精品解析：吉林省松原市前郭尔罗斯蒙古族自治县第三中学2025—2026学年度第二学期期中考试 八年级数学

前郭三中八年级2025-2026学年度第二学期 期中考试数学学科试卷 一、选择题（每小题3分，共18分） 1. 二次根式的值是（ ） A. B. 2 C. D. 2. 五边形的外角和是（ ） A. B. C. D. 3. 直角三角形的两条直角边长分别为8和15，则斜边长为（ ） A. 14 B. 15 C. 16 D. 17 4. 以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（ ） A. 3，4，5 B. 4，5，6 C. 6，7，8 D. 7，8，9 5. 下列根式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，矩形的两条对角线相交于点．若，，则的长为（ ） A. B. 2 C. D. 1 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 要使二次根式有意义，则x的值可以是______．（写出一个即可） 8. 中，，则的长为________． 9. 如图，已知中，，是的中点，，则 ______． 10. 若与是同类二次根式，则a可能是__________（写出一个即可）． 11. 如图，菱形的边长为，其中对角线的长为，则此菱形的高为______． 三、解答题（每小题6分，共18分） 12. 计算：． 13. 计算： 14. 一个多边形的内角和为，求这个多边形的边数． 四、解答题（每小题7分，共21分） 15. （1）图①，已知线段为对角线画出一个矩形（非正方形），使矩形的另外两个顶点也在格点上； （2）图②，已知线段为对角线画出一个菱形（非正方形），使菱形的另外两个顶点也在格点上； （3）在图③中画一个周长为的菱形（非正方形）． 16. 图中有一首古算诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图，其中，于点，尺，尺，求的长度． 诗文： 波平如镜一湖面，半尺高处出红莲 亭亭多姿湖中立，突逢狂风吹一边 离开原处二尺远，花贴湖面象睡莲 17. 如图，将平行四边形的对角线向两个方向延长，分别至点、，且使 （1）求证：四边形是平行四边形． （2）若四边形是菱形，那么四边形是什么特殊四边形？请直接写出答案，不需要证明． 五、解答题（每小题8分，共16分） 18. 已知，． （1）分别求和的值； （2）求的值． 19. 如图所示，将矩形沿直线折叠，使点落在处，与相交于点，，． （1）判断的形状，并说明理由； （2）求的面积． 六、解答题（每小题10分，共20分） 20. 问题情景：请认真阅读下列这道例题的解法并填空． （1）例：已知，求的值． 解：由得，_____，_____，_____； （2）尝试应用 若为实数，且，化简： （3）拓展创新 ①已知，求的值． ②已知实数，在数轴上的对应点如图所示，化简． 21. 【发现】 如图①，已知四边形是正方形，P是对角线上的一点，求证，； 【探究】 ①如图②，在正方形中，P是对角线上的一点，，垂足分别为E、F，连接，猜想与的数量关系，并证明你的猜想； ②如图③，在正方形中，P是上一点，过点P作于点M，于点N，若，则的最小值为______； 【拓展应用】 如图④，在正方形中，P是对角线上的一点，延长交于点G，与交于点Q，H为的中点，连接，则的形状为______． 七、解答题（每小题12分，共12分） 22. 如图，在正方形中，，．动点以每秒1个单位长度的速度从点山发，沿线段方向运动，动点同时以每秒4个单位长度的速度从点出发，沿正方形的边运动，当点与点相遇时停止运动，设点的运动时间为秒． （1）运动时间为 秒时，点与点相遇； （2）求为何值时，是等腰三角形？ （3）用含的式子表示的面积，并写出相应的取值范围； （4）连接，当以点及正方形的某两个顶点为顶点组成的三角形和全等时，直接写出的值（点与点重合时除外）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 前郭三中八年级2025-2026学年度第二学期 期中考试数学学科试卷 一、选择题（每小题3分，共18分） 1. 二次根式的值是（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的定义，二次根式表示的是a的算术平方根，算术平方根是指正的平方根，其结果为非负数，据此判断即可． 【详解】解： 故选：B． 2. 五边形的外角和是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据多边形的外角和都为解答即可． 【详解】解：∵多边形的外角和都为， ∴五边形的外角和是， 故选：A． 【点睛】本题考查多边形的外角和，解题关键是掌握相关的概念与定理． 3. 直角三角形的两条直角边长分别为8和15，则斜边长为（ ） A. 14 B. 15 C. 16 D. 17 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵直角三角形两条直角边长分别为8和15， ∴斜边长为． 4. 以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（ ） A. 3，4，5 B. 4，5，6 C. 6，7，8 D. 7，8，9 【答案】A 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理可知，当三角形中三边的关系为：a2+b2＝c2时，则三角形为直角三角形． 【详解】解：A、32+42＝52，符合勾股定理的逆定理，能组成直角三角形，符合题意； B、42+52≠62，不符合勾股定理的逆定理，不能组成直角三角形，不符合题意； C、52+62≠72，不符合勾股定理的逆定理，不能组成直角三角形，不符合题意； D、62+72≠82，不符合勾股定理的逆定理，不能组成直角三角形，不符合题意． 故选：A． 【点睛】此题考查的是勾股定理的逆定理：已知三角形ABC的三边满足：a2+b2＝c2时，则三角形ABC是直角三角形．解答时，只需看两较小数的平方和是否等于最大数的平方． 5. 下列根式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】最简二次根式：被开方数不含有分母，被开方数不含有开得尽方的因数或因式．根据最简二次根式的定义逐一判断即可． 【详解】解：A. ，不是最简二次根式，不符合题意； B. ，不是最简二次根式，不符合题意； C. ，不是最简二次根式，不符合题意； D. ，是最简二次根式，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查的是最简二次根式的判断，掌握“最简二次根式的定义”是解本题的关键． 6. 如图，矩形的两条对角线相交于点．若，，则的长为（ ） A. B. 2 C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，等边三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识． 因为四边形是矩形，，由可证明，从而可得是等边三角形，由此推出 【详解】解：四边形是矩形， ， ∴ ， 是等边三角形， ∴， 故选：B． 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 要使二次根式有意义，则x的值可以是______．（写出一个即可） 【答案】2（答案不唯一） 【解析】 【分析】此题考查了二次根式有意义的条件，根据被开方式为非负数得到，求出，即可得到答案． 【详解】解：要使二次根式有意义， 则， ∴， ∴x的值可以是2， 故答案为：2（答案不唯一） 8. 中，，则的长为________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查勾股定理：根据勾股定理，在直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和． 【详解】解：在中，，因此为斜边，和为直角边． 由勾股定理，得， 代入已知值，，即， ∴， 因此． 故答案为：5． 9. 如图，已知中，，是的中点，，则 ______． 【答案】6厘米 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形斜边的中线等于斜边的一半．熟练掌握直角三角形斜边的中线等于斜边的一半是解题的关键． 根据，求解作答即可． 【详解】解：由题意知，， 故答案为：6厘米． 10. 若与是同类二次根式，则a可能是__________（写出一个即可）． 【答案】3（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查的是同类二次根式的概念．根据同类二次根式的概念列式计算即可． 【详解】解：∵二次根式与是同类二次根式， ∴， 故答案为：3（答案不唯一）． 11. 如图，菱形的边长为，其中对角线的长为，则此菱形的高为______． 【答案】 【解析】 【分析】由菱形的性质可知，，，利用勾股定理求得的长，求得的长，设此菱形的高为h，进而利用菱形的面积求解． 【详解】解：四边形为菱形， ，，， 菱形的边长为， ， ， ， 设此菱形的高为h， ， ， ， 此菱形的高为． 三、解答题（每小题6分，共18分） 12. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】根据，合并计算即可． 【详解】 ＝ ＝ 【点睛】本题考查了二次根式的化简，熟练将二次根式化简为最简二次根式是解题的关键． 13. 计算： 【答案】0 【解析】 【详解】解： ． 14. 一个多边形的内角和为，求这个多边形的边数． 【答案】7 【解析】 【详解】解：设这个多边形的边数为， 由题意得，， 解得 ∴该多边形的边数是7． 四、解答题（每小题7分，共21分） 15. （1）图①，已知线段为对角线画出一个矩形（非正方形），使矩形的另外两个顶点也在格点上； （2）图②，已知线段为对角线画出一个菱形（非正方形），使菱形的另外两个顶点也在格点上； （3）在图③中画一个周长为的菱形（非正方形）． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析． 【解析】 【分析】本题主要考查了网格与勾股定理、矩形的性质、菱形的性质、作图-复杂作图等知识点，熟练掌握矩形的性质和菱形的性质定理是解题的关键． （1）根据矩形的定义作图即可； （2）根据菱形的定义画出图形即可； （3）根据菱形的判定和性质定理作图即可． 【详解】解：（1）如图①所示，矩形即为所求； 由网格可知：，即四边形是矩形． （2）如图②所示，菱形即为所求； 由网格可知：，即四边形是菱形． （3）如图③所示，菱形即为所求． 由网格可知：，即四边形是周长为的菱形． 16. 图中有一首古算诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图，其中，于点，尺，尺，求的长度． 诗文： 波平如镜一湖面，半尺高处出红莲 亭亭多姿湖中立，突逢狂风吹一边 离开原处二尺远，花贴湖面象睡莲 【答案】的长度为尺 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，正确理解题意、运用勾股定理建立方程是解题的关键． 设的长度为x尺，则，在中，然后由勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：设的长度为x尺，则， ∵， ∴，即， 解得：， ∴的长度为尺． 17. 如图，将平行四边形的对角线向两个方向延长，分别至点、，且使 （1）求证：四边形是平行四边形． （2）若四边形是菱形，那么四边形是什么特殊四边形？请直接写出答案，不需要证明． 【答案】（1）证明见解析 （2）若四边形是菱形，那么四边形是菱形，理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，菱形的性质与判定： （1）先根据平行四边形的性质得到，再证明，即可证明四边形是平行四边形． （2）由菱形的性质可得，即，同理可证明四边形是平行四边形，则四边形是菱形． 【小问1详解】 证明：如图所示，连接与交于O， ∵四边形是平行四边， ∴， ∵， ∴，即， ∴四边形是平行四边形． 【小问2详解】 解：若四边形是菱形，那么四边形是菱形，理由如下： ∵四边形是菱形， ∴，即， 同理可证明四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形． 五、解答题（每小题8分，共16分） 18. 已知，． （1）分别求和的值； （2）求的值． 【答案】（1）， （2）18 【解析】 【小问1详解】 解：，， ； ∴； 【小问2详解】 解：，， ． 19. 如图所示，将矩形沿直线折叠，使点落在处，与相交于点，，． （1）判断的形状，并说明理由； （2）求的面积． 【答案】（1）是等腰三角形，理由见解析 （2）10 【解析】 【分析】（1）由折叠得，由得，从而，即可证明是等腰三角形； （2）设，则，，在中，用勾股定理列方程求出，然后求解即可． 【小问1详解】 解：是等腰三角形，理由如下： 由折叠可知，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； 【小问2详解】 解：设，则，， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得，， ∴， 所以． 六、解答题（每小题10分，共20分） 20. 问题情景：请认真阅读下列这道例题的解法并填空． （1）例：已知，求的值． 解：由得，_____，_____，_____； （2）尝试应用 若为实数，且，化简： （3）拓展创新 ①已知，求的值． ②已知实数，在数轴上的对应点如图所示，化简． 【答案】（1）2022，2023， （2）1 （3）①；② 【解析】 【分析】（1）根据二次根式有意义的条件可求出x的值，从而得到y的值，即可求解； （2）根据二次根式有意义的条件可求出x的值，从而得到y的值，即可求解； （3）①根据二次根式有意义的条件可求出，从而得到，然后代入即可求解； ②由数轴得，得到，，然后化简求解即可． 【小问1详解】 解：由得，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：由，得， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：①由，得， ∴ ， ∴； ②由数轴得， ∴， ∴ ． 21. 【发现】 如图①，已知四边形是正方形，P是对角线上的一点，求证，； 【探究】 ①如图②，在正方形中，P是对角线上的一点，，垂足分别为E、F，连接，猜想与的数量关系，并证明你的猜想； ②如图③，在正方形中，P是上一点，过点P作于点M，于点N，若，则的最小值为______； 【拓展应用】 如图④，在正方形中，P是对角线上的一点，延长交于点G，与交于点Q，H为的中点，连接，则的形状为______． 【答案】【发现】见解析；【探究】①，证明见解析；②；【拓展应用】的形状为直角三角形；理由见解析． 【解析】 【分析】【发现】利用正方形的性质，证明求解，进而推出线段关系； 【探究】①根据矩形的性质，证明，再由，进而得证； ②当时，最小，此时，则可得出答案； 【拓展应用】根据直角三角形斜边上中线等于斜边的一半，得，证明，得到， 进而可得到． 【详解】【发现】证明：∵四边形是正方形， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 故答案为：； 【探究】①；如图，连接， 证明：由【发现】可知，， ∵四边形是正方形， ， 又∵，垂足分别为E、F， ∴四边形是矩形， ∴， ∴； ②连接，如图， ∵四边形是矩形， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， 当时，最小， 此时， ∴的最小值为， 故答案为：； 【拓展应用】的形状为直角三角形；理由如下： ∵H为的中点，， ∴， ∴， 在中，， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的形状为直角三角形， 故答案为：直角三角形． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的判定，勾股定理等知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 七、解答题（每小题12分，共12分） 22. 如图，在正方形中，，．动点以每秒1个单位长度的速度从点山发，沿线段方向运动，动点同时以每秒4个单位长度的速度从点出发，沿正方形的边运动，当点与点相遇时停止运动，设点的运动时间为秒． （1）运动时间为 秒时，点与点相遇； （2）求为何值时，是等腰三角形？ （3）用含的式子表示的面积，并写出相应的取值范围； （4）连接，当以点及正方形的某两个顶点为顶点组成的三角形和全等时，直接写出的值（点与点重合时除外）． 【答案】（1） （2）或或2 （3）当时，；当时，；当时， （4）的值为或或 【解析】 【分析】（1）设秒后、相遇．列出方程即可解决问题； （2）根据，，分类讨论即可解决问题； （3）分三种情形①如图2中，当，点在上时．②如图3中，当，点在上时，．③如图4中，当，点在上时．分别求解即可； （4）分四种情形求解①当时，．②当时，．③当时，．④当时，，此时与重合． 【小问1详解】 设秒后、相遇． 由题意， 秒， 秒后、相遇． 故答案为； 【小问2详解】 ∵正方形 ∴， 当时，此时与重合，； 当时，此时与重合，； 当时，在的垂直平分线上，即为中点，此时； 综上所述，当或或2时，是等腰三角形； 【小问3详解】 ①如图2中，当，点在上时，． ②如图3中，当，点在上时，． ③如图4中，当，点在上时，． 综上所述，． 【小问4详解】 如图5中， ①当时，，此时，； ②当时，，此时，； ③当时，，此时，； ④当时，，此时与重合，； 综上所述，为或或或时，当以点及正方形的某两个顶点组成的三角形和全等． 【点睛】本题考查四边形综合题、正方形的性质、平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会分类讨论，注意不能漏解，属于中考压轴题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $