20.1 勾股定理及其应用（第2课时）课件 2025-2026学年人教版八年级数学下册

勾股定理及其应用（第2课时） 数学人教版八年级下册 1 上一节课我们成功探索并证明了勾股定理，知道了直角三角形的三边具有特殊的数量关系，即两条直角边长的平方和等于斜边长的平方． 勾股定理反映了直角三角形三边之间的数量关系，是数学中重要的定理之一，在现实生活中有着极为广泛的应用．今天，我们就一同探究如何运用它解决实际问题． 问题 同学们见过工人师傅搬东西吗？如果要搬运的物品，它的长或宽都比房间的门更大时，它还有可能通过吗？这时候，有经验的工人师傅会怎么做呢？ 想象一下，现在有一块长方形的薄木板，想通过矩形门框，横着或竖着都无法通过时，应该怎样判断它能否斜着通过呢？ 木板的长、宽 门框对角线的长度 比较大小 连接对角线 AC，构造 Rt△ABC.其中，∠B＝90°， AB＝1 m，BC＝2 m. 问题1 一个门框的尺寸如图所示，一块长 3 m，宽 2.2 m 的长方形薄木板能否从门框内通过？为什么？ 关键：先求出门框对角线的长度，再比较这个长度与木板的宽度. 求斜边AC ，再与木板宽度 2.2 m 比较即可. 勾股定理 分析： 问题1 解：连接AC，在Rt△ABC中，根据勾股定理， AC2＝AB2＋BC2＝12+22＝5， 所以 AC＝ ≈2.24＞2.2 ． 所以木板能从门框内通过． 一个门框的尺寸如图所示，一块长 3 m，宽 2.2 m 的长方形薄木板能否从门框内通过？为什么？ 归纳 “能否通过”类问题的解题要点 （1）核心思想：在矩形（门框、通道等）中构造直角三角形，矩形的对角线为斜边； （2）解题步骤：①构造直角三角形；②找准直角、斜边和直角边；③用勾股定理求对角线（斜边）长度；④与物体的关键尺寸比较． 6 问题2 如图，一架长为 2.5 m 的梯子斜靠在竖直的墙上，此时梯子一边的顶端位于墙面的点 A 处，底端位于地面的点 B 处，点 B 到墙面的距离 BO 为 0.7 m．如果将梯子底端沿 OB 向外移动 0.8 m，那么梯子顶端也沿墙 AO 下滑 0.8 m 吗？ 关键：梯子移动前后，梯子的长度始终保持不变，即 AB＝CD． 问题2 分析1：梯子移动前后，分别构成了哪两个直角三角形？已知边和待求边分别是什么？ 移动前：构成了Rt△AOB ，斜边 AB＝2.5 m，直角边 OB＝0.7 m，待求直角边为 OA． 移动后：构成了Rt△COD ，斜边 CD＝2.5 m，直角边 OD＝ 0.7＋0.8＝ 1.5 m，待求直角边为 OC． 0.7 0.8 2.5 2.5 问题2 分析2：如何判断梯子顶端是否沿墙 AO 下滑 0.8 m？ 可以先根据勾股定理分别求出 OA 和 OC，再计算出 OA 与 OC 的差值，即为顶端下滑的距离． 0.7 0.8 2.5 2.5 问题2 解：当梯子底端沿 OB 向外移动 0.8 m 时，设梯子的底端由点B 移动到点 D，顶端由点 A 下滑到点 C．可以看出，AC＝OA－OC． 在 Rt△AOB 中，根据勾股定理， OA2＝AB2－OB2＝2.52－0.72＝5.76，OA＝2.4． 在 Rt△COD 中，根据勾股定理， OC2＝CD2－OD2＝2.52－(0.7+0.8)2＝4，OC＝2． 所以，AC＝OA－OC＝2.4－2＝0.4． 因此，梯子顶端并不是下滑 0.8 m，而是下滑 0.4 m． 归纳 “梯子移动”类问题的解题要点 （1） 隐藏条件：梯子长度不变，始终为直角三角形的斜边长； （2） 核心思路：分别分析移动前后的两个直角三角形，用勾股定理求对应直角边长度； （3） 关键提醒：避免主观臆断“底端移动距离＝顶端移动距离”，需通过计算验证． 11 　　1．如图， A，B 是池塘边上的两点，点 C 是与 BA 方向成直角的方向上一点，测得 BC＝60 m，AC＝20 m．求 A，B 两点间的距离（结果取整数）． 　　解：在 Rt△ABC 中，根据勾股定理， AB2＝BC2－AC2＝602－202＝3 200． AB＝ ≈57． 所以 A，B 两点间的距离约为 57 m． 　　2．如图，用激光测距仪测量一栋楼的高度，位于地面上点 A 处的激光测距仪先将激光射向楼底端的点 B，仪器显示 AB＝23.1 m；再将激光射向楼顶端的点 C，仪器显示 AC＝31.9 m；最后仪器自动显示出楼高 BC＝22 m．你能说出其中的数学道理吗？ 　　解：在Rt△ABC中，根据勾股定理， BC2＝AC2－AB2＝31.92－23.12＝484． BC＝ ＝22． 所以楼高 BC 为 22 m． 间接测量建筑物高度的方式 　　3．电视机的屏幕尺寸是指它的屏幕对角线的长度，通常以英寸（1英寸＝2.54 cm）为单位．王芳测得自家电视机的屏幕宽为 71 cm，高为 40 cm，这台电视机的屏幕尺寸是多少英寸（结果取整数）？ 　　解：设屏幕对角线长度为 x cm， 在直角三角形中，根据勾股定理， 71 cm 40 cm 　　 x2＝712＋402＝6 641．x＝ ≈81.49． 81.49÷2.54≈32． 答：这台电视机的屏幕尺寸约为 32 英寸． 归纳 利用勾股定理解决实际问题的一般步骤 （1）审清题意，识别实际问题中的直角三角形场景，明确直角、直角边和斜边； （2）根据勾股定理列出数量关系式； （3）代入数据计算，检验结果是否符合实际意义，写出最终结论． 15 勾股定理的应用 转化思想 实际问题 与直角三角形有关的数学问题 一般步骤 找到直角三角形，明确直角、直角边和斜边 根据勾股定理，列出数量关系式 计算，检验结果是否符合实际意义 再见 $