北京市2025年高二第二次普通高中学业水平合格性考试数学试卷

2025年北京市第二次普通高中学业水平合格性考试 数学试卷 1考生要认真填写考场号和座位序号。 2.本试卷共6页：分为两部分：第一部分为选择题，共54分：第二部分为非选择 生 题，共46分。 须 3.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须 知 用2B铅笔作答，第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。 4考试结束后，考生应将试卷、答题卡放在桌面上，待监考负收回。 第一部分（选择题共54分） 一、选择题共18小题，每小题3分，共54分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目 要求的一项。 (1)已知集合A={-2,0,1,2},B={-1,0,1},则A∩B= (A){O} (B){I (C){0,1} (D){-2,-1,0,1,2} (2)在复平面内，复数z对应的点的坐标是(2,1)，则z= (A)2+i (B)-1+2i (C)-i (D)-1-2i (3)sin30°cos30°= 号 )要 ©号 (4)已知向量a=(1,2),b=(2,m).若a∥b,则实数m= (A)-4 B)-1 (C)1 D)4 5)已知函数f)= -x+1,x<0, 则∫(x)的最小值是 x≥0， (A)-2 (B)-1 (C)0 (D)1 (6)命题“3x∈R,x2-2x-2>0”的否定是 (A)Vx∈R,x2-2x-2≤0 (B)3x∈R,x2-2x-2≤0 (C)Hx∈R,x2-2r-2.0 (D)3x∈R,x2-2x-2<0 数学试2第1页（共7项） (7)若tana=-√3，则角a可以为 (A)平 (®)子 D西 (⑧)已如函数y=了)的图象如图所示，则方程因)=一-子的解的个数为 (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 (9)设a=log4,b=2-,则a,b,1的大小关系为 (A)b<a<1 (B)a<b<1 (C)a<1<b (D)b<1<a (10)不等式x(x+1)<0的解集为 (A){xI0<x<1} (B){xI-1<x<0} (C){xIx<0或x>I D){xIx<-1或x>0} (1)已知a,b∈R,则“a>b”是“d>b”的 (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 (12)cos20'cos25*-sin20'sin25*= N克 @兰 99 (D)1 (13)北京中轴线纵贯北京老城中心，北起钟鼓楼，南至永定门，途经多处著名景点，展现了中国 传统都城规划理念及“中”“和”哲学思想的深刻内涵.为传播北京中轴线文化，某社会 实践活动小组准备从北京中轴线上的万宁桥、景山、故宫和天安门4个景点中随机选取 2个景点做策划方案，则选取的2个景点包含故宫的概率是 (®)号 ©号 数学试第2页（共7项） (14)已知向量a,b满足ld=3,bl=1,a·b=1,则a与b夹角的余弦值为 号 (B) ©号 D6 (15)空气质量指数（简称AQ)反映了空气质量的状况，空气质量等级划分如下： AQI AQI≤50 50<AQI≤100 100<AQI≤150 150<AQI≤200 200<AQI≤300 AQI>300 空气质量 等级 优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 严重污染 下图是某校科学兴趣小组根据10月8日至27日测得的AQI绘制的折线图： 空气质量指数个 200 180 16n 140 120 100 20 日期 根据上述信息，下列结论中正确的是 (A)10月8日至27日的空气质量等级为优的天数为10 (B)10月8日至27日的AQI的极差小于150 (C)10月8日至27日的AQI的中位数是17日的AQI (D)10月8日至27日的AQI逐渐增大 (16)在△4BC中.a=2,c=4,∠B=】,则b= ()2W2 (B)25 (C)4 (D)6 数学试第3页（共7页） (I7)如图，在长方体ABCD-A,B,C,D,中，AB=BC=2,CC,=3,则四棱锥D,-ABCD的体积 为 (A)2 (B)4 (C)6 (D)10 (18)某打居民自来水水价实行阶梯水价制度，用水销售价格表如下： 阶梯 户年用水量(m) 水价（元/立方米） 第一阶梯 0-180(含) 5 第二阶梯 181-260(含) 7 第三阶梯 260以上 9 根据上述信息，下列结论中正确的是 (A)若某户居民自米1、年用水量为110r,则该户自来水年缴费为770元 (B)若某户居民自来水年用水量为190m2,则该户自来水年缴费为950元 (C)若某户居民自米火年缴费为700元，则该户自来水年用水量在181m至260m之间 (D)若某户居民自来水年缴费为970元，则该户自来水年用水量在181m至260m之间 数学试云第4页（共7项） 第二部分（非选择题共46分） 二、填空题共3小题，每小题4分，共12分。 (19)已知所数f(x)=√：，则f(x)的定义域是 (20)甲、乙两名射击运动员在一次射击测试中各射靶5次，每次命中的环数如下： 甲 8 6 6 5 8 9 3 10 则甲运动员命中环数的平均数是 :记、乙两名运动员命中环数的方差分别是 和吃，则吃（填“>”“=或“<”）】 (21)如图是由六个边长为1的正六边形组成的蜂巢图形，其中正六边形的顶点称为“晶格点”若 四个不同的点A,B,C,D均为“晶格点”，A,B两点的位翼如图所示 给出下列三个结论： ①M=5: ②AB,AC的最大值为25： ③可的最大值为2W7. 其中所有正确结论的序号是 三、解答题共4小题，共34分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 (22)(本小题8分) 已知函数∫(x)=2cos2x (1)求∫(x)的最小正周期： ()求f(x)的最大值，并写出∫(x)取得最大值时x的一个值， 数学试卷第5页（共7页） (23)(本小题9分) 阅读下面题目及其解答过程。 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD,PA=AD, E,F分别是DP,DC的中点. (I)求证：EF∥平面PBC: (II)求证：AE⊥平面PCD. 解 (I)在△DPC中，E,F分别是DP,DC的中点， 所以① 又②，PCC平面PBC, 所以EF∥平面PBC (II)因为在△ADP中，PA=AD,E是DP的中点，所以③ 因为武面ABCD为正方形，所以CD⊥AD, 因为PA⊥平面ABCD, 所以④ 又为PANAD=A 所以⑤ 又AEC平面PAD, 所以© 又因为PDN CD=D, 所以AE⊥平面PCD. 空格序号 选项 答案 ① A.EF∥PC B.EF⊥PC ② A.EFd平面PBC B.EFC平面PBC ③ A.AE⊥PD B.BC⊥PD ④ A.PA⊥CD B.PA⊥EF 同 A.BC⊥平面PAD B.CD⊥平面MD © A.BC⊥AE B.CD⊥AE 数学试去第6页（共7项） (24)(本小题9分) 已知函数f(x)=4r+ (I)求证：∫(x)是奇函数： (Ⅱ)当x>0时，求f(x)的最小值. (25)(本小题8分) 给定正整数n≥3，按照一定顺序排列的向量(x),(x2,),,(xmy)记为向量序列 S:(x1y),(x,2),,(xmy),其中x∈{1,2，，n},y∈{1,2}i=1,2,…,m 给出两个性质： ①y=1,xm=n,且S中的向量互不相等： ②已知向量集合T={(1,0),(0,1),(0,-1)}.记a=(x,).对于S中的任意两个向量 a,a(i<),“a,-a∈T”的充要条件是“j=i+1”, (1)当n=3时.分别判断向量序列A:(1,1),(2.1),(2,2),B:(1,1).(1,2),(2,2). (2,1),(3,1)是否满足性质①：（结论尤需证明） (Ⅱ)()当n=3时，写出一个同时满足性质①和性质②的向量序列S: (i川当n=5时，若向量(4,1)，(4,2)不同时在向量序列S中，且S同时满足性质①和 性质②，求证：S的个数为偶数， 数学试卷第7页（共7贞） 2025年北京市第二次普通高中学业水平合格性考试 数学参考答案 -、 选择题（共18小题，每小题3分，共54分） (1) (2) (3) (4) (5) (6) (8) (9) c A B D A C B D (10) (11) (12) (13) (14) (15) (16) (17) (18) B C B c 人 A B B D 二、填空题共3小题，每小题4分，共12分) (19)[0,+o∞) (200<(21)①②③ 三、解答题（共4小题，共34分） (22)(共8分) 解： (I)因为f(x)=2cos2x, 所以∫)的最小正周期为T=红=元 (IⅡ)因为x∈R, 所以-1≤cos2x≤1. 所以-2≤2c0s2x≤2. 当2X=2kπ(k∈Z）),即x=kπ(k∈Z)时，fx)取得最大值2， 所以∫(x)取得最大值时x的-一个值是0.（答案不唯一） (23)(共9分) 解： (I)①A②A (II)③A④A⑤B©B (24)(共9分) 解 (I)函数fx)=4x+上的定义域为D={x∈RIx≠0以. 任取xED,都有-xED, /(-=-4x-=-(x+）》】 即Vx∈D',都有f(-x)=-f(x) 所以了(x)是奇函数 (I)当x>0时， =4x+>≥2x=4, 当且仅当4=，即x=子时取等号。 所以当x=}时，函数/心)取得最小值4。 (25)(共8分) 解： (I)A不满足性质①，B满足性质① (1) ()S:(1,1),(2,1),(3,1).(答案不唯) (i0设向量序列S:a,a2,…,a。 因为S满足性质②， 所以x41-x=0或1。 由性质①可得x1=1,xm=5, 所以任在正整数1，使得x,=4. 当a,=(4,1)时，因为向量(4,1)，(4,2)不同时在向量序列S中， 所以a+1=(5,1). 所以S可以为a,a,…,a,(5,1)或a,a2,,a,(51),(5,2) 当a=(4,2)时，因为向量(4,1)，(4,2)不同时在向量序列S 所以a+1=(5,2) 所以S可以为a1,,,a,(5,2)或a1,,…,a,.(5,2),(5,1) 综上，S的个数为偶数，