精品解析：江苏新沂市2026年九年级第二次质量检测数学试题

2026年九年级第二次质量检测数学试题 注意事项： 1．本试卷共6页，满分为140分，考试时间为120分钟． 2．答题前，请将姓名、考试号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在本试卷及答题卡指定位置． 3．答案全部涂、写在答题卡上，写在本卷上无效考试结束后，只交答题卡． 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项符合题意，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置） 1. 2的倒数是（ ） A. B. C. 2 D. －2 2. 下列选项是在《中国古代钱币》特种邮票中选取的部分图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列事件中属于必然事件的是（ ） A. 明天徐州下雨 B. 任意画一个三角形其内角和为180° C. 掷一枚质地均匀的硬币正面朝上 D. 打开电视，正在播放动画片 4. 二次根式有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 跳绳是体育中考选考科目之一．某校七年级甲、乙、丙、丁四名同学参加1分钟跳绳测试，每人10次跳绳成绩的平均数（单位：个）及方差（单位：个2）如表所示： 甲 乙 丙 丁 平均数 206 217 208 217 方差 4.6 4.6 6.9 9.6 根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的同学参加比赛，应选择（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 7. 如图所示的正方体，如果把它展开，可以是下列图形中的（　　） A. B. C. D. 8. 一次函数的图像如图所示．则关于的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．不需要写出解答过程，请将答案直接填写在答题卡相应位置） 9. 4的算术平方根是__________． 10. 2026年春节假期，徐州市文旅市场迎来强劲增长，全市重点文旅区域在九天内累计接待游客5850400人次．将5850400用科学记数法表示为_______． 11. 正边形的内角和等于，则的值为______． 12. 分式方程 的解为__________． 13. 反比例函数，当时，y随x的增大而_______．（填“增大”或“减小”） 14. 如图，， ，，则_______． 15. 如图，内接于，，，则的半径为_______． 16. 如图，将一张平行四边形纸片折叠，折痕为，折叠后，点的对应点为点，交于点．若，，则的周长为_______． 17. “勾股树”是根据勾股定理一步步重复画出来的图形，因为形状像一棵树而得名．如图是勾股树的形成过程，按照这个规律，第7个图形里的正方形比第5个图形多_______个． 18. 如图为二次函数的图象，其与轴交于和两点．①；②；③对称轴为直线；④：上述结论正确的有________（填序号）． 三、解答题（本大框共有10小题，共65分请在答题大指定区结内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算： （1）； （2）． 20. 按要求完成下列各题： （1）解方程：； （2）解不等式组：． 21. 我市文广旅局以“春启汉韵·彭城知行”为主题，推出多条精品研学路线．经师生网络投票筛选，确定3条推荐路线：①“彭城七里-穿越千年的汉风记忆”；②“楚汉风华-大汉王朝的寻根之旅”；③“淮海印记-红色精神接力”．现将3条路线分别写在3张完全相同的纸条上，放入不透明的盒子中． （1）小明随机抽取1张纸条，那么他抽到“彭城七里-穿越千年的汉风记忆”的概率______； （2）小明先随机抽取1张纸条，记录路线后放回盒中，再由小华随机抽取1张纸条．请用列表法或树状图法，求小明和小华抽到同一条研学路线的概率． 22. 某企业工会开展“智享职场·数智赋能”主题活动，推荐了当前职场高频使用的4类人工智能软件：A．豆包；B．；C．通义千问；D．元宝．每位职工选择其中1类学习使用．为了解职工对软件的使用情况，随机抽取部分职工进行调查统计，统计结果绘制成如图所示的两幅不完整统计图： 请根据图中信息，完成下列问题： （1）这次抽取的职工总人数为______人；扇形统计图中A类软件所占圆心角为______； （2）补全条形统计图； （3）该企业计划从这4类软件中选1类对职工进行培训，结合本次调查结果，你认为优先选择哪一类？请说明理由． 23. 如图，点C在的边上，经过点C，且与，分别交于点D，E，连接，．若，四边形是菱形． （1）求证：； （2）求证：是的切线． 24. 在理想状态下，某电动摩托车充满电后以恒定功率运行，其电池剩余的能量与骑行里程之间满足一次函数关系（如图）．当电池剩余能量降至时，电动摩托车开始自动报警． （1）电池能量最多可充_____； （2）该电动摩托车充满电后，骑行里程为多少时开始自动报警？ 25. 某中学为数学实验“先行示范校”，该校一数学活动小组带上高度为的测角仪，对建筑物进行测量高度的综合实践活动．如图，在处测得直立于地面的顶点A的仰角为，然后前进20m至处，测得顶点A的仰角为． （1）求的度数； （2）求的长（结果保留根号）． 26. 2026年春节期间，我国国产电影《熊猫计划之部落奇遇记》刷新了中国电影票房的新纪录，商家推出A、B两款“熊猫”文旅纪念品．已知购进A款个，B款个，需花费元；购进A款个，B款个，需花费元． （1）求A，B两款“熊猫”纪念品每个进价分别为多少元？ （2）在销售中，该商家发现每个A款纪念品售价元时，可售出个，售价每增加元，销售量将减少个，设每个A款纪念品售价元，W表示该商家销售A款纪念品的利润（单位：元），求关于的函数表达式，并求出的最大值． 27. 如图，已知． （1）请在图中完成作图（要求，用无刻度的直尺和圆规作图，保留作图痕迹，写出必要的文字说明）； ①作的高，垂足为D； ②在上求作点E，使； （2）在（1）的条件下，若，，，求的长． 28. 如图1，在中，，，点D，E分别在边上，，连接，点M，N，P分别为的中点，连接 ． （1）图1中，线段 的数量关系是______，_______°； （2）把绕点A顺时针旋转到图2所示的位置，连接，求证：是等腰直角三角形； （3）把绕点A在平面内旋转，若，，请直接写出面积的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年九年级第二次质量检测数学试题 注意事项： 1．本试卷共6页，满分为140分，考试时间为120分钟． 2．答题前，请将姓名、考试号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在本试卷及答题卡指定位置． 3．答案全部涂、写在答题卡上，写在本卷上无效考试结束后，只交答题卡． 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项符合题意，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置） 1. 2的倒数是（ ） A. B. C. 2 D. －2 【答案】A 【解析】 【详解】解：根据倒数的定义，乘积为1的两个数互为倒数． ， ∴ 2的倒数是． 2. 下列选项是在《中国古代钱币》特种邮票中选取的部分图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：A. 是轴对称图形，不是中心对称图形，故该选项不符合题意； B. 既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故该选项不符合题意； C. 既是轴对称图形，又是中心对称图形，故该选项符合题意； D. 是轴对称图形，不是中心对称图形，故该选项不符合题意． 3. 下列事件中属于必然事件的是（ ） A. 明天徐州下雨 B. 任意画一个三角形其内角和为180° C. 掷一枚质地均匀的硬币正面朝上 D. 打开电视，正在播放动画片 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查必然事件与随机事件的概念，必然事件是一定条件下一定发生的事件，随机事件是一定条件下可能发生也可能不发生的事件，根据概念逐一判断即可． 【详解】解：A明天徐州下雨，是随机事件，不符合题意； ∵任意三角形的内角和一定为180°，一定发生， ∴B任意画一个三角形其内角和为180°，是必然事件，符合题意； C掷一枚质地均匀的硬币正面朝上，是随机事件，不符合题意； D打开电视，正在播放动画片，是随机事件，不符合题意． 4. 二次根式有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据被开方数大于等于0列不等式求解即可． 【详解】解：由题意得，2﹣x≥0， 解得x≤2． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义． 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：对选项A：根据同底数幂乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加； ，A错误； 对选项B：根据合并同类项法则：合并同类项时，系数相加，字母和字母的指数不变； ，B错误； 对选项C：根据积的乘方法则：积的乘方等于积中每个因式分别乘方，再将结果相乘； ，C错误； 对选项D：根据同底数幂除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减； ，D正确. 6. 跳绳是体育中考选考科目之一．某校七年级甲、乙、丙、丁四名同学参加1分钟跳绳测试，每人10次跳绳成绩的平均数（单位：个）及方差（单位：个2）如表所示： 甲 乙 丙 丁 平均数 206 217 208 217 方差 4.6 4.6 6.9 9.6 根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的同学参加比赛，应选择（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平均数和方差的意义，平均数越大代表平均成绩越好，方差越小代表数据波动越小，发挥越稳定，先比较平均数选出成绩好的对象，再比较方差确定发挥稳定的对象即可． 【详解】解：∵乙和丁的平均数为，大于甲的和丙的， ∴乙和丁的平均成绩更好， 又∵乙的方差为，小于丁的方差， ∴乙的发挥比丁更稳定， ∴应选择乙参加比赛． 7. 如图所示的正方体，如果把它展开，可以是下列图形中的（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正方体的展开图，根据圆面、正方形面、三角形面是相邻面，且圆面、正方形面与三角形面只有一个公共顶点，可得答案． 【详解】解：根据图形得： A、C、D选项中折叠后带图案的三个面不能相交于同一个点，与原立方体不符； B选项中折叠后与原立方体符合，所以正确的是B． 故选：B 8. 一次函数的图像如图所示．则关于的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据图像与x轴的交点是，根据y随x的增大而减小，判定即可． 【详解】∵图像与x轴的交点是，且y随x的增大而减小， ∴，解得 ∴不等式 ， ， 又∵k＜0， ∴ ∴ 故选D． 【点睛】本题考查了图像与x轴的交点，一次函数的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．不需要写出解答过程，请将答案直接填写在答题卡相应位置） 9. 4的算术平方根是__________． 【答案】 2 【解析】 【详解】解：，则4的算术平方根是． 10. 2026年春节假期，徐州市文旅市场迎来强劲增长，全市重点文旅区域在九天内累计接待游客5850400人次．将5850400用科学记数法表示为_______． 【答案】 【解析】 【详解】解：. 11. 正边形的内角和等于，则的值为______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了正多边形内角和的计算，掌握多边形内角和的计算公式是解题的关键． 根据多边形内角和公式（是多边形的边数），列式求解即可． 【详解】解：正边形的内角和等于， ∴， 解得，， 故答案为：6 ． 12. 分式方程 的解为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解分式方程，分式方程去分母后得整式方程，解整式方程得出未知数的值，再进行检验即可． 【详解】解：， 去分母得，， 解得，， 经检验：是原方程的解， 故答案为：． 13. 反比例函数，当时，y随x的增大而_______．（填“增大”或“减小”） 【答案】增大 【解析】 【详解】解：∵反比例函数，， ∴双曲线过二，四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大； 故当时，y随x的增大而增大. 14. 如图，，，，则_______． 【答案】 ##度 【解析】 【分析】根据三角形的内角和，求出，根据两直线平行，内错角相等，即可求出． 【详解】解：∵，， ∴ ， ∵， ∴ ． 15. 如图，内接于，，，则的半径为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理解三角形． 根据圆周角定理得到，得到为等腰直角三角形，根据勾股定理解得，继而得到答案． 【详解】解：∵内接于，， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴由勾股定理得：， ∴的半径为. 16. 如图，将一张平行四边形纸片折叠，折痕为，折叠后，点的对应点为点，交于点．若，，则的周长为_______． 【答案】 6 【解析】 【分析】根据折叠得到，因为，可得，所以，进一步将线段转化即可求得． 【详解】解：将一张平行四边形纸片折叠，折痕为， ，， ， ， ， ， 周长为 ， 即 ． 17. “勾股树”是根据勾股定理一步步重复画出来的图形，因为形状像一棵树而得名．如图是勾股树的形成过程，按照这个规律，第7个图形里的正方形比第5个图形多_______个． 【答案】96 【解析】 【分析】由已知图形观察规律，可得到第5个图形中正方形的个数，第7个图形中正方形的个数，即可． 【详解】解：由题意可知：第1个图形中正方形有个， 第2个图形中正方形有个， 第3个图形中正方形有个， 第4个图形中正方形有个， ……， 由此推出第n个图形中正方形有个， ∴第5个图形中正方形有个，第7个图形中正方形有个， ∴第7个图形里的正方形比第5个图形多 个． 18. 如图为二次函数的图象，其与轴交于和两点．①；②；③对称轴为直线；④：上述结论正确的有________（填序号）． 【答案】③④ 【解析】 【分析】对于①，由图可知，，，，则；对于②，结合图可知，当时，，则；对于③，利用对称轴公式进行计算即可；对于④，由和可得，则． 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴， ∵抛物线过点和， ∴对称轴为直线，故③正确， ∴，即， ∵抛物线交轴于负半轴， ∴， ∴，故①错误， 由图可知，当时，， ∴，故②错误， ∵抛物线过点， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴，故④正确， 综上，正确的结论为③④． 三、解答题（本大框共有10小题，共65分请在答题大指定区结内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：      . 20. 按要求完成下列各题： （1）解方程：； （2）解不等式组：． 【答案】（1），； （2）. 【解析】 【小问1详解】 解：， 因式分解得， 或， 解得，； 【小问2详解】 解：， 解不等式①得； 解不等式②得 ； 所以原不等式组的解集为. 21. 我市文广旅局以“春启汉韵·彭城知行”为主题，推出多条精品研学路线．经师生网络投票筛选，确定3条推荐路线：①“彭城七里-穿越千年的汉风记忆”；②“楚汉风华-大汉王朝的寻根之旅”；③“淮海印记-红色精神接力”．现将3条路线分别写在3张完全相同的纸条上，放入不透明的盒子中． （1）小明随机抽取1张纸条，那么他抽到“彭城七里-穿越千年的汉风记忆”的概率______； （2）小明先随机抽取1张纸条，记录路线后放回盒中，再由小华随机抽取1张纸条．请用列表法或树状图法，求小明和小华抽到同一条研学路线的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接利用概率公式计算即可； （2）用A，B，C分别表示①，②，③三条研学路线，画出树状图，利用概率公式进行计算即可. 【小问1详解】 解：小明抽到“彭城七里-穿越千年的汉风记忆”的概率为； 【小问2详解】 解：用A，B，C分别表示①，②，③三条研学路线， 画出树状图如图： 共有9种等可能的结果，其中小明和小华抽到同一条研学路线的结果有3种， ∴. 22. 某企业工会开展“智享职场·数智赋能”主题活动，推荐了当前职场高频使用的4类人工智能软件：A．豆包；B．；C．通义千问；D．元宝．每位职工选择其中1类学习使用．为了解职工对软件的使用情况，随机抽取部分职工进行调查统计，统计结果绘制成如图所示的两幅不完整统计图： 请根据图中信息，完成下列问题： （1）这次抽取的职工总人数为______人；扇形统计图中A类软件所占圆心角为______； （2）补全条形统计图； （3）该企业计划从这4类软件中选1类对职工进行培训，结合本次调查结果，你认为优先选择哪一类？请说明理由． 【答案】（1）200， （2）见解析 （3）优先选择类软件，理由见解析 【解析】 【分析】（1）用类软件的人数除以所占的比例求出抽取的职工总人数；用乘以类软件的人数所占的比例即可求解； （2）求出类软件的人数，然后补全条形统计图即可； （3）根据条形统计图和扇形统计图中的数据求解即可． 【小问1详解】 解：这次抽取的职工总人数为（人）； 扇形统计图中类软件所占圆心角为； 【小问2详解】 解：类软件的人数为（人）， 补全条形统计图如下： 【小问3详解】 解：优先选择类软件，理由如下： 本次调查中，选择类软件的职工人数最多（80人），占比最高（），说明该软件在职工中的使用需求和接受度最高，培训的受众面最广，更能满足多数职工的学习需求， ∴优先选择类软件． 23. 如图，点C在的边上，经过点C，且与，分别交于点D，E，连接，．若，四边形是菱形． （1）求证：； （2）求证：是的切线． 【答案】（1）见详解 （2）见详解 【解析】 【分析】（1）由菱形性质得且，进而推出，结合已知，用证明全等； （2）连接，由全等得，再结合菱形四边相等且，推出，得为等腰三角形，利用三线合一证，从而得为切线． 【小问1详解】 证明：四边形是菱形， ，， ， 在和中： ． 【小问2详解】 证明：连接， 由（1）， ， 四边形是菱形，且、为的半径， ， ， 在中，，， ， 点在上，为半径， 是的切线． 24. 在理想状态下，某电动摩托车充满电后以恒定功率运行，其电池剩余的能量与骑行里程之间满足一次函数关系（如图）．当电池剩余能量降至时，电动摩托车开始自动报警． （1）电池能量最多可充_____； （2）该电动摩托车充满电后，骑行里程为多少时开始自动报警？ 【答案】（1）500， （2）． 【解析】 【分析】（1）由图象可知，当骑行里程时，电池剩余能量即为满电状态； （2）电池剩余能量与骑行里程满足一次函数关系，用待定系数法求出解析式，再令求解． 【小问1详解】 解：由图象可知，当时，， 电池能量最多可充； 【小问2详解】 解：设与的函数关系式为， 图象过点， ， 图象过点， ， 解得， ， 当电池剩余能量降至时开始报警， 令，则， 解得， 骑行里程为时开始自动报警． 25. 某中学为数学实验“先行示范校”，该校一数学活动小组带上高度为的测角仪，对建筑物进行测量高度的综合实践活动．如图，在处测得直立于地面的顶点A的仰角为，然后前进20m至处，测得顶点A的仰角为． （1）求的度数； （2）求的长（结果保留根号）． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】(1) 延长交于H，构造两个直角三角形，利用仰角分别求出和，作差得； (2) 由(1)，过点作于点，在中，，得，在中，，可求出，用勾股定理求出． 【小问1详解】 解：延长交于H， 由已知，， 在处测得顶点的仰角为， 在中，， ， 在处测得顶点的仰角为， ， ， ． 【小问2详解】 解：过点作于点， 在中，，， ， ， 是等腰直角三角形， ， 在中，，， ， ， ， 在等腰直角三角形中， ． ∴的长为． 26. 2026年春节期间，我国国产电影《熊猫计划之部落奇遇记》刷新了中国电影票房的新纪录，商家推出A、B两款“熊猫”文旅纪念品．已知购进A款个，B款个，需花费元；购进A款个，B款个，需花费元． （1）求A，B两款“熊猫”纪念品每个进价分别为多少元？ （2）在销售中，该商家发现每个A款纪念品售价元时，可售出个，售价每增加元，销售量将减少个，设每个A款纪念品售价元，W表示该商家销售A款纪念品的利润（单位：元），求关于的函数表达式，并求出的最大值． 【答案】（1）A，B两款“熊猫”纪念品每个进价分别为元，元 （2）； 【解析】 【分析】（1）通过建立二元一次方程组求解即可； （2）利用“利润单个利润销售量”列函数表达式，再通过二次函数性质结合自变量取值求最大值即可． 【小问1详解】 解：设A款纪念品每个进价为元，B款纪念品每个进价为元， ， 解得； 答：A，B两款“熊猫”纪念品每个进价分别为元，元； 【小问2详解】 解： ， ∵， ∴抛物线开口向下，函数有最大值， ∵对称轴 ，在 范围内， ∴当时， ． 27. 如图，已知． （1）请在图中完成作图（要求，用无刻度的直尺和圆规作图，保留作图痕迹，写出必要的文字说明）； ①作的高，垂足为D； ②在上求作点E，使； （2）在（1）的条件下，若，，，求的长． 【答案】（1）①②见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）①根据作垂线的尺规作图方法作图即可；②作的垂直平分线，交于点F，以F为圆心，为半径作，交于点E，连接，则， （2）先证明，则，据此求出，然后对运用勾股定理求解，即可求解． 【小问1详解】 解：①如图，即为所求； ②解：如图，点E即为所求； 【小问2详解】 解：∵为直径， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴（舍负） ∵， ∴ ∴． 28. 如图1，在中，，，点D，E分别在边上，，连接，点M，N，P分别为的中点，连接． （1）图1中，线段的数量关系是______，_______°； （2）把绕点A顺时针旋转到图2所示的位置，连接，求证：是等腰直角三角形； （3）把绕点A在平面内旋转，若，，请直接写出面积的最大值． 【答案】（1），； （2）见解析； （3）8． 【解析】 【分析】（1）根据点M，N，P分别为，，的中点，得，，，可知，而，即可求出； （2）先证，得，，然后由（1）同理可得，； （3）先求出的最大值，由（2）知为等腰直角三角形可知，最大时，面积的最大，求出此时的面积即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∵点M，N，P分别为，，的中点， ∴，，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：，； 【小问2详解】 由旋转得：， 又∵，， ∴， ∴， ∵点M，N，P分别为，，的中点， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴ ， ∴是等腰直角三角形； 【小问3详解】 由题意知， 即， ∴， 由（2）知是等腰直角三角形， ∴时，S△MNP最大， ∴最大为． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质、三角形中位线定理、三角形全等的判定与性质等知识，证明出是等边三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $