6.1 数列的概念【题型突破】2027届高三数学一轮复习讲义

该高中数学高考复习讲义聚焦数列概念核心考点，涵盖通项公式、递推关系、单调性等高考高频内容，按“考向预测-双基自测-核心梳理-题型突破-限时训练”逻辑架构知识体系，通过考点精析、方法归纳、真题演练帮助学生构建解题框架。 讲义以数学思维培养为核心，创新设计“递推关系转化”问题链，如累加法推导通项时引导学生抽象数列规律，结合函数性质分析单调性培养推理意识。分层练习覆盖基础到综合，限时训练模拟高考情境，助力学生高效突破难点，为教师把控复习节奏提供精准指导。

第六章 数 列 §6.1　数列的概念 【高考考向预测】 数列概念聚焦通项、项数、递推关系与数列增减判断，以基础定义和简单求值为主；近三年多以小题形式常态化考查，难度偏低；预测2027 年仍侧重通项辨析、递推求项、单调性判定，结合简单规律推理出题。 【双基自测●明考向】 1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”) (1)数列1，2，3与3，2，1是两个不同的数列.(　 　) (2)数列1，0，1，0，1，0，…的通项公式只能是an=. (　 　) (3)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列.(　 　) (4)若数列用图象表示，则从图象上看是一群孤立的点. (　 　) 【答案】（1）√（2）×（3）×（4）√ 2.下列关于星星的图案中星星的数量构成一个数列，则该数列的一个通项公式是 (　　) A.an=n2-n+1 B.an= C.an= D.an= 【答案】C 【解析】方法一　由题图可知，当n=1时，有1颗星星，排除B，D，当n=3时，有6颗星星，排除A. 方法二　从题图中可观察星星的构成规律，当n=1时，有1颗星星；当n=2时，有3颗星星；当n=3时，有6颗星星；当n=4时，有10颗星星…，所以an=1+2+3+4+…+n=. 3.已知数列{an}满足a1=2，an+1-an+1=0(n∈N*)，则此数列的通项公式an等于(　　) A.n2+1 B.n+1 C.1-n D.3-n 【答案】D 【解析】∵an+1-an=-1， ∴当n≥2时，an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1) =2+ =2+(-1)×(n-1)=3-n. 当n=1时，a1=2也符合上式. 故数列的通项公式an=3-n(n∈N*). 4.(2025·乌鲁木齐模拟)设Sn为数列{an}的前n项和，若Sn=3n+2n+1，则数列{an}的通项公式an=　　　　　　　　.  【答案】 【解析】由Sn=3n+2n+1，可得当n=1时，a1=S1=3+2+1=6； 当n≥2时，an=Sn-Sn-1=3n+2n+1-3n-1-2(n-1)-1=2·3n-1+2. 又a1=6不符合上式， 所以an= 【核心梳理●明考点】 1.数列的有关概念 概念 含义 数列 按照确定的顺序排列的一列数 数列的项 数列中的每一个数 通项公式 如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式 递推公式 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式 数列{an}的 前n项和 把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即Sn=a1+a2+…+an 2.数列的分类 分类标准 类型 满足条件 项数 有穷数列 项数有限 无穷数列 项数无限 项与项间的大小关系 递增数列 an+1>an 其中n∈N* 递减数列 an+1<an 常数列 an+1=an 摆动数列 从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列 3.数列与函数的关系 数列{an}是从正整数集N*(或它的有限子集{1，2，…，n})到实数集R的函数，其自变量是序号n，对应的函数值是数列的第n项an，记为an=f(n). 1.灵活应用三个常用结论 (1)若数列{an}的前n项和为Sn，则an= (2)若数列{an}的前n项积为Tn(Tn≠0)，则an= (3)在数列{an}中，若an最大，则若an最小，则n≥2，n∈N*. 2.掌握数列的函数性质 由于数列可以看作一个关于n(n∈N*)的函数，因此它具备函数的某些性质： (1)单调性——若an+1>an，则{an}为递增数列；若an+1<an，则{an}为递减数列，否则为摆动数列或常数列(an+1=an). (2)周期性——若an+k=an(k为非零正整数)，则{an}为周期数列，k为{an}的一个周期. 【题型突破●明方向】 题型一　由an与Sn(积Tn)的关系求通项公式 例1　(1)已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足2Sn+an=1，则an=　　　　　　　　.  【答案】 【解析】∵2Sn+an=1， ∴当n=1时，2S1+a1=1，即2a1+a1=1， ∴a1=， 当n≥2时，2Sn+an=1，则2Sn-1+an-1=1， 两式相减得2Sn-2Sn-1+an-an-1=0， ∴3an-an-1=0， ∵an≠0，∴=， ∴数列{an}是首项为，公比为的等比数列， 则an=·=. (2)设Sn为数列{an}的前n项和，已知∀n∈N*，an>0，+1=2anSn，则an=　　　　　　　.  【答案】- 【解析】因为Sn为数列{an}的前n项和，∀n∈N*，an>0，+1=2anSn， 则当n=1时，+1=2a1S1=2， 即-1=0，又a1>0，得a1=1. 当n≥2时，由+1=2anSn， 得(Sn-Sn-1)2+1=2(Sn-Sn-1)Sn，得-=1. 则数列是首项为=1，公差为1的等差数列， 所以=1+(n-1)=n， 因为∀n∈N*，an>0， 则Sn>0，则Sn=. 当n≥2时，an=Sn-Sn-1=-， 又a1=1满足an=-， 故an=-. (3)已知数列{an}的前n项积为Tn=，则an=　　　　.  【答案】22n-3 【解析】数列{an}的前n项积Tn=， 所以当n≥2时，an===22n-3， 当n=1时，a1=T1=符合上式， 所以an=22n-3. 【思维升华】an与Sn(积Tn)的关系问题的求解思路 (1)利用an=Sn-Sn-1(n≥2)转化为只含Sn，Sn-1的关系式，再求解. (2)利用Sn-Sn-1=an(n≥2)转化为只含an，an-1的关系式，再求解. (3)利用an=(n≥2)求解. 跟踪训练1　(1)已知数列{an}的前n项和为Sn，若a1=1，2Sn=an+1，则数列{an}的通项公式为　　　　　　　　　　　.  【答案】an= 【解析】当n≥2时，2Sn=an+1⇒2Sn-1=an，作差得an+1=3an， 即当n≥2时，{an}是公比为3的等比数列，而a2=2S1=2，则an=2×3n-2，n≥2， 又a1=1不符合上式， 故an= (2)在数列{an}中，+++…+=n2+n，则an=　　　　　　　　.  【答案】2n(n+1) 【解析】因为+++…+=n2+n， ① 则当n=1时，=2，即a1=4， 当n≥2时，+++…+=n2-n， ② ①-②得=2n， 所以an=2n(n+1)， 又a1=4也满足an=2n(n+1)， 故对任意的n∈N*，an=2n(n+1). 题型二　由数列的递推关系求通项公式 命题点1　累加法 例2　(2026·常德模拟)已知数列{an}满足a1=1，an-an+1=2nanan+1，则an=　　　　　　.  【答案】 【解析】若an+1=0，则an-an+1=0， 即an=an+1=0，这与a1=1矛盾，所以an+1≠0， 由an-an+1=2nanan+1，两边同时除以anan+1， 得-=2n， 则-=2n-1， -=2n-2， … -=22， -=2， 上面的式子相加可得-=2+22+23+…+2n-1==2n-2(n≥2)， 所以an=(n≥2)， 又a1=1符合该式，所以an=. 命题点2　累乘法 例3　已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，3Sn=(n+2)an，则an=　　　　　　　　.  【答案】 【解析】因为3Sn=(n+2)an，所以当n≥2时，3Sn-1=(n+1)an-1， 两式作差可得3an=(n+2)an-(n+1)an-1， 整理得(n-1)an=(n+1)an-1， 因为a1=1，3Sn=(n+2)an， 令n=2，则3(a1+a2)=4a2，所以a2=3， 所以an≠0，所以=(n≥2)， 则an=··…···a1=···…···1=(n≥2)， 当n=1时，a1=1也符合上式， 综上，an=. 命题点3　隔项等差、等比型 例4　在数列{an}中，a1=1，a2=4，an=an-2+2(n≥3)，则an=　　　　　　　　.  【答案】k∈N* 【解析】因为an=an-2+2(n≥3)， 所以a1，a3，a5，…，a2n-1是首项为1，公差为2的等差数列， a2，a4，a6，…，a2n是首项为4，公差为2的等差数列. 当n=2k-1(k∈N*)时， an=a2k-1=1+2(k-1)=1+2×=n； 当n=2k(k∈N*)时， an=a2k=4+2(k-1)=4+2×=n+2. 综上所述，an=k∈N*. 【思维升华】(1)形如an+1-an=f(n)的数列，利用累加法，即可求数列{an}的通项公式. (2)形如=f(n)的数列，利用累乘法，即可求数列{an}的通项公式. (3)隔项等差型：an+2-an=d，an= 隔项等比型：=q，an= 跟踪训练2　(1)(多选)在数列{an}中，下列结论正确的是 (　　) A.若a1=2，且an-an-1=n(n≥2)，则an= B.若a1=1，且=，则an= C.若a1=1，a2=2，且an+2=3an+1-2an，则an=2n-1 D.若a1=1，anan+1=2n，则an= 【答案】ABC 【解析】A选项，若a1=2，且an-an-1=n(n≥2)，则an=an-an-1+an-1-an-2+…+a3-a2+a2-a1+a1=n+(n-1)+…+3+2+2=(n≥2)，又a1=2符合上式，所以an=，故A正确； B选项，由=，则=(n≥2)，又a1=1，则an=··…···a1 =××…×××1=(n≥2)， 又a1=1符合上式，所以an=，故B正确； C选项，由已知an+2-an+1=2an+1-2an=2(an+1-an)， 可知数列{an+1-an}是以a2-a1=1为首项，2为公比的等比数列， 即an+1-an=2n-1，即an-an-1=2n-2，an-1-an-2=2n-3，…，a2-a1=20， 累加得an-a1=2n-2+2n-3+…+20==2n-1-1(n≥2)， 又a1=1，则an=2n-1(n≥2)，又a1=1符合上式，所以an=2n-1，故C正确； D选项，方法一　因为anan+1=2n， ① 所以an+1an+2=2n+1， ② 由②÷①得=2， 故该数列所有的奇数项、偶数项均为公比为2的等比数列. 当n=2k-1(k∈N*)时， an=a2k-1=1·=； 当n=2k(k∈N*)时，由a1=1，anan+1=2n， 得a1a2=2，a2=2， 则an=a2k=2·=， 综上，an=故D错误. 方法二　a1=1显然不满足an=，故D错误. (2)设{an}是首项为1的正项数列，(n+1)+anan+1-n=0(n∈N*)，则an=　　　　　　　　.  【答案】 【解析】由(n+1)-n+anan+1=0(n∈N*)， 可得n(-)+(+an+1an)=0， 即n(an+1-an)(an+1+an)+an+1(an+1+an)=0， 即[(n+1)an+1-nan](an+1+an)=0， 由{an}是首项为1的正项数列， 可得(n+1)an+1=nan，即=. 方法一　(累乘法)　则当n≥2时，=， 于是an=a1×××…×× =1×××…××=(n≥2)， 又a1=1符合上式，所以an=. 方法二　(迭代法)　则nan=(n-1)an-1=…=2a2=a1=1， 可得an=. 题型三　数列的性质 命题点1　数列的单调性 例5　(2025·阜阳模拟)已知数列{an}满足an=2n2+λn(λ∈R)，则“{an}为递增数列”是“λ≥0”的(　　) A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】由{an}为递增数列得，an+1-an=[2(n+1)2+λ(n+1)]-(2n2+λn)=λ+4n+2>0，n∈N*， 则λ>-(4n+2)对于n∈N*恒成立，得λ>-6，可得λ≥0⇒λ>-6，反之不成立. 命题点2　数列的周期性 例6　(2025·重庆模拟)已知数列{an}满足an+1=，且a1=3，则a2 026等于(　　) A.3 B. C.-2 D. 【答案】C 【解析】∵an+1=，且a1=3， ∴a2===-2， a3===，a4===， a5===3，a6===-2，… ∴数列{an}的周期为4， ∵2 026=506×4+2，∴a2 026=a2=-2. 命题点3　数列的最值 例7　数列{bn}满足bn=，则当n=　　　　时，bn取最大值为　　　　　　.  【答案】4　 【解析】方法一　∵bn+1-bn=-=， ∴当n≤3时，bn+1>bn，{bn}单调递增， 当n≥4时，bn+1<bn，{bn}单调递减， 故当n=4时，(bn)max=b4=. 方法二　令即 解得≤n≤， 又n∈N*，∴n=4， 故当n=4时，(bn)max=b4=. 【思维升华】(1)解决数列的周期性问题，先求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值. (2)数列的单调性与最值问题 有关数列最大项、最小项的问题可借助数列的单调性来解决.数列{an}递增的充要条件是对任意正整数n都有an<an+1，递减的充要条件是对任意正整数n都有an+1<an. 跟踪训练3　(多选)在数列{an}中，下列结论正确的是 (　　) A.若a1=1，a2=5，an+2=an+1-an(n∈N*)，则a2 026=1 B.若an+1=2an，则数列{an}一定是递增数列 C.已知an=n∈N*，若对于任意n∈N*都有an>an+1，则实数a的取值范围是 D.an=，n∈N*，则数列{an}的最小项是a6 【答案】CD 【解析】A选项，因为a1=1，a2=5，an+2=an+1-an(n∈N*)， 所以a3=a2-a1=4，a4=a3-a2=-1，a5=a4-a3=-5，a6=a5-a4=-4，a7=a6-a5=1，a8=a7-a6=5， 故数列{an}的周期为6，所以a2 026=a6×337+4=a4=-1，故A错误； B选项，不一定是递增数列，也可能是常数列an=0，故B错误； C选项，由对任意n∈N*都有an>an+1知，数列{an}为递减数列， 所以只需满足解得<a<1，故C正确； D选项，an==1+，n∈N*， 当1≤n≤6时，2n-13<0，即an<1， 当n≥7时，2n-13>0，即an>1， 又当1≤n≤6或n≥7时，数列{an}单调递减， 所以最小项为a6，故D正确. 【限时训练】 （30分钟） 一、单项选择题(每小题5分，共30分) 1.(北师大版选择性必修第二册P4练习T2改编)已知数列{an}的通项公式为an=25-2n，则在下列各数中，不是数列{an}的项的是(　　) A.1 B.-1 C.2 D.3 【答案】C 【解析】因为2n是偶数，所以25-2n为奇数，故选C. 2.(北师大版选择性必修第二册P4练习T3)若数列{an}的前4项依次是20，11，2，-7，则数列{an}的一个通项公式是(　　) A.an=9n+11 B.an=-9n+29 C.an=15.5+(-1)n+1×4.5 D.an=9n-16 【答案】B 【解析】对于选项A，当n=2时，a2=9×2+11=29≠11，故A错误； 对于选项B，数列{an}的前4项依次是20，11，2，-7，则数列{an}的一个通项公式为an=-9n+29，故B正确； 对于选项C，当n=3时，a3=15.5+4.5=20≠2，故C错误； 对于选项D，当n=1时，a1=9-16=-7≠20，故D错误. 3.(2025·苏州模拟)已知数列{an}是递增数列，且对于任意n∈N*，an=n2+2λn+1，则实数λ的取值范围是(　　) A.λ>-1 B.λ<-1 C.λ>- D.λ<- 【答案】C 【解析】因为数列{an}是递增数列， 则an+1-an=(n+1)2+2λ(n+1)+1-(n2+2λn+1)=2λ+2n+1>0， 所以λ>-对∀n∈N*恒成立，所以λ>-. 4.记Tn为数列{an}的前n项积，已知+=3，则T10等于 (　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】当n=1时，T1=，又Tn=a1a2a3…an，则an=(n≥2)，代入+=3， 化简得Tn-Tn-1=(n≥2)，则{Tn}是以T1=为首项，为公差的等差数列，即Tn=， 所以T10=. 5.已知a1=1，an=n(an+1-an)(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为 (　　) A.an=2n-1 B.an= C.an=n2 D.an=n 【答案】D 【解析】由an=n(an+1-an)， 得(n+1)an=nan+1， 方法一　即=， 则=，=， =，…，=，n≥2， 由累乘法可得=n，所以an=n，n≥2， 又a1=1符合上式，所以an=n. 方法二　因为=，所以为常数列， 所以=，所以an=na1=n. 6.(2025·汕头模拟)已知数列an=(n∈N*)，则数列{an}的前100项中的最小项和最大项分别是(　　) A.a1，a100 B.a46，a45 C.a46，a1 D.a45，a100 【答案】B 【解析】an= = =1+(n∈N*)， 因为452<2 026<462，-<0， 所以当1≤n≤45时，数列{an}单调递增，且an>1； 当n≥46时，数列{an}单调递增，且an<1. 所以数列{an}的前100项中的最小项和最大项分别是a46，a45. 二、多项选择题(每小题6分，共12分) 7.已知数列{an}的前n项和公式为Sn=，则下列说法正确的是(　　) A.数列{an}的首项为a1= B.数列{an}的通项公式为an= C.数列{an}为递减数列 D.若数列{Sn}的前n项积为Tn，则Tn= 【答案】ABC 【解析】对于A，数列{an}的首项为a1=S1==，故A正确； 对于B，当n≥2时，an=Sn-Sn-1=-=，a1=适合上式，故B正确； 对于C，因为an+1-an=-=-<0，所以数列{an}为递减数列，故C正确； 对于D，Tn=×××…×=，所以数列{Sn}的前n项积Tn=，故D错误. 8.已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn-an=(n-1)2，bn=，则(　　) A.Sn=n2 B.an=2n C.数列{bn}是递减数列 D.数列{bn}的最小值为 【答案】AD 【解析】∵an=Sn-Sn-1(n≥2)， ∴Sn-an=Sn-1，则Sn-1=(n-1)2， 即Sn=n2(n∈N*)， ∴a1=1，当n≥2时，an=n2-(n-1)2=2n-1， 又a1=1满足上式，∴an=2n-1(n∈N*)，故A正确，B错误； 易知bn>0，∵bn=，bn+1=， ∴==， 当>1时，n>+1， ∴当1≤n<3时，bn>bn+1，当n≥3时，bn<bn+1， ∴数列{bn}不是递减数列，且当n=3时，bn取得最小值，故C错误，D正确. 三、填空题(每小题5分，共10分) 9.(2025·福州模拟)数列{an}满足an+1=(n∈N*)，a2 026=-1，则a3n+2=　　　　.  【答案】 【解析】因为数列{an}满足an+1=(n∈N*)，则an=1-，又a2 026=-1， 所以a2 025=1-=2，a2 024=1-=， a2 023=1-=-1， 所以数列{an}是以3为周期的周期数列， 所以a3n+2=a2=a3×674+2=a2 024=. 10.九连环是中国传统民间智力玩具，它用九个圆环相连成串，环环相扣，以解开为胜，趣味无穷.现假设有n个圆环，用an表示按照某种规则解下n个圆环所需的最少移动次数，且数列{an}满足a1=1，a2=2，an=an-2+2n-1(n≥3，n∈N*)，则解开九连环最少需要移动　　　　次.  【答案】341 【解析】由题意，an=an-2+2n-1， 故a3-a1=22， a5-a3=24， … a2n-1-a2n-3=22n-2， 以上各式相加，可得a2n-1-a1=22+24+…+22n-2=41+42+…+4n-1， 即a2n-1=1+41+42+…+4n-1==， 所以按规则解开九连环最少需要移动的次数为a9==341. 四、解答题(共27分) 11.(13分)已知数列{an}的各项均为正数，其前n项和为Sn，且满足a1=1，an+1=2+1. (1)求a2的值；(5分) (2)求数列{an}的通项公式.(8分) 【解析】(1)∵a1=1，an+1=2+1， ∴a2=2+1=2+1=3. (2)方法一　由an+1=2+1， 得Sn+1-Sn=2+1，故Sn+1=(+1)2. ∵an>0，∴Sn>0，∴=+1， 即-=1， ∴数列{}是首项为==1，公差为1的等差数列，=1+(n-1)=n， ∴Sn=n2. 当n≥2时，an=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1， 又a1=1适合上式，∴an=2n-1. 方法二　由an+1=2+1， 得(an+1-1)2=4Sn， 当n≥2时，(an-1)2=4Sn-1， ∴(an+1-1)2-(an-1)2=4(Sn-Sn-1)=4an. ∴--2an+1-2an=0， 即(an+1+an)(an+1-an-2)=0. ∵an>0，∴an+1-an=2(n≥2). 又∵a2-a1=2， ∴{an}为等差数列，且公差为2， ∴an=1+(n-1)×2=2n-1. 12.(14分)已知数列{an}的前n项和Sn=an，且a1=4. (1)求数列{an}的通项公式；(6分) (2)若不等式2n2-n-3<(5-λ)an对任意n∈N*恒成立，求实数λ的取值范围.(8分) 【解析】(1)由题意得 ①-②得Sn-Sn-1=an-an-1， 即an=an-an-1，=2×， 则an=··…··a1=2××2××…×2××4=2n(n+1)(n≥2)， 又a1=4符合此式， 所以an=2n(n+1). (2)由题意知2n2-n-3=(n+1)(2n-3)<(5-λ)(n+1)2n对任意n∈N*恒成立， 即5-λ>对任意n∈N*恒成立， 记bn=，故b1=-<0， 当n≥2时，bn>0，=， 所以=，即b3>b2， 当n≥3时，=+≤+=<1， 即随着n的增大，bn减小， 所以bn的最大值为b3=， 所以5-λ>，即λ<. 故λ的取值范围为. [13题6分，14题5分，共11分] 13.(多选)(2025·宁波模拟)任取一个正数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1.这是数学史上著名的“冰雹猜想”(又称“角谷猜想”等).现给出冰雹猜想的递推关系如下：已知数列{an}满足：a1=m(m为正整数)，an+1=(n∈N*).若a5=1，记数列{an}的前n项和为Sn，则(　　) A.m=2或m=16 B.a2 027=1 C.S2 027=4 728 D.a3n+1=2 【答案】ABD 【解析】因为a5=1，由“冰雹猜想”可得a4=2，a3=4， ①若a2为偶数，则a3==4，所以a2=8， 当a1为偶数时，a2==8， 所以a1=16，即m=16， 当a1为奇数时，a2=3a1+1=8， 解得a1=(舍去)； ②若a2为奇数，则a3=3a2+1=4，解得a2=1， 当a1为偶数时，a2==1， 所以a1=2，即m=2， 当a1为奇数时，a2=3a1+1=1， 解得a1=0(舍去)， 综上所述，m=2或m=16，故A正确； 当m=2时，由an+1= 得a1=2，a2=1，a3=4，a4=2，a5=1，a6=4， 所以数列{an}从第3项起是以3为周期的周期数列， 因为2 027-2=3×675，所以a2 027=a5=1， S2 027=2+1+675×(4+2+1)=4 728； 当m=16时，由an+1= 得a1=16，a2=8，a3=4，a4=2，a5=1，a6=4，a7=2，a8=1， 所以数列{an}从第3项起是以3为周期的周期数列， 因为2 027-2=3×675， 所以a2 027=a5=1，S2 027=16+8+675×(4+2+1)=4 749， 综上所述，a2 027=1，S2 027=4 728或S2 027=4 749，故B正确，C错误； 对于D，数列{an}从第3项起是以3为周期的周期数列， 所以a3n+1=a4=2，故D正确. 14.(2025·遵义模拟)第24届北京冬奥会开幕式由一朵朵六角雪花贯穿全场，为不少人留下深刻印象.六角雪花曲线是由正三角形的三边生成的三条1级Koch曲线组成，再将六角雪花曲线每一边生成一条1级Koch曲线得到2级十八角雪花曲线(如图3)……依次得到n级Kn(n∈N*)角雪花曲线.若正三角形边长为1，我们称∧为一个开三角，则n级Kn角雪花曲线的开三角个数为　　　　　　，n级Kn角雪花曲线的内角和为　　　　　　.  【答案】4n+2　3π×4n-2π 【解析】依题意，n级Kn(n∈N*)角雪花曲线的每一条边生成n+1级Kn+1(n∈N*)角雪花曲线的4条边， 因此n级Kn(n∈N*)角雪花曲线的边数构成以12为首项，4为公比的等比数列， 则n级Kn(n∈N*)角雪花曲线的边数为12×4n-1=3×4n， 当n=1时，曲线有6个开三角，令n级Kn(n∈N*)角雪花曲线的开三角数为an，a1=6， 由于n级Kn(n∈N*)角雪花曲线的每一条边向外形成一个开三角，因此an+1=an+3×4n， 当n≥2时，n级Kn(n∈N*)角雪花曲线的开三角数an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)=6+3(4+42+…+4n-1)=6+3×=4n+2，a1=6满足上式， 所以n级Kn角雪花曲线的开三角数an=4n+2； 令n级Kn角雪花曲线的内角和为bn， 显然b1=6×+6×=10π， 而n级Kn(n∈N*)角雪花曲线到n+1级Kn+1(n∈N*)角雪花曲线每增加一个开三角，其内角和增加+2×=3π， 于是bn+1=bn+3π×3×4n=bn+9π×4n， 当n≥2时，n级Kn(n∈N*)角雪花曲线的内角和 bn=b1+(b2-b1)+(b3-b2)+…+(bn-bn-1)=10π+9π(4+42+…+4n-1) =10π+9π×=3π×4n-2π， 又b1=10π满足上式， 所以n级Kn角雪花曲线的内角和bn=3π×4n-2π. 第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六章 数 列 §6.1　数列的概念 【高考考向预测】 数列概念聚焦通项、项数、递推关系与数列增减判断，以基础定义和简单求值为主；近三年多以小题形式常态化考查，难度偏低；预测2027 年仍侧重通项辨析、递推求项、单调性判定，结合简单规律推理出题。 【双基自测●明考向】 1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”) (1)数列1，2，3与3，2，1是两个不同的数列.(　 　) (2)数列1，0，1，0，1，0，…的通项公式只能是an=. (　 　) (3)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列.(　 　) (4)若数列用图象表示，则从图象上看是一群孤立的点. (　 　) 2.下列关于星星的图案中星星的数量构成一个数列，则该数列的一个通项公式是 (　　) A.an=n2-n+1 B.an= C.an= D.an= 3.已知数列{an}满足a1=2，an+1-an+1=0(n∈N*)，则此数列的通项公式an等于(　　) A.n2+1 B.n+1 C.1-n D.3-n 4.(2025·乌鲁木齐模拟)设Sn为数列{an}的前n项和，若Sn=3n+2n+1，则数列{an}的通项公式an=　　　　　　　　.  【核心梳理●明考点】 1.数列的有关概念 概念 含义 数列 按照确定的顺序排列的一列数 数列的项 数列中的每一个数 通项公式 如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式 递推公式 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式 数列{an}的 前n项和 把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即Sn=a1+a2+…+an 2.数列的分类 分类标准 类型 满足条件 项数 有穷数列 项数有限 无穷数列 项数无限 项与项间的大小关系 递增数列 an+1>an 其中n∈N* 递减数列 an+1<an 常数列 an+1=an 摆动数列 从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列 3.数列与函数的关系 数列{an}是从正整数集N*(或它的有限子集{1，2，…，n})到实数集R的函数，其自变量是序号n，对应的函数值是数列的第n项an，记为an=f(n). 1.灵活应用三个常用结论 (1)若数列{an}的前n项和为Sn，则an= (2)若数列{an}的前n项积为Tn(Tn≠0)，则an= (3)在数列{an}中，若an最大，则若an最小，则n≥2，n∈N*. 2.掌握数列的函数性质 由于数列可以看作一个关于n(n∈N*)的函数，因此它具备函数的某些性质： (1)单调性——若an+1>an，则{an}为递增数列；若an+1<an，则{an}为递减数列，否则为摆动数列或常数列(an+1=an). (2)周期性——若an+k=an(k为非零正整数)，则{an}为周期数列，k为{an}的一个周期. 【题型突破●明方向】 题型一　由an与Sn(积Tn)的关系求通项公式 例1　(1)已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足2Sn+an=1，则an=　　　　　　　　.  (2)设Sn为数列{an}的前n项和，已知∀n∈N*，an>0，+1=2anSn，则an=　　　　　　　.  (3)已知数列{an}的前n项积为Tn=，则an=　　　　.  跟踪训练1　(1)已知数列{an}的前n项和为Sn，若a1=1，2Sn=an+1，则数列{an}的通项公式为　　　　　　　　　　　.  (2)在数列{an}中，+++…+=n2+n，则an=　　　　　　　　.  题型二　由数列的递推关系求通项公式 命题点1　累加法 例2　(2026·常德模拟)已知数列{an}满足a1=1，an-an+1=2nanan+1，则an=　　　　　　.  命题点2　累乘法 例3　已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，3Sn=(n+2)an，则an=　　　　　　　　.  命题点3　隔项等差、等比型 例4　在数列{an}中，a1=1，a2=4，an=an-2+2(n≥3)，则an=　　　　　　　　.  跟踪训练2　(1)(多选)在数列{an}中，下列结论正确的是 (　　) A.若a1=2，且an-an-1=n(n≥2)，则an= B.若a1=1，且=，则an= C.若a1=1，a2=2，且an+2=3an+1-2an，则an=2n-1 D.若a1=1，anan+1=2n，则an= (2)设{an}是首项为1的正项数列，(n+1)+anan+1-n=0(n∈N*)，则an=　　　　　　　　.  题型三　数列的性质 命题点1　数列的单调性 例5　(2025·阜阳模拟)已知数列{an}满足an=2n2+λn(λ∈R)，则“{an}为递增数列”是“λ≥0”的(　　) A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 命题点2　数列的周期性 例6　(2025·重庆模拟)已知数列{an}满足an+1=，且a1=3，则a2 026等于(　　) A.3 B. C.-2 D. 命题点3　数列的最值 例7　数列{bn}满足bn=，则当n=　　　　时，bn取最大值为　　　　　　.  跟踪训练3　(多选)在数列{an}中，下列结论正确的是 (　　) A.若a1=1，a2=5，an+2=an+1-an(n∈N*)，则a2 026=1 B.若an+1=2an，则数列{an}一定是递增数列 C.已知an=n∈N*，若对于任意n∈N*都有an>an+1，则实数a的取值范围是 D.an=，n∈N*，则数列{an}的最小项是a6 【限时训练】 （30分钟） 一、单项选择题(每小题5分，共30分) 1.(北师大版选择性必修第二册P4练习T2改编)已知数列{an}的通项公式为an=25-2n，则在下列各数中，不是数列{an}的项的是(　　) A.1 B.-1 C.2 D.3 2.(北师大版选择性必修第二册P4练习T3)若数列{an}的前4项依次是20，11，2，-7，则数列{an}的一个通项公式是(　　) A.an=9n+11 B.an=-9n+29 C.an=15.5+(-1)n+1×4.5 D.an=9n-16 3.(2025·苏州模拟)已知数列{an}是递增数列，且对于任意n∈N*，an=n2+2λn+1，则实数λ的取值范围是(　　) A.λ>-1 B.λ<-1 C.λ>- D.λ<- 4.记Tn为数列{an}的前n项积，已知+=3，则T10等于 (　　) A. B. C. D. 5.已知a1=1，an=n(an+1-an)(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为 (　　) A.an=2n-1 B.an= C.an=n2 D.an=n 6.(2025·汕头模拟)已知数列an=(n∈N*)，则数列{an}的前100项中的最小项和最大项分别是(　　) A.a1，a100 B.a46，a45 C.a46，a1 D.a45，a100 二、多项选择题(每小题6分，共12分) 7.已知数列{an}的前n项和公式为Sn=，则下列说法正确的是(　　) A.数列{an}的首项为a1= B.数列{an}的通项公式为an= C.数列{an}为递减数列 D.若数列{Sn}的前n项积为Tn，则Tn= 8.已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn-an=(n-1)2，bn=，则(　　) A.Sn=n2 B.an=2n C.数列{bn}是递减数列 D.数列{bn}的最小值为 三、填空题(每小题5分，共10分) 9.(2025·福州模拟)数列{an}满足an+1=(n∈N*)，a2 026=-1，则a3n+2=　　　　.  10.九连环是中国传统民间智力玩具，它用九个圆环相连成串，环环相扣，以解开为胜，趣味无穷.现假设有n个圆环，用an表示按照某种规则解下n个圆环所需的最少移动次数，且数列{an}满足a1=1，a2=2，an=an-2+2n-1(n≥3，n∈N*)，则解开九连环最少需要移动　　　　次.  四、解答题(共27分) 11.(13分)已知数列{an}的各项均为正数，其前n项和为Sn，且满足a1=1，an+1=2+1. (1)求a2的值；(5分) (2)求数列{an}的通项公式.(8分) 12.(14分)已知数列{an}的前n项和Sn=an，且a1=4. (1)求数列{an}的通项公式；(6分) (2)若不等式2n2-n-3<(5-λ)an对任意n∈N*恒成立，求实数λ的取值范围.(8分) [13题6分，14题5分，共11分] 13.(多选)(2025·宁波模拟)任取一个正数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1.这是数学史上著名的“冰雹猜想”(又称“角谷猜想”等).现给出冰雹猜想的递推关系如下：已知数列{an}满足：a1=m(m为正整数)，an+1=(n∈N*).若a5=1，记数列{an}的前n项和为Sn，则(　　) A.m=2或m=16 B.a2 027=1 C.S2 027=4 728 D.a3n+1=2 14.(2025·遵义模拟)第24届北京冬奥会开幕式由一朵朵六角雪花贯穿全场，为不少人留下深刻印象.六角雪花曲线是由正三角形的三边生成的三条1级Koch曲线组成，再将六角雪花曲线每一边生成一条1级Koch曲线得到2级十八角雪花曲线(如图3)……依次得到n级Kn(n∈N*)角雪花曲线.若正三角形边长为1，我们称∧为一个开三角，则n级Kn角雪花曲线的开三角个数为　　　　　　，n级Kn角雪花曲线的内角和为　　　　　　.  第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $