精品解析：四川省仪陇中学校2025-2026学年高一下学期5月期中考试数学试题

数学 考试时间：120分钟 满分：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 1 3. 已知某扇形的弧长为1，面积为2，则该扇形圆心角的弧度数为（ ） A. B. C. D. 4. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 5. 在中，，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 函数的部分图象可能是（ ） A. B. C. D. 7. 如图所示，在同一个铅垂面，在山脚测得山顶的仰角为，斜坡长为，在处测得山顶的仰角为，则山的高度为（ ） A. B. C. D. 8. 已知非零向量与满足，且，点是的边上的动点，则的最小值为（    ） A. B. 2 C. D. 1 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 下列说法错误的是（ ） A. B. 若向量与共线，则存在唯一的实数使 C. 若非零向量与相等，则，重合 D. 若，则 10. 函数，下列结论正确的有（ ） A. 函数在上单调递增 B. 函数的图象关于直线对称 C. 若关于的方程在上有两个不相等的实数根，则 D. 函数的最大值为 11. 在中，角、、所对的边分别为、、，且，则下列说法正确的是（    ） A. B. 若，则周长的最大值为 C. 若为锐角三角形，且，则的取值范围为 D. 若的外心为，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知平面向量，，若，则________． 13. 已知点，点在线段的延长线上，且，则点的坐标为______. 14. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，点P是的重心，且，则___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知，． （1）若，求与的夹角； （2）若，求的坐标． 16. 已知向量，，，设函数； （1）求的最小正周期与单调递增区间； （2）对，不等式恒成立，求的取值范围． 17. 在中，角的对边分别为．已知，，且． （1）求角的大小； （2）若，的面积为，线段的中点为D，求的长． 18. 如图，在边长为1的正方形中，点，分别在边，上． （1）若点为边上的一个靠近点的三等分点，且，求； （2）若的面积加1等于两条直角边之和， ①求的大小； ②设，求的最小值以及取得最小值时的集合． 19. 如图1所示，设是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与x轴，y轴正方向同向的单位向量，则平面坐标系为仿射坐标系，若在仿射坐标系下，则把有序数对叫做向量的仿射坐标，记为． （1）在仿射坐标系下，，，若，则是否一定成立？请说明理由； （2）在仿射坐标系下，若，，且与的夹角为，求； （3）如图2，在仿射坐标系中，点B，C分别在两条数轴正半轴上（均与点O不重合），，，E，F分别为的中点，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学 考试时间：120分钟 满分：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出集合后结合交集的定义可求. 【详解】，故， 故选：D. 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】由复数除法即可求解. 【详解】因为，所以. 故选：A. 3. 已知某扇形的弧长为1，面积为2，则该扇形圆心角的弧度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据扇形弧长和面积公式求解. 【详解】设该扇形半径为，圆心角为， 则，解得. 4. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将分式不等式转化为一元二次不等式即可求解. 【详解】将不等式移项得，通分得 ，即， 等价于，解得，故C正确. 5. 在中，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由余弦定理直接计算求解即可. 【详解】由题意得， 又，所以. 故选：A 6. 函数的部分图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性及赋值法判断即可. 【详解】函数定义域为，，因此是奇函数，故排除A. 当时，，又，所以.故排除C. 当时，，故排除D. 函数的部分图象可能是选项B. 7. 如图所示，在同一个铅垂面，在山脚测得山顶的仰角为，斜坡长为，在处测得山顶的仰角为，则山的高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】在中，由正弦定理得，，得，在直角三角形中，，即可求解. 【详解】解：如图所示： 因为，， 所以， 则， 在中，由正弦定理得， ， 则， 得， 在直角三角形中，， 得. 故选：D 8. 已知非零向量与满足，且，点是的边上的动点，则的最小值为（    ） A. B. 2 C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】分析出为等腰直角三角形，建立平面直角坐标系，表达出，求出最小值. 【详解】分别表示与同方向的单位向量， 故为的平分线所在直线， 又，故的平分线所在直线与垂直， 由三线合一可得， 取的中点，则，， ，故， 所以为等腰直角三角形， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立平面直角坐标系， 则，设，， 则， 故当时，取得最小值，最小值为. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 下列说法错误的是（ ） A. B. 若向量与共线，则存在唯一的实数使 C. 若非零向量与相等，则，重合 D. 若，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据向量共线定理可判断AB；根据向量的减法可判断C；根据垂直关系的向量表示可判断D. 【详解】对于A：与共线，与共线，而与不一定共线，所以等式不成立，A错误. 对于B：若，，则不存在实数使，B错误. 对于C：因为，所以，即，所以，重合，C正确. 对于D：由，得，则，不一定有，D错误. 10. 函数，下列结论正确的有（ ） A. 函数在上单调递增 B. 函数的图象关于直线对称 C. 若关于的方程在上有两个不相等的实数根，则 D. 函数的最大值为 【答案】AD 【解析】 【分析】根据二倍角公式和辅助角公式化简函数解析式，画出函数图象或整体思想分析可判断选项A，B；方程根的个数问题转化为函数图象交点个数问题可判断选项C；利用同角三角函数的关系化简函数解析式可判断选项D． 【详解】， 对于A，由，得，而在上单调递增，故函数在上单调递增，A正确； 对于B，，故函数的图象不关于直线对称，B错误； 对于C，由，可得，由，得， 因为在上单调递增，在上单调递减， 且当，即时，，当，即时，， 当，即时，， 要使方程在上有两个不相等的实数根， ，故，C错误； 对于D，因 ， 因，则当时，取得最大值，故D正确. 11. 在中，角、、所对的边分别为、、，且，则下列说法正确的是（    ） A. B. 若，则周长的最大值为 C. 若为锐角三角形，且，则的取值范围为 D. 若的外心为，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项，由正弦定理可得结论；B选项，由余弦定理和基本不等式可得，B正确；C选项，先由正弦定理可得，再求出的范围，可得答案；D选项，利用向量投影的定义和三角形外心的定义计算出. 【详解】A选项，，由正弦定理得， 即，， 因为，所以，故，A正确； B选项，，由余弦定理得， 故，， 因为，当且仅当时，等号成立， 故，解得，， 故的周长最大值为3，B正确； C选项，由正弦定理得，又，， 故， 若为锐角三角形，且，则，， 结合，可得， 故，C错误； D选项，若的外心为，则在上的投影向量为， 又，故，D正确 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知平面向量，，若，则________． 【答案】1 【解析】 【分析】由题意可得，代入坐标计算即可. 【详解】因为，， 所以， 又因为， 所以， 即， 解得. 13. 已知点，点在线段的延长线上，且，则点的坐标为______. 【答案】 【解析】 【分析】设点的坐标为，依题意可得，即可得到方程组，解得即可. 【详解】点，点在线段的延长线上，且， 设点的坐标为，则，，且， 即，解得， 所以点的坐标为． 14. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，点P是的重心，且，则___________. 【答案】或 【解析】 【分析】根据三角恒等变换可得或，利用重心的性质、模的性质及数量积得运算，可建立关于的方程，求解后利用余弦定理求a即可. 【详解】， 整理得， 解得或（舍去）， 或. 又∵点P是的重心， ， 整理得. 当时，，得， 此时， 解得； 当时，，得， 此时， 解得. 故答案为：或 【点睛】本题主要考查了三角恒等变换，向量的数量积运算法则、性质，余弦定理，属于难题. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知，． （1）若，求与的夹角； （2）若，求的坐标． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据向量的模的坐标表示及向量夹角的求解公式求解即可. （2）设，根据向量的模及向量平行的坐标表示列方程组求解即可. 【小问1详解】 . 设与的夹角为，则， 又，所以，即与的夹角为． 【小问2详解】 设，则，解得或 因此或． 16. 已知向量，，，设函数； （1）求的最小正周期与单调递增区间； （2）对，不等式恒成立，求的取值范围． 【答案】（1），， （2） 【解析】 【分析】（1）先根据向量的数量积公式和三角函数的化简，可得，再利用正弦函数性质列不等式计算求解； （2）参变分离转化为函数的最值问题. 【小问1详解】 ， ， 由，得， ， 故的递增区间为，； 【小问2详解】 ，恒成立 由，得， 故时，，， 实数的取值范围是. 17. 在中，角的对边分别为．已知，，且． （1）求角的大小； （2）若，的面积为，线段的中点为D，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由，可得，结合余弦定理求解即可； （2）由的面积为，可得，从而可得，利用求解即可. 【小问1详解】 由， 则, 结合余弦定理可得， 所以， 所以， 所以， 又， 所以． 【小问2详解】 因为的面积为，，， 所以， 所以， 又，所以， 因为为线段的中点，所以， 所以 ， 所以． 18. 如图，在边长为1的正方形中，点，分别在边，上． （1）若点为边上的一个靠近点的三等分点，且，求； （2）若的面积加1等于两条直角边之和， ①求的大小； ②设，求的最小值以及取得最小值时的集合． 【答案】（1） （2）①；②，此时的取值的集合为 【解析】 【分析】（1）由已知可得，利用，结合两角差的正切公式计算可求的值； （2）①设，由已知可得，计算可得，可求的大小；②由题意得：，利用两角差的余弦公式以及二倍角的正余弦公式可求的最小值及取得最小值时的集合． 【小问1详解】 因为点为靠近点的三等分点， ， 因为，所以； 【小问2详解】 ①设， 由的面积加1等于两条直角边之和可得，化简可得． 又， 于是 ，则 所以的大小为． ②由题意得：， 所以． 而 ， ， ，， 当，即时，取最大值为， 因此的最小值为， 取最小值时的集合为． 19. 如图1所示，设是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与x轴，y轴正方向同向的单位向量，则平面坐标系为仿射坐标系，若在仿射坐标系下，则把有序数对叫做向量的仿射坐标，记为． （1）在仿射坐标系下，，，若，则是否一定成立？请说明理由； （2）在仿射坐标系下，若，，且与的夹角为，求； （3）如图2，在仿射坐标系中，点B，C分别在两条数轴正半轴上（均与点O不重合），，，E，F分别为的中点，求的最大值． 【答案】（1）不一定成立，理由见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求出的表达式，根据式子判断即可； （2）根据定义求出即，再结合进行求解； （3）以为原点建立平面直角坐标系，设，，，，再设，由正弦定理可得，，再计算，结合三角恒等变形求最值即可． 【小问1详解】 解：不一定成立． 若，可得 ， 而不恒为零，因此不一定成立． 【小问2详解】 解：由，，得，，且， 所以， ， 则， 故， 因为与的夹角为， 则，解得，则． 【小问3详解】 如图：在直角坐标系中，， 设， 即在中，由余弦定理得， ，分别为的中点， 则 . 在中，由正弦定理， 设，则， 所以， ， 其中为锐角，且， 因为，则， 故当时，取得最大值， 则． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $