第8章 成对数据的统计分析 B卷 能力提升卷-【学而思·高中同步双测卷】2025-2026学年高二数学选择性必修第三册测试卷（人教A版2019）

B卷 能力提升卷 (时间:120分钟 分值:150分) 一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. 1.某市对机动车单双号限行进行了调查,在参加调查 的2600名有车人中有1700名持反对意见,2500 名无车人中有1400名持反对意见,在运用这些数 据说明“拥有车辆”与“反对机动车单双号限行”是 否相关时,用下列哪种方法最有说服力 ( ) A.独立性检验 B.数学期望 C.随机误差 D.频率分布直方图 2.从某高中女学生中选取10名学生,根据其身高(单 位:cm)、体重(单位:kg)数据,得到体重关于身高的 经验回归方程ŷ=0.85x-85,用来刻画回归效果的 R2=0.6,则下列说法正确的是 ( ) A.这些女学生的体重和身高具有非线性相关 关系 B.这些女学生的体重差异有60%是由身高引 起的 C.身高为170cm的女学生的体重一定为59.5kg D.这些女学生的身高每增加0.85cm,其体重约 增加1kg 3.学校开设了游泳选修课. 某教练为了解学生对游 泳运动的喜好和性别是 否有关,在全校学生中选 取了男、女生各n人进行 调查,并绘制如图所示的 等高堆积条形图.则 ( ) 参考公式及数据: χ2= n(ad-bc)2 (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) ,其中n=a+b +c+d. α 0.1 0.01 0.001 xα 2.706 6.635 10.828 A.参与调查的女生中喜欢游泳运动的人数比不 喜欢游泳运动的人数多 B.全校学生中喜欢游泳运动的男生人数比喜欢 游泳运动的女生人数多 C.若n=50,依据α=0.01的独立性检验,可以 认为游泳运动的喜好和性别有关 D.若n=100,依据α=0.01的独立性检验,可以 认为游泳运动的喜好和性别有关 4.为考察两个变量x,y的相关性,搜集数据如表, 则两个变量的线性相关程度 ( ) x 5 10 15 20 25 y 103 105 110 111 114 (参考数据:∑ 5 i=1 x2i=1375,∑ 5 i=1 y2i=59051,∑ 5 i=1 xiyi =8285) A.很强 B.很弱 C.无相关 D.不确定 5.若需要刻画因变量y和自变量x 的相关关系,且 从已知数据中知道y随着x 的增大而减小,并且 随着x的增大,y大致趋于一个确定的值,为拟 合y和x 之间的关系,应使用以下回归方程中的 (b>0,e为自然对数的底数) ( ) A.y=bx+a B.y=-blnx+a C.y=b x+a D.y=be-x+a 6.某研究员为研究某两个变量的相关性,随机抽取 这两个变量样本数据如表: xi 0.04 1 4.84 10.24 yi 1.1 2.1 2.3 3.3 4.2 若依据表中数据画出散点图,则样本点(xi,yi) (i=1,2,3,4,5)都在曲线y= x+1附近波动. 但由于某种原因表中一个x 值被污损,将方程 y= x+1作为回归方程,则根据回归方程y= x+1和表中数据可求得被污损数据为 ( ) A.-4.32 B.1.69 C.1.96 D.4.32 7.已知表格中的数据y关于x 的线性经验回归方 程为ŷ=36x-48, x 1 2 3 4 5 y 5 15 35 t 140 则样本点(4,t)的残差为 ( ) A.9 B.96 C.105 D.t-96 8.A、B 两个物理兴趣小组在实验室研究某粒子运 动轨迹.共同记录到粒子的13个位置的坐标信 息如下表: x -0.93-0.82-0.77-0.61-0.55-0.33-0.27 y -0.26-0.41-0.45 0.45 -0.60-0.67-0.68 x 0.10 0.42 0.58 0.64 0.67 0.76 y -0.71 0.64 0.55 0.55 0.53 0.46 A小组根据表中数据,直接对y,x作线性回归分 析,得到:回归方程为ŷ=0.5993x+0.005,相关 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —94— 指数R2=0.4472;B小组先将数据依变换u=x2, v=y2进行整理,再对v,u作线性回归分析,得到: 回归方程为v̂=-0.5006u+0.4922,相关指数 R2=0.9375根据统计学知识,下列方程中,最有 可能是该粒子运动轨迹方程的是 ( ) A.0.5993x-y+0.005=0 B.0.5006x+y-0.4922=0 C.0.5006x 2 0.4922 + y2 0.4922=1 D. x 2 0.4922+ 0.5006y2 0.4922 =1 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分. 在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全 部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的 得0分. 9.下列选项中正确的有 ( ) A.若两个具有线性相关关系的变量的相关性越 强,则线性相关系数r的值越接近于1 B.X~(μ,σ2),当μ不变时,σ越大,该正态分布 对应的正态密度曲线越矮胖 C.用决定系数R2 比较两个回归模型的拟合效 果时,R2越大,表示残差平方和越大,模型拟 合效果越差 D.设M,N 为两个事件,已知P(N)=0.4,P(M) =0.5,P(N|M)=0.2,则P(N|M)=0.6 10.某机构在研究性别与是否爱好拳击运动的关系 中,通过收集数据得到如下2×2列联表: 男 女 合计 爱好拳击 35 22 57 不爱好拳击 15 28 43 合计 50 50 100 α 0.50 0.05 0.010 0.005 0.001 xα 0.455 3.841 6.635 7.897 10.828 经 计 算 得 χ2 = 100×(35×28-15×22)2 50×50×57×43 ≈ 6.895.之后又对被研究者的身高进行了统计,得 到男、女身高分别近似服从正态分布N(175,16) 和N(164,9),则下列选项中正确的是 ( ) A.在犯错误的概率不超过1%的前提下,认为 “爱好拳击运动与性别有关” B.在100个男生中,至少有一个人爱好打拳击 C.男生身高的平均数为175,男生身高的标准 差为16 D.女生身高的平均数为164,女生身高的标准 差为3 11.已知某产品的销售额y(单位:万元)与广告费 用x(单位:万元)的数据如表所示: x/万元 1 2 3 4 5 y/万元 21 10a 15a 90 109 根据表中数据可知x,y具有较强的线性相关关 系,其经验回归方程为ŷ=20x+10,则 ( ) A.样本相关系数在(0,1]内 B.当x=2时,残差为2 C.点(3,15a)一定在经验回归直线上 D.广告费用是6万元时,销售额一定为130万元 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12.有人发现,多看手机容易使人近视,下表是调查 机构对此现象的调查数据: 近视 不近视 总计 少看手机 15 45 60 多看手机 15 5 20 总计 30 50 80 则在犯错误的概率不超过 的前提下 认为近视与多看手机有关系. 附表: α 0.15 0.10 0.05 0.010 0.025 0.005 0.001 xα 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.87910.828 参考公式:χ2= nad-bc 2 a+b c+d a+c b+d , 其中n=a+b+c+d. 13.已知x、y的对应值表为: x 0 1 3 4 5 6 y y1 y2 y3 y4 y5 y6 且x、y线性相关,由于表格污损,y的对应值看不 到了,若∑ 6 i=1 yi=19.2,且线性回归直线方程为ŷ= 0.6x+̂b,则x=8时,y的预报值为 . 14.红铃虫(Pectinophoragossypiela)是棉花的主 要害虫之一,其产卵数与温度有关.现收集到一 只红铃虫的产卵数y(个)和温度x(℃)的8组 观测数据,制成图1所示的散点图.现用两种模 型:①y=ebx+a,②y=cx2+d 分别进行拟合, 由此得到相应的回归方程并进行残差分析,进 一步得到图2所示的残差图. 根据收集到的数据,计算得到如下值: x z t ∑ 8 i=1 (xi-x)2 ∑ 8 i=1 (ti-t)2 ∑ 8 i=1 (zi-z) (xi-x) ∑ 8 i=1 (yi-y) (ti-t) 252.9646 168 422688 50.4 70308 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —05— 表中zi=lnyi;z= 1 8∑ 8 i=1 zi;ti=x2i;t= 1 8∑ 8 i=1 ti; (1)根据残差图,比较模型①、②的拟合效果,模 型 比较合适? (2)根据(1)中所选择的模型,求出y关于x 的 回归方程 . 附:对于一组数据(ω1,v1),(ω2,v2),…,(ωn,vn), 其回归直线v̂=̂α+̂βω的斜率和截距的最小二乘 估计分别为̂β= ∑ n i=1 (ωi-ω)(vi-v) ∑ n i=1 (ωi-ω)2 ,̂α=v-̂βω. 四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文 字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)针对某新型病毒,某科研机构已研发出 甲、乙两种疫苗,为比较两种疫苗的效果,选取 100名志愿者,将他们随机分成两组,每组50人. 第一组志愿者注射甲种疫苗,第二组志愿者注射 乙种疫苗,经过一段时间后,对这100名志愿者 进行该新型病毒抗体检测,发现有1 10 的志愿者未 产生该新型病毒抗体,在未产生该新型病毒抗体 的志愿者中,注射甲种疫苗的志愿者占1 5. (1)根据题中数据,完成下面的列联表; 产生抗体 未产生抗体 合计 甲 乙 合计 (2)根据(1)中的列联表,判断能否有95%的把 握认为甲、乙两种疫苗的效果有差异. 参考公式:χ2= n(ad-bc)2 (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) ,其 中n=a+b+c+d. 参考数据: P(χ2≥xα) 0.10 0.05 0.010 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 10.828 16.(15分)中央电视台为了解《中国诗词大会》的 收视情况,抽查北方与南方各5个城市,得到观 看该节目的人数(单位:千人)如茎叶图所示,但 其中一个数字被污损. (1)若将被污损的数字视为0~9中10个数字 中的一个,求北方观众平均人数不超过南方观 众平均人数的概率; (2)该节目的播出极大激发了观众学习诗词的 热情,现在随机统计了4位观众每周学习诗词 的平均时间y(单位:小时)与年龄x(单位:岁), 并制作了对照表(如表所示): 年龄x 20 30 40 50 每周学习诗词 的平均时间y 3 3.5 3.5 4 由表中数据分析,x与y 呈线性相关关系,试求 线性回归方程,并预测年龄为70岁的观众每周 学 习 诗 词 的 平 均 时 间.参 考 公 式:b̂ = ∑ n i=1 xiyi-n􀭺x·􀭵y ∑ n i=1 x2i-nx2 ,̂y=̂bx+̂a. 北方 南方 8 9 7 3 7 8 2 1 0 8 ● 6 17.(15分)某乡村企业希望通过技术革新增加产 品收益,根据市场调研,技术革新投入经费x (单位:万元)和增加收益y(单位:万元)的数据 如下表: x 4 6 8 10 12 y 27 42 55 56 60 为了进一步了解技术革新投入经费x对增加收益 y的影响,通过对表中数据进行分析,分别提出了 两个回归模型:①̂y=̂nx+̂m,②̂y=̂d x+̂c. (1)根据以上数据,计算模型①中y与x 的相关 系数r(结果精确到0.01); (2)若0.95≤|r|≤1,则选择模型①;否则选择 模型②.根据(1)的结果,试建立增加收益y关 于技术革新投入经费x 的回归模型,并预测 x=16时y的值(结果精确到0.01). 附:ⅰ)回归直线ŷ=̂bx+̂a的斜率、截距的最小 二 乘 估 计 以 及 相 关 系 数 分 别 为:̂b = 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —15— ∑ n i=1 (xi-x)(yi-y) ∑ n i=1 (xi-x)2 = ∑ n i=1 xiyi-nx y ∑ n i=1 x2i-nx ,̂a=y- b̂x,r= ∑ n i=1 (xi-x)(yi-y) ∑ n i=1 (xi-x)2 ∑ n i=1 (yi-y)2 ⅱ)参考数据:设vi= xi,2936≈54.18, 29360≈171.35,v≈2.78,∑ 5 i=1 (vi-v)2≈ 1.33,∑ 5 i=1 (vi-v)(yi-y)≈29.91. 18.(17分)水果店的销售额与所售水果的价格、质 量及该店被附近居民的认可度密不可分.已知 某水果店于2023年1月开张,前6个月的销售 额(单位:万元)如下表所示: 月份 1月 2月 3月 4月 5月 6月 时间代码x 1 2 3 4 5 6 销售额y (单位:万元)2.0 4.0 5.2 6.1 6.8 7.4 (1)根据题目信息,̂y=̂a+̂bx与ŷ=̂a+̂blnx哪 一个更适合作为销售额y关于时间x 的回归方 程类型? (给出判断即可,不必说明理由); (2)根据(1)的判断结果,求出销售额y关于时 间x 的回归方程.(注:数据保留整数); (3)为进一步了解该水果店的销售情况,从前6 个月中任取3个月进行分析,X 表示取到的3 个月中每月销售额不低于5万元的月份个数, 求随机变量X 的分布列和数学期望. 参考公式与数据:∑ 6 i=1 lnxi≈6.6,∑ 6 i=1 lnxi·yi≈ 41.1,∑ 6 i=1 (lnxi)2≈9.4,∑ 6 i=1 xi·yi=128.4,∑ 6 i=1 xi =21,∑ 6 i=1 yi=31.5 样本数据(xi,yi)(i=1,2,…,n)的 线 性 回 归方程 ŷ=â+b̂x 的 斜 率 和 截 距 的 最 小 二 乘 法 估 计 分 别 为 b̂= ∑ n i=1 (xi-x)(yi-y) ∑ n i=1 (xi-x)2 = ∑ n i=1 xiyi-nx y ∑ n i=1 x2i-nx2 ,̂a=y-̂bx. 19.(17分)某创业者计划在南山旅游景区附近租 赁一套农房发展成特色“农家乐”,为了确定未 来发展方向,此创业者对该景区附近五家“农家 乐”跟踪调查了100天,这五家“农家乐”的收费 标准互不相同,得到的统计数据如下表,x为收 费标准(单位:元/日),t为入住天数(单位:天), 以入住天数的频率作为各自的“入住率”,收费 标准x与入住率y 的散点图如图. x 100 150 200 300 450 y 90 65 45 30 20 (1)若从以上五家“农家乐”中随机抽取两家深 入调查,记ξ为“入住率”超过0.6的农家乐的 个数,求ξ的分布列; (2)令z=lnx,由散点图判断ŷ=̂bx+̂a与ŷ= b̂z+̂a哪个更合适于此模型(给出判断即可,不 必说明理由)? 并根据你的判断结果求回归方 程;(̂a,̂b的结果精确到0.1) (3)根据第(2)问所求的回归方程,试估计收费 标准为多少时,100天销售额Q 最大? (100天 销售额Q=100×入住率×收费标准x) 参考数据:̂b= ∑ n i=1 xiyi-nx y ∑ n i=1 x2i-n􀭺x2 ,̂a=y-̂bx,x= 240,∑ 5 i=1 ziyi=457.5,∑ 5 i=1 x2i=36500,􀭵z≈5.35, ∑ 5 i=1 ziyi≈12.72,∑ 5 i=1 z2i≈144.24,􀭵z2≈28.57,e5 ≈150. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —25— ■ 请在各题目的答题区域内作答,超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 ■ B卷 能力提升卷 姓 名 准考证号 考生禁填:缺考考生由监考员填涂右边的缺考 标记 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 考生条形码粘贴处 填 涂 样 例 正确填涂 错误填涂 注 意 事 项 1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚,并认真检查监考员所粘 贴的条形码; 2.选择题必须用2B铅笔填涂,解答题必须用0.5毫米黑色签字笔书写,字体 工整,笔迹清楚; 3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无 效;在草稿纸、试题卷上答题无效。 一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分. 1.[A][B][C][D] 2.[A][B][C][D] 3.[A][B][C][D] 4.[A][B][C][D] 5.[A][B][C][D] 6.[A][B][C][D] 7.[A][B][C][D] 8.[A][B][C][D] 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分. 9.[A][B][C][D] 10.[A][B][C][D] 11.[A][B][C][D] 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12. 13. 14. ■ 请在各题目的答题区域内作答,超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 ■ —35— ■ 请在各题目的答题区域内作答,超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 ■ 四、解答题:本题共5小题,共77分. 15.(13分) 16.(15分) 北方 南方 8 9 7 3 7 8 2 1 0 8 ● 6 ■ 请在各题目的答题区域内作答,超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 ■ —45— ■ 请在各题目的答题区域内作答,超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 ■ 17.(15分) 18.(17分) ■ 请在各题目的答题区域内作答,超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 ■ —55— ■ 请在各题目的答题区域内作答,超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 ■ 19.(17分) ■ 请在各题目的答题区域内作答,超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 ■ —65— 18.解:(1)因为P(A|B)=35 ,P(B|A)=23 , 所以对杭州亚运会项目了解的女生为3 5×50= 30,了解亚运会项目的学生为302 3 =45, 结合男生和女生各50名,填写2×2列联表为: 了解 不了解 合计 男生 15 35 50 女生 30 20 50 合计 45 55 100 零假设 H0:该校学生对杭州亚运会项目的了解情 况与性别无关, 根据列联表中的数据χ 2=100× (15×20-30×35)2 50×50×45×55 =10011≈9.091<10.828=x0.001 , 依据α=0.001的独立性检验,可以推断H0 成立, 即该校学生对杭州亚运会项目的了解情况与性别 无关. (2)由(1)知,采用分层随机抽样的方法随机抽取 9名学生, 其中男生人数为 15 15+30×9=3 (人); 女生人数为 30 15+30×9=6 (人), 由题意可得,随机变量X 的所有可能取值为0,1, 2,3. P(X=0)= C03C46 C49 =542 ,P(X=1)= C13C36 C49 =1021 , P(X=2)= C23C26 C49 =514 ,P(X=3)= C33C16 C49 =121. 随机变量X 的分布列如下: X 0 1 2 3 P 542 10 21 5 14 1 21 则E(X)=0×542+1× 10 21+2× 5 14+3× 1 21= 4 3. 19.解:(1)(ⅰ)记抽取的这三人中至少有两人体重大 于74kg为事件 M,则P(M)= C35 C310 + C15C25 C310 1 2. (ⅱ)记“第一次抽取的学生体重大于79kg”为事 件A,“第二次抽取的学生身高大于175cm”为事 件B. 因为样本中学生身高大于175cm的有4人,身高 大于175cm且体重大于79kg的有2人, 身高小于175cm且体重大于79kg的有1人, 所以P(AB)= C11 C110 × C14 C19 + C12 C110 × C13 C19 =19. (2)设未去离群点的样本相关系数为r1,去掉离群 点后的样本相关系数为r2,则r1≈0.802. 去掉离群点后,∑ 9 i=1 x'i=∑ 10 i=1 xi-173=1730-173= 1557,x=15579 =173 , ∑ 9 i=1 y'i=∑ 10 i=1 yi-90=720-90=630,y= 630 9 =70 , ∑ 9 i=1 x'iy'i=∑ 10 i=1 xiyi-173×90=124990-15570= 109420, ∑ 9 i=1 (x'i-x)2=∑ 10 i=1 (xi-x)2=266, ∑ 9 i=1 (y'i-y)2=132+122+52+52+52+62+102+ 142=720, 由∑ n i=1 (xi-x)(yi-y)=∑ n i=1 xiyi-nxy 得r2= ∑ 9 i=1 x'iy'i-9x y ∑ 9 i=1 (x'i-x)2 ∑ 9 i=1 (y'i-y)2 =109420-9×173×70 266× 720 = 430437.6≈0.983. 因为r2>r1,且r2 相比r1 更接近1,所以y与x 的 线性相关性更强,所以去掉离群点(173,90)是合 理的. B卷 能力提升卷 1.A 独立性检验是检验两个不同分类的变量是否 相关的方法,刚好符合题意,而数学期望、随机误 差、频率分布直方图都不是分析两个不同分类的变 量是否相关的方法,故采用独立性检验方法最有说 服力.故选:A. 2.B 因为经验回归方程为ŷ=0.85x-85,且刻画回 归效果的R2=0.6,所以这些女学生的体重和身高 具有线性相关关系,故A错误;这些女学生的体重 差异有60%是由身高引起的,故B正确;当x=170 时,̂y=0.85×170-85=59.5,预测身高为170cm 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —09— 的女学生体重为59.5kg,故C错误;这些女学生的 身高每增加0.85cm,其体重约增加0.85×0.85= 0.7225(kg),故D错误.故选:B. 3.D 对于A,由等高堆积条形图可知,参与调查的女 生中喜欢游泳运动的人数比不喜欢游泳运动的人 数少,故A错误;对于B,全校学生中男生和女生人 数比不确定,故不能确定全校学生中喜欢游泳运动 的男生人数比喜欢游泳运动的女生人数多,故B错 误;对于C,结合等高堆积条形图可得: 性别 游泳 喜欢 不喜欢 合计 男生 0.6n 0.4n n 女生 0.4n 0.6n n 合计 n n 2n 故χ 2=2n (0.6n×0.6n-0.4n×0.4n)2 n4 =0.08n, 若n=50,则χ 2=0.08n=4<6.635,故依据α= 0.01的独立性检验,不可以认为游泳运动的喜好和 性别有关,故C错误;对于D,若n=100,则χ 2= 0.08n=8>6.635,依据α=0.01的独立性检验,可 以认为游泳运动的喜好和性别有关,故D正确.故 选:D 4.A 由题可得x=15,y=108.6, 则rxy= ∑ 5 i=1 xiyi-5x y ∑ 5 i=1 x2i-5x2 ∑ 5 i=1 y2i-5y2 = 8285-5×15×108.6 1375-5×152× 59051-5×108.62 ≈0.9826, 因为相关系数很接近于1,故两个变量的线性相关 程度很强.故选:A. 5.D AC项,由题意,y 随着x 的增大而减小,即回 归方程对应一个减函数,因为b>0,函数y=bx+a 与y=b x+a都是增函数,故 AC错误;B项,函 数y=-blnx+a,当x→+∞,y→-∞,不满足题 意要求随着x 的增大,y 大致趋于一个确定的值, 故B错误;D项,由b>0,函数y=be-x+a是减函 数,且当x→+∞,y→0,满足题意.故选:D. 6.C 设缺失的数据为x,mi= xi(i=1,2,3,4,5), 则样本(mi,yi)的数据如下表所示: mi 0.2 1 x 2.2 3.2 yi 1.1 2.1 2.3 3.3 4.2 其回归直线方程为y=m+1,由表中数据额可得, 􀭵y=15 (1.1+2.1+2.3+3.3+4.2)=2.6,由线性 回归方程y=m+1,得􀭿m=1.6,即15 (0.2+1+ x +2.2+3.2)=1.6,解得x=1.96.故选:C. 7.A x=1+2+3+4+55 =3 ,y=5+15+35+t+1405 = 39+t5 ,所以39+t5=36×3-48 ,解得t=105,当 x=4时,̂y=36×4-48=96,所以样本点(4,t)的 残差为105-96=9.故选:A. 8.C 由统计学知识可知,R2 越大,拟合效果越好. 又A 小组的相关指数R2=0.4472,B 小组相关指 数R2=0.9375,所以B 小组拟合效果好,拟合效果 越好越能反映该粒子运动轨迹,其回归方程为v̂= -0.5006u+0.4922 又u=x2,v=y2,则y2=-0.5006x2+0.4922, 即0.5006x 2 0.4922 + y2 0.4922=1. 故选:C. 9.BD 对于A,若两个具有线性相关关系的变量的 相关性越强,则线性相关系数r的绝对值越接近于 1,故A错误;对于B,根据正态分布参数的意义,σ 越大表示随机变量的分布越分散,则该正态分布对 应的正态密度曲线越矮胖,故B正确;对于C,在回 归分析中,R2 越大,残差平方和越小,模型的拟合 效果越好,故C错误;对于D,易知P(MN)=P(M) P(N|M)=0.5×0.2=0.1,因此P(MN)=P(N)- P(MN)=0.4-0.1=0.3,则P(N|M)=P (MN) P(M) = 0.3 0.5=0.6. 故D正确.故选:BD. 10.AD χ 2≈6.895>6.635,A对,显然B错,男生标 准差为4,C错,显然D对,故选:AD. 11.AB 对于 A,因为x,y 具有较强的线性相关关 系,且经验回归方程为ŷ=20x+10,所以x,y具有较 强的正相关关系,故样本相关系数在(0,1]内,故A 正确;对于B,根据题意得x=1+2+3+4+55 =3 ,y 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —19— =21+10a+15a+90+1095 =44+5a ,又ŷ=20x+10 必过样本中心点(x,y),所以44+5a=20×3+ 10,解得a=5.2,故当x=2时,̂y=20×2+10= 50,残差为10a-50=10×5.2-50=2,故B正 确;对于C,点(3,15a)即点(3,78),当x=3时, ŷ=20×3+10=70,即点(3,15a)不在经验回归直 线上,故C错误;对于D,当x=6时,̂y=20×6+ 10=130,即广告费用是6万元时,销售额估计为 130万元,故D错误.故选:AB. 12.解析:根据列联表计算χ 2=80× 15×5-15×45 2 30×50×20×60 =16>10.828, 所以在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为 近视与多看手机有关系. 故答案为0.001. 答案:0.001 13.解析:由表格知x=196 ,由∑ 6 i=1 yi=19.2,得y=3.2, 代入ŷ=0.6x+̂b得3.2=0.6×196 +̂b ,解得b̂= 1.3,则回归方程为ŷ=0.6x+1.3, 当x=8时,̂y=0.6×8+1.3=6.1. 故答案为:6.1. 答案:6.1 14.解析:第一空:应该选择模型①. 由于模型①残差点比较均匀地落在水平的带状区 域中,且带状区域的宽度比模型②带状宽度窄,所 以模型①的拟合精度更高,回归方程的预报精度 相应就会越高,故选模型①比较合适. 第二空:令z=lny,z与温度x 可以用线性回归方 程来拟合,则ẑ=̂a+̂bx. ∴̂b= ∑ 8 i=1 xizi-nx z ∑ 8 i=1 x2i-nx2 = ∑ i=1 8 (xi-x)(zi-z) ∑ i=1 8 (xi-x)2 =50.4168 =0.3,̂a=z-̂bx=2.9-0.3×25=-4.6, 则z关于x 的线性回归方程为ẑ=0.3x-4.6,即 lny=0.3x-4.6, ∴产卵数y关于温度x的回归方程为ŷ=e0.3x-4.6. 故答案为:①;̂y=e0.3x-4.6. 答案:① ̂y=e0.3x-4.6 15.解:(1)由题意可得未产生该新型病毒抗体的志愿 者的人数为100×110=10 , 则注射甲种疫苗的志愿者中未产生抗体的人数为 10×15=2 ,产生抗体的人数为50-2=48; 注射乙种疫苗的志愿者中未产生抗体的人数为 10-2=8,产生抗体的人数为50-8=42. 产生抗体 未产生抗体 合计 甲 48 2 50 乙 42 8 50 合计 90 10 100 (2)计 算 χ 2 = 100× (48×8-2×42)2 50×50×90×10 = 100×3002 50×50×90×10=4 , 因为4>3.841,所以有95%的把握认为甲、乙两 种疫苗的效果有差异. 16.解:(1)设污损的数字为x,由北方观众平均人数不 超过 南 方 观 众 平 均 人 数 得78+79+82+81+80 5 ≤73+77+78+86+80+x5 , 解得:x≥6, 即x=6,7,8,9, ∴北方观众平均人数不超过南方观众平均人数的 概率为:4 10= 2 5. (2)设线性回归方程为: 􀭺x=20+30+40+504 =35 ,􀭵y=3+3.5+3.5+44 =3.5, ∴􀰐 4 i=1 xiyi=20×3+30×3.5+40×3.5+50×4 =505, 􀰐 4 i=1 x2i=400+900+1600+2500=5400, b=505-4×35×3.5 5400-4×352 =0.03,̂a=3.5-0.03×35 =2.45, ∴̂y=0.03x+2.45, 当x=70时,̂y=0.03×70+2.45=4.55. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —29— 答:年龄为70岁的观众每周学习诗词的平均时间 大约为4.55小时. 17.解:(1)因为x=15 (4+6+8+10+12)=8, y=15 (27+42+55+56+60)=48, 所以∑ 5 i=1 (xi-x)2=(4-8)2+(6-8)2+(8-8)2+ (10-8)2+(12-8)2=40, ∑ 5 i=1 (yi-y)2=(27-48)2+(42-48)2+(55-48)2 +(56-48)2+(60-48)2=734, ∑ 5 i=1 (xi-x)(yi-y)=(4-8)×(27-48)+(6-8) ×(42-48)+(8-8)×(55-48) +(10-8)×(56-48)+(12-8)×(60-48) =160, 模型①中,相关系数r= ∑ 5 i=1 (xi-x)(yi-y) ∑ 5 i=1 (xi-x)2∑ 5 i=1 (yi-y)2 = 160 29360 ≈ 160171.35≈0.93. (2)因为r=0.93<0.95,所以选择模型②, 令vi= xi,先建立y关于v 的线性回归方程, 由于d̂= ∑ 5 i=1 (vi-v)(yi-y) ∑ 5 i=1 (vi-v)2 =29.911.33≈22.49 , ĉ=y-̂dv=48-22.49×2.78≈-14.52, 所以y 关于v 的线性回归方程为ŷ=-14.52+ 22.49v, 即ŷ=-14.52+22.49 x, 当x=16时,̂y=-14.52+22.49 16=75.44(万 元), 所以若投入经费16万元,收益约为75.44万元. 18.解:(1)根据表中的数据,可得y 关于时间x 的变 化不是直线型, 所以ŷ=̂a+̂blnx更适合作为销售额y 关于时间 x 的回归方程类型; (2)y=31.56 =5.25 ,lnx=6.66 =1.1 , b̂= ∑ 6 i=1 lnxi·yi-6lnx·y ∑ 6 i=1 (lnxi)2-6(lnx)2 =41.1-6×1.1×5.25 9.4-6×1.12 ≈3, â=5.25-3×1.1≈2, 所以,销售额y关于时间x的回归方程为̂y=3lnx+ 2; (3)X 的所有可能取值为1,2,3, 则P(X=1)= C14C22 C36 =15 , P(X=2)= C24C12 C36 =35 , P(X=3)= C34 C36 =15. 所以,X 的分布列为 X 1 2 3 P 15 3 5 1 5 E(X)=1×15+2× 3 5+3× 1 5=2 , 即X 的数学期望为2. 19.解:(1)ξ的所有可能取值为0,1,2, 则P(ξ=0)= C23 C25 =310 ,P(ξ=1)= C12C13 C25 =610= 3 5 , P(ξ=2)= C22 C25 =110 ∴ξ的分布列是 ξ 0 1 2 P 310 3 5 1 10 (2)由散点图可知ŷ=̂bz+a更适合于此模型. 依题意,􀭵y=15 (0.9+0.65+0.45+0.3+0.2) =0.5, 则b̂= ∑ 5 i=1 ziyi-5􀭵z·􀭵y ∑ 5 i=1 z2i-5􀭵z2 =12.72-5×5.35×0.5144.24-5×28.57 ≈ -0.47≈-0.5, â=􀭵y-̂b·􀭵z=0.5+0.47×5.35≈3.0, 所求的回归方程为ŷ=-0.5lnx+3.0. (3)依 题 意,L(x)=100(-0.5lnx+3.0)x= -50xlnx+300x, 则L'(x)=-50lnx+250, 由L'(x)>0,得lnx<5,x<e5, 由L'(x)<0,得lnx>5,x>e5, ∴L(x)在 0,e5 上递增,在 e5,+∞ 上递减, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —39— ∴当x=e5≈150时,L(x)取到最大值. ∴当收费标准约为150(元/日)时,100天销售额L 最大. 第二次月考滚动检测卷 1.B 因为E(ξ)=2,所以由随机变量ξ的分布列得 到:a+2b+3c=2,又a+b+c=1,解得a=c,所以 2a+b=1,所以E(aξ+b)=aE(ξ)+b=2a+b=1. 故选:B. 2.B 依题意,X~N(100,σ2),P(70<X<130)= 0.8,因 此 P(X≥130)=1-P (70<X<130) 2 = 0.1,所以此次考试中数学成绩不低于130分的学 生人数约为12000×0.1=1200.故选:B. 3.A 由题意可知1080=23×5×33,则1080的正 因数p=2r×5s×3t(r,s,t∈N*),因为r可取0,1, 2,3,s可取0,1,t可取0,1,2,3,所以1080不同的 正因数个数为4×2×4=32.故选:A. 4.A x=45020= 45 2 ,y=320020 =160 ,所以160=4× 45 2+̂a ,解得â=70.所以回归方程为ŷ=4x+70,当 x=23时,y=162.故选:A. 5.B x- 1 x 9 的通项公式为 Tr+1=Cr9·x9-r· -1 x r =Cr9·x9- 3r 2·(-1)r,根据二项式系数的 性质可知,第5项和第6项的二项式系数最大,第6 项时,展开式的系数为负,因此第5项,展开式系数 最大.故选:B. 6.B 记“顾客获得100元消费券”的事件为A,“从甲 袋中取出黑球”的事件为 B,则 P(B)=410= 2 5 , P(B)=35 ,P(A|B)=49 ,P(A|B)=39= 1 3 ,所以 P(A)=P(AB+AB)=P(B)P(A|B)+P(B)P(A|B) =25× 4 9+ 3 5× 1 3= 17 45. 故选:B. 7.D 􀭺x = 16+17+18+194 = 17.5 ,􀭵z = 50+34+41+31 4 =39. 代入ẑ=-4x+̂a,得39= -4×17.5+̂a,则â=109.∴̂z=-4x+109,由 y=cekx,得lny=ln(cekx)=lnc+lnekx=lnc+ kx,令z=lny,则z=lnc+kx,∴lnc=109,则 c=e109.故选:D. 8.A 设男生人数为x,依题意可得列联表如下: 喜欢追星 不喜欢追星 总计 男生 x 6 5x 6 x 女生 x 3 x 6 x 2 总计 x 2 x 3x 2 若在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为是否 喜欢追星和性别有关,则χ 2>3.841, 由χ 2= 3x 2 x 6× x 6- 5x 6× x 3 2 x×x2× x 2×x =3x8>3.841 , 解得x>10.24, ∵x2 ,x 6 都为整数, ∴若在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为是 否喜欢追星和性别有关, 则男生至少有12人. 故选A. 9.BD 由题意可得:P(X=1)=1a ,P(X=2)=2a , P(X=3)=3a ,P(X=4)=4a ,P(X=5)=5a ,对于 选项A:1a+ 2 a+ 3 a+ 4 a+ 5 a= 15 a =1 ,解得a= 15,故A错误;对于选项B:P(X=3)=315= 1 5 ,故 B正确;对于选项C:P(X≥4)=P(X=4)+P(X =5)=415+ 5 15= 3 5 ,故C错误;对于选项D:E(X) =1×115+2× 2 15+3× 3 15+4× 4 15+5× 5 15= 55 15= 11 3 ,故D正确.故选:BD. 10.BC 由2×2列联表中数据可求得 χ 2=992× (700×32-60×200)2 760×232×900×92 ≈7.349>6.635 , 所以在犯错误的概率不超过0.01的前提下,认为 “患肝病与嗜酒有关”,即至少有99%的把握认为 “患肝病与嗜酒有关”.因此BC正确.故选:BC. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —49—