福建南平市顺昌县第一中学2025-2026学年高一下学期5月期中数学试题

2025-2026学年第二学期顺昌一中高一年级期中 数学试题 命题教师：叶觐尧 审核教师：汤仲剑 (时间：120分钟满分：150分) 范围：人教A版必修第二册，第六章，第七章，第八章 一、单选题：（本大题共8个小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选 项中，只有一项是符合题目要求的.) 1.已知复数z= 2十'F为的共轭复数，则-() A √5 5 B. 5 3 C. 9 0 5 5 2.用斜二测画法画水平放置的边长为2的正三角形的直观图，所得直观图的面积为( ) A VG B.VG D 5 4 2 3.已知-6，=4，a与6的夹角为60°，则(a+26列小a-3b)=（) A.-72 B.-36 C.36 D.72 4如图已知△C,D为AB的点，4正=号4C,若DE=亚+uC,则2+ A名 6 C. 6 D. 6 5.已知圆锥的侧面展开图为半圆，则该圆锥的侧面积与其表面积之比为() 1 2 c 3 4 A D. 2 .3 4 5 高一第二学期期中数学试题第1页共4页 6.设α，B为两个平面，1，n为两条直线，则下列结论中正确的是() A.若lm,nca,则l//a B.若lI1o,lIlB,则xlB C.若l∥al⊥B,则a⊥B D.若u∩B=n,n⊥l,则l⊥u或l⊥B 7.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且面积为S.若a=1,C=T且 4 4S=acos B+bcosA,B=() 7元 A. B. 6 12 cjπ 6 8.己知平面内有单位圆O,点P是不与点O重合的一点，若圆O上存在不重合的两点A,B 使得PO=2PA+PB,则PO的取值范围为( c.[1,2) 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9.若复数z满足引zP=iz,则z=（) A.-1 B.i C.0 D.1 0,AABc中b=3,c=2,c08A=则() Aa=3 B.∠C的角平分线交AB于D,则CD=√2 c sinB= 2W2 3 D.C☑在AB上的投影向量是-AB 11.正方体ABCD-ABC1D中，下列结论正确的是() A.直线4C与直线AC所成角为写 B.二面角A-BC-D的大小为写 C.直线AC与平面ABCD所成角为背 D.平面ABC1⊥平面AC1D 高一第二学期期中数学试题第2页共4页 二、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知平面向量ā=（2，x),b=(1,-3),若ā1b,则x= 13.己知棱台的上、下底面面积分别是2,8，高为3，则棱台的体积等于 14.正三棱台高为1，上下底边长分别为3和6，所有顶点在同一球面上，则球的表面积为 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤. 15.(13分)如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，平面ABCD⊥平面BCF, (1)求证：CD//EF: 】 (2)求证：EF⊥平面BCF; 16.(15分)已知=(1,1)，万=1，a与6的夹角0=45. (1)求a+2b的值： (2)若向量(2ā-万)与(2ā-35)的夹角为锐角，求实数2的取值范围， 17.(15分)己知锐角△ABC的内角A,B,C所对的边为a,b,c,向量m=(a,V3b), i=(cosA,sinB),且m/i: (1)求角A;(2)若a=2,求△ABC周长的取值范围. 高一第二学期期中数学试题第3页共4页 18.(17分)如图，长方体ABCD-ABC1D中，AB=AD=2,A4=4,点P为DD的中点 (1)求三棱锥B-PAC的体积. (2)求证：直线BD∥平面PAC: (3)求异面直线BD与PC,所成角的余弦值： B P D 19.(17分)己知△ABC的外接圆半径为R,角A,B,C所对的边分别a,b,c, ab+sinAsinB=2bsinAsinC. (1)用R表示c: (2)求证：ad2+b2=c2; (3)若A=号BF分别为线段C1AB,BC上的点，且BB、P构做等边aDER,求 △DEF面积的最小值. 高一第二学期期中数学试题第4页共4页2025-2026学年第二学期顺昌一中高一年级期中 数学试题 (时间：120分钟满分：150分) 范围：人教A版必修第二册，第六章，第七章，第八章 一、单选题：（本大题共8个小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的 选项中，只有一项是符合题目要求的.) 1.已知复数2=， 三为2的共轭复数，则=(C) 2+i A. 5 B. 5 c v5 3 5 5 【解析】C 因为2= i(2-i)_1+2i-12 2+i(2+i)(2-i)555 店)进 2.用斜二测画法画水平放置的边长为2的正三角形的直观图，所得直观图的面积为(B) A.V6 B. D. 5 2 4 4 2 【解析】B根拐斜二测画法的特征，可得底不变，为2，高为2-下××5-6 224 所以直观图的面积是)×2x6-6.选B 2 44 高一第二学期期中数学试题第1页共12 而 3.已知同=6，=4，a与6的夹角为60，则(a+2b)(a-36)=(A) A.-72 B.-36 C.36 D.72 【详解】因为园=6，=4，a与石的夹角为60，所以 a-6-形cas60=6x4x2,则 (a+2b)(a-36)=a-a-i-6°=d-a-i-6=36-12-6x16=-72. 4.如图，已知△4BC中，D为AB的中点，A正-AC,若DE=元AB+BC,则元+u= D) A 6 D 5-6 0 6 【详解】因为D2=DA+A2=}A+4C 3 -+-网-i+ac西+c.所以-合号 6 月+=石故选：D. 5.已知圆锥的侧面展开图为半圆，则该圆锥的侧面积与其表面积之比为(B) 1 2 3 4 A. 2 B. 4 0. 5 【解析】B设圆锥底面圆半径为r,母线长为l,依题意，2m=πl,则1=2r, 所以该圆锥侧面积与其表面积的比为一元 2r2 π1+r2r+r3 高一第二学期期中数学试题第2页共12 6.设a,B为两个平面，1，n为两条直线，则下列结论中正确的是(C) A.若lI/n,nca,则l/1a B.若LI∥o,l1I川B,则oIB C.若lI川a,l⊥B,则o⊥B D.若o∩B=n,n⊥l,则l⊥ox或l⊥B 【详解】对于A:当直线l在平面a内时，即lca,此时也可能满足l/1n,nc,但根据 定义，直线在平面内，线面不平行，故A错误： 对于B:当a⌒B=a时，若lIla,l文oI文B,，则l∥，l川B,此时 l∥o,l1∥B,C⌒B=a,a/1B不成立，故B错误： 对于C:由l/a,经过直线l的平面如果与平面α有交线b,由线面平行 的性质定理知bca且bl,又1⊥B,所以b⊥B,而bco,所以a⊥B, 故C正确： 对于D:在正方体ABCD-ABC1D中，设平面a为平面ABCD,平面B为 平面CDDC1,则两平面的交线n为CD.设直线l为AD,则nII,但l不与a垂直，也不 与B垂直，故D错误.故选：C 7.己知△4BC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且面积为S.若a=1,C=且 4 4S=acos B+bCosA,B=(A A. 87π D. 6 12 6 3 【详解】在△1BC中，acosB+bcosA=a.口+c-B+.+c- L=c,而 2ac 2bc 则 S=absinC,由4S=acos B+bcos4,得2 absinC=c,又a=1,C-7 c=√2，由正弦定理得V2sinB=sinC=sm元，解得sinB=},由b<c,得B<C, 所以B=合选A 高一第二学期期中数学试题第3页共12 8.己知平面内有单位圆O,点P是不与点O重合的一点，若圆O上存在不重合的两点A,B 使得PO=2PA+PB,则PO的取值范围为(D) c.[1,2) 【解析】C设O为原点，PO=-OP,PA=OA-OP,PB=OB-OP, 代入已知等式PO=2PA+PB,-OP=2(OA-OP)+(OB-OP), 整理得：20P=204+0B,即0P=201+0 2 ,因为A,B在单位圆上，所以 OA=1OB=1,设OA与OB夹角为8，对OP平方 得： OP=204++404-+O 5+40080 4 4 A,B是不重合的两点，故B∈(0，元，即cos6∈[-1,1)， 选D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.若复数z满足|z2=iz,则z=(AC) A.-i B.i C.0 D.1 【解答】设复数=a+bi(a,b∈R),则F=a2+b2,所以d+b2=i(a+bi)=-b+ai, a=0 所以 G+B=b’解得a=0b=0或b=-1,所以z=0或：=-i,选A、C 1 10△ABC中b=3,c=2,cosA=3,则（AD） A.a=3 B.∠C的角平分线交AB于D,则CD=√2 3 D.@在亚上的投影向量是号丽 高一第二学期期中数学试题第4页共12 【解析】AcD由余弦定理a2=b+e2-2bcc0sA,得d2-9+4-2×3×2×号-9，故 3 a=3,A正确： 因为AC=BC=3,所以△ABC是等腰三角形，CD平分∠ACD,所以CD是AB的垂直 平分线，所以4D=4B=1,所以CD=NB-下-25，所以B不正确： 山m4=1asA-84e0对，所以n4-2 ,因为△ABC是等腰三角形， 所以∠A=∠B,siB=A= 2W2 ,所以C正确： 3 a 向量CA在AB上的投影向量为 AB CA·AB AB CA·AB b CA.cosCA.AB .AB CAAB AB AB CAAB=-4C.AB=-bcA=-3×2x-2,故投影向量为2.AB=-4B, 3 4 所以D正确. 11.正方体ABCD-ABC1D中，下列结论正确的是(AB) A直线AC与直线DC所成角为 B.二面角D-BC-D的大小为写 C.直线AC与平面ABCD所成角为写 D.平面ABC1⊥平面ACD 【详解】对于A,连接AC,因为A4=CC1,AA/CC1,所以四边形AACC1为平行四边形， 所以∠ACD为直线AC1与直线DC所成的角，连接AD,则AD=AC=CD,所以DACD 是正三角形，所以∠ACA-牙所以A正确： 对于B,由正方体的性质知，BC⊥平面DCCD,因为CDC平面DCCD,所以BC⊥CD: 因为DC⊥BC,DCc平面ABCD,所以∠DCD是二面角D-BC-D的平面角， 高一第二学期期中数学试题第5页共12 而 易知∠DC0-牙，所以二面角A-BC-D的大小为于所以B正确： 对于C,由正方体的性质知，DD⊥平面ABCD, 所以∠DCD是直线DC与平面ABCD所成的角，易知∠DCD= 4, 所以直线DC与平面ABCD所成角为牙，所以c错误； 对于D,设正方体的棱长为a,易知DABC1与DAC1D均为边长为√2a的正三角形，如图， 取棱AC1的中点O,连接BO,DO,BD, 则D0⊥AC,BO⊥AC1,则∠BOD为平面4BC1与平面4CD所成角的平面角，且 BO=DO= g24G-a又D=2,所以0+D0≠D,所以B0D2 所以D错误故选：AB. 二、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知平面向量ā=(2，x),五=(1，-3)，若a1b,则x= 2 【解析】因为aLb,所以a·b=2-3x=0,解得x= 13.已知棱台的上、下底面面积分别是2,8，高为3，则棱台的体积等于 【详解】自棱台的体积公式闲-2-8+28到)x3=14 14.正三棱台高为1，上下底边长分别为3和6，所有顶点在同一球面上，则球的表面积 为 3 【详解】由题意得，上底面所在平面截球所得圆的半径为OB= =√5 2sin60° 6 下底面所在平面截球所得圆的半径为O,E= 2sin 60 =25,如图， 设球的半径为R,则轴截面中由几何知识可得， 因为VR-(3+R2-2可2-（可≥3， 02t 高一第二学期期中数学试题第6页共12 而 所以球心O在OO,的延长线上，则 lo,ol-1a,0=1o-1ar-o-1o,=R2-(-√R2-(23=1, 故VR2-(可=R-2可+1，故R-(=R-(23+2R2-(2可+1，整理得 4=√R2-(2W3,化简解得R=2万.所以该球的表面积为4R=4×28r=112m. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤. 15.(13分)如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，平面ABCD L平面BCF, (1)求证：CD/1EF: (2)求证：EF⊥平面BCF; 【详解】(1)由正方形ABCD,得AB/CD,--1分 又，CDd平面ABFE,ABC平面ABFE,----3分 ∴.CD∥平面ABFE, -4分 ,CDc平面CDEF,-- -5分 平面CDEF⌒平面ABFE=FE, -----6分 ∴.CD/IEF ---7分 (2)由正方形ABCD,得CD⊥BC,----8分 ·平面ABCD L平面BCF,平面ABCD∩平面BCF=BC,CDC平面ABCD,-- ∴.CD⊥平面BCF,-----11分 由(1)知CD/EF,∴.EF⊥平面BCF:----13分 16.(15分)已知ā=(1，)，5=1，a与5的夹角0=45， (1)求a+2b的值： (2)若向量2a-乃)与2ā-35)的夹角为锐角，求实数1的取值范围。 高一第二学期期中数学试题第7页共12 【详解】1)由题意团=中=V5,a:6=5×1x5=1,4分 2 所以a+26=Va+2b例=V+4ā-万+4仍=V2+4+4=10.-7分 (2)因为向量(2ā-b)与(2ā-3b)的夹角为锐角， 所以(2a-5)(ā-36)>0，且(2a-5)与（ā-36）不共线，--9分 对于(2a-b)(a-3b)>0, 得2a2-(22+6)ā.6+3262=4-(22+6)+3元>0，---11分 即22-7九+6<0，解得1<1<6--13分 若(2a-5)与(a-3b)共线， ea5=叫a.西2w6, -14分 所以若向量(2ā-5)与(2ā-35)的夹角为锐角，实数入的取值范围为 (1V6)U(6,6)-15分 17.(15分)已知锐角△ABC的内角A,B,C所对的边为a,b,c,向量m=(a,V3b), =(cosA,sin B), (1)求角A;(2)若a=2,求△ABC周K的取值范围. 【解答】(1)m=(a,√3b),n=(cosA,sinB)且l/i,.asin B-V5 bcosA=0.---2分 由正弦定理sinAsinB-V3 sinBcosA=0,-3分 SinB>0,∴，得sinA-√3cosA=0,---4分 tanA=√5，---5分 高一第二学期期中数学试题第8页共12 又4e0月.A-智6分 （2)在AMBC中，a=2A-背，由正孩定理得ab。C。-45 sinA sinB sinC 3 7分 6=45smB,c-4W5 inC--- -9分 3 b+c=4 3 sin B+43 sin C=43. B+452-=4W5mB -sin B+ 3 3 3 3 3 3 2 --10分 =23sin B+2cos B=4sin(B+). -----11分 6 △ABC为锐角三角形号 0<-B<' --12分 B∈后3，B+e⑤，. ----13分 4sin(B+e(23,4,… --14分 b+c∈(23,4，周长C∈(2+23,6--15分 18.(17分)如图，长方体ABCD-ABC1D中，AB=AD=2,A4=4,点P为DD的中点 (1)求三棱锥B-PAC的体积. (2)求证：直线BD∥平面PAC: (3)求异面直线BD与PC所成角的余弦值： 【详解】(1)g-paC=b-A8G=SABc×PD=××2X2×2=套-4分 3 2 (2)设AC∩BD=O,连接OP,因AB=AD=2,且ABCD-AB,CD为 D 长方体，则四边形ABCD为正方形，故O为线段AC中点，--5分 因点P为DD的中点，则OP为△D,DB的中位线，则OP/DB,-6分 又OPc平面PAC,DB立平面PAC,则DB∥平面PAC.---9分 (3)连接PC1,OC1,由(1)可知OPDB, 则直线BD与PC1所成角是∠OPC1或其补角，----11分 而 因AB=AD=2,AA=4,点P为DD的中点， OC=OD=1BD=,DP=DP=2, -13分 在Rt△PD0中，P0=VDp+OD=V2+()}=6,-14分 在Rt△DPC中，PC1=VDp2+DC=V22+2=2W2,-15分 在RC0C中，0G=GC2+0c2=4+2=32,-16分 在△PC0中由余弦定理得，cs∠OPC-CP+Op-C0-8+6-18.-5 2C P.OP 2×2W2xV6- 6 故直线BD与PC所成角的余弦值为 -17分 6 19.(17分)已知△ABC的外接圆半径为R,角A,B,C所对的边分别a,b,c, ab+sinAsinB=2bsinAsinC. (1)用R表示c: (2)求证：a2+b2=c2: (3)若A= DR、R分别为线段CA,AB,BC上的点，且D、B、P构成等边A 求ADEF面积的最小值. 【解析】（1)由正弦定理得：a=2Rsin4,b=2 RsinB,c=2 RsinC,---1分 代入已知等式ab+sin4sinB=2 bsinAsinC,得 4RsinAsinB+sinAsinB=4RsinAsinBsinC. 2分 因为A,B∈(0，元)，所以siA>0,inB>0, -3分 两边同时除以sinAsinB得4R2+1=4 Rsinc. -4分 高一第二学期期中数学试题第10页共12 即4R+1=4R. 1 ,故c=2R2+ -5分 2R (2)由()得nC=4R+1=R+ 6分 4R 4R 根据基本不等式，R+ -≥2 R -7分 4R 4R 当且仅当R=即R=时取等号. -8分 4R 2 又因为sinC≤l,所以sinC=1,此时C=石 -9分 在△4Bc中，C=兀，故由勾股定理，得a+b=c2. -10分 2 C③)如图：由A3,C得AB=2R,6C=V3R,设等边aDF的边长为m: 2 ∠CDF=a(0<a<D,则CF=msina,BF=√3R-nsina,---11分 :a++∠EDA=π，且在△ADE中，∠AED++∠EDA=元， 3 B ∠AED=a,∠BBF=π-D-∠ABD=2L- -,-------12分 3 3 在△BEF中，由正弦定理可得， EF BF m 3R-msin a 即 2 -13分 sin∠Bsin∠BEF sin sin( -) 6 3 BR √5R 化简得，m= 2 sina+√3cosa 吗 (其中0为锐角，且an6=5 -15分 高一第二学期期中数学试题第11页共12 而 ∴5-53R5R. -16分 4 4.7 28 由2)得，R=7,所以Sn=28RA R-35x13V5 -一-17分 284112 高一第二学期期中数学试题第12页共12