精品解析：四川安岳中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试卷

安岳中学高2025级第二学期半期考试 数学试卷 考试时间：120分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 如图，矩形是水平放置的一个平面图形的直观图，其中，则原图形的面积为（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，，且，则等于（ ） A. B. C. 10 D. 3. 下列说法正确的是（ ） A. 棱柱是有且仅有两个平面平行，其他平面为平行四边形的多面体 B. 圆柱是由一个四边形绕着其中一条边旋转得到的 C. 用一个平面去截圆锥，这个平面和圆锥的底面之间的部分是圆台 D. 棱台的所有侧棱所在直线交于同一点 4. 数学兴趣小组想要测量桑园子黄河大桥北塔的高度，但不能直接测量，现采用以下方案：假定大桥北塔垂直于桥面，一辆小汽车在行驶过程中，车内观测员两次仰望塔顶的仰角分别为，（如图），设乘客眼睛离地面的距离为，.若在同一水平高度，且，，在同一竖直平面内，则北塔高为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，是一个正三棱台，而且下底面边长为4，上底面边长和侧棱长都为2，则棱台的高为（ ） A. B. C. D. 6. 已知为锐角，，，则=（ ） A. B. C. D. 或 7. 在中的角的对应边分别为，且，则的形状为（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 直角或等腰三角形 8. 在中，内角所对应边分别为，则下列说法不正确的是（ ） A. 若满足，的有两解，则a的取值范围为 B. 若为锐角三角形，且，则的取值范围是 C. 若则是的外心 D. 若点O为内一点，且，则 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. B. 若是关于的方程的根，则 C. 若复数满足，则的最大值和最小值的和为 D. 若，则 10. 如图，是圆锥的底面圆的直径，点是底面圆上异于、的动点，点是母线上一点，已知圆锥的底面半径为，侧面积为，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则从点出发绕圆锥侧面一周到达点的最短长度为 B. 该圆锥的体积为 C. 该圆锥的侧面展开图的圆心角大小为 D. 三棱锥的体积的最大值为 11. 满足，且，则（ ） A. 三个内角满足关系 B. 的周长为 C. 若的角平分线与交于，则的长为 D. 设为外接圆上任意一点，则的最大值为 三、填空题（共15分） 12. 若复数，则______. 13. 边长为1的正方形ABCD上有一动点，则向量的范围是___________. 14. 已知函数的图象如图所示，点在的图象上，且，若将图象上每个点的横坐标变为原来的倍，得函数在上恰有一个最大值，一个最小值，则m的取值范围是___________. 四、解答题（共77分） 15. 已知向量，，且与垂直. （1）求； （2）若与互相垂直，求实数的值. 16. 如图，长方体的三条棱的长分别为． （1）将此长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，求剩下的几何体的体积； （2）求长方体外接球的体积和表面积． 17. 在中，角所对的边分别为，已知，且，的中点为M. （1）求； （2）若为锐角三角形，求的取值范围. 18. ． （1）求的值； （2）求在上的值域； （3）将函数的图象上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，若不等式对于任意恒成立，求实数a的最大值． 19. 著名的费马问题是法国数学家皮埃尔·德·费马（）于年提出的平面几何极值问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小”，费马问题中的所求点称为费马点．已知对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点．在锐角中，角的对边分别为，且．若是锐角的“费马点”，． （1）求角； （2）若；求的面积； （3）若，且． ①求的周长； ②求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 安岳中学高2025级第二学期半期考试 数学试卷 考试时间：120分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 如图，矩形是水平放置的一个平面图形的直观图，其中，则原图形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】方法一、根据直观图还原到原图形即可求面积，方法二、根据直接求解. 【详解】方法一、设矩形与相交于点，则原图形如下， ，则， 所以. 方法二、由，所以. 故选：C. 2. 已知向量，，且，则等于（ ） A. B. C. 10 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平面向量共线的坐标公式直接运算即可. 【详解】由，及，得，所以， 故选：D 3. 下列说法正确的是（ ） A. 棱柱是有且仅有两个平面平行，其他平面为平行四边形的多面体 B. 圆柱是由一个四边形绕着其中一条边旋转得到的 C. 用一个平面去截圆锥，这个平面和圆锥的底面之间的部分是圆台 D. 棱台的所有侧棱所在直线交于同一点 【答案】D 【解析】 【详解】棱柱可能有多组平面平行，如正方体有三组平面平行，并非“有且仅有两个平面平行”，故A错误； 圆柱由矩形绕其一边旋转得到，任意四边形旋转不一定得到圆柱，故B错误； 只有当截面与圆锥底面平行时，这个平面和圆锥的底面之间的部分是圆台，否则不是，故C错误； 棱台是由棱锥截得的，其侧棱延长线交于同一点，故D正确． 4. 数学兴趣小组想要测量桑园子黄河大桥北塔的高度，但不能直接测量，现采用以下方案：假定大桥北塔垂直于桥面，一辆小汽车在行驶过程中，车内观测员两次仰望塔顶的仰角分别为，（如图），设乘客眼睛离地面的距离为，.若在同一水平高度，且，，在同一竖直平面内，则北塔高为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】设，因为，所以， 又因为，所以， 所以，解得. 所以. 5. 如图，是一个正三棱台，而且下底面边长为4，上底面边长和侧棱长都为2，则棱台的高为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合图形，取正三棱台的上下底面中心为，连接并延长交于点，连接并延长交于点，分别计算的长，利用直角梯形即可求得答案. 【详解】 如图，取正三棱台的上下底面中心为，则即为棱台的高. 连接并延长交于点，连接并延长交于点. 依题意，，， 在直角梯形中，，即棱台的高为. 故选：D. 6. 已知为锐角，，，则=（ ） A. B. C. D. 或 【答案】B 【解析】 【详解】因为为锐角，，所以. 因为，所以，且， 所以， 所以 . 7. 在中的角的对应边分别为，且，则的形状为（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 直角或等腰三角形 【答案】B 【解析】 【分析】将已知条件中的半角余弦表达式转化为边长关系，通过代数运算推导出角为直角. 【详解】因为，所以， 即， 所以， 即， 整理得， 角为直角，为直角三角形. 8. 在中，内角所对应边分别为，则下列说法不正确的是（ ） A. 若满足，的有两解，则a的取值范围为 B. 若为锐角三角形，且，则的取值范围是 C. 若则是的外心 D. 若点O为内一点，且，则 【答案】C 【解析】 【分析】对于A，利用正弦定理和三角函数的性质求解；对于B，根据余弦定理和已知条件化简，求出，再用正弦定理对进行化简，根据的范围判断即可；对于C，由向量的数量积的运算及外心的定义判断；对于D，交于点，由向量的线性运算法则及向量共线定理，可得，从而求得面积比. 【详解】对于A，，所以， 因为，要使有两解，则，所以，A正确； 对于B，因为，又， 所以，即，即， 所以， 即，即， 因为，所以，即 所以， 因为为锐角三角形，所以，所以， 所以，B正确； 对于C， 则， 所以，所以点在边的高线上，所以不一定是的外心，C错误； 对于D，若点O为内一点，且， 延长交于点，故存在实数，使得， 由于在直线上，故，从而，即， 所以，故，D正确. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. B. 若是关于的方程的根，则 C. 若复数满足，则的最大值和最小值的和为 D. 若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据复数定义，可以判断A选项；根据复数范围内二次方程的解互为共轭复数且满足根与系数关系，可以判断B选项；根据复数的几何意义可以判断对应的图形为圆，根据点到圆的距离可以判断C选项；根据复数的乘法运算可判断D选项. 【详解】对于A，复数包括实数和虚数，实数可以比较大小，虚数不可以比较大小，故A错误. 对于B，若是关于的方程的一个根，则也是关于的方程的一个根， 所以，因此,故B正确. 对于C，设，若复数满足，则有， 所以在复平面内对应点的轨迹为以为圆心，半径为的圆， 的几何意义为圆上点到原点的距离，，， 所以，故C正确. 对于D，由可得，，则， 因此，故D正确. 10. 如图，是圆锥的底面圆的直径，点是底面圆上异于、的动点，点是母线上一点，已知圆锥的底面半径为，侧面积为，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则从点出发绕圆锥侧面一周到达点的最短长度为 B. 该圆锥的体积为 C. 该圆锥的侧面展开图的圆心角大小为 D. 三棱锥的体积的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】将圆锥沿着展开，结合勾股定理判断A；利用扇形的侧面积公式求出圆锥的母线长，进而得出其高，结合锥体的体积公式判断B；由扇形的弧长公式判断C；求出面积的最大值，结合锥体的体积公式判断D. 【详解】对于C，由圆锥的侧面积为，得圆锥的母线长，侧面展开图弧长， 因此圆锥的侧面展开图的圆心角，C正确； 对于A，侧面展开图扇形圆心角，点在上且，则， 在展开后的扇形中，与（对应底面同一点）的圆心角为， 最短路径为线段，且，A正确； 对于B，设圆锥的高，该圆锥的体积为，B错误； 对于D，由圆的几何性质知，由勾股定理得， 由基本不等式得，则， 当且仅当，即当时取等号， 此时，因此，D正确. 11. 满足，且，则（ ） A. 三个内角满足关系 B. 的周长为 C. 若的角平分线与交于，则的长为 D. 设为外接圆上任意一点，则的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】借助正弦定理将角的关系转化为边的关系，再结合余弦定理和面积即可求得三角形的边长，利用角平分线将三角形进行分割，利用面积建立方程，即可求出的长度，最后借助数量积的几何意义即可求出最大值. 【详解】因为，由正弦定理得， 因为，所以， 所以， 对于A：由余弦定理知，，因为，所以， 所以，即，故A正确； 对于B：因为， 所以的周长为，故B正确； 对于C：若的角平分线与交于，则， 因为， 所以， 即，解得，故C错误； 对于D：因为， 设外接圆的圆心为，半径为， 由正弦定理知，，所以， 过点作的垂线，垂足为，则， 当，且点在的延长线上时，取得最大值，如图所示， 此时， 所以的最大值为，故D正确. 三、填空题（共15分） 12. 若复数，则______. 【答案】 【解析】 【分析】利用复数的除法求出，进而求出其模. 【详解】依题意，，所以. 故答案为： 13. 边长为1的正方形ABCD上有一动点，则向量的范围是___________. 【答案】 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，利用向量数量积的坐标运算求解 【详解】如图，分别以,为建立平面直角坐标系，则， 设，则，， 当在边或边上时，， 所以， 当在边上时，，， 当在边上时，，， 所以的取值范围为， 14. 已知函数的图象如图所示，点在的图象上，且，若将图象上每个点的横坐标变为原来的倍，得函数在上恰有一个最大值，一个最小值，则m的取值范围是___________. 【答案】 【解析】 【分析】结合型函数图象的几何意义，求解出，由图象变换得到表达式，根据函数图象在恰有一个最大值，一个最小值求解出的范围. 【详解】因为，点在的图象上， 所以，即， 因为，所以，即， 由，可得，所以， 而在轴左侧，所以，即，因此， 由图象可知，，则， 因为且，所以， 设将图象上每个点的横坐标变为原来的倍后得到的函数为， 所以，， 当时，， 当时，，故， 而的最大值为，最小值为， 所以，即， 因此的取值范围为 四、解答题（共77分） 15. 已知向量，，且与垂直. （1）求； （2）若与互相垂直，求实数的值. 【答案】（1）5 （2） 【解析】 【分析】（1）先根据向量垂直得出的值，然后根据向量模长的公式求模长； （2）根据向量垂直列方程，求的值。 【小问1详解】 与垂直，所以，得， ， . 【小问2详解】 ，， 与互相垂直， 所以， 即，即， 所以. 16. 如图，长方体的三条棱的长分别为． （1）将此长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，求剩下的几何体的体积； （2）求长方体外接球的体积和表面积． 【答案】（1） （2）体积为，表面积为 【解析】 【分析】（1）根据求解即可； （2）根据长方体的体对角线为外接球的直径可求解. 【小问1详解】 在长方体中，． 则． ， 所以剩余部分的体积为． 【小问2详解】 长方体的体对角线长为， 设长方体的外接球的半径为，可得，即， 所以外接球的体积为， 表面积为． 17. 在中，角所对的边分别为，已知，且，的中点为M. （1）求； （2）若为锐角三角形，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由得，根据的范围求值； （2）由正弦定理得，，由，利用向量运算结合三角恒等变换可得，求出的范围结合三角函数性质得解. 【小问1详解】 由，得， 又，所以， 所以，. 【小问2详解】 由，且可得， 又，为外接圆半径） 所以，又，所以， 在中，由正弦定理得， 所以，. 由的中点为M，得， 所以 . 因为为锐角三角形，所以，得， 则，所以，， 则， 故的取值范围是. 18. ． （1）求的值； （2）求在上的值域； （3）将函数的图象上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，若不等式对于任意恒成立，求实数a的最大值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）直接代入即可求解， （2）在已知x的取值范围的情况下，通过分析的范围，进而得出函数的值域. （3）根据三角函数图象的伸缩变换得到，通过换元构造函数，令，再将进行化简，参变分离，转化为对任意的恒成立，利用基本不等式求a的取值范围． 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 时，，故． 即在上的值域为． 【小问3详解】 将函数图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变）， 得到函数， 则 ， 令，因为，所以. 则不等式对任意的恒成立， 等价于对任意的恒成立， 即对任意的恒成立. 整理得，因为，所以， 则； 令，，，， 由于，故，则， 因此， 当且仅当，即时取到等号， 所以.所以， 即实数的取值范围是. 19. 著名的费马问题是法国数学家皮埃尔·德·费马（）于年提出的平面几何极值问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小”，费马问题中的所求点称为费马点．已知对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点．在锐角中，角的对边分别为，且．若是锐角的“费马点”，． （1）求角； （2）若；求的面积； （3）若，且． ①求的周长； ②求的值． 【答案】（1） （2） （3）①；③ 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理结合已知条件求解； （2）利用正三角形的性质，结合费马点定义、余弦定理构造方程求出，进而利用三角形面积公式求解； （3）利用费马点性质结合余弦定理及三角形面积公式构造方程求出，进而求出三角形周长；再结合余弦定理求出． 【小问1详解】 由结合正弦定理可得， ， ， 为锐角三角形， ． 【小问2详解】 中，且， 为正三角形，边长， 费马点满足，且等边三角形费马点与重心、垂心重合， 设，由余弦定理，， 即，故，解得， 的面积． 【小问3详解】 ①设，由费马点性质，，故 ． ， 由得： ，即， 由余弦定理得，， 即，即， 又，联立，解得， 的周长为； ②由在中，由余弦定理得， 联立可得， 则， 即， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $