精品解析：福建厦门市海沧实验中学2025-2026学年高二下学期3月质检数学试卷

2025-2026学年厦门市海沧实验中学高二（下）质检数学试卷（3月份） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的. 1. 设随机变量X的概率分布列为 则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据随机变量的概率和为，即可求得的值，再将的概率相加，即可得解. 【详解】， 则. 故选：B． 2. 用5种不同的颜色对如图所示的A，B，C区域进行着色，要求相邻的区域不能使用同一种颜色，则共有（ ）种不同的着色方法． A. 60 B. 64 C. 80 D. 125 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，按用色多少分类，再利用分步乘法计数原理列式计算即得. 【详解】依题意，对A，B，C区域进行着色，可以用2种颜色，也可以用3种颜色， 用2种颜色，则A，C必同色，不同着色方法有（种）， 用3种颜色，不同着色方法有（种）， 所以不同着色方法共有（种）. 故选：C 3. 函数的单调递减区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接求导，再令，解出不等式即可. 【详解】，令，解得， 所以的单调递减区间为， 故选：A. 4. 两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 男女生人数相同可利用整体发分析出两位女生相邻的概率，进而得解. 【详解】两位男同学和两位女同学排成一列，因为男生和女生人数相等，两位女生相邻与不相邻的排法种数相同，所以两位女生相邻与不相邻的概率均是．故选D． 【点睛】本题考查常见背景中的古典概型，渗透了数学建模和数学运算素养．采取等同法，利用等价转化的思想解题． 5. 若函数在上单调递增，则实数a的取值范围( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】f(x)在上单调递增，等价于恒成立，据此即可求出a的范围． 【详解】由题可知，恒成立， 故，即． 故选：A﹒ 6. 的展开式中的系数为（ ） A. B. C. 14 D. 49 【答案】D 【解析】 【分析】根据二项式的展开式的通项进行合理赋值即可. 【详解】的展开式的通项为， 则，， 则展开式中的系数为， 故选：D. 7. 6位学生在游乐场游玩三个项目，每个人都只游玩一个项目，每个项目都有人游玩，若项目必须有偶数人游玩，则不同的游玩方式有（ ） A. 180种 B. 210种 C. 240种 D. 360种 【答案】C 【解析】 【分析】分A有2人和4人，结合排列组合求解即可. 【详解】若A有2人游玩，则有种； 若A有4人游玩，则有种； 所以共有240种， 故选：C. 8. 若函数恰有两个极值点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出函数的导数，求出函数有两个变号零点的的范围即可. 【详解】函数的定义域为R，求导得， 由函数恰有两个极值点，得函数有两个变号零点， 即方程有两个不等实根，令，因此函数的图象与直线有两个交点， 求导得，当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 因此函数在处取得最小值， 而，，且当时，恒成立， 在同一坐标系内作出直线与函数的图象，如图： 观察图象知，当时，函数的图象与直线有两个交点， 所以实数的取值范围是. 故选：C 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知是函数的导函数，的图象如图，则下列关于函数的说法正确的是（ ） A. 在上单调递减 B. 在处取得极小值 C. D. 在处取得极小值 【答案】ACD 【解析】 【分析】结合导函数图象，根据导数正负得函数的单调性，从而得出极值．由此判断各选项． 【详解】由已知，时，（只有），因此在上单调递减，AC正确； ，且两侧的导数都是负数，所以不是极值，B错误； 由，时，，单调递减，时，，单调递增， 所以是极小值，D正确． 故选：ACD 10. 已知的二项式系数和为64，则（ ） A. B. 常数项是第3项 C. 二项式系数最大值为20 D. 所有项系数之和等于1 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据给定条件，利用二项式系数的性质求出，再根据二项式及展开式通项、组合数、赋值法逐项判断即可. 【详解】对于A，由题意，二项式系数和为64，则，解得，故A正确； 对于B，通项公式为，令，得，则第四项为常数项，故B错误； 对于C，二项式系数最大项为中间项第四项，所以为，故C正确； 对于D，令则系数和为，故D正确. 故选：ACD. 11. 设，且，则下列关系式可能成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】首先求出，再分别构造函数，结合导数，利用函数单调性一一分析即可. 【详解】由于，知，及其，则，解得， 对AB，，设函数，， 故在上单调递减，则1，即，故A对B错； 对C，由于，设，， 故在上单调递减，，故， 若，故C对； 对D，，设，， 令，则，则，，则，， 则在上单调递增，在上单调递减，，故，即，故D错误. 故选：AC. 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 12. 已知随机变量X服从两点分布，且，设，那么________. 【答案】0 【解析】 【分析】根据两点分布确定X的期望，再由随机变量的线性关系的期望性质，即可求解. 【详解】因为随机变量X服从两点分布，， 所以， 所以， 因为，所以 故答案为：0. 13. 若直线是曲线的一条切线，则_________. 【答案】 【解析】 【分析】法一：利用导数的几何性质与导数的四则运算求得切点，进而代入曲线方程即可得解；法二：利用导数的几何性质与导数的四则运算得到关于切点与的方程组，解之即可得解. 【详解】法一：对于，其导数为， 因为直线是曲线的切线，直线的斜率为2， 令，即，解得， 将代入切线方程，可得， 所以切点坐标为， 因为切点在曲线上， 所以，即，解得. 故答案为：. 法二：对于，其导数为， 假设与的切点为， 则，解得. 故答案为：. 14. 某校组织学生参加农业实践活动，期间安排了劳动技能比赛，比赛共5个项目，分别为整地做畦、旱田播种、作物移栽、田间灌溉、藤架搭建，规定每人参加其中3个项目.假设每人参加每个项目的可能性相同，则甲同学参加“整地做畦”项目的概率为______；已知乙同学参加的3个项目中有“整地做畦”，则他还参加“田间灌溉”项目的概率为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】结合列举法或组合公式和概率公式可求解第一空；采用列举法或者条件概率公式可求第二空. 【详解】解法一：列举法 给这5个项目分别编号为,从五个活动中选三个的情况有： ,共10种情况， 其中甲选到有6种可能性：， 则甲参加“整地做畦”的概率为：； 乙选活动有6种可能性：， 其中再选择有3种可能性：， 故乙参加的3个项目中有“整地做畦”，则他还参加“田间灌溉”项目的概率为. 解法二： 设甲、乙选到为事件，乙选到为事件， 则甲选到的概率为； 乙选了活动，他再选择活动的概率为 故答案为：； 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知等差数列的前项和为，且，． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设等差数列公差为d，首项为a1，根据已知条件列出方程组求解a1，d，代入通项公式即可得答案； （2）根据等差、等比数列的前n项和公式，利用分组求和法即可求解． 【小问1详解】 解：设等差数列公差为d，首项为a1， 由题意，有，解得， 所以； 【小问2详解】 解：，所以． 16. 甲、乙、丙为完全相同的三个不透明盒子，盒内均装有除颜色外完全相同的球.甲盒装有4个白球，8个黑球，乙盒装有1个白球，5个黑球，丙盒装有3个白球，3个黑球. （1）随机抽取一个盒子，再从该盒子中随机摸出1个球，求摸出的球是黑球的概率； （2）已知（1）中摸出的球是黑球，求此球属于乙箱子的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设出事件，运用全概率公式求解即可. （2）利用条件概率公式求解即可. 【小问1详解】 记取到甲盒子为事件，取到乙盒子为事件，取到丙盒子为事件，取到黑球为事件B： 由全概率公式得， 故摸出的球是黑球的概率是. 【小问2详解】 由条件概率公式得， 故此球属于乙箱子的概率是 17. 如图，已知是等边三角形，，，平面，点为的中点． （1）证明：平面； （2）求直线与平面夹角的正弦值． 【答案】（1）如图，取的中点，连接，， 平面，平面， 平面平面， 为等边三角形，， 又平面平面，平面， 平面. ，点为中点， ，且， 又，，， 四边形是平行四边形，， 平面. （2） 【解析】 【分析】（1）根据面面垂直的判定定理和性质定理，结合平行线的性质、平行四边形的判定定理和性质进行证明即可； （2）结合（1）的结论建立空间直角坐标系，利用线面角的定义、空间向量夹角公式进行求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知平面，平面， ，，两两垂直， 故以为坐标原点，、、所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，. ，，. 设平面的法向量， 则即 令，则，，. 设直线与平面的夹角为， 则， 直线与平面夹角的正弦值为. 18. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）若有极大值，且极大值大于，求的取值范围. 【答案】（1） （2）当时，在上单调递增，无递减区间， 当时，在上单调递增，在上单调递减. （3） 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求出斜率，结合切点，得到切线方程即可. （2）利用导数含参讨论单调性即可. （3）结合题意转化为不等式恒成立问题，利用导数判断函数单调性，再解不等式即可. 【小问1详解】 ， 当时，. 所以曲线在点处的切线方程，即. 【小问2详解】 由（1）知，， ①当时，在上单调递增，无递减区间， ②当时，， 在上单调递增，在上单调递减， 综上：当时，在上单调递增，无递减区间， 当时，在上单调递增，在上单调递减. 【小问3详解】 因为有极大值，且极大值大于， 故，且在处取极大值， ，即， 令， 恒成立，在上单调递增， 又，当且仅当时成立， 故，当且仅当时成立， 因此的取值范围是. 19. 已知和为椭圆：上两点. （1）求椭圆的离心率； （2）过点的直线与椭圆交于，两点（，不在轴上）. （i）若的面积为，求直线的方程； （ii）直线和分别与轴交于，两点，求证：以为直径的圆被轴截得的弦长为定值. 【答案】（1） （2）（i）； （ii）证明：由（i）可知， 直线的方程为，令，得 直线的方程为，令，得， 记以为直径的圆与轴交于，两点， 由圆的弦长公式可知， 所以，为定值. 【解析】 【分析】（1）根据给定的点A和B在椭圆上，以及椭圆的离心率公式求出椭圆的离心率； （2）（i）借助韦达定理和面积公式计算即可；（ii）可借助韦达定理和圆的弦长公式计算即可. 【小问1详解】 由可知，求出， 代入，得，， 则，， 可知椭圆的离心率为. 【小问2详解】 （i）由（1）可知椭圆的方程为， 设，，过点的直线为， 与联立得：.恒成立. 所以， 得，所以，直线的方程为：. （ii）略 【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法： （1）从特殊入手，求出定值，再证明这个定值与变量无关； （2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.解题时，要将问题合理的进行转化，转化成易于计算的方向. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年厦门市海沧实验中学高二（下）质检数学试卷（3月份） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的. 1. 设随机变量X的概率分布列为 则（ ） A. B. C. D. 2. 用5种不同的颜色对如图所示的A，B，C区域进行着色，要求相邻的区域不能使用同一种颜色，则共有（ ）种不同的着色方法． A. 60 B. 64 C. 80 D. 125 3. 函数的单调递减区间为（ ） A. B. C. D. 4. 两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是 A. B. C. D. 5. 若函数在上单调递增，则实数a的取值范围( ) A. B. C. D. 6. 的展开式中的系数为（ ） A. B. C. 14 D. 49 7. 6位学生在游乐场游玩三个项目，每个人都只游玩一个项目，每个项目都有人游玩，若项目必须有偶数人游玩，则不同的游玩方式有（ ） A. 180种 B. 210种 C. 240种 D. 360种 8. 若函数恰有两个极值点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知是函数的导函数，的图象如图，则下列关于函数的说法正确的是（ ） A. 在上单调递减 B. 在处取得极小值 C. D. 在处取得极小值 10. 已知的二项式系数和为64，则（ ） A. B. 常数项是第3项 C. 二项式系数最大值为20 D. 所有项系数之和等于1 11. 设，且，则下列关系式可能成立的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 12. 已知随机变量X服从两点分布，且，设，那么________. 13. 若直线是曲线的一条切线，则_________. 14. 某校组织学生参加农业实践活动，期间安排了劳动技能比赛，比赛共5个项目，分别为整地做畦、旱田播种、作物移栽、田间灌溉、藤架搭建，规定每人参加其中3个项目.假设每人参加每个项目的可能性相同，则甲同学参加“整地做畦”项目的概率为______；已知乙同学参加的3个项目中有“整地做畦”，则他还参加“田间灌溉”项目的概率为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知等差数列的前项和为，且，． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 16. 甲、乙、丙为完全相同的三个不透明盒子，盒内均装有除颜色外完全相同的球.甲盒装有4个白球，8个黑球，乙盒装有1个白球，5个黑球，丙盒装有3个白球，3个黑球. （1）随机抽取一个盒子，再从该盒子中随机摸出1个球，求摸出的球是黑球的概率； （2）已知（1）中摸出的球是黑球，求此球属于乙箱子的概率. 17. 如图，已知是等边三角形，，，平面，点为的中点． （1）证明：平面； （2）求直线与平面夹角的正弦值． 18. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）若有极大值，且极大值大于，求的取值范围. 19. 已知和为椭圆：上两点. （1）求椭圆的离心率； （2）过点的直线与椭圆交于，两点（，不在轴上）. （i）若的面积为，求直线的方程； （ii）直线和分别与轴交于，两点，求证：以为直径的圆被轴截得的弦长为定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $