第八章 成对数据的统计分析（能力提升卷）-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

**基本信息** 本卷为高中数学第八章“成对数据的统计分析”能力提升单元卷，精选近三年期中、模拟及真题，覆盖相关系数、回归分析、独立性检验等核心知识，通过分层题组实现基础巩固与能力提升，适配高二下单元复习或高三一轮备考。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|样本相关系数计算、残差分析、回归直线性质|结合电商利润等现实情境，考查数学眼光观察数据关联| |多选|3/18|回归方程应用、独立性检验|以软件公司利润、AI答题活动为背景，体现数学思维的逻辑推理| |填空|3/15|回归预测、残差计算|联系粉丝量增长、中学生追星问题，培养数据观念与模型意识| |解答|5/77|列联表构建、回归模型选择、概率分布|综合地区生产总值、社交平台用户行为等热点，强化数学语言表达与综合应用能力|

第八章 成对数据的统计分析（能力提升卷） 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时120分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！ 1． 选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．（25-26高二下·山西·期中）网购是现代年轻人重要的购物方式，某电商对其旗下的一家专营店近五年来每年的利润额（单位：万元）与年份代码进行了统计，得如下数据： x 1 2 3 4 5 y 2.5 3.3 4.5 6.2 8.5 则x与y的样本相关系数（   ） 参考公式：，参考数据：，． A．0.99 B．0.98 C．0.97 D．0.96 【答案】B 【分析】代入相关系数公式求解即可. 【详解】由题意，得，，， ，所以． 2．（25-26高二下·天津武清·期中）已知下列四个命题：①残差图中残差点所在的水平带状区域越宽，则回归方程的预报精确度越高；②甲、乙两个模型的决定系数分别约为0.88和0.80，则模型乙的拟合效果更好；③回归直线恒过点，且至少过一个样本点；④在线性回归分析中，样本相关系数r的绝对值越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强.其中真命题的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【详解】对于①，残差图中，残差点所在水平带状区域越窄，说明残差波动越小， 即回归方程的预报精确度越高，残差点所在水平带状区域越宽，说明残差波动越大， 即回归方程的预报精确度越低，错误； 对于②，决定系数越接近1，说明模型对数据的拟合效果越好，故模型甲的拟合效果更好，错误； 对于③，回归直线过样本数据，，，的中心点， 并不一定过样本数据中的某一个点，错误； 对于④，在线性回归分析中，样本相关系数r的绝对值越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强，正确. 3．（25-26高二下·海南·期中）根据生物实验中的一组数据作出如图所示的散点图，并对这组数据进行回归分析后发现遗漏了点，增加点后再次进行回归分析，得到的结果和原来相比（    ） A．决定系数变小 B．残差平方和变小 C．相关系数变大 D．不变 【答案】A 【详解】增加点，从散点图中可以看出拟合效果变差； 决定系数越接近1，拟合效果越好，所以拟合效果变差后决定系数变小，故A正确； 残差平方和越小，拟合效果越好，所以残差平方和变大，故B错误； 越接近1，相关程度越强，拟合效果越好，由于两个变量成正相关，所以相关系数变小，故C错误； 增加点前的的平均数为，增加点后的的平均数为， 所以变大，故D错误. 4．（25-26高二下·江苏盐城·期中）下列说法中不正确的是（   ） A．随机变量X的方差，期望，则 B．在成对样本数据分析中相关系数，表示两个变量之间没有线性相关关系 C．根据线性回归方程得到预测值为时的观测值为34，则残差为0.009 D．为了研究某种商品的广告投入x和收益y之间的相关关系，某研究小组收集了5组样本数据如表所示，得到线性回归方程为，则当广告投入为10万元时，收益的预测值为2.68万元 x/万元 1 2 3 4 5 y/万元 0.50 0.80 1.00 1.20 1.50 【答案】A 【分析】利用方差与期望值的关系式可得A错误，相关系数表示两个变量之间没有线性相关关系，根据残差定义直接代入计算可判断C正确，求出回归方程将代入计算可得结果. 【详解】由方差，期望，则，可得，因此A错误； 当相关系数时，表示两个变量之间没有线性相关关系，即B正确； 易知残差为，所以C正确； 对于D，显然， 因此可得，解得； 当广告投入为10万元时,收益的预测值为，因此D正确. 5．（25-26高二下·河北沧州·期中）为了解喜爱钓鱼是否与性别有关，某同学随机在人群中抽取了若干人进行调查，抽取男性人数与女性人数相同，男性喜爱钓鱼的人数占男性人数的，女性喜爱钓鱼的人数占女性人数的，若有的把握认为是否喜爱钓鱼与性别有关，则被调查的男性中不喜爱钓鱼的至少有（   ） 附：，其中． A．人 B．人 C．人 D．人 【答案】C 【分析】设被调查的男性有人，则女性有人，列出列联表，根据独立性检验的基本思想可得出关于的不等式，结合可得出的值，即可得出被调查的男性中不喜爱钓鱼的人数至少为. 【详解】设被调查的男性有人，则女性有人，根据题意，可得列联表如下： 钓鱼 性别 男性 女性 总计 喜爱钓鱼 不喜爱钓鱼 总计 则， 本次调查得出“有的把握认为是否喜爱钓鱼与性别有关”的结论， 可得，解得， 又因为列联表中相关人数需为整数，则， 所以，被调查的男性中不喜爱钓鱼的至少有人． 6．（25-26高二下·福建泉州·阶段检测）某高校团委对学生性别和喜欢短视频是否有关联进行了一次调查，其中被调查的男生、女生人数均为，男生中喜欢短视频的人数占男生人数的，女生中喜欢短视频的人数占女生人数的 若有的把握认为喜欢短视频和性别相关联，则的最小值为（    ） （附，其中．） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意先列出列联表计算值，再根据计算出的最小值. 【详解】根据题意，列联表如下： 喜欢 不喜欢 合计 男 女 合计 ； ∵有的把握认为喜欢短视频和性别相关联，即， ，，又， 则的最小值为. 故选：B. 7．（25-26高二下·云南昭通·期中）对于变量，，经过随机抽样获得成对数据，且 ，利用最小二乘法得到关于的线性回归方程为，且与的相关系数，则下列结论正确的是（   ） A．越大，与的线性相关性越弱 B．若，则 C．若，则 D．若样本点都在回归直线上，则 【答案】D 【分析】对于A，由的绝对值大小与和的线性相关性强弱关系可判断选项正误；对于B，由与计算公式可判断选项正误.对于C，由题设可得，据此可判断选项正误；对于D，由的意义可判断选项正误； 【详解】对于A，的绝对值越接近1，由于，故的值越大，与的线性相关性越强，故A错误； 对于B，,从而，则当时，因无法确定，则无法确定，故B错误. 对于C，由于可得，则，当时，，则，故C错误； 对于D，若样本点都在回归直线上，且，则，D正确； 8．（25-26高二下·江西南昌·阶段检测）已知样本点，，……，的经验回归直线的方程为，相关系数为，样本均值分别为，.现令，.设新样本点的经验回归直线为，则下列命题为假命题的是（   ） 附：样本相关系数，经验回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，. A．与的相关系数为 B．过 C．的斜率为 D．的截距为 【答案】D 【分析】根据经验回归直线必过样本中心点，代入公式依次判断选项即可. 【详解】由已知样本均值性质可得新样本均值分别为与， 因为经验回归直线必过样本中心点， 所以新经验回归直线过点，故B正确； 因为且， 代入相关系数公式可得新样本的相关系数，故A正确； 代入斜率公式可得新经验回归直线的斜率 ，故C正确； 由回归截距公式可得新经验回归直线的截距，故D错误.故选D. 2． 多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9．（2026·江西·模拟预测）已知某软件公司开发了一款新型智能解题软件，现将该软件上市后的月份以及当月获得的利润（单位：万元）统计如下表所示，并根据表中数据，得到经验回归方程，则（     ） 月份 1 2 3 4 5 利润 6 7 9 A． B．可以估计每增加1个月份，月利润平均提高万元 C．可以估计上市后的第7个月的利润为万元 D．上市后的第4个月的利润的残差为万元 【答案】AC 【详解】由统计表可知： ，， 则回归直线过样本中心点，代入回归方程得， ，解得，故A正确； 回归方程为，斜率为，则每增加1个月份，月利润平均提高万元， 故B错误； 时，万元，故C正确； 由统计表知，第4个月，预测值， 残差万元，故D错误． 10．（2026·河北保定·模拟预测）为了研究与的线性相关关系，收集了 10组样本数据，已知样本点的中心为，且 ，，的分位数为，若关于的经验回归方程为 则下列说法正确的是（    ） A． B．与负相关 C． D．样本相关系数必大于0 【答案】CD 【详解】选项A：样本点的中心为，关于的经验回归方程为， 所以代入可得，解得，故A错误； 选项B：因为回归系数，因此与正相关，故B错误； 选项C：的分位数为，， 即，因为，所以解得，故C正确； 选项D：因为回归系数，所以与正相关， 因此样本相关系数，故D正确. 11．（25-26高二下·辽宁朝阳·期中）有媒体称DeepSeek开启了我国AI新纪元.某高校拟与某网络平台合作组织学生参加与AI知识有关的网络答题活动，为了解男女学生参与答题意愿的差异，结果得到列联表如下：则（   ） 性别 男生 女生 合计 不愿报名参加答题活动 20 60 80 愿意报名参加答题活动 80 合计 100 参考公式：，其中. 附表： 0.1 0.05 0.025 0.01 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 A．当时，有的把握认为参与答题意愿与性别无关. B．当时，有的把握认为参与答题意愿与性别有关. C．当时，根据小概率值的独立性检验，认为参与答题意愿与性别有关联. D．当时，根据小概率值的独立性检验，没有充分的证据推断参与答题意愿与性别有关联. 【答案】BC 【详解】对于AB，当时，， 则， 所以有的把握认为参与答题意愿与性别有关.，故A错误，B正确； 对于CD，当时，， 零假设为：参与答题意愿与性别无关， 则， 依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 所以根据小概率值的独立性检验，认为参与答题意愿与性别有关联，故C正确，D错误. 3． 填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12．（江苏徐州市2026届高三模拟预测数学试题）将某数学博主1—4月份的粉丝量y整理成如下表格，根据表中数据求出z关于x的经验回归方程为，则预测该数学博主6月末的粉丝量约为______． 月份x 1 2 3 4 粉丝量y 【答案】 【详解】因为，所以当时，， 所以，解得. 故预测该数学博主6月末的粉丝量约为 13．（2026·山东滨州·二模）已知变量和变量的一组成对样本数据为，其中，其回归直线方程为，当增加两个样本数据和后，经重新计算得到新回归直线的斜率为3，则在新的回归直线方程的估计下，样本数据所对应的残差为__________.（残差观测值预测值） 【答案】/ 【分析】将样本中心点代入回归方程中求出，即可得出，进而得出新数据的样本中心点和回归方程，代入计算即可. 【详解】由题意得，， 则，， 当增加两个样本数据和后， 变量的平均数为，变量的平均数为， 因为新回归直线的斜率为3，所以可设其方程为， 将代入得，则， 令，则，则样本数据所对应的残差为. 14．（25-26高二下·江西·月考）针对“中学生追星问题”，某校团委对“学生性别和中学生追星是否有关”作了一次调查，其中女生人数是男生人数的，男生追星的人数占男生人数的，女生追星的人数占女生人数的，若根据小概率值的独立性检验，判断中学生追星与性别有关，则男生至少有______人． 参考数据及公式：，其中． 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】48 【分析】设男生人数为，由题可得列联表，然后由题设可得关于不等式，据此可得答案. 【详解】设男生人数为，则女生人数为，男生追星人数为，不追星人数为， 女生追星人数为，不追星人数为，据此可得列联表如下： 追星 不追星 总计 男生 女生 总计 则由独立性检验相关计算公式结合题设，可得： . 又为保证所有人数为正整数，需为的倍数，则. 4． 解答题（共5小题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，满分77分） 15．（重庆市巴蜀教育集团2025-2026学年高二下学期5月期中考试数学试题）为了比较甲，乙两所学校学生的数学水平，采用简单随机抽样的方法抽取了100名学生，通过测验得到了如下数据：甲校50名学生中有10名数学成绩优秀，乙校50名学生中有15名数学成绩优秀． (1)请将列联表补充完整； 学校 数学成绩 合计 优秀 不优秀 甲校 10 乙校 15 合计 100 (2)依据小概率值的独立性检验，能否据此推断两校学生的数学成绩优秀率有差异． (3)用甲校数学成绩样本的优秀率作为甲校数学成绩总体的优秀率，估计甲校的3名学生中恰好有两名学生数学成绩优秀的概率． 参考数据： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】(1) 学校 数学成绩 合计 优秀 不优秀 甲校 10 40 50 乙校 15 35 50 合计 25 75 100 (2)不能据此推断两校学生的数学成绩优秀率有差异 (3) 【分析】（1）根据题意完成列联表， （2）结合零假设、卡方公式进行运算求解判断即可； （3）利用二项分布求解即可. 【详解】（1）由已知，列联表如下： 单位：人 学校 数学成绩 合计 优秀 不优秀 甲校 10 40 50 乙校 15 35 50 合计 25 75 100 （2）零假设为：两校学生的数学成绩优秀率无差异. 根据列联表数据，计算得到 . 根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立， 因此不拒绝原假设，即不能认为两校学生的数学成绩优秀率有差异. （3）甲校数学成绩样本的优秀率为，作为甲校数学成绩总体的优秀率， 设甲校的3名学生中成绩优秀的人数为，则， 所求概率为. 16．（25-26高二下·吉林长春·期中）我国全面二孩政策已正式实施，这次人口与生育政策的历史性调整，使得“要不要再生一个”，“生二孩能休多久产假”等问题成为千千万万个家庭在生育决策上避不开的话题.为了解针对产假的不同安排方案形成的生育意愿，某调查机构随机抽取了200户有生育二胎能力的适龄家庭进行问卷调查，得到如下数据： 产假安排（单位：周） 14 15 16 17 18 有生育意愿家庭数（单位：户） 4 8 16 20 26 (1)建立变量关于的一元线性回归模型； (2)用（1）中所求的经验回归方程来拟合这组成对数据，当样本数据的残差的绝对值大于1时，称该对数据为一个“次数据”，现从这5个成对数据中任取3个做残差分析，求取到的数据中“次数据”个数的数学期望. 附：经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为， 参考数据：. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由已知求出，，利用公式求出，，即可得到关于的线性回归方程； （2）由回归方程求出预测值，可得残差的绝对值，判断是否为“次数据”，可得“次数据”和非“次数据”个数，“次数据”个数为，求出对应概率，即可列出分布列求出数学期望. 【详解】（1），， 所以， 则， ， 所以关于的一元线性回归方程为. （2）由（1）回归方程为，样本数据的残差的绝对值大于1时，称该对数据为一个“次数据”， 由题意，列出下表， 产假安排（单位：周） 14 15 16 17 18 有生育意愿家庭数（单位：户） 4 8 16 20 26 预测值 3.6 9.2 14.8 20.4 26 残差的绝对值 0.4 1.2 1.2 0.4 0 是否为“次数据” 否 是 是 否 否 则“次数据”共有2个，非“次数据”共有3个，从这5个数据中任取三个，“次数据”个数为， 则， ， ， 分布列 0 1 2 所以，数学期望为 . 17．（25-26高三·全国·一轮复习）中国共产党第二十次全国代表大会上的报告中提到，新时代十年我国经济实力实现历史性跃升，国内生产总值从54万亿元增长到114万亿元，我国经济总量稳居世界第二位.建立年份编号为解释变量，地区生产总值为响应变量的一元线性回归模型，现就2012—2016某市的地区生产总值统计如下： 年份 2012 2013 2014 2015 2016 年份编号 1 2 3 4 5 地区生产总值（亿元） 2.8 3.1 3.9 4.6 5.6 (1)求出经验回归方程，并计算2016年地区生产总值的残差； (2)随着我国打赢了人类历史上规模最大的脱贫攻坚战，该市2017－2022的地区生产总值持续增长，现对这11年的数据有三种经验回归模型，，，它们的分别为和，请根据的数值选择最好的回归模型预测一下2024年该市的地区生产总值； (3)若2012－2022该市的人口数（单位：百万）与年份编号的回归模型为，结合（2）问中的最佳模型，预测一下在2023年以后，该市人均地区生产总值的变化趋势. 参考公式：，. 【答案】(1)， (2)亿元 (3)逐年递增 【分析】（1）根据表格数据，代入公式计算即可； （2）根据决定系数确定回归模型，再代入公式计算即可； （3）列出人均地区生产总值表达式，再用定义法确定函数单调性. 【详解】（1）由数据，， ， 而，， 所以，则，综上，经验回归方程为， 当时，，故2016年地区生产总值残差为； （2）根据决定系数越大拟合越好，由于，故模型较好， 因2024年对应，则亿元； （3）设该市人均地区生产总值为， ， 令，且， 若，所以， 而，，则0，故， 所以在上递增，则在上递增， 所以该市人均地区生产总值逐年递增. 18．（25-26高三上·湖北黄冈·期末）有媒体称DeepSeek开启了我国AI新纪元.某高校拟与某网络平台合作组织学生参加与AI知识有关的网络答题活动，为了解男女学生参与答题意愿的差异，男生、女生各取100人.设事件“学生愿意报名参加答题活动”，“学生为男生”，据统计. (1)根据已知条件，完成下列列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否推断该校学生报名参加答题活动与性别有关？ 性别 男生 女生 合计 不愿报名参加答题活动 愿意报名参加答题活动 合计 200 (2)网络答题规则：假设甲每道题回答是否正确相互独立，且每次答对的概率均为. （i）若答题活动设置且道题，甲仅答对其中10道题的概率最大，求的值. （ii）若答题活动设置4道题，且答题规则如下：每次答一题，一旦答对，则结束答题；答错则继续答题，直到4道题答完.已知甲同学报名参加答题活动，用表示在本次答题的题目数量，求的分布列和期望. 参考公式与数据：，其中. 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)列联表见解析，认为学生报名参加答题活动与性别有关联 (2)（i）；（ii）的分布列见解析, 【分析】（1）根据题设，结合条件概率的定义求出数据，进而完成列联表，再计算出的值判断即可； （2）（i）设随机变量Y为甲答对题目的个数，则，根据二项分布的概率性质建立不等式组即可求解；（ii）写出的所有可能取值，结合独立事件的概率特征求出对应的概率，从而可写出的分布列及期望. 【详解】（1）因为，所以愿意报名参加答题活动人数为， 又因为，所以愿意报名参加答题活动的男生人数为，愿意报名参加答题活动的女生人数为，则可得到列联表为： 性别 男生 女生 合计 不愿报名参加答题活动 20 60 80 愿意报名参加答题活动 80 40 120 合计 100 100 200 零假设为：学生报名参加答题活动与性别无关， 则， 依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为学生报名参加答题活动与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于0.001； （2）（i）设随机变量Y为甲答对题目的个数，则. 则， 假设最有可能答对题目的数量是10次，则 即： 解得，又，则； （ii）的所有可能取值为：1，2，3，4， ，，， ， 所以的分布列为： X 1 2 3 4 P 故. 19．（25-26高三上·河北·期末）某社交平台对用户行为进行分析，收集了每位用户每日的活跃时间（单位：小时）和发布内容数量（单位：条）.为分析两变量间的相关性，需对数据进行标准化处理.现随机抽取名用户，得到数据，定义标准化变量与的相关系数为. (1)证明：且. (2)基于历史数据，用户活跃时间，设平台服务成本为随机变量，当时，，当时，，当时，，若在变化，且0.9544，求的期望的取值范围. (3)设维向量与的数量积定义为，模长定义为与的夹角满足.设x，y标准化变量对应的向量分别为为向量与的夹角.该平台还记录了每位用户的好友数量（单位：人），其标准化变量对应的向量，）.已知活跃时间与发布内容数量的相关系数为，发布内容数量与好友数量的相关系数为，设与的夹角为与的夹角为，且，求活跃时间与好友数量的相关系数的取值范围. 附相关公式：与的相关系数. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）由条件提供的公式化简即可证明； （2）设，根据正态分布的概率特点求出的范围，利用离散型随机变量的期望的定义表达出的期望，从而即可求解； （3）由（1）易得，从而，活跃时间与好友数量的相关系数即为，结合条件，根据余弦函数的单调性及两角和差的余弦公式即可求解. 【详解】（1）证明：由，得， 将代入上式，得，同理得， 由，及相关系数， 得 因为，所以． （2）设，则． 因为，所以， 则． 因为，所以，故的取值范围是． （3）由（1）知， ，则，故． 因为，所以， 且均为锐角，则． 由及余弦函数在上单调递减， 可得， 即 则，即． 故活跃时间与好友数量的相关系数的取值范围是． 第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第八章 成对数据的统计分析（能力提升卷） 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时120分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！ 1． 选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．（25-26高二下·山西·期中）网购是现代年轻人重要的购物方式，某电商对其旗下的一家专营店近五年来每年的利润额（单位：万元）与年份代码进行了统计，得如下数据： x 1 2 3 4 5 y 2.5 3.3 4.5 6.2 8.5 则x与y的样本相关系数（   ） 参考公式：，参考数据：，． A．0.99 B．0.98 C．0.97 D．0.96 2．（25-26高二下·天津武清·期中）已知下列四个命题：①残差图中残差点所在的水平带状区域越宽，则回归方程的预报精确度越高；②甲、乙两个模型的决定系数分别约为0.88和0.80，则模型乙的拟合效果更好；③回归直线恒过点，且至少过一个样本点；④在线性回归分析中，样本相关系数r的绝对值越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强.其中真命题的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 3．（25-26高二下·海南·期中）根据生物实验中的一组数据作出如图所示的散点图，并对这组数据进行回归分析后发现遗漏了点，增加点后再次进行回归分析，得到的结果和原来相比（    ） A．决定系数变小 B．残差平方和变小 C．相关系数变大 D．不变 4．（25-26高二下·江苏盐城·期中）下列说法中不正确的是（   ） A．随机变量X的方差，期望，则 B．在成对样本数据分析中相关系数，表示两个变量之间没有线性相关关系 C．根据线性回归方程得到预测值为时的观测值为34，则残差为0.009 D．为了研究某种商品的广告投入x和收益y之间的相关关系，某研究小组收集了5组样本数据如表所示，得到线性回归方程为，则当广告投入为10万元时，收益的预测值为2.68万元 x/万元 1 2 3 4 5 y/万元 0.50 0.80 1.00 1.20 1.50 5．（25-26高二下·河北沧州·期中）为了解喜爱钓鱼是否与性别有关，某同学随机在人群中抽取了若干人进行调查，抽取男性人数与女性人数相同，男性喜爱钓鱼的人数占男性人数的，女性喜爱钓鱼的人数占女性人数的，若有的把握认为是否喜爱钓鱼与性别有关，则被调查的男性中不喜爱钓鱼的至少有（   ） 附：，其中． A．人 B．人 C．人 D．人 6．（25-26高二下·福建泉州·阶段检测）某高校团委对学生性别和喜欢短视频是否有关联进行了一次调查，其中被调查的男生、女生人数均为，男生中喜欢短视频的人数占男生人数的，女生中喜欢短视频的人数占女生人数的 若有的把握认为喜欢短视频和性别相关联，则的最小值为（    ） （附，其中．） A． B． C． D． 7．（25-26高二下·云南昭通·期中）对于变量，，经过随机抽样获得成对数据，且 ，利用最小二乘法得到关于的线性回归方程为，且与的相关系数，则下列结论正确的是（   ） A．越大，与的线性相关性越弱 B．若，则 C．若，则 D．若样本点都在回归直线上，则 8．（25-26高二下·江西南昌·阶段检测）已知样本点，，……，的经验回归直线的方程为，相关系数为，样本均值分别为，.现令，.设新样本点的经验回归直线为，则下列命题为假命题的是（   ） 附：样本相关系数，经验回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，. A．与的相关系数为 B．过 C．的斜率为 D．的截距为 2． 多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9．（2026·江西·模拟预测）已知某软件公司开发了一款新型智能解题软件，现将该软件上市后的月份以及当月获得的利润（单位：万元）统计如下表所示，并根据表中数据，得到经验回归方程，则（     ） 月份 1 2 3 4 5 利润 6 7 9 A． B．可以估计每增加1个月份，月利润平均提高万元 C．可以估计上市后的第7个月的利润为万元 D．上市后的第4个月的利润的残差为万元 10．（2026·河北保定·模拟预测）为了研究与的线性相关关系，收集了 10组样本数据，已知样本点的中心为，且 ，，的分位数为，若关于的经验回归方程为 则下列说法正确的是（    ） A． B．与负相关 C． D．样本相关系数必大于0 11．（25-26高二下·辽宁朝阳·期中）有媒体称DeepSeek开启了我国AI新纪元.某高校拟与某网络平台合作组织学生参加与AI知识有关的网络答题活动，为了解男女学生参与答题意愿的差异，结果得到列联表如下：则（   ） 性别 男生 女生 合计 不愿报名参加答题活动 20 60 80 愿意报名参加答题活动 80 合计 100 参考公式：，其中. 附表： 0.1 0.05 0.025 0.01 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 A．当时，有的把握认为参与答题意愿与性别无关. B．当时，有的把握认为参与答题意愿与性别有关. C．当时，根据小概率值的独立性检验，认为参与答题意愿与性别有关联. D．当时，根据小概率值的独立性检验，没有充分的证据推断参与答题意愿与性别有关联. 3． 填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12．（江苏徐州市2026届高三模拟预测数学试题）将某数学博主1—4月份的粉丝量y整理成如下表格，根据表中数据求出z关于x的经验回归方程为，则预测该数学博主6月末的粉丝量约为______． 月份x 1 2 3 4 粉丝量y 13．（2026·山东滨州·二模）已知变量和变量的一组成对样本数据为，其中，其回归直线方程为，当增加两个样本数据和后，经重新计算得到新回归直线的斜率为3，则在新的回归直线方程的估计下，样本数据所对应的残差为__________.（残差观测值预测值） 14．（25-26高二下·江西·月考）针对“中学生追星问题”，某校团委对“学生性别和中学生追星是否有关”作了一次调查，其中女生人数是男生人数的，男生追星的人数占男生人数的，女生追星的人数占女生人数的，若根据小概率值的独立性检验，判断中学生追星与性别有关，则男生至少有______人． 参考数据及公式：，其中． 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 4． 解答题（共5小题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，满分77分） 15．（重庆市巴蜀教育集团2025-2026学年高二下学期5月期中考试数学试题）为了比较甲，乙两所学校学生的数学水平，采用简单随机抽样的方法抽取了100名学生，通过测验得到了如下数据：甲校50名学生中有10名数学成绩优秀，乙校50名学生中有15名数学成绩优秀． (1)请将列联表补充完整； 学校 数学成绩 合计 优秀 不优秀 甲校 10 乙校 15 合计 100 (2)依据小概率值的独立性检验，能否据此推断两校学生的数学成绩优秀率有差异． (3)用甲校数学成绩样本的优秀率作为甲校数学成绩总体的优秀率，估计甲校的3名学生中恰好有两名学生数学成绩优秀的概率． 参考数据： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 16．（25-26高二下·吉林长春·期中）我国全面二孩政策已正式实施，这次人口与生育政策的历史性调整，使得“要不要再生一个”，“生二孩能休多久产假”等问题成为千千万万个家庭在生育决策上避不开的话题.为了解针对产假的不同安排方案形成的生育意愿，某调查机构随机抽取了200户有生育二胎能力的适龄家庭进行问卷调查，得到如下数据： 产假安排（单位：周） 14 15 16 17 18 有生育意愿家庭数（单位：户） 4 8 16 20 26 (1)建立变量关于的一元线性回归模型； (2)用（1）中所求的经验回归方程来拟合这组成对数据，当样本数据的残差的绝对值大于1时，称该对数据为一个“次数据”，现从这5个成对数据中任取3个做残差分析，求取到的数据中“次数据”个数的数学期望. 附：经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为， 参考数据：. 17．（25-26高三·全国·一轮复习）中国共产党第二十次全国代表大会上的报告中提到，新时代十年我国经济实力实现历史性跃升，国内生产总值从54万亿元增长到114万亿元，我国经济总量稳居世界第二位.建立年份编号为解释变量，地区生产总值为响应变量的一元线性回归模型，现就2012—2016某市的地区生产总值统计如下： 年份 2012 2013 2014 2015 2016 年份编号 1 2 3 4 5 地区生产总值（亿元） 2.8 3.1 3.9 4.6 5.6 (1)求出经验回归方程，并计算2016年地区生产总值的残差； (2)随着我国打赢了人类历史上规模最大的脱贫攻坚战，该市2017－2022的地区生产总值持续增长，现对这11年的数据有三种经验回归模型，，，它们的分别为和，请根据的数值选择最好的回归模型预测一下2024年该市的地区生产总值； (3)若2012－2022该市的人口数（单位：百万）与年份编号的回归模型为，结合（2）问中的最佳模型，预测一下在2023年以后，该市人均地区生产总值的变化趋势. 参考公式：，. 18．（25-26高三上·湖北黄冈·期末）有媒体称DeepSeek开启了我国AI新纪元.某高校拟与某网络平台合作组织学生参加与AI知识有关的网络答题活动，为了解男女学生参与答题意愿的差异，男生、女生各取100人.设事件“学生愿意报名参加答题活动”，“学生为男生”，据统计. (1)根据已知条件，完成下列列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否推断该校学生报名参加答题活动与性别有关？ 性别 男生 女生 合计 不愿报名参加答题活动 愿意报名参加答题活动 合计 200 (2)网络答题规则：假设甲每道题回答是否正确相互独立，且每次答对的概率均为. （i）若答题活动设置且道题，甲仅答对其中10道题的概率最大，求的值. （ii）若答题活动设置4道题，且答题规则如下：每次答一题，一旦答对，则结束答题；答错则继续答题，直到4道题答完.已知甲同学报名参加答题活动，用表示在本次答题的题目数量，求的分布列和期望. 参考公式与数据：，其中. 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 19．（25-26高三上·河北·期末）某社交平台对用户行为进行分析，收集了每位用户每日的活跃时间（单位：小时）和发布内容数量（单位：条）.为分析两变量间的相关性，需对数据进行标准化处理.现随机抽取名用户，得到数据，定义标准化变量与的相关系数为. (1)证明：且. (2)基于历史数据，用户活跃时间，设平台服务成本为随机变量，当时，，当时，，当时，，若在变化，且0.9544，求的期望的取值范围. (3)设维向量与的数量积定义为，模长定义为与的夹角满足.设x，y标准化变量对应的向量分别为为向量与的夹角.该平台还记录了每位用户的好友数量（单位：人），其标准化变量对应的向量，）.已知活跃时间与发布内容数量的相关系数为，发布内容数量与好友数量的相关系数为，设与的夹角为与的夹角为，且，求活跃时间与好友数量的相关系数的取值范围. 附相关公式：与的相关系数. 第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $