新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市天山区高一数学下学期阶段测试2025-2026学年人教A版必修第二册第六章

**基本信息** 高一数学下学期“平面向量及其应用”单元卷，90分钟150分，通过原创题（如单位向量夹角计算）、新情境题（敬亭山测楼高）融合文化与应用，适配单元复习，落实数学眼光、思维与语言素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|向量概念（共线向量）、坐标运算|基础辨析与运算，如第1题概念判断| |多选题|3/18|向量基底、解三角形命题判断|综合应用，如第10题三角形命题真假判断| |填空题|3/18|单位向量夹角（原创）、投影向量|创新设问，如第12题单位向量夹角计算| |解答题|4/74|向量数量积、解三角形综合（求角、最值）|分层设计，如18题结合角平分线求取值范围|

高一数学下学期阶段测试 第六章 平面向量及其应用 答案及解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 D B A D C C A B BCD AB AC 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.【答案】D  【解析】解：根据向量的模长公式，向量的模是一个非负实数，故正确； B.任何一个非零向量都可以平行移动，由相等向量定义知正确； C.长度不相等而方向相反的两个向量一定是共线向量，由共线向量定义知正确； D.两个有共同起点且共线的向量其终点不一定相同，故错误． 故选D． 2.【答案】 B 【解析】解：由题意可得=2 故选B． 3.【答案】A  【解析】解：在中，由正弦定理，得， 在中，．故选：． 4.【答案】 D 【解析】解：由 ，得 ，则． 又 是 上一点，所以 ，解得．故选D 5.【答案】C  【解析】解：则=,,当=时，解得；当=时，，解得，故选C 6.【答案】C  【解析】解：不妨设点，则=(a-2,-2) ,=(a-4,-1),=(a-2)(a-4)+2=,当时有最小值，故点P坐标（3，0）.故选C 7.【答案】A  【解析】解：，，， ， ，，三点共线，且，，，整理得， ， 当且仅当时等号成立．故选A 8.【答案】B  【解析】如图，以为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，则，，，， 因为为的中点，所以， 则，， 故，， 所以，故选B． 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，多项选择题全部选对得6分，部分选对得部分分数，有选错的得0分 9.【答案】BCD  【解析】解：因为，， 所以， 所以，故A错误 易得与为一组不共线的非零向量，根据基底向量的定义可得B正确 因为，， 所以，，故C正确 因为，，所以在方向上的投影向量的坐标为，，故D正确 故选BCD． 10.【答案】AB  【解析】解：对于，因为， 由正弦定理得， 所以，即， 因为，可得， 所以， 所以，所以A正确 对于，由，且在区间为减函数，可得， 所以， 又由正弦定理，可得，所以B正确 对于，由余弦定理得， 因为，所以为锐角，但是，角大小不确定，所以C错误 对于中，由正弦定理得即展开化简得：即故或,所以D错误，故选：． 11.【答案】AC  【解析】解：对于：由余弦定理可得， 当且仅当时，等号成立， ，最大值为，故A正确； 对于：由余弦定理，故B错误； 对于：由余弦定理，得， 所以， 所以，当且仅当时等号成立， 故的周长为，即C正确； 对于：， ，， 当时，此式无意义， ，，， 时，，，故D错误． 故选：． 三、填空题：本题共3小题，每小题6分，共18分。 12.【答案】-或- （6分） 【解析】解：因为，均为单位向量，所以， 因为和的夹角为，所以， 而， ， ， 因为和的夹角为， 所以，解得或． 故答案为：-或-． 13.【答案】 【解析】解：因为向量在向量的投影向量是即所以， 所以故答案为：． 14.【答案】 （6分） 【解析】解：对于，因为，， 所以，取中点，则， 则动点一定过的重心，即正确； 对于，取一点使得，并连接，如图所示， 由于，因此， 于是，从而的内心在射线上． 由于，， 于是就有， 即，， 因此动点的轨迹是射线，过的内心，即正确． 对于，因为 ， 所以=0 所以点P的轨迹一定过的垂心，即正确 对于，因为是所在平面内一定点，且，则为的重心，所以，即正确，综上可知：正确的命题为， 故答案为． 四、解答题：本题共4小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.【答案】-5 ． 【解析】解：已知向量，，与的夹角为， 则 ------- 3分 ； -------- 6分 ， ， -------- 11分 即， -------- 16分 ．  ---------18分 16.【答案】 ,= 【解析】解：因为， 所以， 所以 -------- 2分  ， -------- 5分 因为是的中点， 所以  ； -------- 9分 由知，， 所以 -------- 14分 ，                       所以． -------- 18分 17.【答案】． ． 【解析】解：由， 可得， 由正弦定理可得，， -------- 4分 所以， 因为， 所以， 可得． -------- 9分 由正弦定理可得，，， -------- 11分 -------- 14分 ， 整理可得，， 由可得， -------- 17分 故， 所以．  -------- 19分 18.【答案】   【解析】解：， 由正弦定理得，， -------- 2分 展开得， 即， 因为， 所以， 所以， 可得，即， 因为，所以 所以，即． -------- 5分 由，得， 所以， -------- 6分 所以， 得， 又， -------- 9分 令，则， 则当且仅当时，等式成立，取最小值． -------- 12分 在中，由正弦定理得，即， ------ 14分 所以 --- 16分 又因为， 所以，， 当且仅当时，等号成立， 则  -------- 19分 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 应用场景：单元测 高一数学下学期阶段测试 第6章 平面向量及其应用 （考试时间：90分钟，分值：150分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列说法不正确的是(    ) A. 向量的模是一个非负实数 B. 任何一个非零向量都可以平行移动 C. 长度不相等而方向相反的两个向量一定是共线向量 D. 两个有共同起点且共线的向量终点也必相同 2.（原创）已知，，则(    ) A. B. C. 0 D. 3.（新情境题）相看两不厌，只有敬亭山李白曾七次登顶拜访的敬亭山位于安徽省宣城市北郊，其上有一座太白独坐楼如图，如图，为了测量该楼的高度，一研究小组选取了与该楼底部在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，，在点处测得该楼顶端的仰角为，则该楼的高度为(    ) A. B. C. D. 4.如图，在中，，是上一点若，则实数的值为(    ) A. B. C. D. 5.已知点，向量，，点是线段的三等分点，则点的坐标是(    ) A. B. C. 或 D. 或 6.已知为坐标原点，向量，，在轴上有一点，使得有最小值，则点的坐标为(    ) A. B. C. D. 7.设向量，，，其中为坐标原点，，，若，，三点共线，则的最小值为(    ) A. B. C. D. 8.在中，，，，为的中点，点满足，直线与交于点，则(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，多项选择题全部选对得6分，部分选对得部分分数，有选错的得0分。 9.已知平面向量，，则下列结论正确的有(    ) A. B. 与可作为一组基底向量 C. 与夹角的余弦值为 D. 在方向上的投影向量的坐标为 10.在中，角，，的对边分别为，，，则下列命题中为真命题的是(    ) A. 若，则为直角三角形 B. 若，则 C. 若，则为锐角三角形 D. 若，则为直角三角形 11.已知三个内角，，的对应边分别为，，，且，，则下列结论正确的有(    ) A. 面积的最大值为 B. C. 周长的最大值为 D. 的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题6分，共18分。 12.（原创）已知，均为单位向量，且和的夹角为，若和的夹角为，则          ． 13（原创）已知向量满足向量在向量的投影向量是，则          . 14.在中，给出如下命题： 是所在平面内一定点，动点满足，，则动点的轨迹一定过的重心． 是所在平面内一定点，动点满足，，则动点的轨迹一定过的内心． 是所在平面内一定点，动点P满足 ,.点P的轨迹一定过的垂心。 是所在平面内一定点，且，则． 其中正确的命题有          个 四、解答题：本题共4小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分已知平面向量，，与的夹角为． 求的值； 当实数为何值时，． 16.本小题分如图，在中，，是的中点，设，．  试用，表示； 若，与的夹角为，求． 17.本小题9分 已知的三个内角，，的对边分别为，，，，． 求角的大小； 若，，求的值． 18.本小题分 在中，角，，所对的边分别为，，，满足． 求角． 为边上一点，且． 若，求当取最小值时的值 若为角平分线，求的取值范围． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $双向细目表 新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市天山区高一数学下学期阶段测试（人教A版必修第二册第六章）（细目表） 题号 题型 分值 考查知识点 难度系数（预估） 1 单选题 5 向量的模、相等向量、相反向量、共线向量 0.80 2 单选题 5 平面向量数量积的坐标运算 0.85 3 单选题 5 正弦定理在现实生活中的简单应用 0.76 4 单选题 5 平面向量基本定理、三点共线定理的推论及应用 0.70 5 单选题 5 向量共线定理及三点共线的向量表示 0.69 6 单选题 5 平面向量数量积、二次函数利用配方法求最值 0.65 7 单选题 5 三点共线定理，基本不等式求最值及“1”的妙用 0.60 8 单选题 5 向量共线定理及和两向量的夹角公式 0.46 9 多选题 6 向量数量积的坐标运算、基底、投影向量 0.62 10 多选题 6 正、余弦定理在解三角形中的运用，考查运算求解能力 0.50 11 多选题 6 正弦定理，余弦定理，三角恒等变换公式，基本不等式 0.45 12 填空题 6 单位向量、平面向量数量积及夹角公式 0.65 13 填空题 6 向量数量积、向量的模及投影向量 0.60 14 填空题 6 平面向量数量积、重心、内心、垂心的定义 0.40 15 解答题 18 向量数量积及两向量垂直的充要条件 0.80 16 解答题 18 向量加减法的三角形法则及数乘运算、向量的模 0.74 17 解答题 19 正弦定理，余弦定理，和差角公式在三角化简求值中的应用 0.48 18 解答题 19 向量的数量积求向量的模、利用正余弦定理解三角形 0.35 $