精品解析：广东省肇庆市高要区第一中学、第二中学教育共同体2025-2026学年九年级上学期期中 数学 试题

2025-2026学年第一学期期中学业水平联合测 九年级数学科试卷 命制时间：10月25日 审核时间：10月31日 一、单选题（30分） 1. 下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（ ）． A. B. C. D. 2. 把抛物线向下平移1个单位，再向左平移2个单位，得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 3. 抛物线与y轴的交点坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 已知关于的一元二次方程有一个根为，则的值为（ ） A. 3 B. －3 C. 7 D. 5. 将一元二次方程配方后，原方程变形为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，将绕点逆时针旋转得到，点恰好落在的延长线上，则旋转角是（ ） A. B. C. D. 7. 关于的方程有实数根，则满足（ ） A. B. 且 C. 且 D. 8. 我市一科技公司计划在办公楼旁搭建一个矩形无人机起降平台，其中一边利用办公楼墙壁，另三边用安全护栏围成．已知护栏总长为36米，起降平台的面积为162平方米．设与办公楼平行的一边长为x 米，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，已知抛物线与直线交于，两点，则关于x的不等式的解集是（ ） A. 或 B. 或 C. D. 10. 二次函数的图像如图所示，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. （为任意实数） 二、填空题（15分） 11. 方程的解是_______． 12. 点A的坐标是，则点A关于原点对称的点的坐标是___． 13. 抛物线的对称轴____________． 14. 已知关于的一元二次方程的两个实数根为，，则的值是_____． 15. 已知点在抛物线上，则___________．（填“>”“<”或“=”） 三、解答题（一）（16题8分，17题8分，19题8分） 16. 选择适当的方法解下列方程： （1） （2） 17. 在数学活动课上，王老师要求学生将图1所示3×3正方形方格纸，剪掉其中两个方格，使之成为轴对称图形．规定：凡通过旋转能重合的图形视为同一种图形，如图2的四幅图就视为同一种设计方案（阴影部分为要剪掉部分） 请在图中画出4种不同的设计方案，将每种方案中要剪掉的两个方格涂黑（每个3×3的正方形方格画一种，例图除外） 18. 小明在求二次函数的顶点坐标时，方法如下： 第一步： 第二步： 第三步： 结论：顶点坐标 你认为小明做法是否有错， （1）如果有错错误步骤为______， （2）请写出正确解答过程． 四、解答题（二）（19题9分，20题9分，21题9分） 19. 沛县某村民合作社2022年种植生姜100亩，2024年该合作社扩大了生姜的种植面积，共种植144亩． （1）求该合作社这两年种植生姜亩数的平均增长率． （2）假定该合作社种植生姜亩数的平均增长率保持不变，预计2025年底，该合作社种植生姜的亩数可否突破175亩？ 20. 梅溪湖音乐喷泉，位于梅溪湖文化艺术中心之间的水面上，是国内独具特色的大型音乐喷泉，也是亚洲最长的音乐喷泉，喷泉可随着音乐的节奏律动，与绚丽的灯光融合变幻出无穷的水幕．若某一个泉眼喷出水流的轨迹是一条拋物线，垂直于水平面的喷水管高出地面1米，水流从A处喷出，喷出的抛物线形水柱在与喷水管底部水平距离为2米处达到最高，此时水柱高度为5米．如图所示，以喷水管底部的位置O点为原点，建立平面直角坐标系． （1）求抛物线函数表达式； （2）了使水落下后全部进入湖中，喷水管离岸边至少多少米？ 21. 如图，在中，，点O是中点，，将绕点O旋转，的两边分别与射线交于点D、E． （1）当转动至如图一所示的位置时，连接，求证：； （2）如图一，线段三者之间的数量关系是___________ （3）当转动至如图二所示的位置时，线段之间有怎样的数量关系？请说明理由． 五、解答题（三）（22题12分，23题12分） 22. 根据以下素材，探索完成任务： 如何设计实体店背景下网上销售价格方案? 素材 为了践行绿色出行的健康理念，小明大学毕业后和同学一起经营了一家自行车专卖店，在网上和线下同时销售，已知某品牌的自行车，成本价是300元/辆，网上和实体店售价均为500元/辆． 素材二 小明经过市场调查发现，该品牌自行车实体店每月的销售单价（元/辆）与销售量（辆）之间的关系如图所示： 素材三 据调查，网上销售量为每月800辆，销售价每降低10元，网上销售量平均每月多售出200辆，实体店的销售受网上影响，平均每月销售量减少20辆． 【问题解决】 任务一 确定函数求实体店销售该品牌自行车的月销售量（辆）关于销售单价（元辆）的函数模型解析式； 任务二 计算所当该品牌自行车的网上售价为420元辆时，求小明网上和实体店销售该牌自行车获利润的月利润分别是多少? 任务三 拟定价若使小明在实体店销售该品牌自行车获得11.25万元的销售利润且让利于顾客的方案，则该自行车的销售单价应定为多少元？ 23. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴相交于点、，与轴相交于点． （1）直接写出该二次函数的表达式； （2）当点是抛物线上一点，且在第一象限内时， ①若，求点的坐标； ②设点关于直线对称点点，当线段最大时，求此时点坐标，以及最大值； （3）点、点在二次函数图像上，若对于任意，，都有恒成立，请直接写出实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期期中学业水平联合测 九年级数学科试卷 命制时间：10月25日 审核时间：10月31日 一、单选题（30分） 1. 下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的识别，解题的关键是掌握两种图形的定义． 根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项进行判断即可，即平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形称为轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 【详解】解：A．是轴对称图形，也是中心对称图形，不符合题意； B．是轴对称图形，也是中心对称图形，不符合题意； C．是轴对称图形，不是中心对称图形，符合题意； D．是轴对称图形，也是中心对称图形，不符合题意； 故选：C． 2. 把抛物线向下平移1个单位，再向左平移2个单位，得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的平移规律，掌握“左加右减，上加下减”是解题的关键．根据二次函数的平移规律求解即可． 【详解】解：抛物线向下平移1个单位，再向左平移2个单位，得到的抛物线是， 故选：A． 3. 抛物线与y轴的交点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数与y轴的交点问题，求得时的y值即可求解． 【详解】解：对于，当， ∴抛物线与y轴的交点坐标是， 故选：D． 4. 已知关于的一元二次方程有一个根为，则的值为（ ） A. 3 B. －3 C. 7 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，代入求值是关键．将代入方程求出m值即可． 【详解】解：把代入， 得， 解得， 故选：D． 5. 将一元二次方程配方后，原方程变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，掌握配方的方法“方程两边同时加上一次项系数一半的平方”是解题的关键． 根据配方法的步骤即可解答． 【详解】解：， ， ， ， ． 故选：B． 6. 如图，在中，将绕点逆时针旋转得到，点恰好落在的延长线上，则旋转角是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，根据旋转的性质求解即可． 【详解】解：∵将绕点逆时针旋转得到， ∴旋转角是和． 故选：C． 7. 关于的方程有实数根，则满足（ ） A. B. 且 C. 且 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，一元二次方程根的判别式，掌握一元二次方程根的判别式是关键；分与两种情况，对后一种情况，利用一元二次方程根判别式即可求解，最后综合即可． 【详解】解：当时，即 原方程为，解得， 即时满足题意； 当时，即此时方程为一元二次方程， ∴， 解得：， 当且时，一元二次方程有实数根； 综上，当时，方程有实数根； 故选：A． 8. 我市一科技公司计划在办公楼旁搭建一个矩形无人机起降平台，其中一边利用办公楼墙壁，另三边用安全护栏围成．已知护栏总长为36米，起降平台的面积为162平方米．设与办公楼平行的一边长为x 米，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程应用题，根据题意找到等量关系列出关系式即可． 因为是矩形，所以另一边为 米，再根据矩形面积公式：长×宽＝面积可得． 【详解】解：与办公楼平行的一边长为 米，与相邻的一边长为米． ∴ 故选：D． 9. 如图，已知抛物线与直线交于，两点，则关于x的不等式的解集是（ ） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查利用函数图象解一元二次不等式及根据对称性求交点，根据抛物线与直线交于，两点，可得直线与抛物线交于点，两点，根据图象即可得到答案． 【详解】解：∵抛物线与直线交于，两点， ∴直线与抛物线交于点，两点， 图象如图所示， 当时，， ∴的解集是， 故选：D． 10. 二次函数图像如图所示，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. （为任意实数） 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图像性质，熟练掌握二次函数的图像性质是解题的关键，关键二次函数图像性质逐一分析判断即可． 【详解】解：A、由二次函数图像可知：， 对称轴， ， 而二次函数图像与y轴交点在y轴正半轴， ， ，故A选项正确，不符合题意； B、由对称轴可得， ， 故B选项错误，符合题意； C、当时，， 故C选项正确，不符合题意； D、当时，有最大值， 当时，， ， ， 故D选项正确，不符合题意． 故选：B． 二、填空题（15分） 11. 方程的解是_______． 【答案】 ， 【解析】 【分析】本题考查直接开方法解一元二次方程，先移项，然后直接开方解方程即可． 【详解】解：， ， ∴， ∴，． 故答案为：，． 12. 点A的坐标是，则点A关于原点对称的点的坐标是___． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标，直接利用关于原点对称点的性质（两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反）得出答案． 【详解】解：在平面直角坐标系中，点A的坐标是，则点A关于原点对称的点的坐标是． 故答案为：． 13. 抛物线的对称轴____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 先将一般式化为顶点式，即可求解． 【详解】解：， 抛物线的对称轴是直线． 故答案为：． 14. 已知关于的一元二次方程的两个实数根为，，则的值是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若，为方程的两个根，则，与系数的关系：，． 先根据根与系数的关系求出，，再代入计算即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的两个实数根为，， ∴，， ∴． 故答案为：． 15. 已知点在抛物线上，则___________．（填“>”“<”或“=”） 【答案】> 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质． 根据二次函数的性质得到当时随的增大而减小，则可比较与的大小． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为， 又∵， ∴当时随的增大而减小， ∵，故， ∴， 故答案为：>． 三、解答题（一）（16题8分，17题8分，19题8分） 16. 选择适当的方法解下列方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，熟知步骤是解题的关键． （1）直接利用十字相乘法进行因式分解，从而求得方程的解； （2）先移项再提取公因式进行因式分解，从而求得方程的解． 【小问1详解】 解：， ， 或， 即，． 【小问2详解】 解：， ， ， ， 或或或y， 即，． 17. 在数学活动课上，王老师要求学生将图1所示的3×3正方形方格纸，剪掉其中两个方格，使之成为轴对称图形．规定：凡通过旋转能重合的图形视为同一种图形，如图2的四幅图就视为同一种设计方案（阴影部分为要剪掉部分） 请在图中画出4种不同的设计方案，将每种方案中要剪掉的两个方格涂黑（每个3×3的正方形方格画一种，例图除外） 【答案】见解析. 【解析】 【分析】根据轴对称图形和旋转对称图形概念作图即可得． 【详解】解：根据剪掉其中两个方格，使之成为轴对称图形；即如图所示： 【点睛】本题主要考查利用旋转设计图案，解题的关键是掌握轴对称图形和旋转对称图形的概念． 18. 小明在求二次函数的顶点坐标时，方法如下： 第一步： 第二步： 第三步： 结论：顶点坐标 你认为小明做法是否有错， （1）如果有错错误步骤______， （2）请写出正确解答过程． 【答案】（1）一 （2）答案见解析 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质以及二次函数三种形式的相互转化，掌握二次函数的性质是解题的关键． 利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式． 【小问1详解】 解：小明的做法从第 一步考试错的； 故答案为：一． 【小问2详解】 此题正确的解答过程为： （第一步） （第二步） ，（第三步） 结论：顶点坐标是（第四步）． 四、解答题（二）（19题9分，20题9分，21题9分） 19. 沛县某村民合作社2022年种植生姜100亩，2024年该合作社扩大了生姜的种植面积，共种植144亩． （1）求该合作社这两年种植生姜亩数的平均增长率． （2）假定该合作社种植生姜亩数的平均增长率保持不变，预计2025年底，该合作社种植生姜的亩数可否突破175亩？ 【答案】（1） （2）没有突破175亩 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）设该合作社这两年种植生姜亩数的平均增长率为，根据增长率计算公式建立方程求解； （2）由2024年种植生姜数量（增长率）求解2025年种植生姜数量，再与175比较即可． 【小问1详解】 解：设该合作社这两年种植生姜亩数的平均增长率为， 由题意得：， 解得：，（舍）， 答：该合作社这两年种植生姜亩数的平均增长率为； 小问2详解】 解：， 答：合作社种植生姜的亩数没有突破175亩． 20. 梅溪湖音乐喷泉，位于梅溪湖文化艺术中心之间的水面上，是国内独具特色的大型音乐喷泉，也是亚洲最长的音乐喷泉，喷泉可随着音乐的节奏律动，与绚丽的灯光融合变幻出无穷的水幕．若某一个泉眼喷出水流的轨迹是一条拋物线，垂直于水平面的喷水管高出地面1米，水流从A处喷出，喷出的抛物线形水柱在与喷水管底部水平距离为2米处达到最高，此时水柱高度为5米．如图所示，以喷水管底部的位置O点为原点，建立平面直角坐标系． （1）求抛物线的函数表达式； （2）为了使水落下后全部进入湖中，喷水管离岸边至少多少米？ 【答案】（1） （2）为了使水落下后全部进入湖中，喷水管离岸边至少米 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，理解题意并列出二次函数表达式是解决本题的关键． （1）根据题意运用待定系数法求解即可； （2）根据题意令，进行求解即可． 【小问1详解】 解：由题意可得抛物线经过点，且顶点为点， 设抛物线的函数表达式为， 将代入表达式得，解得：， 抛物线的函数表达式为． 【小问2详解】 解：将代入函数表达式得， 解得，， ，不符合题意，故舍去， 为了使水落下后全部进入湖中，喷水管离岸边至少米． 21. 如图，在中，，点O是中点，，将绕点O旋转，的两边分别与射线交于点D、E． （1）当转动至如图一所示的位置时，连接，求证：； （2）如图一，线段三者之间的数量关系是___________ （3）当转动至如图二所示的位置时，线段之间有怎样的数量关系？请说明理由． 【答案】（1）见解析 （2） （3），理由见解析 【解析】 【分析】本题考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． （1）根据ASA证明即可； （2）连，则可得到，然后证明得到，则； （3）连接，同理可得，则，然后证明得到，则． 【小问1详解】 证明：∵，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴． 【小问2详解】 ，理由如下： 如图所示，连， ∵，O为AB的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 ． 理由：连接． ∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 五、解答题（三）（22题12分，23题12分） 22. 根据以下素材，探索完成任务： 如何设计实体店背景下的网上销售价格方案? 素材 为了践行绿色出行的健康理念，小明大学毕业后和同学一起经营了一家自行车专卖店，在网上和线下同时销售，已知某品牌的自行车，成本价是300元/辆，网上和实体店售价均为500元/辆． 素材二 小明经过市场调查发现，该品牌自行车实体店每月的销售单价（元/辆）与销售量（辆）之间的关系如图所示： 素材三 据调查，网上销售量为每月800辆，销售价每降低10元，网上销售量平均每月多售出200辆，实体店的销售受网上影响，平均每月销售量减少20辆． 【问题解决】 任务一 确定函数求实体店销售该品牌自行车的月销售量（辆）关于销售单价（元辆）的函数模型解析式； 任务二 计算所当该品牌自行车的网上售价为420元辆时，求小明网上和实体店销售该牌自行车获利润的月利润分别是多少? 任务三 拟定价若使小明在实体店销售该品牌自行车获得11.25万元的销售利润且让利于顾客的方案，则该自行车的销售单价应定为多少元？ 【答案】任务一：；任务二：小明网上和实体店销售该品获利润牌自行车的月利润分别是28.8万元和6.8万元；任务三：550元 【解析】 【分析】此题考查一次函数的实际应用，一元二次方程的实际应用，正确理解题意是解题的关键． 任务一：设，利用待定系数法求解； 任务二：根据一辆自行车的利润乘以销售量分别求出网上和实体店的利润； 任务三：根据一辆自行车的利润乘以销售量列一元二次方程求解． 【详解】解：任务一：设， 将点代入，得 ， 解得， ∴； 任务二：网上销售该品牌自行车的利润为：（元）（万元）， 实体店销售该品牌自行车的利润为：（元）（万元）； 答：小明网上和实体店销售该品获利润牌自行车的月利润分别是28.8万元和6.8万元； 任务三：由题意得 整理得 解得 ∵要让利于顾客， ∴ 答：该自行车的销售单价应为550元． 23. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴相交于点、，与轴相交于点． （1）直接写出该二次函数的表达式； （2）当点抛物线上一点，且在第一象限内时， ①若，求点的坐标； ②设点关于直线对称点为点，当线段最大时，求此时点坐标，以及最大值； （3）点、点在二次函数图像上，若对于任意，，都有恒成立，请直接写出实数的取值范围． 【答案】（1） （2）①；②，最大值为 （3） 【解析】 【分析】（1）将点A，B的坐标代入，即可求出抛物线的解析式； （2）①先求得直线的解析式为，设点，则，根据，可得，解方程，即可求解；②过点作于点，过点作轴交于点，点关于直线对称点为点，当线段最大时，则取得最大值，进而设点，则，得出的关系式，根据二次函数的性质求得的最大值，进而根据，即可求解． （3）先求抛物线的对称轴，然后分，，三种情况，利用二次函数的图象及性质可以分别求出t的值． 【小问1详解】 解：将点代入， 得， 解得，， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：①如图所示，过点作轴于点， 当时，， ∴ 设直线的解析式为， 将点代入， 得，， ∴， ∴直线的解析式为， ∵、， ∴ 设点，则， ∵ ∴ ∴，即 解得：或（舍去） ∴； ②如图所示，过点作于点，过点作轴交于点， ∵点关于直线对称点为点，当线段最大时，则取得最大值， ∵， ∴是等腰直角三角形，则， 又∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴当线段最大时，取得最大值，， 设点，则， ∴， ∴当时，取得最大值，此时， ∴，此时； 【小问3详解】 在中，对称轴为直线， 若，即时， 当时，函数有最大值， 当时，函数有最小值， ∵， ∴， 解得，； ∴ 若且，即时， 当时，函数有最大值为， 当时，函数有最小值， ∵， ∴， 解得，； ∴； 若且，即时， 当时，函数有最大值为， 当时，函数有最小值， ∵， ∴， 解得，； ∴ 若，即时， 当时，函数有最大值为， 当时，函数有最小值为， ∵， ∴ 解得，； ∴ 综上所述，． 【点睛】本题考查了二次函数综合应用，待定系数法求解析式，面积问题，线段周长问题，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质及分类讨论是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $