7.6 空间向量的概念与运算【题型突破】讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学讲义聚焦空间向量的线性运算、数量积及坐标运算等高考核心考点，按考向预测、双基自测、核心梳理、题型突破、限时训练的逻辑层次构建知识体系。通过考点梳理明确概念定理，方法指导提炼运算转化策略，真题训练强化几何场景应用，帮助学生系统突破立体几何工具性难点。 资料以“数学思维”和“数学语言”为导向，创新设计分层教学活动，如题型突破中通过向量法证明平行垂直的例题解析，培养学生逻辑推理与运算能力。限时训练包含选择、填空、解答题分层练习，配合模拟真题即时反馈，确保高效复习，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

第七章立体几何与空间向量 §7.6　空间向量的概念与运算 【高考考向预测】 空间向量概念与运算包含线性运算、数量积及坐标运算，是解立体几何的基础工具；近三年常在大小题型中配套考查，频次稳定；预测2027 年侧重向量关系判定、参数计算，结合几何场景考查运算转化能力。 【双基自测●明考向】 1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”) (1)空间中任意两个非零向量a，b共面.(　 　) (2)空间中模相等的两个向量方向相同或相反.(　 　) (3)若A，B，C，D是空间中任意四点，则有+++=0.(　　) (4)若直线a的方向向量和平面α的法向量平行，则a∥α.(　 　) 【答案】（1）√（2）×（3）√（4）× 2.如图，在空间四边形OABC中，=a，=b，=c，点M在OA上，且OM=2MA，点N为BC的中点，则等于(　　) A.a-b+c B.-a+b+c C.a+b-c D.a+b-c 【答案】B 【解析】因为OM=2MA，点N为BC的中点， 所以=，=， 故=++=+-+ =a+b-a+-) =-a+b+(c-b)=-a+b+c. 3.若平面α外的直线l的方向向量为a=(1，0，-2)，平面α的法向量为m=(8，-1，4)，则(　　) A.l⊥α B.l∥α C.a∥m D.l与α斜交 【答案】B 【解析】根据题意，直线l的方向向量为a=(1，0，-2)， 平面α的法向量为m=(8，-1，4)，易得a·m=1×8-2×4=0， 又直线l在平面α外，则有l∥α. 4.(2025·济宁模拟)已知a=(2，m，n)，b=(1，2，-1)，a∥b，则|a|=　　　　　. 【答案】2 【解析】因为a=(2，m，n)，b=(1，2，-1)，a∥b， 所以==⇒m=4，n=-2， 所以a=(2，4，-2)， 所以|a|==2. 【核心梳理●明考点】 1.空间向量的有关概念 名称 定义 空间向量 在空间中，具有大小和方向的量 相等向量 方向相同且模相等的向量 相反向量 长度相等而方向相反的向量 共线向量 (或平行向量) 表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量 共面向量 平行于同一个平面的向量 2.空间向量的有关定理 (1)共线向量定理：对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a=λb. (2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p=xa+yb. (3)空间向量基本定理 如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p=xa+yb+zc.{a，b，c}叫做空间的一个基底. 3.空间向量的数量积及运算律 (1)数量积 非零向量a，b的数量积 a·b=|a||b|cos〈a，b〉. (2)空间向量的坐标表示及其应用 设a=(a1，a2，a3)，b=(b1，b2，b3). 向量表示 坐标表示 数量积 a·b a1b1+a2b2+a3b3 共线 a=λb(b≠0，λ∈R) a1=λb1，a2=λb2，a3=λb3 垂直 a·b=0(a≠0，b≠0) a1b1+a2b2+a3b3=0 模 |a| 夹角 余弦值 cos〈a，b〉=(a≠0，b≠0) cos〈a，b〉= 4.空间位置关系的向量表示 (1)直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在的直线与直线l平行或重合，那么称此向量a为直线l的方向向量. (2)平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则称向量a为平面α的法向量. (3)空间位置关系的向量表示 位置关系 向量表示 直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2 l1∥l2 n1∥n2⇔n1=λn2(λ∈R) l1⊥l2 n1⊥n2⇔n1·n2=0 直线l的方向向量为n，平面α的法向量为m，l⊄α l∥α n⊥m⇔n·m=0 l⊥α n∥m⇔n=λm(λ∈R) 平面α，β的法向量分别为n，m α∥β n∥m⇔n=λm(λ∈R) α⊥β n⊥m⇔n·m=0 1.牢记空间中三点共线、四点共面的充要条件 (1)在平面中A，B，C三点共线的充要条件是：=x+y(其中x+y=1)，O为平面内任意一点(O不在直线BC上). (2)在空间中P，A，B，C四点共面的充要条件是：=x+y+z(其中x+y+z=1)，O为空间中任意一点(O不在平面ABC内). 2.解题时防范以下几个易误点 (1)向量的数量积满足交换律、分配律，即a·b=b·a，a·(b+c)=a·b+a·c成立，但不满足结合律，即(a·b)·c=a·(b·c)不一定成立. (2)由于0与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，故0不能作为基向量. (3)直线的方向向量和平面的法向量均不为零向量且不唯一. 【题型突破●明方向】 题型一　空间向量的线性运算 例1　(1)(2025·漳州模拟)已知A(2，1，1)，B(4，-1，m)，C(6，n，2)，若A，B，C三点共线，则m+n的值为(　　) A. B.- C.-3 D.3 【答案】B 【解析】由题意得=(2，-2，m-1)，=(4，n-1，1)， 因为A，B，C三点共线，所以=λ(λ∈R)， 即(2，-2，m-1)=λ(4，n-1，1)， 即解得 所以m+n=-. (2)(北师大版选择性必修第一册P106习题3-2A组T4)在三棱柱ABC-A'B'C'中，已知点M，N分别为BB'和AC的中点，则等于(　　) A.++) B.++) C.++) D.--) 【答案】B 【解析】如图，连接BN， =- =+)- =+-) =++). 【思维升华】用已知向量表示某一向量的三个关键点 (1)要结合图形，以图形为指导是解题的关键. (2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义. (3)在立体几何中，三角形法则、平行四边形法则仍然成立. 跟踪训练1　(2026·上海模拟)如图所示，已知四棱锥P-ABCD，PE=PC，若=a，=b，=c，则等于(　　) A.-a+b+c B.-a-b+c C.a+b-c D.a-b-c 【答案】A 【解析】由PE=PC得==++)=(-++)=(a+b-c)， 所以=-=+-=c+(a+b-c)-a=-a+b+c. 题型二　空间向量基本定理及其应用 例2　(2025·北京朝阳区模拟)在正四棱锥P-ABCD中，=，=2，设平面AEF与直线PC交于点G，=λ，则λ=　　　　. 【答案】 【解析】=λ=λ(+) =λ+λ=λ+λ-λ. 方法一　∵A，E，F，G四点共面， ∴=x+y(x，y∈R)， ∴-=x(-)+y(-)， ∴λ+λ-(λ+1) =+-(x+y)， ∵，，不共面， ∴解得 方法二　=λ+λ-λ =+2λ-λ， ∵G，E，F，A四点共面，∴+2λ-λ=1⇒λ=. 【思维升华】应用共线(面)向量定理证明点共线(面)的方法比较 三点(P，A，B)共线 空间四点(M，P，A，B)共面 =λ =x+y 对空间任一点O，=+t 对空间任一点O，=+x+y 对空间任一点O，=x+(1-x) 对空间任一点O，=x+y+(1-x-y) 跟踪训练2　(多选)下列说法正确的是(　　) A.空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 B.对空间中任意一点O和不共线的三点A，B，C，若=2-4+3，则P，A，B，C四点不共面 C.若{a，b，c}为空间的一个基底，则{a+b，b+2c，c+3a}构成空间的另一个基底 D.若向量p=mx+ny+kz(其中x，y，z是三个不共面的向量，m，n，k∈R)，则称p在基底{x，y，z}下的坐标为(m，n，k).若p在单位正交基底{a，b，c}下的坐标为(1，2，3)，则p在基底{a-b，a+b，c}下的坐标为 【答案】ACD 【解析】对于A，根据共线向量的概念可知，空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面，故A正确； 对于B，因为2-4+3=1，故P，A，B，C四点共面，故B错误； 对于C，显然a，b，c不共面，假设a+b，b+2c，c+3a共面， 令a+b=x(b+2c)+y(c+3a)(x，y∈R)， 则无实数解，故a+b，b+2c，c+3a不共面， 因此{a+b，b+2c，c+3a}构成空间的另一个基底，故C正确； 对于D，p在单位正交基底{a，b，c}下的坐标为(1，2，3)，即p=a+2b+3c，设p在基底{a-b，a+b，c}下的坐标为(x，y，z)，则满足p=x(a-b)+y(a+b)+zc=(x+y)a+(y-x)b+zc=a+2b+3c， 故解得 则p在基底{a-b，a+b，c}下的坐标为，故D正确. 题型三　空间向量数量积及其应用 例3　(多选)(2025·西安模拟)已知空间向量a=(-2，-1，1)，b=(3，4，5)，则下列说法错误的是(　　) A.(2a+b)⊥a B.与向量b共线的单位向量为 C.a在b上的投影向量的模是 D.a与b夹角的余弦值是- 【答案】AB 【解析】对于A，2a+b=2(-2，-1，1)+(3，4，5)=(-1，2，7)，所以(2a+b)·a=2-2+7=7≠0，故(2a+b)与a不垂直，故A错误； 对于B，|b|==5，与向量b共线的单位向量为±=±(3，4，5)=±，故B错误； 对于C，a在b上的投影向量的模是||a|cos〈a，b〉|===，故C正确； 对于D，a与b夹角的余弦值cos〈a，b〉====-，故D正确. 【思维升华】空间向量的数量积运算有两条途径，一是根据数量积的定义，利用模与夹角直接计算；二是利用坐标运算. 跟踪训练3　(2026·山东百师联盟联考)如图，已知△ABC是等腰直角三角形，且AB⊥AC，正方形BCDE的边长为4.若二面角A-BC-D的大小为，则·=　　　　　　. 【答案】8-4 【解析】方法一　如图，设F，G分别为BC，DE的中点，连接AF，FG， 由题意得，在△ABC中，AF⊥BC，且BC=4，AF=BC=2， 在正方形BCDE中，FG∥CD，FG⊥BC，FG=CD=4， 则∠AFG为二面角A-BC-D的平面角，即∠AFG=， 所以·=(+)·(+)=·(+)=·+·++·=0+2×4×cos+×42+0=8-4. 方法二　如图，设F，G分别为BC，DE的中点，连接AF，FG， 由题意得，在△ABC中，AF⊥BC，且BC=4，AF=BC=2， 在正方形BCDE中，FG∥CD，FG⊥BC，FG=CD=4， 则∠AFG为二面角A-BC-D的平面角，即∠AFG=， 建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，，1)， C(2，0，0)，B(-2，0，0)，D(2，4，0)， 所以=(2，-，-1)，=(4，4，0)， 所以·=2×4+(-)×4+(-1)×0=8-4. 题型四　向量法证明平行、垂直 例4　(人教A版选择性必修第一册P44习题1.4T16)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，AA1=3.M是AB的中点，N是B1C1的中点，P是BC1与B1C的交点.在线段A1N上是否存在点Q，使得PQ∥平面A1CM？ 【解析】在直三棱柱ABC-A1B1C1中， 因为∠BAC=90°，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 因为AB=AC=2，AA1=3，M是AB的中点，N是B1C1的中点，BC1∩B1C=P， 所以A1(0，0，3)，C(0，-2，0)，P，M(1，0，0)，N(1，-1，3)， 设=t=t(1，-1，0)(0≤t≤1)， 所以Q(t，-t，3)， 所以=，=(0，-2，-3)，=(1，0，-3)， 设平面A1CM的法向量为n=(x，y，z)， 所以 取z=1，则x=3，y=-，所以n=， 若PQ∥平面A1CM，则⊥n， 所以·n=· =3t-3+t-+=0， 解得t=， 所以在线段A1N上存在点Q，使得PQ∥平面A1CM. 【思维升华】(1)利用向量法证明平行、垂直关系，关键是建立恰当的坐标系(尽可能利用垂直条件，准确写出相关点的坐标，进而用向量表示涉及直线、平面的要素). (2)向量证明的核心是利用向量的数量积或数乘向量，但向量证明仍然离不开立体几何的有关定理. 跟踪训练4　(人教A版选择性必修第一册P43习题1.4T11)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，BC=CC1=1，E是CD的中点.求证：B1E⊥平面AED1. 【证明】在长方体ABCD-A1B1C1D1中，以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 因为AB=2，BC=CC1=1， 所以A(1，0，0)，E(0，1，0)，D1(0，0，1)，B1(1，2，1)， 所以=(-1，1，0)，=(-1，0，1)，=(-1，-1，-1). 方法一　设平面AED1的法向量为n=(x，y，z)， 所以 令x=1，则y=1，z=1， 所以n=(1，1，1)， 因为n=-，所以n∥， 所以B1E⊥平面AED1. 方法二　因为·=1-1+0=0， ·=1+0-1=0， 所以⊥，⊥， 即B1E⊥AE，B1E⊥AD1， 又AE，AD1⊂平面AED1，AE∩AD1=A， 所以B1E⊥平面AED1. 【限时训练】 （30分钟） 一、单项选择题(每小题5分，共30分) 1.在空间四边形ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，则-+)等于(　　) A.- B. C. D.- 【答案】C 【解析】在空间四边形ABCD中，E为BC的中点，则+=2， 所以-+)=-=. 2.(2026·秦皇岛模拟)在空间直角坐标系中，点P(2，3，4)关于Oxy平面的对称点是(　　) A.(2，-3，4) B.(-2，-3，4) C.(2，3，-4) D.(-2，3，4) 【答案】C 【解析】点P(2，3，4)关于Oxy平面的对称点是(2，3，-4). 3.设x，y∈R，向量a=(x，1，1)，b=(1，y，1)，c=(2，-4，2)，且a⊥c，b∥c，则|a+b|等于(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】C 【解析】∵向量a=(x，1，1)，b=(1，y，1)，c=(2，-4，2)，且a⊥c， ∴a·c=2x-4+2=0，解得x=1， 又b∥c，∴==，解得y=-2， ∴|a+b|=|(1，1，1)+(1，-2，1)|=|(2，-1，2)|==3. 4.(2025·南昌模拟)已知向量a=(1，0，1)，b=(-2，2，1)，c=(3，4，z)，若a，b，c共面，则z等于(　　) A.-9 B.9 C.-5 D.5 【答案】B 【解析】向量a=(1，0，1)，b=(-2，2，1)，c=(3，4，z)， 由于a，b，c共面，所以存在λ，μ∈R，使得a=λb+μc， 即(1，0，1)=(-2λ，2λ，λ)+(3μ，4μ，zμ)=(-2λ+3μ，2λ+4μ，λ+zμ)， 所以解得 5.(2026·阜阳模拟)若平面α的法向量为u=(-1，2，4)，平面β的法向量为v=(m，-1，-2)，直线l的方向向量为t=(n，-2，-4)，则下列选项正确的是(　　) A.若α∥β，则m=1 B.若l⊥α，则n=2 C.若n=-20，则l∥α D.若m=-10，则α⊥β 【答案】D 【解析】对于A，由α∥β，得u∥v，则==，解得m=，故A错误； 对于B，由l⊥α，得t∥u，则==，解得n=1，故B错误； 对于C，由n=-20，得t=(-20，-2，-4)，t·u=20-4-16=0，t⊥u，则l∥α或l⊂α，故C错误； 对于D，由m=-10，得v=(-10，-1，-2)，u·v=10-2-8=0，u⊥v，则α⊥β，故D正确. 6.(2025·日照模拟)已知棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1，以正方体中心为球心的球O与正方体的各条棱相切，若点P在球O的正方体外部(含正方体表面)运动，则·的最大值为(　　) A.2 B. C. D. 【答案】B 【解析】取AB的中点E，可知E在球面上，可得=-=-， 所以·=(+)·(+)=-=-， 点P在球O的正方体外部(含正方体表面)运动，当PE为直径时，=， 所以·的最大值为. 二、多项选择题(每小题6分，共12分) 7.(2025·全国Ⅰ卷)在正三棱柱ABC-A1B1C1中，D为BC的中点，则(　　) A.AD⊥A1C B.B1C1⊥平面AA1D C.AD∥A1B1 D.CC1∥平面AA1D 【答案】BD 【解析】方法一　如图，设D1为B1C1的中点， 由题意得AA1⊥平面ABC，因为AD⊂平面ABC，则AD⊥AA1，假设AD⊥A1C，又AA1∩A1C=A1，AA1，A1C⊂平面AA1C，则AD⊥平面AA1C，因为AC⊂平面AA1C，则AD⊥AC，矛盾，故A错误； 由题意知AD⊥BC，AA1⊥BC， 又AA1∩AD=A，AA1，AD⊂平面AA1D， 则BC⊥平面AA1D，又BC∥B1C1，所以B1C1⊥平面AA1D，故B正确； 由题意得AD∥A1D1，假设AD∥A1B1，则A1D1∥A1B1，与A1B1∩A1D1=A1矛盾，则AD∥A1B1不成立，故C错误； 由题意得CC1∥AA1，又CC1⊄平面AA1D，AA1⊂平面AA1D，故CC1∥平面AA1D，故D正确. 方法二　对于A，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面ABC， 又AD⊂平面ABC，则AA1⊥AD，则·=0， 因为△ABC是正三角形，D为BC的中点，则AD⊥BC，则·=0. 又=++， 所以·=(++)·=·++·=≠0， 则AD⊥A1C不成立，故A错误； 对于B，因为在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面ABC， BC⊂平面ABC，则AA1⊥BC， 因为△ABC是正三角形，D为BC的中点，则AD⊥BC， 又AA1∩AD=A，AA1，AD⊂平面AA1D， 所以BC⊥平面AA1D，又BC∥B1C1，所以B1C1⊥平面AA1D，故B正确； 对于C，因为在正三棱柱ABC-A1B1C1中，A1B1∥AB， 假设AD∥A1B1，则AD∥AB，这与AD∩AB=A矛盾， 所以AD∥A1B1不成立，故C错误； 对于D，因为在正三棱柱ABC-A1B1C1中，CC1∥AA1， 又AA1⊂平面AA1D，CC1⊄平面AA1D，所以CC1∥平面AA1D，故D正确. 方法三　如图，建立空间直角坐标系，设AB=2，该正三棱柱的高为h， 则D(0，0，0)，A(，0，0)，A1(，0，h)，C(0，-1，0)，C1(0，-1，h)，B1(0，1，h)， 对于A，=(-，0，0)，=(-，-1，-h)， 则·=(-)×(-)+0+0=3≠0， 则AD⊥A1C不成立，故A错误； 对于B，D，=(0，-2，0)，=(0，0，h)，=(0，0，h)， 设平面AA1D的法向量为n=(x，y，z)， 则得x=z=0，令y=1，则n=(0，1，0)， 所以=(0，-2，0)=-2n，·n=0， 则B1C1⊥平面AA1D，CC1∥平面AA1D，故B，D正确； 对于C，=(-，0，0)，=(-，1，0)， 则≠，显然AD∥A1B1不成立，故C错误. 8.(链接教材，人教A版选择性必修第一册P44习题1.4T17)在空间直角坐标系中，过点P(x0，y0，z0)且一个法向量为n=(a，b，c)的平面α的方程为a(x-x0)+b(y-y0)+c(z-z0)=0；过点P(x0，y0，z0)且一个方向向量为d=(u，v，w)(uvw≠0)的直线l的方程为==.利用上面的材料，解决下面的问题：已知平面α的方程为2x-2y+z-7=0，直线l是平面x-3y+7=0与2y+z-4=0的交线，则下列说法正确的是(　　) A.平面α的一个法向量为n=(2，-2，1) B.直线l经过点M(-1，2，0) C.直线l的一个方向向量为e=(3，1，2) D.直线l与平面α所成角的正弦值为 【答案】ABD 【解析】平面α的方程为2x-2y+z-7=0， ∴平面α的一个法向量为n=(2，-2，1)，A正确； 点M(-1，2，0)满足方程x-3y+7=0和2y+z-4=0， ∴点M在平面x-3y+7=0和2y+z-4=0上， ∴点M在两平面的交线l上，∴直线l经过点M(-1，2，0)，B正确； 平面x-3y+7=0的一个法向量为m1=(1，-3，0)，平面2y+z-4=0的一个法向量为m2=(0，2，1)， ∴直线l的方向向量应与m1，m2都垂直，但e·m1=3-3+0=0，e·m2=0+2+2=4≠0，C错误； 设直线l的方向向量为u=(x0，y0，z0)， ∴u⊥m1，u⊥m2， ∴ 令y0=1，则x0=3，z0=-2，∴u=(3，1，-2)， 设直线l与平面α所成的角为θ， 则sin θ=|cos〈u，n〉|===，D正确. 三、填空题(每小题5分，共10分) 9.已知a=(1，0，2)，b=(3，-2，1)，c=(-1，m，3)，若{a，b，c}不能构成空间的一个基底，则实数m=　　　　　　. 【答案】2 【解析】依题意a，b，c三个向量共面， ∴存在唯一有序实数对(λ，μ)，使c=λa+μb， 即(-1，m，3)=λ(1，0，2)+μ(3，-2，1)， 即⇒ 10.(2025·襄阳模拟)已知空间向量a=(2，2，-1)，平面α的一个法向量为n=(4，0，3)，则向量a在平面α上的投影向量是　　　　　　　　. 【答案】 【解析】向量a在平面α的法向量n=(4，0，3)上的投影向量为·=(4，0，3)=， 设a=(2，2，-1)在平面α上的投影向量是c， 则c+=(2，2，-1)， 所以c=. 四、解答题(共28分) 11.(13分)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=AD，设E，F分别为PC，BD的中点.求证： (1)EF∥平面PAD；(8分) (2)平面PAB⊥平面PDC.(5分) 【证明】(1)如图，取AD的中点O，连接OP，OF. 因为PA=PD， 所以PO⊥AD. 又侧面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PO⊂平面PAD， 所以PO⊥平面ABCD. 又O，F分别为AD，BD的中点，所以OF∥AB. 又四边形ABCD是正方形，所以OF⊥AD. 因为PA=PD=AD， 所以PA⊥PD，OP=OA=. 如图，以O为坐标原点，OA，OF，OP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系， 则A，F，D， P，C. 因为E为PC的中点，所以E. 易知平面PAD的一个法向量为=， 因为=， ·=·=0. 且EF⊄平面PAD，所以EF∥平面PAD. (2)因为=， =(0，-a，0)， 所以·=·(0，-a，0)=0， 所以⊥， 所以PA⊥CD. 又PA⊥PD，PD∩CD=D，PD，CD⊂平面PDC， 所以PA⊥平面PDC. 又PA⊂平面PAB，所以平面PAB⊥平面PDC. 12.(15分)(2026·重庆模拟)如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=AA1=，∠A1AB=∠A1AD=∠BAD=60°.令=a，=b，=c，以{a，b，c}为基底，解决下列问题. (1)求证：直线A1C⊥平面BDD1B1；(7分) (2)求直线A1C和BC1夹角的余弦值.(8分) (1)【证明】由题意|a|=|b|=|c|=，a·b=a·c=b·c=×cos 60°=1. 又=a+b-c，=c，=a-b， 所以·=(a+b-c)·c=a·c+b·c-|c|2=1+1-2=0，⊥， ·=(a+b-c)·(a-b)=|a|2-a·b+a·b-|b|2-a·c+b·c=2-1+1-2-1+1=0，⊥，所以A1C⊥BB1，A1C⊥DB， 又BB1，DB⊂平面BDD1B1，BB1∩DB=B， 所以直线A1C⊥平面BDD1B1. (2)【解析】因为==b+c， 且=(a+b-c)2=|a|2+|b|2+|c|2+2a·b-2a·c-2b·c=2+2+2+2-2-2=4， 所以||=2， =(b+c)2=|b|2+2b·c+|c|2=2+2+2=6，所以||=. ·=(a+b-c)·(b+c)=a·b+a·c+|b|2+b·c-b·c-|c|2=1+1+2+1-1-2=2， 所以cos〈，〉===， 即直线A1C和BC1夹角的余弦值为. [每小题5分，共10分] 13.已知三棱锥P-ABC的体积为6，M是空间中一点，=++，则三棱锥M-ABC的体积为(　　) A.4 B. C.2 D. 【答案】A 【解析】=++，故3=++， 不妨令=3，即=， 则=++， 又++=1，故H，A，B，C四点共面， 故V三棱锥M-ABC=V三棱锥P-ABC=×6=4. 14.设A，B是曲线y=x+上关于坐标原点对称的两点，将平面直角坐标系沿x轴折叠，使得上、下两半部分所成的二面角为60°，则|AB|2的最小值为　　　　　. 【答案】2+2 【解析】由对称性，不妨设A(m>0)，则B， 如图，在平面直角坐标系中，过点A作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D， 则||=||=m+，||=2m，⊥，⊥， 折叠后即有〈，〉=60°， 因为=++， 所以=||2+||2+||2+2·+2·+2· =2+4m2-2cos 60° =+4m2=5m2++2 ≥2+2=2+2， 当且仅当5m2=，即m=时，等号成立， 所以|AB|2的最小值为2+2. 第 1 页 共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第七章立体几何与空间向量 §7.6　空间向量的概念与运算 【高考考向预测】 空间向量概念与运算包含线性运算、数量积及坐标运算，是解立体几何的基础工具；近三年常在大小题型中配套考查，频次稳定；预测2027 年侧重向量关系判定、参数计算，结合几何场景考查运算转化能力。 【双基自测●明考向】 1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”) (1)空间中任意两个非零向量a，b共面.(　 　) (2)空间中模相等的两个向量方向相同或相反.(　 　) (3)若A，B，C，D是空间中任意四点，则有+++=0.(　　) (4)若直线a的方向向量和平面α的法向量平行，则a∥α.(　 　) 2.如图，在空间四边形OABC中，=a，=b，=c，点M在OA上，且OM=2MA，点N为BC的中点，则等于(　　) A.a-b+c B.-a+b+c C.a+b-c D.a+b-c 3.若平面α外的直线l的方向向量为a=(1，0，-2)，平面α的法向量为m=(8，-1，4)，则(　　) A.l⊥α B.l∥α C.a∥m D.l与α斜交 4.(2025·济宁模拟)已知a=(2，m，n)，b=(1，2，-1)，a∥b，则|a|=　　　　　. 【核心梳理●明考点】 1.空间向量的有关概念 名称 定义 空间向量 在空间中，具有大小和方向的量 相等向量 方向相同且模相等的向量 相反向量 长度相等而方向相反的向量 共线向量 (或平行向量) 表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量 共面向量 平行于同一个平面的向量 2.空间向量的有关定理 (1)共线向量定理：对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a=λb. (2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p=xa+yb. (3)空间向量基本定理 如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p=xa+yb+zc.{a，b，c}叫做空间的一个基底. 3.空间向量的数量积及运算律 (1)数量积 非零向量a，b的数量积 a·b=|a||b|cos〈a，b〉. (2)空间向量的坐标表示及其应用 设a=(a1，a2，a3)，b=(b1，b2，b3). 向量表示 坐标表示 数量积 a·b a1b1+a2b2+a3b3 共线 a=λb(b≠0，λ∈R) a1=λb1，a2=λb2，a3=λb3 垂直 a·b=0(a≠0，b≠0) a1b1+a2b2+a3b3=0 模 |a| 夹角 余弦值 cos〈a，b〉=(a≠0，b≠0) cos〈a，b〉= 4.空间位置关系的向量表示 (1)直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在的直线与直线l平行或重合，那么称此向量a为直线l的方向向量. (2)平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则称向量a为平面α的法向量. (3)空间位置关系的向量表示 位置关系 向量表示 直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2 l1∥l2 n1∥n2⇔n1=λn2(λ∈R) l1⊥l2 n1⊥n2⇔n1·n2=0 直线l的方向向量为n，平面α的法向量为m，l⊄α l∥α n⊥m⇔n·m=0 l⊥α n∥m⇔n=λm(λ∈R) 平面α，β的法向量分别为n，m α∥β n∥m⇔n=λm(λ∈R) α⊥β n⊥m⇔n·m=0 1.牢记空间中三点共线、四点共面的充要条件 (1)在平面中A，B，C三点共线的充要条件是：=x+y(其中x+y=1)，O为平面内任意一点(O不在直线BC上). (2)在空间中P，A，B，C四点共面的充要条件是：=x+y+z(其中x+y+z=1)，O为空间中任意一点(O不在平面ABC内). 2.解题时防范以下几个易误点 (1)向量的数量积满足交换律、分配律，即a·b=b·a，a·(b+c)=a·b+a·c成立，但不满足结合律，即(a·b)·c=a·(b·c)不一定成立. (2)由于0与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，故0不能作为基向量. (3)直线的方向向量和平面的法向量均不为零向量且不唯一. 【题型突破●明方向】 题型一　空间向量的线性运算 例1　(1)(2025·漳州模拟)已知A(2，1，1)，B(4，-1，m)，C(6，n，2)，若A，B，C三点共线，则m+n的值为(　　) A. B.- C.-3 D.3 (2)(北师大版选择性必修第一册P106习题3-2A组T4)在三棱柱ABC-A'B'C'中，已知点M，N分别为BB'和AC的中点，则等于(　　) A.++) B.++) C.++) D.--) 跟踪训练1　(2026·上海模拟)如图所示，已知四棱锥P-ABCD，PE=PC，若=a，=b，=c，则等于(　　) A.-a+b+c B.-a-b+c C.a+b-c D.a-b-c 题型二　空间向量基本定理及其应用 例2　(2025·北京朝阳区模拟)在正四棱锥P-ABCD中，=，=2，设平面AEF与直线PC交于点G，=λ，则λ=　　　　. 跟踪训练2　(多选)下列说法正确的是(　　) A.空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 B.对空间中任意一点O和不共线的三点A，B，C，若=2-4+3，则P，A，B，C四点不共面 C.若{a，b，c}为空间的一个基底，则{a+b，b+2c，c+3a}构成空间的另一个基底 D.若向量p=mx+ny+kz(其中x，y，z是三个不共面的向量，m，n，k∈R)，则称p在基底{x，y，z}下的坐标为(m，n，k).若p在单位正交基底{a，b，c}下的坐标为(1，2，3)，则p在基底{a-b，a+b，c}下的坐标为 题型三　空间向量数量积及其应用 例3　(多选)(2025·西安模拟)已知空间向量a=(-2，-1，1)，b=(3，4，5)，则下列说法错误的是(　　) A.(2a+b)⊥a B.与向量b共线的单位向量为 C.a在b上的投影向量的模是 D.a与b夹角的余弦值是- 跟踪训练3　(2026·山东百师联盟联考)如图，已知△ABC是等腰直角三角形，且AB⊥AC，正方形BCDE的边长为4.若二面角A-BC-D的大小为，则·=　　　　　　. 题型四　向量法证明平行、垂直 例4　(人教A版选择性必修第一册P44习题1.4T16)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，AA1=3.M是AB的中点，N是B1C1的中点，P是BC1与B1C的交点.在线段A1N上是否存在点Q，使得PQ∥平面A1CM？ 跟踪训练4　(人教A版选择性必修第一册P43习题1.4T11)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，BC=CC1=1，E是CD的中点.求证：B1E⊥平面AED1. 【限时训练】 （30分钟） 一、单项选择题(每小题5分，共30分) 1.在空间四边形ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，则-+)等于(　　) A.- B. C. D.- 2.(2026·秦皇岛模拟)在空间直角坐标系中，点P(2，3，4)关于Oxy平面的对称点是(　　) A.(2，-3，4) B.(-2，-3，4) C.(2，3，-4) D.(-2，3，4) 3.设x，y∈R，向量a=(x，1，1)，b=(1，y，1)，c=(2，-4，2)，且a⊥c，b∥c，则|a+b|等于(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 4.(2025·南昌模拟)已知向量a=(1，0，1)，b=(-2，2，1)，c=(3，4，z)，若a，b，c共面，则z等于(　　) A.-9 B.9 C.-5 D.5 5.(2026·阜阳模拟)若平面α的法向量为u=(-1，2，4)，平面β的法向量为v=(m，-1，-2)，直线l的方向向量为t=(n，-2，-4)，则下列选项正确的是(　　) A.若α∥β，则m=1 B.若l⊥α，则n=2 C.若n=-20，则l∥α D.若m=-10，则α⊥β 6.(2025·日照模拟)已知棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1，以正方体中心为球心的球O与正方体的各条棱相切，若点P在球O的正方体外部(含正方体表面)运动，则·的最大值为(　　) A.2 B. C. D. 二、多项选择题(每小题6分，共12分) 7.(2025·全国Ⅰ卷)在正三棱柱ABC-A1B1C1中，D为BC的中点，则(　　) A.AD⊥A1C B.B1C1⊥平面AA1D C.AD∥A1B1 D.CC1∥平面AA1D 8.(链接教材，人教A版选择性必修第一册P44习题1.4T17)在空间直角坐标系中，过点P(x0，y0，z0)且一个法向量为n=(a，b，c)的平面α的方程为a(x-x0)+b(y-y0)+c(z-z0)=0；过点P(x0，y0，z0)且一个方向向量为d=(u，v，w)(uvw≠0)的直线l的方程为==.利用上面的材料，解决下面的问题：已知平面α的方程为2x-2y+z-7=0，直线l是平面x-3y+7=0与2y+z-4=0的交线，则下列说法正确的是(　　) A.平面α的一个法向量为n=(2，-2，1) B.直线l经过点M(-1，2，0) C.直线l的一个方向向量为e=(3，1，2) D.直线l与平面α所成角的正弦值为 三、填空题(每小题5分，共10分) 9.已知a=(1，0，2)，b=(3，-2，1)，c=(-1，m，3)，若{a，b，c}不能构成空间的一个基底，则实数m=　　　　　　. 10.(2025·襄阳模拟)已知空间向量a=(2，2，-1)，平面α的一个法向量为n=(4，0，3)，则向量a在平面α上的投影向量是　　　　　　　　. 四、解答题(共28分) 11.(13分)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=AD，设E，F分别为PC，BD的中点.求证： (1)EF∥平面PAD；(8分) (2)平面PAB⊥平面PDC.(5分) 12.(15分)(2026·重庆模拟)如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=AA1=，∠A1AB=∠A1AD=∠BAD=60°.令=a，=b，=c，以{a，b，c}为基底，解决下列问题. (1)求证：直线A1C⊥平面BDD1B1；(7分) (2)求直线A1C和BC1夹角的余弦值.(8分) [每小题5分，共10分] 13.已知三棱锥P-ABC的体积为6，M是空间中一点，=++，则三棱锥M-ABC的体积为(　　) A.4 B. C.2 D. 14.设A，B是曲线y=x+上关于坐标原点对称的两点，将平面直角坐标系沿x轴折叠，使得上、下两半部分所成的二面角为60°，则|AB|2的最小值为　　　　　. 第 1 页 共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $