20.1勾股定理及其应用 课件 2025-2026学年人教版数学八年级下册

该初中数学课件围绕“勾股定理及其应用”展开，通过土地拍卖广告情景导入，引导学生从等腰直角三角形的面积关系探究入手，逐步推广到一般直角三角形，借助赵爽弦图完成定理证明，进而延伸至数轴表示无理数、折叠问题等应用，构建起“探究—证明—应用”的学习支架。 其亮点在于融入赵爽弦图等中国古代数学文化，以形证数的数形结合思想培养学生数学眼光，通过从特殊到一般的推理过程发展数学思维，结合折叠问题、希波克拉底月牙等实例强化数学语言应用。采用情景导入与动手拼图活动，小结从定理、思想等多维度梳理，助力学生提升抽象能力与应用意识，也为教师提供了丰富的教学资源与清晰的教学流程。

20.1勾股定理及其应用 1.可以运用勾股定理处理几何中的问题. 2.可以运用勾股定理进行计算. 重点难点： 1.会运用勾股定理确定数轴上表示实数的点及解决网格问题．      2.灵活运用勾股定理进行计算，并会运用勾股定理解决相应的折叠问题. 学习目标： 情景导入 某拍卖行贴出了如下的一个土地拍卖广告：如下图，有面积为560英亩的土地拍卖，土地共分三个正方形，面积分别为74英亩、116英亩、370英亩．三个正方形恰好围着一个池塘，如果有人能计算出池塘的准确面积．则池塘不计入土地价钱白白奉送．英国数学家巴尔教授曾经巧妙地解答了这个问题，你能解决吗? 探究新知 观察下图，三个正方形的面积有什么关系？　　 A B C 4个 的面积 4个 的面积 SASB SC  以等腰直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的大正方形的面积 探究新知 A B C a b c A B C 等腰直角三角形的三边之间有什么关系？ 探究新知 a b c a² b² c² A B C SASB SC  a²b² c²  等腰直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方和. 等腰直角三角形的三边之间有什么关系？ ∵ SA+SB=SC 如图所示，设直角三角形的两直角边分别为a、b，斜边为c. ∴ a2+b2=c2 即： 在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方. 问题探究 A B C a c b 如图，在直角三角形中，如果两直角边分别为a、b，斜边为c，那么：a2+b2=c2. 命题1： 怎样验证这个结论的正确性呢？ 总结归纳 A B C a b c a b b c a b c 证法1 让我们跟着我国汉代数学家赵爽拼图,再用所拼的图形证明命题吧. a a b c ∵S大正方形＝c2， S小正方形＝(b-a)2, ∴S大正方形＝4·S三角形＋S小正方形， 赵爽弦图 b-a 证明： “赵爽弦图”表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，它是我国古代数学的骄傲.因此，这个图案被选为2002年在北京召开的国际数学家大会的会徽. 画长为的线段 当直角三角形的两条直角边长都为1时，斜边长为， 即， 依此类推，可以画出长为，，，， ⋯的线段． 原点左边的点表示负无理数，原点右边的点表示正无理数． 利用勾股定理在数轴上表示无理数的方法： 1 2 以原点为圆心，以无理数斜边为半径画弧与数轴存在交点，弧与数轴的交点即为表示无理数的点． 利用勾股定理把一个无理数表示成直角边的长为正整数的直角三角形的斜边； 注意 12 =2ab+b2-2ab+a2 =a2+b2 ∴a2+b2=c2 大正方形的面积可以表示为 ； 也可以表示为 c2 4• +(b- a)2 ∵ c2= 4• +(b-a)2 拼图2 c a b c b a c a b c a b 割弦图 补 我国有记载的最早勾股定理的证明，是三国时，我国古代数学家赵爽在他所著的《勾股方圆图注》中，用四个全等的直角三角形拼成一个中空的正方形来证明的.每个直角三角形的面积叫朱实，中间的正方形面积叫黄实，大正方形面积叫弦实，这个图也叫弦图.２００２年的国际数学家大会将此图作为大会会徽． 黄实 朱实 朱实 朱实 朱实 解：(1)据勾股定理得 (2)据勾股定理得 C A B 【例1】如图，在Rt△ABC中， ∠C=90°. (1)若a=b=5,求c； (2)若a=1,c=2,求b. 15 ∵， ∴可以看作是直角边长 为2，3的直角三角形的斜边长． 如图，三角形ABC即所要画 的三角形， 面积为 A B C 3．如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，将其沿MN折叠，使点B落 在CD边上的B′处，点A的对应点为A′，且B′C＝3，求AM的长． 解：连接BM，MB′．设AM＝x， 　　在Rt△ABM中，AB2＋AM2＝BM2． 　　在Rt△MDB′中，MD2＋DB′2＝MB′2． 　　∵MB＝MB′，∴AB2＋AM2＝MD2＋DB′2， 　　即92＋x2＝(9－x)2＋(9－3)2，解得x＝2． 　　即AM＝2． 板书设计 勾股定理： 直角三角形两直角边a、b的平方和，等于斜边c的平方。 即：a2+b2 =c2 作业布置 【知识技能类作业】必做题：  1.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”.当AC＝3，BC＝4时，阴影部分的面积为 . 2.如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，观察图形,可以验证的式子为( ) A.(a+b)(a-b)=a2-b2 B.(a+b)2=a2+2ab+b2 C.c2=a2+b2 D.(a-b)2=a2-2ab+b2 6　 C 拓展延深 （1）若a、b、c分别是Rt△ABC的三边，a=6,b=8则c的是多少？ （2）在等腰△ABC中，AB=AC=13，BC=10，求△ABC的面积 我的收获 一个定理 →勾股定理 一种思想 →以形证数的数形结合的数学思想 一次探索 →由一般到特殊的科学探索 一份自豪 →中国人的自豪 结论: S1+S2+S3+S4 =S5+S6 =S7 已知S1 =1， S2 =3， S3 =2， S4 =4，求S5、 S6、S7的值. 能力提升 1 1 美丽的勾股树 通过这种方法，可以把一个正方形的面积分成若干个小正方形的面积的和，不断地分下去，就可以得到一棵美丽的勾股树． $