福建三明市五县高一数学下学期期中练习卷2025-2026学年人教A版必修二第六章到第八章8.5

**基本信息** 立足必修二空间几何与向量知识，原创题结合生活情境（如圆锥涂色、包装盒体积）与文化传承（如《九章算术》堑堵、秦九韶公式），注重数学眼光观察、思维推理与语言表达。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|向量垂直、圆锥侧面积（原创）、解三角形外接圆|基础巩固，融入生活实例| |多选|3/18|复数概念、空间线面关系、正方体动态截面|能力提升，考查空间观念| |填空|3/15|斜二测面积、包装盒三棱柱体积（原创）、平面向量|创新应用，结合实践情境| |解答|5/77|复数方程、三角形周长最值、正四棱锥体积、秦九韶公式证明（数学史）|综合探究，发展推理能力与应用意识|

三明市五县高一数学下学期期中练习卷 考试时间：120分钟 分值：150分 测试范围：人教A版必修二第六章到第八章8.5 第一部分（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知向量，若，则实数（    ） A． B． C． D． （原创）2.如图这顶帽子凸起部分是一个圆锥，其底面半径是2，母线长为4，为了美观，准备给其外层涂色，则涂色面积为（   ） A． B． C． D． 3.在中，点在边上，，记则（ ） A． B． C． D． 4．已知向量和满足，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 5.已知中，角的对边分别为，，，，则外接圆的面积为（ ） A． B． C． D． 6.我国古代数学名著《九章算术》中有这样一些数学用语，“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱.现有一如图所示的堑堵，，若，则堑堵的外接球的体积为（ ） A． B． C． D． 7.中，、、分别是内角、、的对边，若且，则的形状是（    ） A．有一个角是的等腰三角形 B．等边三角形 C．等腰直角三角形 D．三边均不相等的直角三角形 8.奔驰定理：已知是内的一点，，，的面积分别为，，，则.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.设为三角形内一点，且满足：，则（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.若复数，则下列说法正确的有（    ） A．实部为 B．虚部为 C． D．复数对应的点在第一象限 10.为两个不同的平面，m，n为两条不同的直线，下列说法中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 11.正方体的棱长为2，动点P，Q分别在棱上，将过点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面记为S，设，，其中，下列命题正确的是（    ） A．当时，S的面积为 B．当时，S为矩形，其面积最大值为 C．当时，以为顶点，S为底面的棱锥的体积为定值 D．当时，S为等腰梯形 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.如图所示，一个水平放置的的斜二测直观图是，若，，则的面积是 。    （原创）13.生活中我们常常看见各种精美的包装盒如图1，此包装盒展开图如图2，包装盒展开图简图如图3，它由两层组合而成，外层是一个矩形GHJI，内层中间嵌着六边形ABCDEF，FC处是一条细缝(影响忽略)。人们使用的时候，将此展开图折叠，外层沿着AE，BD外折，形成直三棱柱侧面,内层上下对称的两个三角形形成直三棱柱底面。其中AE=BD=16cm，AB=DE=7.5cm，则此三棱柱的体积为__________． 图1 图2 图3 14.如图在平面四边形中，，点在线段上满足，若，则______． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知复数，，是虚数单位． (1)若复数z是纯虚数，求m的值： (2)当时，复数是关于x的方程的一个根，求实数p，q的值． 16．（15分）已知中，角所对的边分别为，满足． (1)求角的大小； (2)若，求周长的最大值； 17．（15分）如图，正四棱锥．、、分别为、、的中点，设平面与平面的交线为． (1)求证：平面平面； (2)求证：； (3)若，求四棱锥的体积． 18．（17分）如图，在平行四边形ABCD中，E为AB的中点，ED与AC交于点R．分别是与方向同向的单位向量    (1)若，的夹角为，且，求； (2)在（1）的条件下求的值 (3)若，，求； 19．（17分）阅读下面的材料： 材料一：我国南宋的数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”：若把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜，记小斜为，中斜为，大斜为，则三角形的面积为，这个公式称之为秦九韶公式； 材料二：希腊数学家海伦在其所著的《度量术》中给出了用三角形的三条边长表示三角形的面积的公式，即三角形的三条边长分别为，，，则它的面积，其中，这个公式称之为海伦公式； 在中，所对边分别为请回答下面的问题： (1)若的周长为18，且满足，求这个三角形的面积； (2)用公式证明“三斜求积”公式； (3)若，，求面积的最大值. 学科网（北京）股份有限公司 $ 三明市五县高一数学下学期期中练习卷答案及解析 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A C A B C C D AD BC 题号 11 答案 BCD 1.D 【详解】由，知，解得.故选D. 2.A 【详解】由题意得，圆锥的侧面积为.故选A. 3.C 【详解】如图，作出符合题意的图形，且， ∵，∴， 则 .故选C. 4.A 【详解】由已知，所以， 故向量在向量上的投影向量为. 故选A. 5.B 【详解】 由余弦定理可得 由正弦定理可得 则外接圆的面积 .故选B. 6.C 【详解】由题意，在直三棱柱中， 因为，所以为直角三角形，且该三角形的外接圆的直径， 又由，所以直三棱柱的外接球的直径， 所以，所以外接球的体积为.故选C. 7.C 【详解】如图所示，在边、上分别取点、，使、， 以、为邻边作平行四边形，则，显然， 因此平行四边形为菱形，平分，而，则有，即， 于是得是等腰三角形，即，令直线AF交BC于点O，则O是BC边的中点，， 而，因此有，从而得， 所以是等腰直角三角形.故选C. 8.D 【详解】解：为三角形内一点，且满足， ， ．.故选D． 9.AD 【详解】由题意可得，所以的实部为，虚部为，， 复数对应的点为，在第一象限.故选AD. 10.BC 【详解】A，若，则m，n有可能平行、相交或异面，A不正确． B，若，则，B正确． C，若，由线面垂直的判定定理可得，，C正确． D，若，因为m不一定在平面内，所以m不一定垂直，D不正确． 故选 BC. 11.BCD 【详解】解：对于A，当时，为的中位线，， ∵，∴， ∴S为等腰梯形，过P作于E，如图， ∴，∴，∴， ∴，故A不正确； 对于B，当时，点P与点B重合，∴， 如图，此时S为矩形，当点Q与点重合时，S的面积最大，，故B正确. 对于C，当时，以为顶点，S为底面的棱锥为， 当时，以为定点，S为底面的棱锥为，如图， ，故C正确； 对于D，当时，，即， ∵，∴，∴S为等腰梯形，故D正确.故选BCD. 12. 【详解】由斜二测直观图可知，即，， 所以的面积是． 13.480 【详解】因为直棱柱的底面三角形底边长7.5cm，高为8cm，侧棱长为16cm， 所以棱柱的体积为= 14./ 【详解】以A为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，不妨设， 则有， ，过D作轴于F，， ，所以， ，，， 因为，所以， 所以，，解得：，则的值为.故答案为. 15.(1)1 (2) 【详解】（1）因为复数是纯虚数，所以......2分 由，解得或..............................4分 当时，    ，符合要求；...................................5分 当时，，不符合要求，舍去，所以m的值为1.....................7分 （2）当时，复数..............................................8分 由题意知复数是关于x的方程的一个根 因为方程的系数为实数， 所以方程的另外一个根是的共轭复数.................................9分 所以由韦达定理可得...................................11分 解得................................................................13分 16.(1) (2) 【详解】（1）因为， 由正弦定理可得...............................．2分 整理得：，即...............4分 ..........................................................5分 而,故......................................................6分 又因为，所以.................................................7分 （2），， 由余弦定理可得：......................................8分 即..............................................9分 又因为，当且仅当时，等号成立.....................10分 所以 当且仅当时，等号成立， 所以， 所以，当且仅当时，等号成立...............................13分 所以周长，当且仅当时，等号成立， 所以周长的最大值为...............................................15分 17.(1)证明见解析； (2) 证明见解析； (3). 【详解】（1）因为、、分别为、、的中点，底面为正方形， 所以，，又平面，平面， 则平面........................................................2分 ，平面，平面， 可得平面......................................................4分 又，平面， 所以平面平面．..............................................6分 （2）因为底面为正方形，所以， 又平面，平面，所以平面....................8分 又平面，平面平面，所以....................10分 （3） 因为四棱锥是正四棱锥， 所以底面是正方形，在底面上的投影是底面的中心， 又，所以，又........................................12分 所以四棱锥的高为...............................13分 所以正四棱锥的体积．..........................15分 18. (1)； (2)； (3) 【详解】（1）......2分 ，故...............................................4分 （2）因为，， 分别是与方向同向的单位向量，故， 故........................................5分 ...................7分 ，故.....................8分 .............................10分 （3）设两向量夹角为，， ，，即， 即， 即，因为，所以， 故，.................................................11分 ， 则， ，故， 设，则，故....................13分 因为，所以，故， 故........................................14分 ............................15分 故 ...............17分 19. (1)； (2)证明见解析； (3) 【详解】（1）由正弦定理得.....................1分 又的周长为18，故，故...............3分 ..............4分 （2）因为，由余弦定理得.........................5分 所以 所以 所以得证．..............9分 （3）..................................10分 又，所以， 故， 即........12分 由正弦定理得又，故，.................13分 .....14分 ....................................................16分 当且仅当时，等号成立，故面积最大值为....................17分 答案第14页，共14页 答案第1页，共13页 学科网（北京）股份有限公司 $Sheet2 三明市五县高一数学下学期期中练习卷细目表 整体难度：0.56 考试范围：人教A版必修二第六章到第八章8.5 题号 题型 分值 知识点 难度系数 1 单选题 5 由向量共线（平行）求参数 0.94 2 单选题 5 圆锥表面积的有关计算 0.9 3 单选题 5 向量的线性运算的几何应用；用基底表示向量 0.82 4 单选题 5 求投影向量，向量的线性运算，用坐标表示向量 0.75 5 单选题 5 正弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 0.65 6 单选题 5 球的体积的有关计算；多面体与球体内切外接问题 0.65 7 单选题 5 判断三角形的形状，余弦定理，向量在三角形中的应用 0.6 8 单选题 5 平面向量基本定理，奔驰定理 0.4 9 多选题 6 求复数的模；判断复数对应的点所在的象限；求复数的实部与虚部 0.65 10 多选题 6 空间中直线与平面的位置关系，符号语言的转化 0.6 11 多选题 6 锥体体积的有关计算；判断正方体的截面形状 0.4 12 填空题 5 斜二测画法中有关量的计算，三角形面积公式 0.88 13 填空题 5 展开图折叠，直棱柱及其有关计算 0.68 14 填空题 5 平面向量线性运算的坐标表示、利用平面向量基本定理求参数 0.32 15 简答题 13 复数范围内方程的根；已知复数的类型求参数；求复数的模；复数代数形式的乘法运算 0.65 16 简答题 15 正弦定理边角互化的应用、三角恒等变换，求三角形中的边长或周长的最值或范围 0.6 17 简答题 15 线面平行的性质；锥体体积的有关计算；证明线面平行；证明面面平行 0.5 18 简答题 17 数量积的运算律；已知数量积求模；向量夹角的计算；用定义求向量的数量积 0.46 19 简答题 17 余弦定理解三角形、求三角形面积的最值或范围，基本不等式求积的最大值，余弦定理以及同角的三角函数证明面积公式 0.2 Sheet3 $