精品解析：贵州毕节市黔西市云志中学2025-2026学年高二下学期期中考试数学试题

黔西市云志中学2026年春季学期期中考试高二年级数学试题 出题人：黄述昌 审题人：梁华 一、单选题 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据集合的交集运算即可解出． 【详解】因为，，所以． 故选：A. 2. 若，则z=（ ） A. 1–i B. 1+i C. –i D. i 【答案】D 【解析】 【分析】先利用除法运算求得，再利用共轭复数的概念得到即可. 【详解】因为，所以. 故选：D 【点晴】本题主要考查复数的除法运算，涉及到共轭复数的概念，是一道基础题. 3. 样本数据14，16，18，20，21，22，24，28的75%分位数为（ ） A. 16 B. 17 C. 23 D. 24 【答案】C 【解析】 【分析】先将样本数据按从小到大排序，计算75%分位数对应的索引，再依据百分位数的计算规则求解. 【详解】将样本数据从小到大排列为：14，16，18，20，21，22，24，28.可知样本容量，， 75%分位数为，因此该组数据的75%分位数为23，对应选项C. 4. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则角C的大小是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】根据正弦定理求得，然后根据角的范围求解即可. 【详解】由题设及，则， 又，故C为锐角，且，所以. 故选：B． 5. 记为等差数列的前项和，已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由结合等差中项的性质可得，即可计算出公差，即可得的值. 【详解】由，则， 则等差数列的公差，故. 故选：B. 6. 已知为锐角，，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二倍角公式（或者半角公式）即可求出． 【详解】因为，而为锐角， 解得：． 故选：D． 7. 已知偶函数的定义域为，且当时，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据偶函数的性质，结合条件求，再代入求值. 【详解】由偶函数的性质可知，，得， 即时，，. 故选：C 8. 设为坐标原点，直线与抛物线C：交于，两点，若，则的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题中所给的条件，结合抛物线的对称性，可知，从而可以确定出点的坐标，代入方程求得的值，进而求得其焦点坐标，得到结果. 【详解】因为直线与抛物线交于两点，且， 根据抛物线的对称性可以确定，所以， 代入抛物线方程，求得，所以其焦点坐标为， 故选：B. 【点睛】该题考查的是有关圆锥曲线的问题，涉及到的知识点有直线与抛物线的交点，抛物线的对称性，点在抛物线上的条件，抛物线的焦点坐标，属于简单题目. 二、多选题 9. 双曲线与有相同的（ ）. A. 实轴长 B. 焦距 C. 离心率 D. 渐近线 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据两个双曲线方程分别求出再分别判断选项. 【详解】由双曲线可知,所以实轴长为 焦距为,离心率为,渐近线为 再由另一个双曲线可知，， 所以实轴长为焦距为，离心率为， 渐近线为所以A,B,C选项正确，D错误. 故选：ABC. 10. 记为等比数列的前n项和，为的公比，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】对A，根据等比数列通项公式和前项和公式得到方程组，解出，再利用其通项公式和前项和公式一一计算分析即可. 【详解】对A，由题意得，结合，解得或（舍去），故A正确； 对B，则，故B错误； 对C，，故C错误； 对D，，， 则，故D正确； 故选：AD. 11. 对于函数，下列说法正确的是（ ） A. 在单调递减 B. 有极小值 C. 有最小值 D. 无最大值 【答案】BD 【解析】 【分析】先求出的定义域，再求出，解不等式和可得单调增区间和减区间，由单调性即可得极值和最值，进而可得正确选项. 【详解】的定义域为， ， 由可得：；由可得或， 所以在和上单调递减，在单调递增，故选项A不正确； 作出的图象如图： 由图知：在处取得极小值，极小值为，无最小值， 无极大值，也无最大值，故选项B和D正确， 选项C不正确， 故选：BD. 三、填空题 12. 设函数．若，则a=_________． 【答案】1 【解析】 【分析】由题意首先求得导函数的解析式，然后得到关于实数a的方程，解方程即可确定实数a的值 【详解】由函数的解析式可得：， 则：，据此可得：， 整理可得：，解得：. 故答案为：. 【点睛】本题主要考查导数的运算法则，导数的计算，方程的数学思想等知识，属于中等题. 13. 已知向量a＝(m，3)，b＝(1，m＋1).若a⊥b，则m＝________． 【答案】－ 【解析】 【详解】由题意，知a·b＝m＋3(m＋1)＝0，解得m＝－. 【考查意图】考查两个向量垂直． 14. 已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_________． 【答案】 【解析】 【分析】将原问题转化为求解圆锥内切球的问题，然后结合截面确定其半径即可确定体积的值. 【详解】易知半径最大球为圆锥的内切球，球与圆锥内切时的轴截面如图所示， 其中，且点M为BC边上的中点， 设内切圆的圆心为， 由于，故， 设内切圆半径为，则： ， 解得：，其体积：. 故答案为：. 【点睛】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径. 四、解答题 15. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.且. （1）求的值； （2）若，，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）应用余弦定理及同角三角函数关系计算求解； （2）先应用正弦定理计算得出，再应用两角和正弦公式计算，最后面积公式计算求解. 【小问1详解】 因为，由余弦定理得，所以，所以， 所以，所以， 因为，所以. 【小问2详解】 因为，， 由正弦定理得，所以， 因为，所以， 则的面积为. 16. 已知等比数列满足． （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件，求出，即可求出结果； （2）利用（1）中结果，得到，再利用等差数列的前项公式，即可求解. 【小问1详解】 设公比为，因为， 所以，解得，所以的通项公式为. 【小问2详解】 由（1）知， 所以. 17. 已知椭圆过点，离心率. （1）求椭圆的方程； （2）设直线与椭圆相交于A、B两点，求. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】 （1）根据题意得，，再结合即可求得答案. （2）设，，直接联立方程得，再结合韦达定理，利用弦长公式和点到线的距离公式得，点M到直线的距离，进而可得. 【详解】解：（1）由题意得，， 结合，解得 所以椭圆的方程为：. （2）由得 即，经验证. 设，. 所以，， 故 因为点M到直线的距离， 所以. 【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系，椭圆的方程，弦长公式等，考查运算能力，是基础题. 18. 已知函数． （1）当时 （ⅰ）求在处的切线方程 （ⅱ）求函数的单调区间； （2）若对任意，恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】（1）（ⅰ）；（ⅱ）的单调减区间是，单调增区间是 （2） 【解析】 【分析】(1)先求导，求出点的斜率和函数值，利用点斜式即可求切线方程，求导即可求出单调区间 (2)写出不等式，分离参数，构造新函数求导，求出最大值即可求出的取值范围 【小问1详解】 （ⅰ）当时，函数的定义域是，， ，，由点斜式可得；， 所以切线方程为； （ⅱ）令，得，解得，所以的单调减区间是， 令，得 ，解得，所以的单调增区间是， 综上，的单调减区间是，单调增区间是； 【小问2详解】 由任意， 知 恒成立， 因为，故，在上恒成立， 设，则， 令，得，(舍去)， 当时，，单调递增，，，单调递减， 故，取得极大值，也是最大值，且 ， 所以若在上恒成立，则 ， 故实数的取值范围是. 19. 如图，在三棱台中，平面，为中点.，N为AB的中点， （1）求证：//平面； （2）求平面与平面所成夹角的余弦值； （3）求点到平面的距离． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，然后用线面平行的判定解决； （2）利用二面角的定义，作出二面角的平面角后进行求解； （3）方法一是利用线面垂直的关系，找到垂线段的长，方法二无需找垂线段长，直接利用等体积法求解 【小问1详解】 连接.由分别是的中点，根据中位线性质，//，且， 由棱台性质，//，于是//，由可知，四边形是平行四边形，则//， 又平面，平面，于是//平面. 【小问2详解】 过作，垂足为，过作，垂足为,连接. 由面，面，故，又，，平面，则平面. 由平面，故，又，，平面，于是平面， 由平面，故.于是平面与平面所成角即. 又，，则，故，在中，，则， 于是 【小问3详解】 [方法一：几何法] 过作，垂足为，作，垂足为，连接，过作，垂足为. 由题干数据可得，，，根据勾股定理，， 由平面，平面，则，又，，平面，于是平面. 又平面，则，又，，平面，故平面. 在中，， 又，故点到平面的距离是到平面的距离的两倍， 即点到平面的距离是. [方法二：等体积法] 辅助线同方法一. 设点到平面的距离为. ， . 由，即. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 黔西市云志中学2026年春季学期期中考试高二年级数学试题 出题人：黄述昌 审题人：梁华 一、单选题 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若，则z=（ ） A. 1–i B. 1+i C. –i D. i 3. 样本数据14，16，18，20，21，22，24，28的75%分位数为（ ） A. 16 B. 17 C. 23 D. 24 4. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则角C的大小是（ ） A. B. C. D. 或 5. 记为等差数列的前项和，已知，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知为锐角，，则（ ）． A. B. C. D. 7. 已知偶函数的定义域为，且当时，，若，则（ ） A. B. C. D. 8. 设为坐标原点，直线与抛物线C：交于，两点，若，则的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 双曲线与有相同的（ ）. A. 实轴长 B. 焦距 C. 离心率 D. 渐近线 10. 记为等比数列的前n项和，为的公比，若，则（ ） A. B. C. D. 11. 对于函数，下列说法正确的是（ ） A. 在单调递减 B. 有极小值 C. 有最小值 D. 无最大值 三、填空题 12. 设函数．若，则a=_________． 13. 已知向量a＝(m，3)，b＝(1，m＋1).若a⊥b，则m＝________． 14. 已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_________． 四、解答题 15. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.且. （1）求的值； （2）若，，求的面积. 16. 已知等比数列满足． （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 17. 已知椭圆过点，离心率. （1）求椭圆的方程； （2）设直线与椭圆相交于A、B两点，求. 18. 已知函数． （1）当时 （ⅰ）求在处的切线方程 （ⅱ）求函数的单调区间； （2）若对任意，恒成立，求实数a的取值范围． 19. 如图，在三棱台中，平面，为中点.，N为AB的中点， （1）求证：//平面； （2）求平面与平面所成夹角的余弦值； （3）求点到平面的距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $