新疆生产建设兵团第二中学2025-2026学年高一下学期数学小周测(4.16)

兵团二中2025-2026学年高一下学期数学小周测(4.16) 6.水品是一种石英结品体矿物，因其硬度、色泽、光学性质、稀缺性等，常被人 学校： 姓名： 班级：考号： 们制作成饰品，如图所示，现有棱长为2cm的正方体水晶一块，将其裁去八个相 一、单选题 同的四面体，打磨成饰品，则该饰品的表面积为() 1.如图，四边形ABCD的斜二测画法的直观图为等腰梯形A'B'CD,己知AB=4,cD。2,则下列说法正确 的是〈) A.（16+35)em B.(16+43m2 A.AD=2/2 D B.AB2 c.(12+3w5cm2 D.(12+4w5)cm2 C.四边形ABCD的面积为3W2 D.四边形ABCD的周长为6+2√5+2√2 7.球体被平面截得的一部分几何体称为球缺，截面叫做球缺的底 面，垂直于截面的直径被截得的线段长叫做球铁的高（如图）.若 2.若a,b是空间中的两条直线，则a/b”是“存在平面a,使aC,bca"的(). A.充分非必要条件 B。必要非充分条件 球缺的底面半径为，高为，则球缺的体积P=二h(3r2+).己 6 C.充要条件 D.既非充分也非必要条件 知棱长为2的正方体ABCD-ABGD的各个项点都在球O上，平 3:己知m是两条不同的直线，a,B,y是三个不同的平面，则下列结论一定成立的是() 面ABCD将球O截成两部分，那么较小部分的体积为() A.若&上B,/(a,则m/1B B.若a⊥Ba⊥y,则B//Y A.65-8xB.8-45x c.25-1π 3 D.45-4x C.若m//立，n/&,则m//n 3 3 D.若m⊥m⊥B,则a/B 4.如图，二面角&-1-B的大小是60°，线段ABca,B∈I,AB与I所成的角 8.一个圆锥的底面半径与一个球的半径相等，且它们的体积也相等，则圆锥的侧面积与球的表面积的比值为() 为30°，则AB与平面B所成的角的正弦值是() A.1 B.v13 c.vi3 D.7 4 4 4 46 w.c D. √29 B.3 4 3 2 二、多选题 9.在正三棱柱ABC-ABC中，D为BC的中点，则() 5.某家用方形分羧漏斗的主体结构可抽象成一个上大下小的正四棱台 A.AD⊥AC B.BC⊥平面AAD ABCD-4BCD,若AB=30cm,4=10cm,且侧面与上底面ABCD的夹角 C.CC∥平面AAD D.AD∥AB 为60°，若不考虑材料厚度、接缝及裁剪损耗，制作该漏斗的侧面所需材料的面 D.- 积为() A B A.1600cm2B.2005cm2C.400cm3 D.800W3cm2 试卷第1页，共2页 10.如图.在棱长为2的正方体ABCD-ABCD中，点P在aABD内（含边界）且A,P=√2，则以下结论正确 的是() D A.异面直线品与BC,所成的角是 B.AP与平面ABD所成的线面角的正切值为√2 C.点P的运动轨迹长度为26， D 3 D.点P到平面A8CD面离的取值范国是导习 11,如图1，在长方形ABCD中，P是CD边上一点，且AB=4,AD=2,DP=1,将△MDP沿着AP御折至△AOP, 连接QB.QC,得到如图2所示的四棱锥Q-ABCP,则下列结论正确的是() D P 图1 图2 A.四棱锥Q-ABCP体积的最大值为145 13 B.当平面Q4P⊥平面ABCP时，三棱锥Q-BCP的外接球的表面积为 C.在翻折的过程中，BP与AQ始终不垂直 D.若丽=0，则cg= 2 试卷第2页，共2页 《兵团二中2025-2026学年高一下学期数学小周测(4.16)》参考答案 题号 1 2 4 6 6 ⊙ 9 10 答案 0 A 0 B D 0 BC BCD 题号 11 答案 ABD 1.D 【分析】根据斜二测画法，画出原图，结合长度、面积、周长等知识进行分析，从而确定正 确答案 【详解】对于A、B,由题设易得AD=√2，原平面图如下AB=AB=4,CD=CD'=2, AD=2AD'=2√2，故A、B错误： O(4) B 对于C,四边形ABCD的面积为： 2×(4+2)×2W2=6/2,即C错误. 对于D,在原图形中，过C作CF⊥AB交AB于点F,则AF=DC=BF=2, 由勾股定理得CB=√22+(2V②)=25， 故四边形ABCD的周长为：4+2+2√2+2W3=6+2√2+23，即D正确： 2.A 【分析】根据空间中线、面关系结合充分、必要条件分析判断 【详解】若a/lb,可知直线a,b是共面直线，则存在平面a,使aca,bca,即充分 性成立： 若存在平面a,使ac,bca,则直线a,b可能相交，即必要性不成立： 综上所述：“a/b”是“存在平面a,使aCa,bc的充分非必要条件 3.D 【详解】A,若a⊥B且m/1,则m可平行于B,或者在B内，或者与B相交，错误； B,若a⊥B,a⊥y,则B可平行于Y,或者与Y相交，错误： C,若m/a,n/1a,则m可与n平行，或者与n相交，或者与n异面，错误； D,若m⊥，m⊥B,可知a,B的法向量都与m平行，也即a,B的法向量平行，可得a/1B, 答案第1页，共8页 正确. 4.B 【分析】作出辅助线，找到二面角&-1-B的平面角，AB与l所成的角及AB与B所成的角， 利用sin60°sin30°求出答案 【详解】如图，作AO⊥B于O,AC⊥1于C,连接OB,OC, 因为IcB,所以AO⊥1， 因为A00AC=A,AO,ACc平面AOC,所以I⊥平面AOC, 因为OCc平面AOC,所以OC⊥1， 则∠AC0为二面角a-1-B的平面角，即∠ACO=60°， ∠ABC为AB与l所成的角，∠ABC=30°， B 设AB与B所成的角为0，则∠ABO=日 由图得sin6=40-40.4C=sim60sin30r- AB AC AB 4 故选：B 5.A 【分析】分别取AD、BC、B,C、AD的中点E、F、G、H,连接EF、FG、GH、HE, 根据正棱台的性质求出∠FEH=60°，即可求出EH 【详解】如图，分别取AD、BC、B,C、AD的中点E、F、G、H, 连接EF、PG、GH、HE, 因为ABCD-ABCD是正四棱台，所以GH⊥AD、EF LAD, 又侧面与上底面ABCD的夹角为60°，所以∠FEH=60°， 又AB=30cm,AB,=10cm,所以EF=30cm、HG=10cn, 所以班= 1(30-10 c0S60° =20(cm)' 答案第2页，共8页 所以SaA=)L0+30)x20=400(cm2）, 2 所以制作该漏斗的侧面所需材料的面积为4×400=1600(cm2). 6.D 【详解】原正方体棱长为2cm,裁去八个相同的四面体时，切割点应该为正方体各棱的中 点， 每个面切掉四个角后，剩余一个边长为√2cm的小正方形， 则六个小正方形面的面积和为6×√2=12cm2: 而切掉正方体的8个顶点后，每个切口新增一个边长为√2cm的正三角形， 则八个正三角形面的面积和为×5×5×5 8=4v3cm2, 2 2 所以该饰品的表面积为(12+4V3)cm2. 7.A 【分析】根据题意可得球的半径以及平面ABCD截外接球所得圆的半径，然后求出球心与截 面圆的圆心间距离，再求出球缺的高，最后代入公式求解结果 【详解】设外接球圆心为O,平面ABCD截外接球所得圆圆心为O 由题意正方体外接球的半径R=√3，平面ABCD截外接球所得圆的半径为r=√ O到O的距离d=√3-2=1，则球缺的高h=√3-1 所以r=后3-3+(5-1）-6-8x. 3 8.D 【分析】由题意设圆锥的底面半径与球的半径均为”，圆锥的母线长为1，高为，由已知 可得h=4r,1=√17r,计算侧面积与球的表面积的比值 【详解】由题意设圆锥的底面半径与球的半径均为？，圆锥的母线长为1，高为h. 由=，得×πh=4U,h=, 4 3 3 答案第3页，共8页 1=尿+r=7,则题：以-w S球 4w2 42 4 9.BC 【分析】解法一：利用正三棱柱性质及线面垂直、平行相关定理判断线线、线面、面面关系， 对每个选项逐一分析：解法二：建立空间直角坐标系得出各点坐标，进而得到相关向量，利 用向量点积判断垂直，用向量与法向量关系判断线面位置，根据向量关系判断线性是否平行， 从而得出正确选项 【详解】解法一：如图，对于A选项，在正三棱柱ABC-AB,C中， AA⊥平面ABC,又ADC平面ABC, 则AA⊥AD,即AAAD=0, 因为△ABC是正三角形，D为BC中点， 则AD L BC,即DC.AD=0, 又AC=AA+AD+DC, 所以ACAD=(AA+AD+DCAD=AAAD+AD+DCAD=AD≠0， 所以ADLAC不成立，故A选项错误， 对于B选项，因为在正三棱柱ABC-AB,C中，AA⊥平面ABC, 又BCC平面ABC,则AA⊥BC, 因为AABC是正三角形，D为BC中点，则AD L BC, 又44OAD=A,A4,ADC平面AAD, 所以BC⊥平面AAD,故B选项正确， 对于C选项，因为在正三棱柱ABC-AB,C中，CC∥AA, 又A4c平面AAD,CCE平面AAD, 所以CC∥平面AAD,故C选项正确， 对于D选项，因为在正三棱柱ABC-AB,C中，AB∥AB, 假设AD∥AB,则AD∥AB,这与AD∩AB=A矛盾， 答案第4页，共8页 所以AD∥AB,不成立，故D选项错误. 、D B 解法二：如图，建立空间直角坐标系， 设正三棱柱的底面边长为2，高为h, 则D(0,0,O),因为△ABC是正三角形，D为BC中点， 所以CD=BD=1,在直角三角形AADB中，AD=√AB2-DB2=√22-1P=√， 即AV3,0,0）,A(N3,0,h),C(0-1,0),C(0-1,h),B(0,1,0),B(0,1,M, 对于A选项，AD=(V5,0,0),AC=（-5,-1,-, 则AD.4C=(V⑤)×(-V⑤)+0=3≠0，即AD1AC不成立，故A选项错误： 对于B选项和C选项，BC=(0-2,0),C℃=(0,0，h),A4=(0,0,h),AD=（-V3,0,0), AA.i=hz=0 设平面A4D的法向量为i=(x,y,),则 AD.i=-√3x=0 得x=z=0,令y=1,则i=(01,0),所以BC=(0,-2,0)=-2i,CC1·=0,CC12平面A4D, 则BC⊥平面AAD,CC∥平面AAD,故B选项和C选项正确： 打D遮项，0=B00,A8=3,L0,则：9，显然0∥A8,不成立. D选项错误 答案第5页，共8页 ZA C 6 D 10.BCD 【分析】利用异面直线夹角的计算方法结合正方体的特征判定A;先证明AC⊥平面AB,D, 结合等体积法计算A到平面AB,D的距离，由线面夹角的定义可判定B,由勾股定理及圆的 周长公式可判定C,由数形结合结合正三角形内切圆的特征计算即可判定D. 【详解】对于A,在正方体中易知BC/IAD1且AB,=AD=DB=2√2 所以异面直线A8与BC,所成的角即∠DM8或其补角，显然∠D4B一号，即A错误： 连接AC,AC,易知 BD⊥AC BD⊥CC 又AC∩CC=C,AC CCC平面ACC,所以BD⊥平面ACC, 而ACC平面ACC,所以BD⊥AC,同理可知AD⊥AC, 即AC⊥平面AB,D,设垂足为E,取DB的中点F,连接AF, 则1吉4x9(万-片≥分2，所以46 4 2 3 连接8P,由勾股定理可知EP=AP-AE=6 3 对于B,易知AP与平面ABD所成的角为4PB,:tm∠APB=B-5, EP 故B正确； 对于C,由三棱锥A~ABD为正三棱锥可知E为该正三角形的中心， 则4E,F三点共线，AR=V6,AB=2y6 =2EF=2EP, 3 所以P点轨迹为以B为圆心，6为半径的圆上，该圆即正三角形AB,D的内切圆， 3 所以点P的运动轨迹长度为26 π，故C正确： 答案第6页，共8页 对于D,假设P的轨迹圆与AF交于G点，由上可知AG=GE=EF, 而P到底面ABCD的距离为2，所以G到底面ABCD的距离为， 、3 由图形可知点P到平面ABCD距离的取值范围是 2,2 故D正确。 B G E 11.ABD 【分析】过点Q作QF⊥AP,求出QF再利用体积公式计算可判断A;记△BCP外接圆的圆 心为BP的中点O,利用余弦定理计算三棱锥Q-BCP外接球的半径 OF 判断B; 、2 过点A作AM⊥BP,并与BF交于点N,求证QNL平面ABCP,进而求证BP⊥AQ判断C: 在AO上取靠近点A处的四等分点G,利用勾股定理计算PG判断D 【详解】当平面QAP⊥平面ABCP时，四棱锥Q-ABCP的体积取得最大值， 过点2作OF LAP,垂足为P,则Qr=40P_25 AP 5 则四枝锥Q-ABCP体积的最大值为2××B+4×2×2-14,A正确： 32 5151 连接BP,记△BCP外接圆的圆心为BP的中点O,连接OF, 因为AP=V12+22=√5，BP=V32+22=3,AB=4, 所以cos∠0PF=4P+PB-AB25+13-1665 2AP.PB 2x5x 13 65 因为P0=PB-3,pF=P-1-5 22 则o=Pr+P0-2Pr.p0os∠0Pr}5-25√613， 54 5 2 65 4 则or=3 2 则三棱锥Q-BCP外接球的半径为 答案第7页，共8页 则三棱锥Q-BCP的外接球的表面积为4π× 分，B正确 O B 睡接，因为BFEP+P2P-BPcs∠FPE-132水S V6564 65 5 所以BF2+FP2=BP2,则BF⊥AP, 因为BF,QFC平面BFQ,QF⊥AP,所以APL平面BFQ, 又APC平面ABCP,所以平面ABCP⊥平面BFO, 则点Q在平面ABCP上的射影在直线BF上， 过点A作AM⊥BP,并与BF交于点N,连接OM, 若点Q在平面ABCP上的射影为N,即ONL平面ABCP, 由BPC平面ABCP,得ON⊥BP, 又AM⊥BP,AM,ONc平面OAM,则BP⊥平面OAM, 因为AQC平面QAM,所以BP⊥AQ,故C错误； 在AQ上取靠近点A处的四等分点G,连接EG,PG, 因为丽-0，所以EGiB心，且G-4B-CP, 从而四边形五CPG为平行四边形，则CE=PG=VPO+QG-,D正确. 2 答案第8页，共8页