精品解析：四川成都外国语学校2025-2026学年下学期期中考试高一数学试卷

成都外国语学校2025-2026学年度下期期中考试 高一数学试卷 考试说明 1．本试卷分第I卷（选择题部分）和第II卷（非选择题两部分）； 2．本堂考试120分钟，满分150分； 3．答题前考生务必将自己的姓名，考号准确填写在答题卡，并用2B铅笔准确填涂考号； 4．缺考标志由监考老师填涂，考生禁涂； 5．考试结束后，将答题卡交回． 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知复数（其中为虚数单位），则的虚部为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数虚部的概念即可得解. 【详解】因为， 所以的虚部为. 故选：B. 2. （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：． 3. 要得到函数的图象，只需将的图象（ ） A. 向左平移个单位 B. 向右平移个单位 C. 向左平移个单位 D. 向右平移个单位 【答案】A 【解析】 【详解】易知， 故要得到函数的图象，只需将的图象向左平移个单位长度. 4. 已知向量，，满足，，，则在方向上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】已知， 则，解得， 在方向上的投影向量为：． 5. ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由辅助角公式及诱导公式计算即可． 【详解】 ． 6. 在，角，，所对的边分别为，，．已知，，，则角为（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】根据正弦定理得，再由小边对小角得解. 【详解】因为，，， 根据正弦定理，则， 得， ， 所以或， 因为，所以， 所以. 故选：C 7. 随着生态环境的改善，每年来某地湖泊繁育幼鸟的各种鸟类越来越多，鸟类众多、比较集中，且各种鸟类的数量在3500及以上的时间称为鸟类繁育“旺季”．第个月，当地湖泊中各种鸟类的数量可近似用函数来表示，那么一年中是“旺季”的月份有（ ） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可列出不等式，结合余弦函数的性质求解不等式，即可求得答案. 【详解】由题意知, 令, 即得,解得， 解得， 结合，可知当时，，即k取6，7，8，9，10， 即一年中是“旺季”的月份有5个月， 故选：C 8. 如图，在中，，过点P的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N．设，则的最小值为（ ） A. B. C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量基本定理得到，由共线定理的推论得到方程，求出，然后根据“1”的代换结合均值不等式求解最小值即可. 【详解】， 因为，，所以， 又，，三点共线，所以. 由于，， 所以， 当且仅当，即，时等号成立. 故的最小值为. 故选：B 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，选错或不选得0分） 9. 下列命题中，正确的有（ ） A. 有两个面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体不一定是棱柱 B. 有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥 C. 平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形 D. 有两个面互相平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台 【答案】ABC 【解析】 【分析】结合各类空间几何体的定义本质，通过构造反例与性质推导，逐一判断命题的正误. 【详解】对于A，将两个全等棱柱沿底面拼接，所得多面体存在一组互相平行的面， 其余各面均为平行四边形，但不满足棱柱侧棱全部平行的核心要求， 故该多面体不一定是棱柱，A正确. 对于B，棱锥仅有底面为多边形，其余面均为三角形，若存在平行四边形面， 则该面必为四边形底面，对应棱锥为四棱锥，B正确. 对于C，平行六面体的所有面均为平行四边形，由平行四边形对边平行且相等的性质， 可推得相对两个面的边长完全对应相等，即为全等的平行四边形，C正确. 对于D，棱台的必要条件是各侧棱延长后交于同一点， 仅上下底面平行相似、侧面为梯形，无法保证侧棱共顶点， 因此该多面体不一定为棱台，D错误. 10. 已知i为虚数单位，下列说法正确的有（ ） A. B. 复数的共轭复数 C. 复数的模为10 D. 已知复数满足，则在复平面内对应的点的轨迹为直线 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据化简即可判断选项A；根据复数的除法运算及共轭复数的定义即可判断选项B；根据复数模的计算公式即可判断选项C；由复数减法的几何意义即可判断选项D. 【详解】对于A，，故选项A正确； 对于B，复数，所以的共轭复数为，故选项B正确； 对于C，复数的模为，故选项C错误； 对于D，由复数减法的几何意义可知：表示在复平面内对应的点到点的距离，表示在复平面内对应的点到点的距离.由可知则在复平面内对应的点的轨迹为线段的垂直平分线，故选项D正确. 故选：ABD. 11. 在△ABC中，内角，，所对的边分别为，，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则△ABC为钝角三角形 C. 若，且，则△ABC为直角三角形 D. 在中，若，且满足条件，则动点经过△ABC的垂心 【答案】BD 【解析】 【分析】A.由判断；B. 由，结合平方关系，利用正弦定理得到，再用余弦定理判断；C. 根据都是单位向量，且，得到角A的角平分线也是高线，再由得到判断；D. 由，得到，再由判断. 【详解】A. 当时，满足，则，不满足，故错误； B. 由，得，由正弦定理得，则，所以角为钝角，故正确； C. 因为都是单位向量，且，所以角A的角平分线垂直于BC，所以且，则，所以是等边三角形，故错误； D. 由，得， 则， 所以，即动点在△ABC的高线上，所以动点经过△ABC的垂心，故正确； 故选：BD 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 如图所示，是用斜二测画法画出的的直观图，其中，则的面积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由直观图得到平面图，求出相应线段长，即可求出三角形的面积. 【详解】由直观图可得如下平面图形，其中，， 所以. 故答案为： 13. 如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到达处时测得公路右侧一山底在西偏北的方向上；行驶后到达处，测得此山底在西偏北的方向上，山顶的仰角为，则此山的高度______． 【答案】 【解析】 【分析】先求出，在中，由正弦定理得到，从而得到. 【详解】由题意得， 故， 故中，由正弦定理得， 即，解得， 又在点测得山顶的仰角为，故， 故. 故答案为： 14. 已知中，角的对边分别为，且，点在线段上，且， ，则的值为_____ 【答案】## 【解析】 【分析】利用正弦定理化简已知条件，结合角平分线定理、余弦定理求得. 【详解】，由正弦定理得，则， 由于，所以，而，所以． 由题意，是角平分线，，设，则， 由，所以，， 由得，，解得， 所以． 四、解答题（本大题共5小题，共77分） 15. 已知向量，. （1）若，求实数的值； （2）若，求实数的值. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用向量共线的坐标形式可求参数的值或者利用共线向量定理可求参数的值； （2）利用向量垂直的坐标形式可求参数的值. 【小问1详解】 方法一：由题意得，，， ∵，∴， 解得. 方法二：由题意得，，不平行，设， 则，∴，解得. 【小问2详解】 由题意得，， ∵，∴， 解得. 16. 已知函数. （1）求函数的最小正周期； （2）当时，求函数的最大值，以及相应的值. 【答案】（1） （2）2， 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换得到，利用求出最小正周期； （2）时，，整体法求出函数的最大值及相应的的值. 【小问1详解】 ， 所以最小正周期； 【小问2详解】 因为，所以，则， 的最大值为2，此时，即. 17. 某海域的东西方向上分别有两个观测点（如图），它们相距海里，现有一艘轮船在点发出求救信号，经探测得知点位于点北偏东45°方向，位于点北偏西75°方向，这时位于点南偏西45°方向且与点相距80海里的点有一救援船，其航行速度为28海里/小时. （1）求点到点的距离； （2）若接到指示命令处的救援船立即前往点营救，求该救援船到达点需要的最短时间. 【答案】（1）50 （2）2.5 【解析】 【分析】（1）利用已知数据由正弦定理解三角形就可得到结果； （2）同理利用余弦定理解三角形就可得到结果. 【小问1详解】 由题意知：，，， 所以， 在中，由正弦定理可得：即， 所以（海里）； 【小问2详解】 救援路线是直线时，时间最短. 在中，，，， 由余弦定理可得：， 所以海里. 需要的最短时间为（小时）. 18. 在锐角中，设角所对的边分别为，已知且． （1）求角； （2）求周长的取值范围； （3）求边上的中线的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先利用正弦定理进行角化边，再利用余弦定理得解； （2）利用正弦定理及三角恒等变换求出的取值范围进而得出结果； （3）用余弦定理、中线向量定理、正弦定理、辅助角公式等，将的范围转化为的范围，再结合锐角三角形以及角，求得角的范围，即可得解. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理得，， 又由余弦定理得，，故． 【小问2详解】 由正弦定理得 ， ， 又因为是锐角三角形，故，解得， ， 周长的取值范围为 ． 【小问3详解】 由余弦定理得，，即． ，两边平方得． 由正弦定理可知，，故， 因此 ， 又因为是锐角三角形，故，解得， 故，，， 即，则． 19. 已知平面内两个非零向量，定义一种运算：，且此运算满足如下运算律①；②；试求解下列问题： （1）设点，，，求． （2）在（1）的条件下，求证． （3）其实对任意，此结论均成立．设四边形有外接圆，圆心为，半径为2，对角线相互垂直且交点为交于分别为的中点，求三角形的面积的最大值． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）． 【解析】 【分析】（1）直接按定义计算即可； （2）把与三角形面积公式联系起来求解； （3）先利用第 2 问得到，再借助圆中“垂径定理”和对角线互相垂直，将四边形面积转化为关于的式子，最后求最值. 【小问1详解】 因为，所以 可得. 【小问2详解】 ，，， ， ， ，. 【小问3详解】 由结论， 可得 ． 由垂径定理知， ， 当且仅当时等号成立， 则， 当且仅当时等号成立， 综上所述三角形的面积的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 成都外国语学校2025-2026学年度下期期中考试 高一数学试卷 考试说明 1．本试卷分第I卷（选择题部分）和第II卷（非选择题两部分）； 2．本堂考试120分钟，满分150分； 3．答题前考生务必将自己的姓名，考号准确填写在答题卡，并用2B铅笔准确填涂考号； 4．缺考标志由监考老师填涂，考生禁涂； 5．考试结束后，将答题卡交回． 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知复数（其中为虚数单位），则的虚部为（ ） A. 1 B. C. D. 2. （ ） A. B. C. D. 3. 要得到函数的图象，只需将的图象（ ） A. 向左平移个单位 B. 向右平移个单位 C. 向左平移个单位 D. 向右平移个单位 4. 已知向量，，满足，，，则在方向上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 5. ，则（ ） A. B. C. D. 6. 在，角，，所对的边分别为，，．已知，，，则角为（ ） A. B. 或 C. D. 或 7. 随着生态环境的改善，每年来某地湖泊繁育幼鸟的各种鸟类越来越多，鸟类众多、比较集中，且各种鸟类的数量在3500及以上的时间称为鸟类繁育“旺季”．第个月，当地湖泊中各种鸟类的数量可近似用函数来表示，那么一年中是“旺季”的月份有（ ） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 8. 如图，在中，，过点P的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N．设，则的最小值为（ ） A. B. C. 3 D. 4 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，选错或不选得0分） 9. 下列命题中，正确的有（ ） A. 有两个面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体不一定是棱柱 B. 有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥 C. 平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形 D. 有两个面互相平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台 10. 已知i为虚数单位，下列说法正确的有（ ） A. B. 复数的共轭复数 C. 复数的模为10 D. 已知复数满足，则在复平面内对应的点的轨迹为直线 11. 在△ABC中，内角，，所对的边分别为，，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则△ABC为钝角三角形 C. 若，且，则△ABC为直角三角形 D. 在中，若，且满足条件，则动点经过△ABC的垂心 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 如图所示，是用斜二测画法画出的的直观图，其中，则的面积为__________. 13. 如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到达处时测得公路右侧一山底在西偏北的方向上；行驶后到达处，测得此山底在西偏北的方向上，山顶的仰角为，则此山的高度______． 14. 已知中，角的对边分别为，且，点在线段上，且， ，则的值为_____ 四、解答题（本大题共5小题，共77分） 15. 已知向量，. （1）若，求实数的值； （2）若，求实数的值. 16. 已知函数. （1）求函数的最小正周期； （2）当时，求函数的最大值，以及相应的值. 17. 某海域的东西方向上分别有两个观测点（如图），它们相距海里，现有一艘轮船在点发出求救信号，经探测得知点位于点北偏东45°方向，位于点北偏西75°方向，这时位于点南偏西45°方向且与点相距80海里的点有一救援船，其航行速度为28海里/小时. （1）求点到点的距离； （2）若接到指示命令处的救援船立即前往点营救，求该救援船到达点需要的最短时间. 18. 在锐角中，设角所对的边分别为，已知且． （1）求角； （2）求周长的取值范围； （3）求边上的中线的取值范围． 19. 已知平面内两个非零向量，定义一种运算：，且此运算满足如下运算律①；②；试求解下列问题： （1）设点，，，求． （2）在（1）的条件下，求证． （3）其实对任意，此结论均成立．设四边形有外接圆，圆心为，半径为2，对角线相互垂直且交点为交于分别为的中点，求三角形的面积的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $