精品解析：吉林省长春市朝阳区长春外国语学校2024-2025学年高二下学期5月期中数学试题

长春外国语学校2024-2025学年第二学期期中考试高二年级 数学试卷 出题人 ：杨柳 审题人：刘宇航 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页．考试结束后，将答题卡交回． 注意事项： 1．答题前考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考条形码粘贴区． 2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效． 4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑． 5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 第Ⅰ卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数的导函数为，若，则（ ） A. B. C. D. 3. 经统计，某射击运动员进行两次射击时，第一次击中9环的概率为0.6，在第一次击中9环的条件下，第二次也击中9环的概率为0.8.那么她两次均击中9环的概率为（ ） A. 0.24 B. 0.36 C. 0.48 D. 0.75 4. 若曲线在点处的切线与直线垂直，则实数a的值为（ ） A. 3 B. C. 2 D. 1 5. 随机变量服从两点分布，若，则（ ） A. B. C. 或 D. 6. 深受广大球迷喜爱的某支足球队在对球员的使用上总是进行数据分析，根据以往的数据统计，乙球员能够胜任前锋、中锋、后卫以及守门员四个位置，且出场率分别为0.2，0.5，0.2，0.1，当乙球员担当前锋、中锋、后卫以及守门员时，球队输球的概率依次为0.4，0.2，0.5，0.2．当乙球员参加比赛时，该球队某场比赛不输球的概率为（ ） A. 0.3 B. 0.32 C. 0.68 D. 0.7 7. 国际高峰论坛上，组委会要从6个国内媒体团和3个国外媒体团中选出3个媒体团进行提问，要求这3个媒体团中既有国内媒体团又有国外媒体团，且国外媒体团不能连续提问，则不同的提问方式的种数为（ ） A. 306 B. 198 C. 268 D. 378 8. 若函数在上单调递增，则实数的值不可能为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 已知，则可能取值为7 B. 已知，则可能取值为6 C. 在的二项式展开式中，常数项是84 D. 在的二项式展开式中，所有二项式系数和为 10. 如图，用种不同的颜色把图中五块区域涂上颜色，相邻区域不能涂同一种颜色，则（ ） A. B. 当时，若同色，共有48种涂法 C. 当时，若不同色，共有48种涂法 D. 当时，总的涂色方法有420种 11. 已知函数的定义域是，是的导函数，若对任意的，都有，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 当时， 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数，则_______． 13. 设离散型随机变量的分布列如下，若，则_______． 2 3 4 0.3 0.4 14. 若过点可以作曲线的两条切线，则实数的取值范围是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 若 （1）求； （2）求； （3）求． 16. 有5个男生和3个女生，从中选出5人分别担任5门不同学科的科代表(要求每人只担任一科科代表，每科只有一名科代表)，求分别符合下列条件的安排方法数．（写出必要的数学式，结果用数字作答） （1）有女生但人数必须少于男生； （2）女生甲一定担任语文科代表； （3）男生乙必须包括在内，但不担任语文科代表． 17. 已知的一个极值点为2. （1）求m的值； （2）求函数的单调区间； （3）求函数在区间上的最值 18. 某项人工智能新技术进入试用阶段前必须对其中三项不同指标甲、乙、丙进行量化检测．假设该项新技术的指标甲、乙、丙独立地通过检测合格的概率分别为，指标甲、乙、丙检测合格分别记4分、2分、4分，若某项指标不合格，则该项指标记0分，各项指标检测结果互不影响． （1）求该项技术量化得分不低于8分的概率； （2）记该技术的三个指标中被检测合格的指标个数为随机变量，求的分布列与数学期望． 19. 已知函数，. （1）讨论的单调性； （2）若有两个极值点，，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长春外国语学校2024-2025学年第二学期期中考试高二年级 数学试卷 出题人 ：杨柳 审题人：刘宇航 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页．考试结束后，将答题卡交回． 注意事项： 1．答题前考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考条形码粘贴区． 2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效． 4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑． 5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 第Ⅰ卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用求导的运算法则来计算即可. 【详解】因为为常数，所以，A错误； ，B错误； ，C错误； ，D正确. 故选：D. 2. 已知函数的导函数为，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据导数与极限的定义求解． 【详解】， 所以， 故选：D 3. 经统计，某射击运动员进行两次射击时，第一次击中9环的概率为0.6，在第一次击中9环的条件下，第二次也击中9环的概率为0.8.那么她两次均击中9环的概率为（ ） A. 0.24 B. 0.36 C. 0.48 D. 0.75 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件概率公式求解即可． 【详解】设某射击运动员“第一次击中9环”为事件A，“第二次击中9环”事件B， 则由题意得，， 所以她两次均击中9环的概率为． 故选：C． 4. 若曲线在点处的切线与直线垂直，则实数a的值为（ ） A. 3 B. C. 2 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】利用求导法则先求，再求，利用在点处的切线与直线垂直即可求解. 【详解】由题意有，所以， 因为在点处的切线与直线垂直， 所以， 故选：A. 5. 随机变量服从两点分布，若，则（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，根据两点分布得到期望值，利用方差得到方程，求出答案. 【详解】服从两点分布，设， 则， 故，解得或. 故选：C 6. 深受广大球迷喜爱的某支足球队在对球员的使用上总是进行数据分析，根据以往的数据统计，乙球员能够胜任前锋、中锋、后卫以及守门员四个位置，且出场率分别为0.2，0.5，0.2，0.1，当乙球员担当前锋、中锋、后卫以及守门员时，球队输球的概率依次为0.4，0.2，0.5，0.2．当乙球员参加比赛时，该球队某场比赛不输球的概率为（ ） A. 0.3 B. 0.32 C. 0.68 D. 0.7 【答案】D 【解析】 【分析】利用全概率公式来进行求解即可. 【详解】利用全概率公式可得：设乙球员参加比赛时，该球队某场比赛不输球为事件， 则， 故选：D. 7. 国际高峰论坛上，组委会要从6个国内媒体团和3个国外媒体团中选出3个媒体团进行提问，要求这3个媒体团中既有国内媒体团又有国外媒体团，且国外媒体团不能连续提问，则不同的提问方式的种数为（ ） A. 306 B. 198 C. 268 D. 378 【答案】A 【解析】 【分析】利用分类思想进行选取和排列即可求解. 【详解】第一类：国内媒体团2个，国外媒体团1个，此时不同的选法和提问方式共有：种； 第二类：国内媒体团1个，国外媒体团2个，此时不同的选法和提问方式共有：种； 综上，共有306种 故选:A． 8. 若函数在上单调递增，则实数的值不可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对函数求导并利用不等式恒成立以及对勾函数性质求得实数的取值范围可得结论. 【详解】根据题意可得函数的定义域为， 又， 若函数在上单调递增，可得在上恒成立； 即在上恒成立，所以， 根据对勾函数性质可得在上单调递增， 当时，，则， 结合选择可知A、B、C、D符合题意，D不可能. 故选：D 二、多项选择题：本题共3题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 已知，则可能取值为7 B. 已知，则可能取值为6 C. 在的二项式展开式中，常数项是84 D. 在的二项式展开式中，所有二项式系数和为 【答案】AC 【解析】 【分析】利用组合数的运算性质可判断AB，利用二项式展开式定理可判断CD． 【详解】由已知，则或，解是：，则可能取值为7，故A正确，B错误； 对于C. 在的二项式展开式中，由， 则常数项是84，故C正确； 对于D. 在的二项式展开式中，所有二项式系数和为，故D错误； 故选：AC. 10. 如图，用种不同的颜色把图中五块区域涂上颜色，相邻区域不能涂同一种颜色，则（ ） A. B. 当时，若同色，共有48种涂法 C. 当时，若不同色，共有48种涂法 D. 当时，总的涂色方法有420种 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据同色或者不同色，即可结合选项，根据分步乘法计数原理求解. 【详解】对于A，由于区域,两两相邻，所以至少需要三种及以上的颜色才能保证相邻区域不同色，故A正确， 对于B，当时，此时按照的顺序涂，每一个区域需要一个颜色，此时有种涂法， 涂时，由于同色（D只有一种颜色可选），所以只需要从剩下的颜色或者与同色的两种颜色中选择一种涂， 故共有种涂法，B正确； 对于C，当时，涂有种， 当不同色（D只有一种颜色可选），此时四块区域所用颜色各不相同，涂只能用与同色，此时共有24种涂法，C错误； 对于D，当时，此时按照的顺序涂，每一个区域需要一个颜色，此时有种涂法， 涂时，当同色（D只有一种颜色可选），所以只需要从剩下的两种颜色中或者与同色的颜色中选择一种涂， 故共有种涂法， 当不同色，此时四块区域所用颜色各不相同，共有， 只需要从剩下的颜色或者与同色的两种颜色中选择一种涂此时共有种涂法， 综上可知，总的涂色方法有420种，故D正确， 故选：ABD 11. 已知函数的定义域是，是的导函数，若对任意的，都有，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 当时， 【答案】BCD 【解析】 【分析】构造，根据条件，判断函数的单调性，再结合函数的单调性得到相应的不等式以判断各个选项的正确性. 【详解】设，. 则. 所以在上单调递增. 对A：由，故A错误； 对B：由，故B正确； 对C：由，故C正确； 对D：当时，，所以，故D正确. 故选：BCD 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数，则_______． 【答案】6 【解析】 【分析】先求导，令，得，进而可求解. 【详解】由， 可得：， 令，可得， 所以， 所以， 故答案为：6 13. 设离散型随机变量的分布列如下，若，则_______． 2 3 4 0.3 0.4 【答案】## 【解析】 【分析】利用分布列先求期望，再求方差，最后利用方差的性质即可求出结果. 【详解】由概率和为1，可知， 根据分布列可求得期望：， 再求方差：， 根据方差性质可得：， 故答案为： 14. 若过点可以作曲线的两条切线，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】设切点为，求切线方程，又在切线上得，令，即与的图像有两个交点即可，利用导数研究单调性，作出图像即可求解. 【详解】设切点为，则，所以，即， 又在切线上，所以，化简整理有， 令，即与的图像有两个交点即可， 所以，令有， 由有，有， 所以在单调递减，在单调递增， 所以，当， 作出函数的图像， 所以， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 若 （1）求； （2）求； （3）求． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用赋值法可求系数和； （2）利用赋值法可求奇数项系数和； （3）利用构造二项式定理可求指定项系数. 【小问1详解】 由， 令得：， 令得：， 所以； 【小问2详解】 再令得：， 因为，所以； 【小问3详解】 由， 等价于， 所以. 16. 有5个男生和3个女生，从中选出5人分别担任5门不同学科的科代表(要求每人只担任一科科代表，每科只有一名科代表)，求分别符合下列条件的安排方法数．（写出必要的数学式，结果用数字作答） （1）有女生但人数必须少于男生； （2）女生甲一定担任语文科代表； （3）男生乙必须包括在内，但不担任语文科代表． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）分为2女3男和1女4男，两种情况，先选出5人，然后排列即可得出答案； （2）从剩余7人中，先选出4人排列，然后全排即可得出答案； （3）先考虑选出男生乙的职位，再从剩余7人中，先选出4人排列，然后全排即可得出答案； 【小问1详解】 先选后排，5人可以是2女3男，也可以是1女4男， 所以先选有种方法，后排有种方法， 所以共有不同选法（种）． 【小问2详解】 先在剩余的7人中选出4人，有种选法，然后排列，有种方法，根据分步乘法计数原理，即可得出共有不同选法（种）． 【小问3详解】 分步： 第一步，先安排不担任语文科代表的男生乙，有种方法； 第二步，然后从剩余的7人中选出4人，有种选法； 第三步，选出的4人排列，有种方法． 根据分步乘法计数原理，共有不同选法（种）． 17. 已知的一个极值点为2. （1）求m的值； （2）求函数的单调区间； （3）求函数在区间上的最值 【答案】（1） （2）函数在区间上单调递减，在区间，上单调递增. （3）最小值为，最大值为13. 【解析】 【分析】（1）由题意可得，求解即可； （2）由（1）可得函数解析式，根据导数的意义求得函数的单调区间； （3）根据（2）中对函数单调性的研究，可以判断在区间上的单调性，从而得出最大最小值 【小问1详解】 因为，所以， ∵的一个极值点为2， ∴，解得， 经验证时，有极值点2. 【小问2详解】 由（1），， 令，得或， 令，得；令，得或， 故函数在区间上单调递减，在区间，上单调递增. 【小问3详解】 由（2）知，在上为增函数，在上为减函数， ∴是函数的极大值点，又，，， ∴函数在区间上的最小值为，最大值为13. 18. 某项人工智能新技术进入试用阶段前必须对其中三项不同指标甲、乙、丙进行量化检测．假设该项新技术的指标甲、乙、丙独立地通过检测合格的概率分别为，指标甲、乙、丙检测合格分别记4分、2分、4分，若某项指标不合格，则该项指标记0分，各项指标检测结果互不影响． （1）求该项技术量化得分不低于8分的概率； （2）记该技术的三个指标中被检测合格的指标个数为随机变量，求的分布列与数学期望． 【答案】（1）; （2）的分布列 0 1 2 3 期望为.【解析】 【分析】（1）设相应事件，可知该项技术量化得分不低于8分为，结合独立事件概率乘法公式运算求解； （2）可知的所有可能取值为0，1，2，3，根据独立事件概率乘法公式求分布列，进而可得期望. 【小问1详解】 设该项人工智能新技术的三项不同指标独立通过检测合格分别为事件， 则， 则可知该项技术量化得分不低于8分为， 所以概率为． 所以该项技术量化得分不低于8分的概率为. 【小问2详解】 由题意可知：的所有可能取值为0，1，2，3． 则， ， ， ， 所以随机变量的分布列 0 1 2 3 随机变量的期望． 19. 已知函数，. （1）讨论的单调性； （2）若有两个极值点，，证明：. 【答案】（1）答案见解析； （2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）对函数求导，讨论、研究导函数的符号求单调性； （2）由题设并结合（1）有，，将问题化为恒成立，构造函数研究恒成立，即可证. 【小问1详解】 由题得，其中， 令，，其中对称轴为， ． ①若，则，此时，则，所以在上单调递增； ②若，则， 此时在上有两个根，，且， 当时，，则，单调递增； 当时，，则，单调递减； 当时，，则，单调递增， 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增． 【小问2详解】 由（1）知，当时，有两个极值点，，且，， 所以 ． 令，，则，故在上单调递减， 所以，所以，即． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $