第八章 成对数据的统计分析（基础巩固卷）-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

**基本信息** 本卷为高中数学第八章成对数据的统计分析基础巩固卷，精选近年真题与好题，通过能源发电量、制氧机销量等现实情境考查相关系数、线性回归、独立性检验等核心知识，适配单元复习，助力基础巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|相关系数概念、独立性检验基本思想|结合性别与吃零食等生活情境，辨析基础概念，培养数学眼光| |多选|3/18|线性回归方程性质、相关系数与回归系数关系|多角度辨析回归直线过样本中心等性质，提升数学思维严谨性| |填空|3/15|独立性检验应用、回归方程参数求解|改编打鼾与心脏病关系等真题，强化计算能力，落实数学语言表达| |解答|5/77|回归方程建立与预测、独立性检验、概率计算|综合2021-2025年发电量等真实数据，考查数学建模与数据分析，体现用数学语言表达现实世界|

第八章 成对数据的统计分析（基础巩固卷） 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时120分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！ 1． 选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．（24-25高二下·福建·期末）对于相关系数，下列说法中正确的是（    ） A．越大，线性相关程度越强 B．越小，线性相关程度越强 C．越大，线性相关程度越弱，越小，线性相关程度越强 D．，且越接近，线性相关程度越强，越接近，线性相关程度越弱 2．（2026高二·全国·专题练习）在性别与吃零食这两个分类变量的计算中，下列说法正确的是（    ） ①若的观测值为，我们有的把握认为吃零食与性别有关系，那么在100个吃零食的人中必有99人是女性； ②从独立性检验可知有的把握认为吃零食与性别有关系时，我们说某人吃零食，那么此人是女性的可能性为； ③若从统计量中求出有的把握认为吃零食与性别有关系，是指有的可能性使得出的判断出现错误. A．①② B．①③ C．②③ D．③ 3．（24-25高二下·江西景德镇·期中）用模型拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，其变换后得到线性回归方程为，则（    ） A． B． C．2 D． 4．（25-26高三上·湖南长沙·月考）为了解某种产品与原材料之间的关系，随机调查了该产品5个不同时段的产品与原材料的价格，得到如下统计数据表： 原材料价格（万元/吨） 产品价格（万元/件 但是统计员不小心丢失了一个数据（用代替），在数据丢失之前得到回归直线方程为，则的值等于（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二下·山西太原·期中）某咖啡厅为了解热饮的销售量y（杯）与最低气温之间的关系，随机统计了某4天的销售量和最低气温，并制作了对照表（参考公式：） 最低气温 6 3 0 销售量y（杯） 24 34 38 64 由表中数据，得线性回归方程为，当最低气温为时，预测销售量约为（    ） A．70杯 B．66杯 C．65杯 D．63杯 6．（25-26高一下·云南·阶段检测）某同学在研究性学习中，收集到某制药厂今年前5个月甲胶囊生产产量（单位：万盒）的数据如下表所示： （月份） 1 2 3 4 5 （万盒） 5 5 6 6 8 若，线性相关，线性回归方程为，则以下判断正确的是（    ） A．增加1个单位长度，则一定增加个单位长度 B．减少1个单位长度，则必减少个单位长 C．当时，的预测值为万盒 D．线性回归直线，经过点 7．（25-26高三上·山西朔州·期末）已知与之间的几组数据如下表： 1 2 3 4 5 6 0 2 1 3 3 4 假设根据上表数据所得线性回归直线方程为，若某同学根据上表中的前两组数据和，求得的直线方程为，则以下结论正确的是（ ） 参考公式：回归直线的方程是：，其中，． A． B． C． D． 8．（25-26高三上·山东德州·期末）针对时下的“抖音热”某校团委对“学生性别和喜欢抖音是否有关”作了一次调查，其中被调查的男女生人数相同，男生喜欢抖音的人数占男生人数的，女生喜欢抖音的人数占女生人数，若有的把握认为是否喜欢抖音和性别有关则调查人数中男生可能有（    ）人 附表： 0.050 0.010 3.841 6.635 附： A．20 B．40 C．60 D．80 2． 多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9．（25-26高二下·江西景德镇·期中）关于线性回归方程的分析，下列哪些选项是正确的有（    ） A．相关系数与回归系数的符号相同 B．回归直线一定经过样本中心点 C．线性回归方程中的越大，则两组变量的相关性越强 D．若相关系数，则说明与的线性关系足够强，适合用该回归方程进行预测 10．（25-26高二下·贵州黔南·期中）下列说法中正确的是（    ） A．某同学记录了3月11日到18日每天的最高气温（单位：℃），分别为12，11，9，10，8，9，13，10，则该组数据的第70百分位数为11 B．两个变量相关性越强，则相关系数r越接近1 C．一组样本数据的经验回归方程为，若，则 D．已知随机变量，若，则 11．（24-25高二下·云南临沧·期末）（多选）某商家统计了最近5个月某产品的销量，如表所示：若y与x线性相关，且线性回归方程为，则（    ） 时间x 1 2 3 4 5 销售量y/万只 5 4.5 4 3.5 2.5 A．由题中数据可知，变量y与x负相关 B．当时，残差为0.2 C．可以预测当时销量约为2.1万只 D． 3． 填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12．（25-26高三·上海·课堂例题）在一项打鼾与患心脏病的调查中，共调查了1671人，经过计算得，根据这一数据分析，打鼾与患心脏病是__________的．（选填“有关”或“无关”） 13．（25-26高三·江苏·一轮复习）为促进就业，提升经济活力，2020年我国多个城市开始松绑“地摊经济”，市自大力发展“地摊经济”以来，夜市也火了起来，下表是市2020年月份代码与夜市的地摊摊位数（单位：万个）的统计数据： 月份 4月 5月 6月 7月 8月 月份代码 1 2 3 4 5 摊位数（万个） 290 330 440 480 若与线性相关，且求得其线性回归方程为，则表中的值为___________ 14．（2026·上海黄浦·三模）针对“中学生追星问题”，某校团委对“学生性别和中学生追星是否有关”作了一次调查，其中女生人数是男生人数的，男生追星的人数占男生人数的，女生追星的人数占女生人数的，若根据小概率值的独立性检验，判断中学生追星与性别有关，则男生至少有________人 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 参考数据及公式如下：参考公式：，其中. 4． 解答题（共5小题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，满分77分） 15．（25-26高二下·湖南长沙·期中）某市开展“我心中的好老师”评选活动，现对评选出的五位候选人的工作年限和得票数进行了统计，得到如下数据： “我心中的好老师”编号 1 2 3 4 5 工作年限/年 4 6 8 10 12 得票数/百张 10 20 40 60 50 (1)若得票数与工作年限满足线性相关关系，试求经验回归方程，并就此估计“我心中的好老师”的工作年限为15年时的得票数； (2)若用表示统计数据时得票数的“即时均值”（四舍五入到整数），从5个“即时均值”中任选2个，求这2个数据之和小于8的概率. 16．（重庆市巴蜀教育集团2025-2026学年高二下学期5月期中考试数学试题）为了比较甲，乙两所学校学生的数学水平，采用简单随机抽样的方法抽取了100名学生，通过测验得到了如下数据：甲校50名学生中有10名数学成绩优秀，乙校50名学生中有15名数学成绩优秀． (1)请将列联表补充完整； 学校 数学成绩 合计 优秀 不优秀 甲校 10 乙校 15 合计 100 (2)依据小概率值的独立性检验，能否据此推断两校学生的数学成绩优秀率有差异． (3)用甲校数学成绩样本的优秀率作为甲校数学成绩总体的优秀率，估计甲校的3名学生中恰好有两名学生数学成绩优秀的概率． 参考数据： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 17．（25-26高二下·山东青岛·期中）近年来，我国制氧机产业迅速发展，下表是某地区某品牌制氧机的年销售量与年份的统计表： 年份 2021 2022 2023 2024 2025 年份代码x 1 2 3 4 5 销量y（万台） 2 3.5 2.5 8 9 (1)求这种品牌制氧机的销量y关于年份代码x的线性回归方程； (2)为了研究不同性别的学生对制氧机知识的了解情况，某校组织了一次有关制氧机知识的竞赛活动，随机抽取了男生和女生各100名，得到如下2×2列联表.根据小概率值的独立性检验，判断该校学生对制氧机知识的了解情况与性别是否有关联. 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 ，， 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 学生 制氧机知识 合计 了解 不了解 男生 80 20 100 女生 40 60 100 合计 120 80 200 18．（2026·四川成都·三模）2025年，我国能源安全保障能力再上新台阶，全口径发电量占全球总发电量的，稳居世界第一，为智能算力的爆发性电力需求持续提供稳定保障.某学习小组收集了2021年至2025年我国全口径发电量相关数据，根据数据制作了如下数据表格和散点图. 年份 2021 2022 2023 2024 2025 年份代码 1 2 3 4 5 我国全口径发电量（单位：万亿千瓦时） 8.52 8.85 9.46 10.09 10.58 (1)由散点图看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以说明； (2)建立关于的经验回归方程，并预测2026年我国全口径发电量. 参考数据：. 参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，相关系数. 19．（2026·广西玉林·三模）针对近年兴起的人工智能应用热，某高中准备开设人工智能应用学习班，在全校范围内采用简单随机抽样的方法，分别抽取了男生和女生各100名作为样本，调查学生是否喜欢人工智能应用，经统计得到了如图所示的等高堆积条形图． (1)根据等高堆积条形图，填写下列列联表，并依据的独立性检验，推断是否可以认为该校学生的性别与是否喜欢人工智能应用有关联； 性别 是否喜欢人工智能应用 合计 是 否 男生 女生 合计 (2)已知该校男生女生人数之比为，将样本的频率视为概率，现从全校学生中随机抽取1名学生，求抽取的学生喜欢人工智能应用的概率． 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 参考公式：，其中． 第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第八章 成对数据的统计分析（基础巩固卷） 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时120分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！ 1． 选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．（24-25高二下·福建·期末）对于相关系数，下列说法中正确的是（    ） A．越大，线性相关程度越强 B．越小，线性相关程度越强 C．越大，线性相关程度越弱，越小，线性相关程度越强 D．，且越接近，线性相关程度越强，越接近，线性相关程度越弱 【答案】D 【分析】由相关系数与线性相关程度的关系逐一判断即可. 【详解】解：对于选项A，越大，线性相关程度越强，即A错误； 对于选项B，越小，线性相关程度越弱，即B错误； 对于选项C，越大，线性相关程度越强，越小，线性相关程度越弱, 即C错误； 对于选项D，，且越接近，线性相关程度越强，越接近，线性相关程度越弱，即D正确， 故选：D. 【点睛】本题考查了相关系数与线性相关程度的关系，属基础题. 2．（2026高二·全国·专题练习）在性别与吃零食这两个分类变量的计算中，下列说法正确的是（    ） ①若的观测值为，我们有的把握认为吃零食与性别有关系，那么在100个吃零食的人中必有99人是女性； ②从独立性检验可知有的把握认为吃零食与性别有关系时，我们说某人吃零食，那么此人是女性的可能性为； ③若从统计量中求出有的把握认为吃零食与性别有关系，是指有的可能性使得出的判断出现错误. A．①② B．①③ C．②③ D．③ 【答案】D 【分析】由独立性检验相关概念可得答案. 【详解】①若的观测值为，我们有的把握认为吃零食与性别有关系，那么在100个吃零食的人中必有99人是女性，故①不正确； ②独立性检验是用来考察两个分类变量是否具有关联性，并且能较精确地给出这种判断的可靠程度， 而不是给出事件的概率，故②不正确； ③若从统计量中求出有的把握认为吃零食与性别有关系，是指有的可能性使得出的判断出现错误，③正确。 故选：D 3．（24-25高二下·江西景德镇·期中）用模型拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，其变换后得到线性回归方程为，则（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】化简已知得，得，即得解. 【详解】解：因，两边取对数得：， 令，则，而，于是得，即， 所以. 故选：B 4．（25-26高三上·湖南长沙·月考）为了解某种产品与原材料之间的关系，随机调查了该产品5个不同时段的产品与原材料的价格，得到如下统计数据表： 原材料价格（万元/吨） 产品价格（万元/件 但是统计员不小心丢失了一个数据（用代替），在数据丢失之前得到回归直线方程为，则的值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求得样本中心，再将样本中心代入回归直线方程即可求得的值. 【详解】依题意，得，， 因为必过， 所以，解得， 所以. 故选：A. 5．（25-26高二下·山西太原·期中）某咖啡厅为了解热饮的销售量y（杯）与最低气温之间的关系，随机统计了某4天的销售量和最低气温，并制作了对照表（参考公式：） 最低气温 6 3 0 销售量y（杯） 24 34 38 64 由表中数据，得线性回归方程为，当最低气温为时，预测销售量约为（    ） A．70杯 B．66杯 C．65杯 D．63杯 【答案】D 【分析】求出样本的中心，再代入回归方程求，即可得到答案； 【详解】， ， 当时，， 故选：D. 6．（25-26高一下·云南·阶段检测）某同学在研究性学习中，收集到某制药厂今年前5个月甲胶囊生产产量（单位：万盒）的数据如下表所示： （月份） 1 2 3 4 5 （万盒） 5 5 6 6 8 若，线性相关，线性回归方程为，则以下判断正确的是（    ） A．增加1个单位长度，则一定增加个单位长度 B．减少1个单位长度，则必减少个单位长 C．当时，的预测值为万盒 D．线性回归直线，经过点 【答案】C 【分析】通过线性回归方程可以进行预测而不能做出确定的判断，排除A，B选项；线性回归方程一定过样本中心点，排除D选项；令，代入方程求，可得C正确． 【详解】由，得每增（减）一个单位长度，不一定增加（减少）0.7，而是大约增加（减少）0.7个单位长度，故选项A,B错误；由已知表中的数据，可知，则回归直线必过点，故D错误；代入回归直线，解得，即，令，解得万盒， 故选：C 【点睛】本题考查了线性回归方程的性质，正确掌握线性回归方程的性质是解题的关键． 7．（25-26高三上·山西朔州·期末）已知与之间的几组数据如下表： 1 2 3 4 5 6 0 2 1 3 3 4 假设根据上表数据所得线性回归直线方程为，若某同学根据上表中的前两组数据和，求得的直线方程为，则以下结论正确的是（ ） 参考公式：回归直线的方程是：，其中，． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，结合回归方程的公式计算相关数据，再比较大小即可得解. 【详解】因为某同学根据上表中的前两组数据和求得的直线方程为， 所以，则， 根据题意得：，， ，， 所以，， 所以，. 故选：D. 8．（25-26高三上·山东德州·期末）针对时下的“抖音热”某校团委对“学生性别和喜欢抖音是否有关”作了一次调查，其中被调查的男女生人数相同，男生喜欢抖音的人数占男生人数的，女生喜欢抖音的人数占女生人数，若有的把握认为是否喜欢抖音和性别有关则调查人数中男生可能有（    ）人 附表： 0.050 0.010 3.841 6.635 附： A．20 B．40 C．60 D．80 【答案】C 【分析】设男女生人数共有n人，根据男女生人数相同，男生喜欢抖音的人数占男生人数的，女生喜欢抖音的人数占女生人数，算出a，b，c，d的值，代入公式解得，然后根据有的把握认为是否喜欢抖音和性别有关，则有求解. 【详解】设男女生人数共有n人，则男生喜欢抖音的人数有，男生不喜欢抖音的人数有， 女生喜欢抖音的人数有，女生不喜欢抖音的人数有， 所以， 因为有的把握认为是否喜欢抖音和性别有关， 所以， 解得， 所以， 所以调查人数中男生可能有60人. 故选：C 【点睛】本题主要考查独立性检验，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 2． 多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9．（25-26高二下·江西景德镇·期中）关于线性回归方程的分析，下列哪些选项是正确的有（    ） A．相关系数与回归系数的符号相同 B．回归直线一定经过样本中心点 C．线性回归方程中的越大，则两组变量的相关性越强 D．若相关系数，则说明与的线性关系足够强，适合用该回归方程进行预测 【答案】ABD 【分析】根据线性回归方程的相关性质，对每个选项逐一进行分析. 【详解】对于选项A，相关系数的计算公式为，回归系数的计算公式为. 在这两个公式中，分子均为，分母均为正数，所以与的符号由决定，二者符号相同.选项A正确. 对于选项B，对于线性回归方程，回归直线一定经过样本中心点.选项B正确. 对于选项C，线性回归方程中的表示回归直线的斜率，它反映的是自变量每变化一个单位时，因变量的平均变化量；而变量的相关性强弱是由相关系数来衡量的，越接近，两组变量的相关性越强.因此，的大小与两组变量的相关性强弱无关，选项C错误. 对于选项D，相关系数的绝对值越接近，表明两个变量的线性相关性越强. 当时，非常接近，说明与的线性关系足够强，此时适合用该回归方程进行预测.选项D正确. 故选：ABD. 10．（25-26高二下·贵州黔南·期中）下列说法中正确的是（    ） A．某同学记录了3月11日到18日每天的最高气温（单位：℃），分别为12，11，9，10，8，9，13，10，则该组数据的第70百分位数为11 B．两个变量相关性越强，则相关系数r越接近1 C．一组样本数据的经验回归方程为，若，则 D．已知随机变量，若，则 【答案】AC 【分析】由百分位数的计算方法可得A正确；由相关系数的意义可得B错误；由样本中心点的计算可得C正确；由正态分布的对称性可得D错误. 【详解】A选项，根据题意将数据从小到大排列有8，9，9，10，10，11，12，13，共8项数据，又，故第70百分数为11，选项A正确： B选项，两个变量相关性越强，则相关系数越接近1，选项B错误； C选项，由得，，所以，选项C正确； D选项，，选项D错误. 故选：AC． 11．（24-25高二下·云南临沧·期末）（多选）某商家统计了最近5个月某产品的销量，如表所示：若y与x线性相关，且线性回归方程为，则（    ） 时间x 1 2 3 4 5 销售量y/万只 5 4.5 4 3.5 2.5 A．由题中数据可知，变量y与x负相关 B．当时，残差为0.2 C．可以预测当时销量约为2.1万只 D． 【答案】ACD 【分析】根据已知条件，结合线性回归方程的性质，即可求解. 【详解】对于A，由题中数据可知，随着x变大，变小，则变量y与x负相关，故A正确； 对于D，由表中数据可知，，， 又因为，则，解得,故D正确； 对于B，当时，残差为,故B错误； 对于C，当时，， 故可以预测当时销量约为2.1万只，故C正确. 故选：ACD. 3． 填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12．（25-26高三·上海·课堂例题）在一项打鼾与患心脏病的调查中，共调查了1671人，经过计算得，根据这一数据分析，打鼾与患心脏病是__________的．（选填“有关”或“无关”） 【答案】有关 【分析】由卡方值结合独立性检验中相应的临界值即可判断求解. 【详解】因为， 所以有的把握认为打鼾与患心脏病是有关的. 故答案为：有关. 13．（25-26高三·江苏·一轮复习）为促进就业，提升经济活力，2020年我国多个城市开始松绑“地摊经济”，市自大力发展“地摊经济”以来，夜市也火了起来，下表是市2020年月份代码与夜市的地摊摊位数（单位：万个）的统计数据： 月份 4月 5月 6月 7月 8月 月份代码 1 2 3 4 5 摊位数（万个） 290 330 440 480 若与线性相关，且求得其线性回归方程为，则表中的值为___________ 【答案】360 【分析】根据回归直线方程过样本中心点，即可求解. 【详解】由题意，根据表格中的数据，可得， 代入，可得， 又由，解得. 故答案为：360. 14．（2026·上海黄浦·三模）针对“中学生追星问题”，某校团委对“学生性别和中学生追星是否有关”作了一次调查，其中女生人数是男生人数的，男生追星的人数占男生人数的，女生追星的人数占女生人数的，若根据小概率值的独立性检验，判断中学生追星与性别有关，则男生至少有________人 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 参考数据及公式如下：参考公式：，其中. 【答案】48 【分析】设男生人数为，依题意列出列联表，分析出根据小概率值的独立性检验，判断中学生追星与性别有关，则，再代入的公式求出的范围，再根据的实际意义即可求出男生的最少人数. 【详解】设男生人数为，依题意可得列联表为 喜欢追星 不喜欢追星 总计 男生 女生 总计 根据小概率值的独立性检验，判断中学生追星与性别有关， 则， 由，解得. 由题意知，应为6的整数倍， 所以若根据小概率值的独立性检验， 判断中学生追星与性别有关，则男生至少有48人. 故答案为：48. 4． 解答题（共5小题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，满分77分） 15．（25-26高二下·湖南长沙·期中）某市开展“我心中的好老师”评选活动，现对评选出的五位候选人的工作年限和得票数进行了统计，得到如下数据： “我心中的好老师”编号 1 2 3 4 5 工作年限/年 4 6 8 10 12 得票数/百张 10 20 40 60 50 (1)若得票数与工作年限满足线性相关关系，试求经验回归方程，并就此估计“我心中的好老师”的工作年限为15年时的得票数； (2)若用表示统计数据时得票数的“即时均值”（四舍五入到整数），从5个“即时均值”中任选2个，求这2个数据之和小于8的概率. 【答案】(1)，78 (2) 【分析】（1）先计算样本中心点 ，再通过公式计算回归系数 ，进而求得截距 ，最后代入 进行预测. （2）先计算每个数据的“即时均值”并四舍五入取整，再用组合数计算从5个数据中任选2个的总情况数，最后找出和小于8的情况数，利用古典概型公式计算概率. 【详解】（1）由题可得， 则， . 所以. 当时，. （2）5个“即时均值”分别为3，3，5，6，4. 从5个“即时均值”中任选2个，共有（种）情况， 其中2个数据之和小于8的有，，共3种情况， 所以这2个数据之和小于8的概率为. 16．（重庆市巴蜀教育集团2025-2026学年高二下学期5月期中考试数学试题）为了比较甲，乙两所学校学生的数学水平，采用简单随机抽样的方法抽取了100名学生，通过测验得到了如下数据：甲校50名学生中有10名数学成绩优秀，乙校50名学生中有15名数学成绩优秀． (1)请将列联表补充完整； 学校 数学成绩 合计 优秀 不优秀 甲校 10 乙校 15 合计 100 (2)依据小概率值的独立性检验，能否据此推断两校学生的数学成绩优秀率有差异． (3)用甲校数学成绩样本的优秀率作为甲校数学成绩总体的优秀率，估计甲校的3名学生中恰好有两名学生数学成绩优秀的概率． 参考数据： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】(1) 学校 数学成绩 合计 优秀 不优秀 甲校 10 40 50 乙校 15 35 50 合计 25 75 100 (2)不能据此推断两校学生的数学成绩优秀率有差异 (3) 【分析】（1）根据题意完成列联表， （2）结合零假设、卡方公式进行运算求解判断即可； （3）利用二项分布求解即可. 【详解】（1）由已知，列联表如下： 单位：人 学校 数学成绩 合计 优秀 不优秀 甲校 10 40 50 乙校 15 35 50 合计 25 75 100 （2）零假设为：两校学生的数学成绩优秀率无差异. 根据列联表数据，计算得到 . 根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立， 因此不拒绝原假设，即不能认为两校学生的数学成绩优秀率有差异. （3）甲校数学成绩样本的优秀率为，作为甲校数学成绩总体的优秀率， 设甲校的3名学生中成绩优秀的人数为，则， 所求概率为. 17．（25-26高二下·山东青岛·期中）近年来，我国制氧机产业迅速发展，下表是某地区某品牌制氧机的年销售量与年份的统计表： 年份 2021 2022 2023 2024 2025 年份代码x 1 2 3 4 5 销量y（万台） 2 3.5 2.5 8 9 (1)求这种品牌制氧机的销量y关于年份代码x的线性回归方程； (2)为了研究不同性别的学生对制氧机知识的了解情况，某校组织了一次有关制氧机知识的竞赛活动，随机抽取了男生和女生各100名，得到如下2×2列联表.根据小概率值的独立性检验，判断该校学生对制氧机知识的了解情况与性别是否有关联. 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 ，， 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 学生 制氧机知识 合计 了解 不了解 男生 80 20 100 女生 40 60 100 合计 120 80 200 【答案】(1) (2)该校学生对制氧机知识的了解情况与性别有关联 【分析】（1）分别求出及和，再代入回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式求出和，即可求出回归方程； （2）做出零假设，计算出，然后根据卡方独立性检验的规则判断即可. 【详解】（1）年份代码x的平均数， 销量y的平均数 ， 所以， ， 所以，所以， 所以这个地区某品牌制氧机的销量y关于年份代码x的线性回归方程为； （2）零假设：该校学生对制氧机知识的了解情况与性别无关. 根据列联表中的数据，经计算得到， . 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为该校学生对制氧机知识的了解情况与性别有关联， 此推断犯错误的概率不大于0.005. 18．（2026·四川成都·三模）2025年，我国能源安全保障能力再上新台阶，全口径发电量占全球总发电量的，稳居世界第一，为智能算力的爆发性电力需求持续提供稳定保障.某学习小组收集了2021年至2025年我国全口径发电量相关数据，根据数据制作了如下数据表格和散点图. 年份 2021 2022 2023 2024 2025 年份代码 1 2 3 4 5 我国全口径发电量（单位：万亿千瓦时） 8.52 8.85 9.46 10.09 10.58 (1)由散点图看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以说明； (2)建立关于的经验回归方程，并预测2026年我国全口径发电量. 参考数据：. 参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，相关系数. 【答案】(1)，可用线性回归模型拟合与的关系 (2)，（万亿千瓦时） 【详解】（1）因为， 所以， 所以 ， 故可用线性回归模型拟合与的关系； （2）， 则， 则经验回归方程为， 令，则， 故预估2026年我国全口径发电量为（万亿千瓦时） 19．（2026·广西玉林·三模）针对近年兴起的人工智能应用热，某高中准备开设人工智能应用学习班，在全校范围内采用简单随机抽样的方法，分别抽取了男生和女生各100名作为样本，调查学生是否喜欢人工智能应用，经统计得到了如图所示的等高堆积条形图． (1)根据等高堆积条形图，填写下列列联表，并依据的独立性检验，推断是否可以认为该校学生的性别与是否喜欢人工智能应用有关联； 性别 是否喜欢人工智能应用 合计 是 否 男生 女生 合计 (2)已知该校男生女生人数之比为，将样本的频率视为概率，现从全校学生中随机抽取1名学生，求抽取的学生喜欢人工智能应用的概率． 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 参考公式：，其中． 【答案】(1)列联表: 性别 是否喜欢人工智能应用 合计 是 否 男生 75 25 100 女生 55 45 100 合计 130 70 200 能认为该校学生喜欢人工智能应用与性别有关联． (2) 【分析】（1）从等高堆积条形图提取对应数据构建列联表，代入卡方统计量公式计算，将计算结果与显著性水平对应的临界值比较，完成独立性检验. （2）依据男女生人数占比得到抽取男女生的概率，结合样本频率确定对应条件概率，利用全概率公式计算随机抽取1名学生喜欢人工智能应用的概率. 【详解】（1）由题意，根据等高堆积条形图，完成列联表如下： 性别 是否喜欢人工智能应用 合计 是 否 男生 75 25 100 女生 55 45 100 合计 130 70 200 零假设为：该校学生的性别与是否喜欢人工智能应用没有关联． ， ∴依据小概率值的独立性检验， 我们推断不成立，即能认为该校学生喜欢人工智能应用与性别有关联． （2）设事件为“抽取的学生喜欢人工智能应用”，事件为“抽取的学生为女生”，则为“抽取的学生为男生”， 将样本的频率视为概率，则，， ，， 由全概率公式得， 所以抽取的学生喜欢人工智能应用的概率为． 第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $