半径， 是的切线； 【小问2详解】 证明：， ， 又， ； 【小问3详解】 解：由（2）可知，， ， ， ， ， 在中，，， ， 解得：（负值舍去）， ． 22. 已知，二次函数（为常数）的图象经过点，两点． （1）求二次函数的表达式及顶点坐标； （2）若点先向下平移6个单位长度，再向右平移个单位长度后，恰好落在的图象上，求的值； （3）当时，有最大值7，最小值，求的取值范围． 【答案】（1），顶点坐标为 （2）4 （3） 【解析】 【分析】（1）先根据已知条件求得抛物线的对称轴，进而可求得b，可得表达式和顶点坐标； （2）先求出点P平移后的点的坐标，然后把坐标代入（1）中表达式求解，即可解答； （3）根据二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：∵二次函数（为常数）的图象经过点，两点， ∴该函数的对称轴为直线，则， 解得， ∴该二次函数的表达式为， 当时，， ∴顶点坐标为； 【小问2详解】 解：点先向下平移6个单位长度，再向右平移个单位长度后的坐标为， 将代入中，得， 解得或（舍去）， 故m的值为4； 【小问3详解】 解：由（1）知，该二次函数的对称轴为直线，顶点坐标为，开口向下， 又当时，有最大值7，最小值， ∴当时，取最大值7， ∵当时，， 又点关于对称轴对称的点的坐标为 ∴． 23. 综合与探究 问题情境：综合探究活动中，老师以菱形为基本图形，添加若干条件后，请同学们就几何元素之间的关系提出问题并解决问题．如图1，已知四边形是菱形，，，点是射线上的一个动点，连接，以为边作等边（点在的右侧），连接． 数学思考： （1）“敏学小组”提出问题：猜想图1中与之间的数量关系，并说明理由； 深入探究： 老师在图1的基础上过点作的平行线与的延长线交于点．请你解决同学们提出的新问题： （2）“善思小组”提出问题：如图2，若点在线段上，判断线段，与之间的数量关系，并证明你的结论； （3）“创新小组”提出问题：若点在射线上运动，连接，当时，请直接写出线段的长． 【答案】（1），理由见解析 （2），理由见解析 （3）或 【解析】 【分析】（1）先由菱形性质得、，再由等边三角形性质得、，通过角的等量代换推出，利用证明，根据全等三角形对应边相等即可得出； （2）先由菱形和平行线的性质推出 ，证明是等边三角形得，再结合(1)中的结论推出，最后利用且，通过等量代换即可得出 ； （3）先过点作于，利用角的三角函数求出、，再分点在线段上和点在的延长线上两种情况，分别设，表示出和的长度，在中根据勾股定理列方程求解即可． 【小问1详解】 解：， 理由如下：四边形是菱形， ，， ， ， ，即， 是等边三角形， ，，即， ， 在和中， ， ； 【小问2详解】 解：． 证明：四边形是菱形， ，， ， ， ， 由（1）得，， ， ， ， 是等边三角形， ， 由（1）得，， ， ， ； 【小问3详解】 解：过点作于点， ，， ， 分两种情况讨论： ①如图2，当点在线段上时， 设，则，， ， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：，即； ②如图3，当点在线段的延长线上时， 设，则，， ， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：，即； 综上所述，线段的长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $