7.6 利用空间向量研究线、面位置关系 讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦利用空间向量研究线面位置关系，涵盖方向向量、法向量及线线、线面、面面平行与垂直的向量表示，按“概念梳理-位置关系-命题应用”逻辑架构知识。通过知识清单、自主诊断、命题点精讲（法向量求法、平行垂直证明等）及跟踪训练，系统帮助学生突破空间向量应用难点。 资料突出考教衔接特色，跟踪训练改编自教材习题，结合学霸笔记总结法向量求法、平行垂直证明步骤等解题策略，培养学生数学思维与空间观念。如例4探索性问题通过坐标设点、向量运算论证存在性，提升学生逻辑推理能力，为教师提供分层教学路径，高效把控复习节奏。

第六节　利用空间向量研究线、面位置关系 知识清单 1.直线的方向向量和平面的法向量 (1)直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在的直线与直线l平行或重合，那么称此向量a为直线l的方向向量． 剖析　若A，B是直线l上的两点，则是直线l的方向向量． (2)平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则称向量a为平面α的法向量． 2．空间位置关系的向量表示 位置关系 向量表示 直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2 l1∥l2 u1∥u2⇔u1＝λu2 l1⊥l2 u1⊥u2⇔________ 直线l的方向向量为u，平面α的法向量为n l∥α u⊥n⇔________ l⊥α u∥n⇔u＝λn 平面α，β的法向量分别为n1，n2 α∥β n1∥n2⇔n1＝λn2 α⊥β n1⊥n2⇔________ 自主诊断 1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)直线的方向向量是唯一确定的，平面的单位法向量也是唯一确定的．(　　) (2)若两直线的方向向量不平行，则两直线不平行．(　　) (3)若空间向量a平行于平面α，则a所在直线与平面α平行．(　　) (4)若两个不重合的平面的法向量平行，则两平面平行；若两平面的法向量垂直，则两平面垂直．(　　) 2．(人教A版选修一P29练习T3改编)在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝3，CC1＝2.以D为原点，以}为空间的一个单位正交基底，建立空间直角坐标系Oxyz，则平面ACD1的一个法向量为(　　) A．(3，4，6) B．(4，3，6) C．(3，6，4) D．(6，3，4) 3．(人教A版选修一P31练习T1改编)已知u＝(3，a＋b，a－b)(a，b∈R)是直线l的方向向量，n＝(1，2，3)是平面α的法向量． (1)若l∥α，则a，b的关系式为________； (2)若l⊥α，则a＝________，b＝________． 考教衔接·活用教材　探究式精练 收获一个“赢” 命题点一　平面的法向量、直线的方向向量及其应用 例1 已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，PA⊥底面ABCD，且PA＝2，M是棱PD的中点，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系． (1)求点C，D，P，M的坐标； (2)求直线AM，PB的方向向量与平面PCD的法向量． [听课笔记]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 学霸笔记：平面的法向量的确定：设是平面α内两个不共线向量，为平面α的一个法向量，则可用方程组求出平面α的一个法向量. 　跟踪训练　(衔接·人教A版选修一P41习题T2)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，AB＝AC＝1，AA1＝2，以A为原点，建立如图所示空间直角坐标系． (1)求平面BCC1B1的法向量； (2)求平面A1BC的法向量． 命题点二　利用向量证明平行问题 例2 如图，已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N，P分别是AD1，BD，B1C的中点，利用向量法证明： (1)MN∥平面CC1D1D； (2)平面MNP∥平面CC1D1D. [听课笔记]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 学霸笔记：向量法证明平行的方法 (1)线线平行 设直线l1，l2的方向向量分别是，则要证明l1∥l2，只需证明∥，即＝k(k∈R)； (2)线面平行 设直线l的方向向量是，平面α的法向量是，则要证明l∥α，只需证明⊥，即·＝0，注意说明直线l⊄平面α； (3)面面平行 分别求出平面α，β的法向量，则要证明α∥β，只需证明∥. 　跟踪训练　(衔接·人教A版选修一P42习题T4)如图，在四面体ABCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD，AD＝2，BD＝2，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ＝3QC.求证：PQ∥平面BCD. 命题点三　利用向量证明垂直问题 例3 如图，已知四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝BC＝PB＝PC＝2CD＝2，侧面PBC⊥底面ABCD.求证： (1)PA⊥BD； (2)平面PAD⊥平面PAB. [听课笔记]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 学霸笔记：向量法证明垂直的方法 (1)线线垂直 证明两条直线的方向向量相互垂直，只需证明·＝0即可； (2)线面垂直 分别计算直线的方向向量与平面内两条相交直线的方向向量的数量积，由数量积为0及线面垂直的判定定理即可得证； (3)面面垂直 证明两平面的法向量垂直或证明一个平面的法向量平行于另一个平面． 　跟踪训练　(衔接·人教A版选修一P43习题T11)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1 中，AB＝2，BC＝CC1＝1，E是CD的中点．求证：B1E⊥平面AED1. 命题点四　平行与垂直关系中的探索性问题 例4 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，AA1＝2，N是A1B1的中点． (1)求证：A1B⊥C1N； (2)F为线段AB上的动点，则是否存在F使得AB⊥平面CC1F？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． [听课笔记]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 学霸笔记：与空间平行、垂直关系有关的探索性问题，解答时，一般先假设存在这样的点，再建立空间直角坐标系，设出该点的坐标，将直线与平面的平行、垂直关系转化为直线的方向向量与平面的法向量的关系，利用向量坐标运算建立关于所求点坐标的方程(组)．若方程(组)有解，则点存在；否则，点不存在． 　跟踪训练　(衔接·人教A版选修一P30例3)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝3，CC1＝2.线段B1C上是否存在点P，使得A1P∥平面ACD1? 第六节　利用空间向量研究线、面位置关系 必备知识·助学教材 知识清单 2．u1·u2＝0　u·n＝0　n1·n2＝0 自主诊断 1．答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)√ 2．解析：依题意，A(3，0，0)，C(0，4，0)，D1(0，0，2)，所以＝＝(－3，0，2)， 设n＝(x，y，z)是平面ACD1的法向量，则．所以取x＝4，则y＝3，z＝6，所以n＝(4，3，6)，所以平面ACD1的一个法向量为(4，3，6)． 答案：B 3．解析：(1)∵u＝(3，a＋b，a－b)(a，b∈R)是直线l的方向向量，n＝(1，2，3)是平面α的法向量，若l∥α，则u⊥n， ∴3＋2(a＋b)＋3(a－b)＝0，可得5a－b＋3＝0. (2)∵u＝(3，a＋b，a－b)(a，b∈R)是直线l的方向向量，n＝(1，2，3)是平面α的法向量，若l⊥α，则u∥n，∴＝＝，即解得a＝，b＝－. 答案：(1)5a－b＋3＝0　(2)　－ 考教衔接·活用教材 例1　解析：(1)由底面ABCD是边长为2的正方形，PA⊥底面ABCD，且PA＝2，M是棱PD的中点， 由题图知，A(0，0，0)，B(0，2，0)，C(2，2，0)，D(2，0，0)，P(0，0，2)，M(1，0，1)． (2)由(1)知，直线AM，PB的方向向量分别为＝(1，0，1)，＝(0，2，－2)， 因为＝(2，2，－2)，＝(0，2，0)， 设m＝(x，y，z)是平面PCD的一个法向量， 则故可取m＝(1，0，1)． 跟踪训练　解析：(1)B(1，0，0)，B1(1，0，2)，C(0，1，0)， ＝(0，0，2)，＝(－1，1，0)． 设平面BCC1B1的法向量为n＝(x，y，z)， 取x＝1，则y＝1，z＝0，∴n＝(1，1，0)为平面BCC1B1的一个法向量． (2)A1(0，0，2)，B(1，0，0)，C(0，1，0)，∴A1B＝(1，0，－2)，A1C＝(0，1，－2)．设平面A1BC的法向量为m＝(x1，y1，z1)， ∴取x1＝2，则z1＝1，y1＝2，∴m＝(2，2，1)为平面A1BC的一个法向量． 例2　证明：(1)以D为坐标原点所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示． 设正方体的棱长为2，则A(2，0，0)，D(0，0，0)，M(1，0，1)，N(1，1，0)，P(1，2，1)． 由正方体的性质知AD⊥平面CC1D1D， 所以＝(2，0，0)为平面CC1D1D的一个法向量． 由于＝(0，1，－1)，则·＝0×2＋1×0＋(－1)×0＝0，所以⊥. 又MN⊄平面CC1D1D，所以MN∥平面CC1D1D. (2)由于＝(0，2，0)，＝(0，1，－1)， 则 所以＝(2，0，0)也是平面MNP的一个法向量， 又M∉平面CC1D1D，则平面MNP与平面CC1D1D不重合， 所以平面MNP∥平面CC1D1D. 跟踪训练　 证明：如图，取BD的中点O，以O为坐标原点，OD，OP所在直线分别为y轴、z轴，建立空间直角坐标系Oxyz.由题意知A(0，，2)，B(0，－，0)，D(0，，0)． 设点C的坐标为(x0，y0，0)． 因为＝3，所以＝＝(x0，y0－，－2)，所以＝(x0，y0－，－)， 所以Q(x0，y0，)． 因为M为AD的中点，故M(0，，1)． 又P为BM的中点，故P(0，0，)， 所以＝(x0，y0，0)． 又平面BCD的一个法向量为a＝(0，0，1)，故·a＝0. 又PQ⊄平面BCD，所以PQ∥平面BCD. 例3　证明：(1)取BC的中点O，连接PO，因为BC＝PB＝PC＝2， 所以PO⊥BC，因为侧面PBC⊥底面ABCD， 且侧面PBC∩底面ABCD＝BC，PO⊂平面PBC， 所以PO⊥底面ABCD，又因为四棱锥PABCD的底面是直角梯形，取AD的中点M，连接OM，则OM，OB，OP两两垂直， 所以以O点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， O(0，0，0)，B(0，1，0)，C(0，－1，0)，A(2，1，0)，D(1，－1，0)，P(0，0，)， 所以＝(2，1，－)，＝(1，－2，0)， ·＝2×1＋1×(－2)＋(－)×0＝0， 所以PA⊥BD. (2)＝(2，1，－)，＝(－1，－2，0)，＝(－2，0，0)，＝(0，1，－)， 设平面PAD的法向量为n1＝(x1，y1，z1)， 则令x1＝2，则y1＝－1，z1＝， 则可以求得平面PAD的一个法向量n1＝(2，－1，)． 设平面PAB的法向量为＝(x2，y2，z2)， 则令y2＝，则x2＝0，z2＝1， 则可以求得平面PAB的一个法向量＝(0，，1)． 又因为＝2×0－1××1＝0， 所以，所以平面PAD⊥平面PAB. 跟踪训练　证明：以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系Dxyz， 可得A(1，0，0)，E(0，1，0)，D1(0，0，1)，B1(1，2，1)， B1E＝(－1，－1，－1)，＝＝(－1，0，1)， 由B1E·＝1－1＋0＝0，可得B1E⊥， 由＝1＋0－1＝0，可得， 即有B1E垂直于平面AED1内两条相交直线AE，AD1， 则B1E⊥平面AED1. 例4　解析：(1)证明：以C为坐标原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，∵CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，AA1＝2， 则A(1，0，0)，B(0，1，0)，A1(1，0，2)，B1(0，1，2)，C1(0，0，2)， ∵N是A1B1的中点，则N(，2)，C1N＝(，0)，A1B＝(－1，1，－2)， ∵A1B·C1N＝－1×＋1×＋(－2)×0＝0，∴A1B⊥C1N，即A1B⊥C1N. (2)假设存在F使得AB⊥平面CC1F， 由(1)得＝(－1，1，0)，C1C＝(0，0，－2)， ∴＝λ＝λ(－1，1，0)＝(－λ，λ，0)，其中0≤λ≤1， 则F(1－λ，λ，0)，＝(1－λ，λ，0)， ∵CC1⊥平面ABC，AB⊂平面ABC， ∴CC1⊥AB，CC1＝C，CC1，CF⊂平面C1CF， 若AB⊥平面C1CF，则只需·＝－(1－λ)＋λ＝0，解得λ＝，∴＝1， 故存在点F，使得AB⊥平面C1CF，此时＝1. 跟踪训练　解析：存在，当P为B1C的中点时，A1P∥平面ACD1，证明如下． 以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．因为A，C，D1的坐标分别为(3，0，0)，(0，4，0)，(0，0，2)，所以＝＝(－3，0，2)． 设n＝(x，y，z)是平面ACD1的法向量，则n·＝＝0， 即 取z＝6，则x＝4，y＝3，所以n＝(4，3，6)是平面ACD1的一个法向量． 由A1，C，B1的坐标分别为(3，0，2)，(0，4，0)，(3，4，2)，得＝(0，4，0)，B1C＝(－3，0，－2)． 设点P满足B1P＝λB1C(0≤λ≤1)，则B1P＝(－3λ，0，－2λ)，所以A1P＝＋B1P＝(－3λ，4，－2λ)． 令n·A1P＝0，得－12λ＋12－12λ＝0，解得λ＝，所以这样的点P存在，当B1P＝B1C，即P为B1C的中点时，A1P∥平面ACD1. 学科网（北京）股份有限公司 $