精品解析：广东省肇庆市第一中学2025-2026学年 九年级上学期期中考试数学试卷

肇庆市第一中学教育集团（初中部）2025-2026学年第一学期 九年级数学学科阶段性监测试题 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1. 下列图案中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形的识别，理解定义，找准图形中的对称中心是解答的关键．中心对称图形：把一个图形绕着某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．据此逐项判断即可． 【详解】解：A中图形是中心对称图形，故本选项符合题意； B中图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C中图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D中图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意， 故选：A． 2. 下列方程中，是一元二次方程的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】一元二次方程的定义为：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程，据此逐一验证选项即可． 【详解】解：A、中，未知数最高次数为1，是一元一次方程，不符合要求； B、中，含有和两个未知数，不符合要求； C、中，分母含有未知数，是分式方程，不是整式方程，不符合要求； D、整理得，只含一个未知数，未知数最高次数为2，且是整式方程，符合一元二次方程的定义． 3. 一元二次方程根的情况为（　　） A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 不能判定 【答案】C 【解析】 【详解】解：对于一元二次方程，可得，，， ∴， ∴该一元二次方程有两个不相等的实数根． 4. 关于二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 函数图象的开口向下 B. 函数图象的顶点坐标是 C. 该函数的最大值是 D. 当时，随的增大而减小 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，根据二次函数的图象和性质逐项判断即可求解，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：、∵， ∴函数图象的开口向上，该选项说法错误； 、∵， ∴函数图象的顶点坐标是，该选项说法正确； 、∵函数图象的开口向上，函数图象的顶点坐标是， ∴该函数的最小值是，该选项说法错误； 、∵函数图象的对称轴为直线，开口向上， ∴当时，随的增大而增大，该选项说法错误； 故选：． 5. 如图，将直角三角板绕顶点A顺时针旋转到，点恰好落在的延长线上，，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据直角三角形两锐角互余，求出的度数，由旋转可知，在根据平角的定义求出的度数即可． 【详解】∵， ∴， ∵由旋转可知， ∴， 故答案选：B． 【点睛】本题考查直角三角形的性质以及图形的旋转的性质，找出旋转前后的对应角是解答本题的关键． 6. 已知二次函数的图象上有三点，，，则、、的大小关系为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，对二次函数，对称轴，则、、的横坐标离对称轴越近，则纵坐标越小，由此判断、、的大小． 【详解】在二次函数，对称轴， 在图象上的三点，，， ， 则、、的大小关系为． 故选：D． 7. 某市组织一次足球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都要赛一场），共比赛了21场，设共有个队参加比赛，则下列方程符合题意的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据赛制为单循环形式（每两队之间都要赛一场），共比赛了21场，共有个队参加比赛，列式，即可作答． 【详解】解：赛制为单循环形式（每两队之间都要赛一场），共比赛了21场，且设有个队参加比赛， ∴． 故选：C． 8. 二次函数的图像如图所示，下列结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，根据二次函数的图象判断式子符号，正确掌握相关性质内容是解题的关键．结合二次函数的开口方向，对称轴，与y轴的交点位置，判断A、B选项，再把代入，进行化简，即可判断C选项，再根据二次函数图象的开口向下，且顶点的坐标为，即可判断D选项，进行作答． 【详解】解：观察函数图象，得开口向下， ∴， 观察函数图象，二次函数的对称轴在轴的右侧， ∴结合“左同右异”可得：， 观察函数图象，二次函数图象与轴交于轴的正半轴可得：， ∴，故A选项不符合题意的； ∵对称轴为直线， ∴， ∴，故B选项不符合题意的； （3）当时，， ∵ ∴，故C选项不符合题意的； 由图可知，二次函数图象的开口向下，且顶点的坐标为， 即二次函数最大值为3 ∴， ∴，故D选项符合题意的； 故选：D． 9. 在同一坐标系中，二次函数与一次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数和一次函数图象的综合判断，根据二次函数和一次函数的图象进行判断即可． 【详解】解：∵二次函数与一次函数， ∴当时，抛物线的开口向上，直线过一，三，四象限； 当时，抛物线的开口向下，直线过一，二，四象限； 故符合题意的只有选项A． 故选A． 10. 如图，在正方形的边上有一点，连接，把绕点逆时针旋转，得到，连接并延长与的延长线交于点．则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】过点F作延长线的垂线，垂足为点H，则，证明，则，设，得到，则，故，同理可求，则，因此． 【详解】解：过点F作延长线的垂线，垂足为点H，则， 由旋转得， ∵四边形是正方形， ∴，，，设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，，设， 则， ∴， ∴，而， ∴， ∴， ∵， ∴， 同理可求， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，解直角三角形，旋转的性质，正确添加辅助线，构造“一线三等角全等”是解题的关键． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分） 11. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标，掌握关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数是解题的关键． 根据关于原点对称的点的横坐标和纵坐标均互为相反数，即可求解． 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标为． 故答案为：． 12. 若关于x的一元二次方程的一个根为，则m的值为______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根，把根代入方程中，即可求解． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的一个根为， ∴， 解得：； 故答案为：1． 13. 若将抛物线y=-x2+1先向右平移1个单位长度,再向上平移2个单位长度,则所得抛物线的函数解析式为_____________________ 【答案】 【解析】 【分析】利用二次函数图象的平移规律，左加右减，上加下减，进而得出答案． 【详解】∵抛物线y＝−x2＋1向右平移1个单位长度， ∴平移后解析式为：y＝−（x−1）2＋1， ∴再向上平移2个单位长度所得的抛物线解析式为：y＝−（x−1）2＋3． 故答案为y＝−（x−1）2＋3. 【点睛】此题主要考查了二次函数与几何变换，正确记忆图形平移规律是解题关键． 14. 如图，一次函数与二次函数的图象分别交于点，．不等式成立时，的取值范围是__________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的性质，直接根据一次函数与二次函数的图象即可得出结论． 【详解】解：∵一次函数与二次函数的图象分别交于点，， ∴不等式成立时，二次函数图象在一次函数上方的部分的的取值即为不等式的解， ∴的取值范围是或， 故答案为：或． 15. 点在以y轴为对称轴的二次函数的图象上，则的最大值等于 ___________． 【答案】 【解析】 【详解】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，通过转化得出关于a的二次函数是解题的关键． 根据二次函数以y轴为对称轴可得，把点代入，，所以，最后求关于a的二次函数的最值即可． 【解答】解：∵在以y轴为对称轴的二次函数的图象上， ∴， ∴二次函数为 把代入得到，， ∴， ∴当时，取得最大值为， 故的最大值等于， 故答案为：． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 解一元二次方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，把移到右边，再利用配方法解答即可求解，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴，． 17. 在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知，，． （1）画出绕点逆时针旋转后得到的； （2）画出关于原点的对称图形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质作图即可； （2）根据中心对称图形的性质作图即可． 【小问1详解】 解：如图：即为所求； 【小问2详解】 解：如图：即为所求． 18. 如图，已知一抛物线形大门，其地面宽度．一同学站在门内，在离门脚点远的处，垂直地面立 起一根长的木杆，其顶端恰好顶在抛物线形门上处．根据这些条件，请你求出该大门的高． 【答案】该大门的高为． 【解析】 【分析】解决抛物线的问题，需要合理地建立平面直角坐标系，用二次函数的性质解答，建立直角坐标系的方法有多种，大体是以抛物线对称轴为y轴（包括顶点在原点），抛物线经过原点等等． 【详解】解法一：如图，建立平面直角坐标系． 设抛物线解析式为． 由题意知、两点坐标分别为，， 把、两点坐标代入抛物线解析式得 解得 ∴抛物线的解析式为 ． ∴该大门的高为． 解法二：如图，建立平面直角坐标系． 设抛物线解析式为． 由题意得、两点坐标分别为，． 把、两点坐标代入得 解得 ∴． ∴该大门的高为． 说明：此题还可以以所在直线为轴，中点为原点，建立直角坐标系，可得抛物线解析式为． 【点睛】考查了二次函数的应用，建立适当的直角坐标系，根据题目所给数据求点的坐标，再求抛物线解析式，解答题目的问题． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 如图，点E是正方形ABCD的边DC上一点，把△ADE绕点A顺时针旋转到△ABF的位置，接EF． （1）求证：△AEF是等腰直角三角形； （2）若四边形AECF的面积为25，DE=2，求AE的长． 【答案】（1）见解析；（2）AE的长为． 【解析】 【分析】（1）由旋转的性质可得AE=AF，∠EAF=90°，可得结论； （2）由题意可得四边形AECF的面积等于正方形ABCD的面积等于25，可求正方形的边长，由勾股定理可求解． 【详解】（1）∵把△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置， ∴△ADE≌△ABF，∠EAF=90°， ∴AE=AF， ∴△AEF是等腰直角三角形； （2）∵△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置． ∴四边形AECF的面积等于正方形ABCD的面积等于25， ∴AD=DC=5， ∵DE=2， ∴Rt△ADE中，AE=． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质以及正方形的性质，等腰直角三角形的判定，勾股定理，正确利用旋转的性质得出对应边关系是解题关键． 20. 某校在基地参加社会实践活动中，带队老师考问学生：基地计划新建一个矩形的生物园地，一边靠旧墙（墙足够长），另外三边用总长69米的不锈钢栅栏围成，与墙平行的一边留一个宽为3米的出入口，如图所示，如何设计才能使园地的而积最大？下面是两位学生争议的情境： 请根据上面的信息，解决问题： （1）设AB=x米（x＞0），试用含x的代数式表示BC的长； （2）请你判断谁的说法正确，为什么？ 【答案】（1）BC=72﹣2x（2）小英说法正确 【解析】 【分析】（1）、BC的长度=围栏的长度-AB和CD的长度+门的宽度； （2）、首先求出S和x的二次函数关系，然后根据二次函数的性质求出S取最大值时x的值，从而得出矩形不是正方形． 【详解】（1）、设AB＝x米，可得BC＝54﹣2x＋2＝56﹣2x； （2）、小英的说法正确； 矩形面积S＝x（56﹣2x）＝﹣2（x﹣14）2＋392， ∵56﹣2x＞0， ∴x＜28， ∴0＜x＜28， ∴当x＝14时，S取最大值， 此时x56﹣2x， ∴面积最大的不是正方形． 21. 实践主题：黄金分割数． （1）材料探索：如图1，点是线段上的一点，将线段分割成，两条线段，且满足，这种分割叫做黄金分割．其中线段与的比值或线段与的比值叫做黄金分割数．若设线段，的长为，则可表示为，因为，所以，据此计算出黄金分割数（结果保留根号）． （2）顶角为的等腰三角形称为黄金三角形，黄金三角形的底与腰的比为上题中的黄金分割数（含根号）．如图2，若，，都是黄金三角形，已知，求的长． （3）如图3，正五边形的对角线恰围成“正五角星”（即阴影部分），其中是黄金三角形．若的面积为1，则正五角星的面积为___________． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）通过交叉相乘得到关于的一元二次方程，利用求根公式计算即可得出结果； （2）根据黄金三角形的定义计算即可得出结果； （3）连接，，由正五边形的性质可得，，，由黄金三角形的定义可得，则，，求出，由对称性可得，再求出，即可得出结果． 【小问1详解】 解：设线段，的长为，则可表示为， ∵， ∴， 整理可得：， 解得：，， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：∵为黄金三角形，， ∴， ∴， ∵为黄金三角形， ∴， ∴， ∵为黄金三角形， ∴； 【小问3详解】 解：如图，连接，， 由正五边形的性质可得：，，， ∵是黄金三角形， ∴， ∴，， ∴， ∴， 由对称性可得：， ∵，， ∴， ∴， ∴正五角星的面积为 ． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22小题13分，第23小题14分，共27分． 22. 如图1，矩形中，，，将矩形绕着点B顺时针旋转，得到矩形． （1）当点E落在上时，则线段的长度等于 ； （2）如图2，当点E落在上时，求的面积； （3）如图3，连接、、、，判断线段与的位置关系且说明理由； （4）在旋转过程中，请直接写出的最大值． 【答案】（1）2 （2） （3），理由见解析 （4）的最大为12 【解析】 【分析】（1）求出的长度，利用旋转的性质得出，进而求出的长度即可； （2）过点B作于点M，利用等面积法求出的长度，利用勾股定理求出、的长度，进而求出的长度，从而求出的面积； （3）连接、，设与相交于点N，与相交于点P，利用和是等腰三角形，且从而得出，然后利用得出，从而得出； （4）过点C作直线于点H，过点G作直线于点Q，， ，利用得出：当最大时，最大，从而得出当A、B、E三点共线时，最大，从而得出的最大值． 【小问1详解】 解：当落在上时，如图所示： ∵四边形是矩形， ∴每个内角都等于， ∵，由勾股定理得： ， 由旋转的性质可知：， ∴， 故答案为：2； 【小问2详解】 解：当点E落在上时，过点B作于点M， 在中，由勾股定理得： , ∵是直角三角形，， ∴, ∴， 在中，由勾股定理得： ， 在中，由勾股定理得： ， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：，理由如下： 证明：连接、，设与相交于点N，与相交于点P， 由旋转的性质知：，， ∴在等腰和等腰中得到：，， ∴， ∵， ∴， 即； 【小问4详解】 解：过点C作直线于点H，过点G作直线于点Q， ∴， ， ∵ ∴， ∴当最大时，最大， 在旋转过程中，， ∴， ∴当点三点共线时，，此时最大， ∴的最大值为：． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，旋转的性质，勾股定理以及面积的计算，属于中考压轴题，难度较大，在旋转的过程中，找到变化的量和不变的量，通过分析得出三点共线时．最大是解题的突破口． 23. 2024年“广西三月三·八桂嘉年华”盛大开幕，远在北京的小明慕名而来．热情好客的广西人给他敬了一碗糯米酒．爱思考的他发现：酒碗的截面图如图1所示，碗体呈抛物线状（碗体厚度不计），点E是抛物线的顶点，碗底高，碗口宽DC与碗底宽AB平行．当碗中装满酒时，酒面宽，此时酒的最大深度．以F为原点，水平线为x轴，直线为y轴，建立平面直角坐标系如图2所示．请你结合初中所学，解决小明提出的问题： （1）求出图2中抛物线的解析式； （2）喝掉部分酒后，其酒面下降了至线段处，试求此时酒面的宽度； （3）将酒碗绕点B缓缓倾斜倒出部分酒，如图3，当时停止，求此时的酒面的值． 【答案】（1） （2）的宽度为 （3） 【解析】 【分析】本题考查二次函数，一次函数以及直角三角形在实际生活中的应用，建立合适的直角坐标系，掌握待定系数法求解析式是解题的关键. （1）由待定系数法即可求解； （2）液面下降了, 即即可求解； （3）以为原点, 直线为轴, 直线为轴，建立平面直角坐标系，求出点，得到直线的解析式为：进而求解. 【小问1详解】 由题意知: ∵抛物线的顶点为, ∴可设抛物线的解析式为： 把点 代入，得 解得： ∴抛物线的解析式为 ； 【小问2详解】 ∵液面下降了, ∴此时液面距碗底距离为 即 当 时, ， 解得(舍去), ∴液面的宽度为 【小问3详解】 以为原点, 直线为轴, 直线为轴，建立平面直角坐标系，设与轴交于点, 如图: 将酒碗绕点缓缓倾斜倒出部分糯米酒，当时停止，所以旋转前与水平方向的夹角为即 设直线的解析式为与轴交于点,如图: 由题意知：点 ， ， 即点,由点的坐标得， ，解得， 直线的解析式为：， 联立上式和抛物线的表达式得： 解得： 或 ， 则点， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 肇庆市第一中学教育集团（初中部）2025-2026学年第一学期 九年级数学学科阶段性监测试题 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1. 下列图案中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列方程中，是一元二次方程的是（　　） A. B. C. D. 3. 一元二次方程根的情况为（　　） A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 不能判定 4. 关于二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 函数图象的开口向下 B. 函数图象的顶点坐标是 C. 该函数的最大值是 D. 当时，随的增大而减小 5. 如图，将直角三角板绕顶点A顺时针旋转到，点恰好落在的延长线上，，则为（ ） A. B. C. D. 6. 已知二次函数的图象上有三点，，，则、、的大小关系为（　　） A. B. C. D. 7. 某市组织一次足球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都要赛一场），共比赛了21场，设共有个队参加比赛，则下列方程符合题意的是（ ） A. B. C. D. 8. 二次函数的图像如图所示，下列结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 在同一坐标系中，二次函数与一次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在正方形的边上有一点，连接，把绕点逆时针旋转，得到，连接并延长与的延长线交于点．则的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分） 11. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是______． 12. 若关于x的一元二次方程的一个根为，则m的值为______． 13. 若将抛物线y=-x2+1先向右平移1个单位长度,再向上平移2个单位长度,则所得抛物线的函数解析式为_____________________ 14. 如图，一次函数与二次函数的图象分别交于点，．不等式成立时，的取值范围是__________． 15. 点在以y轴为对称轴的二次函数的图象上，则的最大值等于 ___________． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 解一元二次方程：． 17. 在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知，，． （1）画出绕点逆时针旋转后得到的； （2）画出关于原点的对称图形． 18. 如图，已知一抛物线形大门，其地面宽度．一同学站在门内，在离门脚点远的处，垂直地面立 起一根长的木杆，其顶端恰好顶在抛物线形门上处．根据这些条件，请你求出该大门的高． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 如图，点E是正方形ABCD的边DC上一点，把△ADE绕点A顺时针旋转到△ABF的位置，接EF． （1）求证：△AEF是等腰直角三角形； （2）若四边形AECF的面积为25，DE=2，求AE的长． 20. 某校在基地参加社会实践活动中，带队老师考问学生：基地计划新建一个矩形的生物园地，一边靠旧墙（墙足够长），另外三边用总长69米的不锈钢栅栏围成，与墙平行的一边留一个宽为3米的出入口，如图所示，如何设计才能使园地的而积最大？下面是两位学生争议的情境： 请根据上面的信息，解决问题： （1）设AB=x米（x＞0），试用含x的代数式表示BC的长； （2）请你判断谁的说法正确，为什么？ 21. 实践主题：黄金分割数． （1）材料探索：如图1，点是线段上的一点，将线段分割成，两条线段，且满足，这种分割叫做黄金分割．其中线段与的比值或线段与的比值叫做黄金分割数．若设线段，的长为，则可表示为，因为，所以，据此计算出黄金分割数（结果保留根号）． （2）顶角为的等腰三角形称为黄金三角形，黄金三角形的底与腰的比为上题中的黄金分割数（含根号）．如图2，若，，都是黄金三角形，已知，求的长． （3）如图3，正五边形的对角线恰围成“正五角星”（即阴影部分），其中是黄金三角形．若的面积为1，则正五角星的面积为___________． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22小题13分，第23小题14分，共27分． 22. 如图1，矩形中，，，将矩形绕着点B顺时针旋转，得到矩形． （1）当点E落在上时，则线段的长度等于 ； （2）如图2，当点E落在上时，求的面积； （3）如图3，连接、、、，判断线段与的位置关系且说明理由； （4）在旋转过程中，请直接写出的最大值． 23. 2024年“广西三月三·八桂嘉年华”盛大开幕，远在北京的小明慕名而来．热情好客的广西人给他敬了一碗糯米酒．爱思考的他发现：酒碗的截面图如图1所示，碗体呈抛物线状（碗体厚度不计），点E是抛物线的顶点，碗底高，碗口宽DC与碗底宽AB平行．当碗中装满酒时，酒面宽，此时酒的最大深度．以F为原点，水平线为x轴，直线为y轴，建立平面直角坐标系如图2所示．请你结合初中所学，解决小明提出的问题： （1）求出图2中抛物线的解析式； （2）喝掉部分酒后，其酒面下降了至线段处，试求此时酒面的宽度； （3）将酒碗绕点B缓缓倾斜倒出部分酒，如图3，当时停止，求此时的酒面的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $