精品解析：2026年河南省三门峡市卢氏县部分名校联考二模数学试题

2026年中招学科适应性第二次调研考试 数学 （满分120分，考试时间100分钟） 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的 1. 下列是无理数的是（ ） A. B. 0 C. D. 2. 某几何体的俯视图如图所示，则该几何体可能为（ ） A. B. C. D. 3. 有“中国天眼”之称的500米口径球面射电望远镜（FAST），可以“听见”百亿光年之外的声音．已知1光年千米，则1百亿光年（用科学记数法表示）约为（ ） A. 千米 B. 千米 C. 千米 D. 千米 4. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，新乡市、郑州市连线与新乡市、开封市连线的夹角为，新乡市在郑州市的北偏东方向上，则开封市在新乡市的（ ） A. 南偏东方向上 B. 南偏东方向上 C. 北偏西方向上 D. 北偏西方向上 6. 4月23日是世界读书日．某校举办了“名著阅读月”活动，为了解学生的阅读情况，该校随机抽取了名学生进行调查，发现该月阅读两本以上名著的学生有名，估计该校名学生中该月阅读两本以上名著的有（ ） A. 名 B. 名 C. 名 D. 名 7. 下列计算结果等于是（ ） A. B. C. D. 8. 一个不透明的盒子中装有四个分别标着“H（氢）”“O（氧）”“C（碳）”“（钙）”四种元素符号的小球，这些小球除元素符号外其他完全相同．现从盒子中随机摸出一个小球，记下小球上标记的元素符号后放回并摇匀，再随机摸出一个小球，则两次摸到的小球上的元素符号可以组成“”的概率是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，，点D是的中点，将沿折叠，得到，连接，则的长度为（ ） A. 2 B. C. D. 10. 如图，已知A，B，C为上的三点，且，，．P是上一动点（不与点A，B重合），连接交弦于点D．当为等腰三角形时，的长为（ ） A. B. C. 或 D. 或 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 古希腊时期，人们认为最美人体的头顶到肚脐的长度与肚脐到足底的长度的比值是，著名的雕塑断臂的维纳斯便是如此．比较大小：______（填“”或“”）． 12. 写出一个关于x的一元二次方程，使它有两个相等的实数根：_______． 13. 如图，在中，点A，B分别在反比例函数和的图象上，轴，点C在y轴上，，则_______． 14. 如图，在平面直角坐标系中，，正六边形的顶点A，D的坐标分别为，，点M是正六边形的边上一动点，连接，将绕点P顺时针旋转，得到，连接．点M从点A出发，按照顺时针的方向（即…）以每秒个单位长度的速度运动，则第秒时点N的坐标为_______． 15. 如图，在正方形中，分别为，的中点，为边上一动点（不与点重合），连接，过点作，且，连接，，则的值为_______，线段长度的最小值为___________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）解不等式组：． （2）若计算的结果是，求“”代表的单项式． 17. 如今，各类人工智能产品已被广泛应用于工作与学习中，为人们提供了高效的辅助支持．某区组织全区七、八年级数学教师用与 结合制作教学课件比赛，比赛结束后，该区从七、八年级数学教师的比赛成绩中各随机抽取了20名教师的成绩(满分100分，成绩用x表示，单位：分)，将成绩分成五组（A．；B．；C．；D．；E．），并对成绩进行整理、描述和分析，部分信息如下： 七年级20名数学教师课件的成绩： 89 77 58 77 89 68 88 69 79 84 77 78 82 87 66 96 94 83 67 92 其中八年级数学教师课件成绩在 D组的数据为：80，82，83，84，86，87，88，89． 抽取的七、八年级数学教师课件成绩的平均数、中位数、众数和方差如下表所示： 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 80 80.5 b 102.3 八年级 80 c 79 95.7 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空： ， ， ， ， （2）若抽取的七年级甲教师和八年级乙教师的成绩均为82分，则 教师的成绩在本年级的排名更靠前；（填“甲”或“乙”） （3）根据上述数据，你认为哪个年级的数学教师在人工智能辅助制作教学课件方面掌握的情况更好，请说明理由（写出一条即可）． 18. 某家电专卖店销售A，B两种型号的环保空调，已知其中两单的销售情况如表所示： A型空调数量/台 B型空调数量/台 总销售额/元 1 2 14000 2 3 24000 （1）求两种型号的空调的销售单价各是多少． （2）为了响应国家家电以旧换新政策，更多让利于老百姓，专卖店决定推出“以旧换新”和打折促销两种优惠政策．小李计划购买A，B型空调各一台，其中一台用家中旧空调以旧换新购买．可采取如下两种方案． 方案一：旧空调可以抵消A型空调的售价的1000元，B型空调优惠a%； 方案二：旧空调可以抵消B型空调的售价的800元，A型空调优惠10%． 若方案一优惠额不小于方案二，求a的最小值． 19. “杆秤”是人类发明的各种衡器中历史最悠久的一种，是利用杠杆原理来称物体质量的简易衡器，由木制的带有秤星的秤杆、秤砣、秤纽、秤盘等组成．小华仿照古人制作了一杆简易“秤”．如图，取一根长的质地均匀的木杆，用细绳绑在木杆的中点处并将其吊起来，在中点的左侧挂一个物体，在中点的右侧挂一个弹簧秤向下拉，使木杆保持水平．根据杠杆原理，若木杆保持水平，当物体与中点的距离保持不变时，弹簧秤的示数是关于（弹簧秤与中点的距离）的反比例函数．已知当时，． （1）求关于的函数表达式； （2）移动弹簧秤的位置，若木杆仍处于水平状态，求弹簧秤的示数的最小值； （3）若弹簧秤的最大量程是，求的取值范围． 20. 图（1）是小明同学自制的测量工具，其中，上都有相同单位的刻度，G可以在上滑动，．小明想用自制的测量工具测量建筑物的高度． 如图（2），小明站在自动扶梯的底部A处，让测量工具的平行于地面，的延长线交于点F，滑动使O ，G，P在同一条直线上，此时． 他乘坐扶梯到达顶部B处，让测量工具的平行于地面，的延长线交于点E， 滑动， 使在同一条直线上，此时．小明的身高，自动扶梯的高为， 水平宽为． 试根据以上数据计算出建筑物的高度．(结果精确到) 21. 如图，为的直径，射线与相切于点B，点P为射线上一动点，连接，过点B作，交于点D，连接． （1）当时，如图（1），连接，求证：四边形是菱形． （2）当时，如图（2）．若，求的长． 22. 小华家安装了一个截面为抛物线形的遮阳棚，在学习完二次函数知识后，小华想借助这个遮阳棚进行探究活动，通过测量、计算，将相关信息整理如下，请仔细阅读，并完成相应的任务． 素材一：如图（1），曲线为遮阳棚，为支架，为落地窗户（A，C，O三点共线），，，，遮阳棚的跨度．已知曲线所在的抛物线与抛物线的形状相同，以点O为坐标原点，所在直线为y轴建立平面直角坐标系． 素材二：如图（2），为加固遮阳棚，要安装支撑架和，其中点G在上，点F在曲线上，且． 任务1：求素材一中曲线所在抛物线的函数表达式． 任务2：小华的爸爸找来一根长的木棍作为支撑架，是否符合素材二中的要求？若符合，请通过计算加以说明；若不符合，请说明理由． 23. 【课本回顾】 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线． 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半． 【定理证明】 已知：如图（1），是的中位线． 求证：，． （1）证明：如图（2），延长到点F，使得，连接，请你根据已经添加的辅助线，写出完整的证明过程．（不再添加新的辅助线） 【定理应用】 （2）如图（3），已知四边形纸片，，，对角线．现要将其剪成四块，使得剪成的四块可以重新拼成一个矩形（无重叠），请在图（3）中画出剪痕，并对剪痕作适当的说明．（不需要说明作图理由） 【类比迁移】 （3）在（1）定理证明的过程中采用了“倍长法”，体现了数学的“转化思想”，请你用这种方法来解决以下问题： 如图（4），在菱形中，，是其对角线，点M为射线（点C右侧）上的一个动点，将点C绕点M逆时针旋转得到点，连接，，点N是的中点，连接，． ①证明：； ②连接．若，，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中招学科适应性第二次调研考试 数学 （满分120分，考试时间100分钟） 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的 1. 下列是无理数的是（ ） A. B. 0 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】，根据无理数和有理数的定义即可判断各选项，无理数是无限不循环小数，有理数是整数与分数的统称． 【详解】解：∵无理数是无限不循环小数，有理数是整数和分数的统称， 是无限不循环小数，是无理数，故A正确；0是整数，属于有理数，故B不正确；是分数，属于有理数，故C不正确；是整数，属于有理数． 2. 某几何体的俯视图如图所示，则该几何体可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了几何体的三视图，由三视图还原几何体．在水平面内得到的由上向下观察物体的视图叫做俯视图，进行判断即可． 【详解】解：是的俯视图， 故选：D． 3. 有“中国天眼”之称的500米口径球面射电望远镜（FAST），可以“听见”百亿光年之外的声音．已知1光年千米，则1百亿光年（用科学记数法表示）约为（ ） A. 千米 B. 千米 C. 千米 D. 千米 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：1光年千米，1百亿， 1百亿光年千米， 故选：C 4. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：选项A：，A计算错误． 选项B： ，B计算错误． 选项C：，C计算正确． 选项D： ，D计算错误． 5. 如图，新乡市、郑州市连线与新乡市、开封市连线的夹角为，新乡市在郑州市的北偏东方向上，则开封市在新乡市的（ ） A. 南偏东方向上 B. 南偏东方向上 C. 北偏西方向上 D. 北偏西方向上 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了方位角，平行线的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．根据方向角的定义即可得到结论． 【详解】解：如图，作 已知 ∵ ∴， 即开封市在新乡市的南偏东方向上 故选：A． 6. 4月23日是世界读书日．某校举办了“名著阅读月”活动，为了解学生的阅读情况，该校随机抽取了名学生进行调查，发现该月阅读两本以上名著的学生有名，估计该校名学生中该月阅读两本以上名著的有（ ） A. 名 B. 名 C. 名 D. 名 【答案】C 【解析】 【分析】计算出样本中该月阅读两本以上名著的学生所占百分比，再乘以名学生，即可求解． 【详解】解：样本中该月阅读两本以上名著的学生所占百分比为：， 估计该校名学生中该月阅读两本以上名著的有（名）． 7. 下列计算结果等于是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查幂的运算，合并同类项，根据合并同类项法则，同底数幂的乘除法逐一计算各选项，判断是否等于即可． 【详解】解：A、10个a相加，即，不符合题意； B、，不符合题意； C、10个a相乘，即，符合题意； D、5个相加，即，不符合题意； 故选：C． 8. 一个不透明的盒子中装有四个分别标着“H（氢）”“O（氧）”“C（碳）”“（钙）”四种元素符号的小球，这些小球除元素符号外其他完全相同．现从盒子中随机摸出一个小球，记下小球上标记的元素符号后放回并摇匀，再随机摸出一个小球，则两次摸到的小球上的元素符号可以组成“”的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：根据题意，画树状图如图所示： 由树状图可知，共有16种等可能的结果，其中两次摸到的小球上的元素符号可以组成“”的结果有2种，故所求概率为． 9. 如图，在中，，，点D是的中点，将沿折叠，得到，连接，则的长度为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接交于，作于，首先证明垂直平分线段是直角三角形，求出，在中，利用勾股定理即可解决问题． 【详解】解：如图，连接交于，作于， 在中， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 由翻折得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴垂直平分线段是直角三角形， ∵， ∴， ∵为中点， ∴， 在中，． 故选：D． 【点睛】本题考查翻折变换、直角三角形的斜边中线的性质、三角形的中位线定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用面积求高，属于中考常考题型． 10. 如图，已知A，B，C为上的三点，且，，．P是上一动点（不与点A，B重合），连接交弦于点D．当为等腰三角形时，的长为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理、弧长公式、等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质．先求得圆的半径，再根据为等腰三角形时，分三种情况讨论：当时，通过圆心角与圆周角关系及弧长公式可求得的长为；当时，同理可求得的长为．进而可得答案． 【详解】解：连接，，， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， 当为等腰三角形时，有三种情况： 当时，， ∴， ∴的长为； 当时，，则， ∴， ∴的长为； 当时，，此时点D与点A重合，不符合题意； 综上，的长为或， 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 古希腊时期，人们认为最美人体的头顶到肚脐的长度与肚脐到足底的长度的比值是，著名的雕塑断臂的维纳斯便是如此．比较大小：______（填“”或“”）． 【答案】> 【解析】 【分析】本题考查无理数的估算和比较大小，正确判断的范围是求解本题的关键． 通过比较与的大小，利用算术平方根性质得出，推出，进而得出结论． 【详解】解：∵， ∴，即 ． ∴，即 ∴． 故答案为：． 12. 写出一个关于x的一元二次方程，使它有两个相等的实数根：_______． 【答案】（答案不唯一，符合条件即可） 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的判别式等于0时，方程有两个相等的实数根，构造满足条件的方程即可． 【详解】解：设一元二次方程为，当，，时， 即方程有两个相等的实数根． 13. 如图，在中，点A，B分别在反比例函数和的图象上，轴，点C在y轴上，，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据 ，得出；再分别过点，作轴的垂线，垂足分别为E，F，则，继而可求得的值．解题时要注意：反比例函数的图象在第二象限，这是易错点． 【详解】解：， ． 如图，分别过点A，B作x轴的垂线，垂足分别为E，F， 则， ， ， ∴， ∵反比例函数的图象在第二象限， ． 14. 如图，在平面直角坐标系中，，正六边形的顶点A，D的坐标分别为，，点M是正六边形的边上一动点，连接，将绕点P顺时针旋转，得到，连接．点M从点A出发，按照顺时针的方向（即…）以每秒个单位长度的速度运动，则第秒时点N的坐标为_______． 【答案】 【解析】 【分析】点M运动的规律为秒一周，秒为一个循环，故第秒时点M的位置与第9秒时点M的位置相同，在的中点，过点N作轴于点H，由可得，，，． 【详解】解：六边形是正六边形，A，D的坐标分别为，，， ，， ∴正六边形的周长为6， ∴点M运动一周用时（秒）， ∵， ∴第秒时点M的位置与第9秒时点M的位置相同，即与的中点重合，如图所示，此时在中，，过点N作轴于点H， 由旋转得，，， ， 在和中， ， ， ，， ， ． 15. 如图，在正方形中，分别为，的中点，为边上一动点（不与点重合），连接，过点作，且，连接，，则的值为_______，线段长度的最小值为___________． 【答案】 ①. ## ②. 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，平行四边形的性质与判定，解直角三角形，相似三角形的性质与判定，连接，，延长交于点，设交于点，证明，，得出，进而可得，即可得出的值，进而可得点在上运动，证明四边形是平行四边形，得出，则当在上时，取得最小值，此时重合，进而解直角三角形，即可求解． 【详解】解：如图，连接，，延长交于点，设交于点 ∵四边形是正方形， ∴，， ∵是的中点， ∴， 又∵，， ∴即， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴ ∴点在上运动， ∴当时，取得最小值， ∵， ∴ 又∵ ∴四边形是平行四边形， ∴ 又∵ ∴ ∴当在上时，取得最小值，此时重合， ∵，则， 在中，， ∴ 在中， ∴ ∴ ∴，即的最小值为 故答案为：，． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）解不等式组：． （2）若计算的结果是，求“”代表的单项式． 【答案】（1）；（2）0 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组和分式的混合运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键． （1）先求出每一个不等式的解集，然后确定其公共部分，最后在数轴上表示即可； （2）设“”代表的单项式为A，根据题意得到，根据分式的运算法则计算，求解即可． 【详解】解：（1）解不等式，得， 解不等式，得， 则不等式组的解集为； （2）求“”代表的单项式， 设“”代表的单项式为A，则， ， 所以． 17. 如今，各类人工智能产品已被广泛应用于工作与学习中，为人们提供了高效的辅助支持．某区组织全区七、八年级数学教师用与 结合制作教学课件比赛，比赛结束后，该区从七、八年级数学教师的比赛成绩中各随机抽取了20名教师的成绩(满分100分，成绩用x表示，单位：分)，将成绩分成五组（A．；B．；C．；D．；E．），并对成绩进行整理、描述和分析，部分信息如下： 七年级20名数学教师课件的成绩： 89 77 58 77 89 68 88 69 79 84 77 78 82 87 66 96 94 83 67 92 其中八年级数学教师课件成绩在 D组的数据为：80，82，83，84，86，87，88，89． 抽取的七、八年级数学教师课件成绩的平均数、中位数、众数和方差如下表所示： 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 80 80.5 b 102.3 八年级 80 c 79 95.7 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空： ， ， ， ， （2）若抽取的七年级甲教师和八年级乙教师的成绩均为82分，则 教师的成绩在本年级的排名更靠前；（填“甲”或“乙”） （3）根据上述数据，你认为哪个年级的数学教师在人工智能辅助制作教学课件方面掌握的情况更好，请说明理由（写出一条即可）． 【答案】（1）20， ， 77 ， （2）甲 （3）八年级的数学教师在人工智能辅助制作教学课件方面掌握的情况更好，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查的是统计图与统计表，中位数，众数，方差的含义． （1）由B类人数除以总人数可得的值，由乘以类的百分比即可得到的值，再根据众数与中位数的含义求解即可． （2）根据中位数的含义可得答案． （3）从中位数或方差的角度出发分析即可． 【小问1详解】 解：由题意可得：， ∴， ． 因为出现次数最多， ∴， 由八年级的成绩可得：． 【小问2详解】 解：∵抽取的七年级甲教师和八年级乙教师的成绩均为82分，七年级的中位数为分，八年级的中位数为分， ∴甲教师的成绩在本年级的排名更靠前． 【小问3详解】 解：八年级的数学教师在人工智能辅助制作教学课件方面掌握的情况更好． 理由：因为七、八年级数学教师课件成绩的平均数一样，八年级数学教师课件成绩的中位数和众数均比七年级的高，且八年级数学教师课件成绩的方差比七年级的小，成绩较稳定， 所以八年级的数学教师在人工智能辅助制作教学课件方面掌握的情况更好． 18. 某家电专卖店销售A，B两种型号的环保空调，已知其中两单的销售情况如表所示： A型空调数量/台 B型空调数量/台 总销售额/元 1 2 14000 2 3 24000 （1）求两种型号的空调的销售单价各是多少． （2）为了响应国家家电以旧换新政策，更多让利于老百姓，专卖店决定推出“以旧换新”和打折促销两种优惠政策．小李计划购买A，B型空调各一台，其中一台用家中旧空调以旧换新购买．可采取如下两种方案． 方案一：旧空调可以抵消A型空调的售价的1000元，B型空调优惠a%； 方案二：旧空调可以抵消B型空调的售价的800元，A型空调优惠10%． 若方案一优惠额不小于方案二，求a的最小值． 【答案】（1）A型空调销售单价为6000元，B型空调销售单价为4000元 （2）10 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系和不等关系，列方程组和不等式求解． （1）设A型空调销售单价为x元，B型空调销售单价为y元，根据表格找出等量关系式，列出相应的方程组，从而可以解答本题； （2）表示出两种方案的优惠额，根据条件列出不等式，求解不等式得出a的取值范围 即可. 【小问1详解】 解：设A型空调销售单价为x元，B型空调销售单价为y元，根据题意得 ， 解得， ∴型空调销售单价为6000元，B型空调销售单价为4000元． 【小问2详解】 解：根据题意得： 方案一优惠额为：， 方案二优惠额为：， ∵方案一优惠额不小于方案二， ∴， 解得， ∴a的最小值为10． 19. “杆秤”是人类发明的各种衡器中历史最悠久的一种，是利用杠杆原理来称物体质量的简易衡器，由木制的带有秤星的秤杆、秤砣、秤纽、秤盘等组成．小华仿照古人制作了一杆简易“秤”．如图，取一根长的质地均匀的木杆，用细绳绑在木杆的中点处并将其吊起来，在中点的左侧挂一个物体，在中点的右侧挂一个弹簧秤向下拉，使木杆保持水平．根据杠杆原理，若木杆保持水平，当物体与中点的距离保持不变时，弹簧秤的示数是关于（弹簧秤与中点的距离）的反比例函数．已知当时，． （1）求关于的函数表达式； （2）移动弹簧秤的位置，若木杆仍处于水平状态，求弹簧秤的示数的最小值； （3）若弹簧秤的最大量程是，求的取值范围． 【答案】（1） （2）12 （3） 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数的增减性是解题的关键． （1）由题意直接利用待定系数法解答即可； （2）根据反比例函数的增减性和的取值范围计算即可； （3）根据题意及反比例函数的性质求的取值范围即可． 【小问1详解】 解：由题意，设关于的函数表达式为， 将，代入，得， ∴， ∴关于的函数表达式为； 【小问2详解】 解：由（1）可知，关于的函数表达式为， ∵，， ∴随的增大而减小． ∵当弹簧秤位于木杆最右端时，的值最大，最大值为50， ∴当时，的值最小，最小值为， ∴弹簧秤的示数的最小值为12； 【小问3详解】 解：将代入，得． 根据反比例函数的性质，当时，． 由题意可知，故的取值范围是． 20. 图（1）是小明同学自制的测量工具，其中，上都有相同单位的刻度，G可以在上滑动，．小明想用自制的测量工具测量建筑物的高度． 如图（2），小明站在自动扶梯的底部A处，让测量工具的平行于地面，的延长线交于点F，滑动使O ，G，P在同一条直线上，此时． 他乘坐扶梯到达顶部B处，让测量工具的平行于地面，的延长线交于点E， 滑动， 使在同一条直线上，此时．小明的身高，自动扶梯的高为， 水平宽为． 试根据以上数据计算出建筑物的高度．(结果精确到) 【答案】建筑物的高度约为 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，根据题意可得，，列出比例式，代入题中数据，即可求解． 【详解】解：设，则， 根据题意可得， ∴ 即， ∴ 同理可得 ∴ 即 ∴ 解得： ∴ 答：建筑物的高度约为． 21. 如图，为的直径，射线与相切于点B，点P为射线上一动点，连接，过点B作，交于点D，连接． （1）当时，如图（1），连接，求证：四边形是菱形． （2）当时，如图（2）．若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先根据圆周角定理得到，进而证得，再证明得到，进而证得四边形是平行四边形，根据菱形和的判定可得结论； （2）连接、，设、交于点H，由圆周角定理得到，，则，利用锐角三角函数和勾股定理求得，利用垂径定理可求解． 【小问1详解】 证明：∵是直径， ∴， 又， ∴，则， ∵射线与相切于点B， ∴， 又， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又， ∴四边形是菱形； 【小问2详解】 解：如图2，连接、，设、交于点H，则， ∴， ∵是直径， ∴， 又， ∴，， ∴， ∵， ∴，， 则， 解得， ∴， ∴． 【点睛】本题考查圆周角定理、切线的性质、垂径定理、全等三角形的判定与性质、菱形和平行四边形的判定、勾股定理、锐角三角函数等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 22. 小华家安装了一个截面为抛物线形的遮阳棚，在学习完二次函数知识后，小华想借助这个遮阳棚进行探究活动，通过测量、计算，将相关信息整理如下，请仔细阅读，并完成相应的任务． 素材一：如图（1），曲线为遮阳棚，为支架，为落地窗户（A，C，O三点共线），，，，遮阳棚的跨度．已知曲线所在的抛物线与抛物线的形状相同，以点O为坐标原点，所在直线为y轴建立平面直角坐标系． 素材二：如图（2），为加固遮阳棚，要安装支撑架和，其中点G在上，点F在曲线上，且． 任务1：求素材一中曲线所在抛物线的函数表达式． 任务2：小华的爸爸找来一根长的木棍作为支撑架，是否符合素材二中的要求？若符合，请通过计算加以说明；若不符合，请说明理由． 【答案】任务1：；任务2：找来的木棍不符合要求，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，理解题意，正确求得抛物线的函数表达式是解答的关键． 任务1：根据题意，设曲线所在抛物线的函数表达式为，先求得，，进而得到该抛物线的对称轴为直线，则，再将代入求得，进而可求解； 任务2：设点坐标为，点坐标为，且．先求得直线的解析式为，根据题意，可得，整理得，利用判别式可得该方程无实数解，进而可得结论． 【详解】解：任务1：因为曲线所在的抛物线与抛物线的形状相同，所以设曲线所在抛物线的函数表达式为． 已知，，，以点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，则，． ∴该抛物线的对称轴为直线，则， 把代入得：， 解得， ∴曲线所在抛物线的函数表达式为； 任务2：找来的木棒不符合要求．理由： 设点坐标为，点坐标为， 因为，所以． 设直线的解析式为， 将，代入可得 ，解得， 所以直线的解析式为． 由于点在抛物线上，点在直线上，且，则， 整理，得， ∵， ∴该方程无实数解， 所以不存在的值使得， 即小华的爸爸找来的木棍不符合要求． 23. 【课本回顾】 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线． 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半． 【定理证明】 已知：如图（1），是的中位线． 求证：，． （1）证明：如图（2），延长到点F，使得，连接，请你根据已经添加的辅助线，写出完整的证明过程．（不再添加新的辅助线） 【定理应用】 （2）如图（3），已知四边形纸片，，，对角线．现要将其剪成四块，使得剪成的四块可以重新拼成一个矩形（无重叠），请在图（3）中画出剪痕，并对剪痕作适当的说明．（不需要说明作图理由） 【类比迁移】 （3）在（1）定理证明的过程中采用了“倍长法”，体现了数学的“转化思想”，请你用这种方法来解决以下问题： 如图（4），在菱形中，，是其对角线，点M为射线（点C右侧）上的一个动点，将点C绕点M逆时针旋转得到点，连接，，点N是的中点，连接，． ①证明：； ②连接．若，，请直接写出的长． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）①见解析；②的长为2或1 【解析】 【分析】（1）由点E是的中点得，从而，故，故，由点D是的中点得，又，故四边形是平行四边形，，，故，； （2）取点P，Q，R，S四点分别是边，，，的中点，连接，，为剪痕，把向下移，使点A和点C重合，将逆时针旋转，使点B和点C重合，将顺时针旋转，使点D和点C重合，就会得到一个矩形； （3）①延长至点G，使，连接，，由点N是的中点得，从而可推得，故，，，又，，故，，故，又是等边三角形，故，，故，，故，故是等边三角形，故；②由题意知，，分两种情况讨论：当是的中位线时，，故；当不是的中位线时，取的中点H，连接，，，从而，，故是等边三角形，设，则，故，由得，故． 【小问1详解】 证明：如图（2），延长到点F，使得，连接， ∵点E是的中点， ， 又，， ， ，， ， ∵点D是的中点， ， ， ∴四边形是平行四边形， ，， ，； 【小问2详解】 解：作图如下图所示：（答案不唯一） 说明：点P，Q，R，S四点分别是边，，，的中点， 由（1）知 ，， ∵， ∴． ， 把向下移，使点A和点C重合，将绕点R逆时针旋转，使点B和点C重合，将绕点S顺时针旋转，使点D和点C重合，就会得到一个矩形，如图： 【小问3详解】 ①证明：如图（2），延长至点G，使，连接，， ∵点N是的中点， ， 又， ， ，， ， 由旋转的性质可知，，， ，， ， ∵四边形是菱形， ， 又， 是等边三角形， ，， ， ， ，， ， 是等边三角形， ； ②的长为2或1， 理由：由题意知，，分两种情况讨论， 当是的中位线时，如图（3），此时， ； 当不是的中位线时，如图（4），取的中点H，连接， ，，又， ，， 是等边三角形， ， 设，则， ， ，解得， ， 综上所述，的长为2或1． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $