江苏省扬州中学2025-2026学年高二5月自主学习评估数学试卷

江苏省扬州中学2025-2026学年高二5月自主学习评估 数学参考答案 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．D 2．C 3．A 4．A 5．A 6．B 7．B 8．B 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分． 9．ABC 10．BCD 11．ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．6 13． 14． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（1）甲机床生产的产品中一级品的频率为：．（3分） 乙机床生产的产品中一级品的频率为：．（3分） （2）由题意：．（3分） 因为，所以依据小概率值的独立性检验，可认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异．（4分） 16．（1）由题意得，即，解得或0（舍去）；（3分） 故二项展开式中各项二项式系数和为，（3分） （2）展开式的通项公式为，（2分） 设展开式中系数的绝对值最大的项为， 则，解得，（3分） 又，，（2分） ∴展开式中系数的最大的项为．（2分） 17．（1）由题意知，的值为0，1，2，3． ，， ，．（4分） 的分布列为： 0 1 2 3 ．（3分） （2）由题意可知，全市70后打算生二胎的概率为（2分），，1，2，3．且． ．（2分） 的分布列为： 0 1 2 3 ．（4分） 18．（1）平面，平面， ，（2分） ，，、平面， 平面，又平面，（1分） ∴平面平面．（1分） （2）以为原点，，所在直线分别为，轴，作为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， ，，， 设平面的法向量为，则， 令，则，，故，（2分） 设与平面所成角为，则，（3分） 与平面所成角的正弦值为1．（1分） （3）由（2）知，，平面的一个法向量为， ，，（1分） ，（1分） 设平面的法向量为，则，（1分） 令，则，，故，（1分） ∵平面与平面的夹角的余弦值为， ，（1分） 整理得，即， 解得或（舍）， ．（2分） 19．（1）因为，所以，（1分） 设， 则．（1分） ∵当时，，， ∴当时，．（1分） 当时，令，则，．（1分） 当时，，则即单调递增；（1分） 当时，，则即单调递减；（1分） 当时，，则即单调递增．（1分） 综上，在，上单调递增，在上单调递减．（1分） （2）由（1）知， ， ．（1分） （i）当时，在内，恒成立， 当时，令，得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， ∴当时，在内有唯一的极小值点，不存在极大值，不符合题意（2分） （ii）当时，令，得， 当时，；当时，． ①当，即时，若，即， 则当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 故在处取得内的唯一极大值，符合题意． 若，即， 则当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 故在处取得内的唯一极大值，符合题意．（2分） ②当，即时， 若，则，单调递减， 若，则，单调递减， 故在内无极值，不符合题意．（1分） ③当，即时，在内单调递减， 在内单调递增，在内单调递减， 故在处取得内的唯一极大值，符合题意．（1分） ④当，即时，在内单调递减，在内单调递增，故在处取得内的唯一极小值，不存在极大值，不符合题意．（1分） 综上，实数的取值范围是（1分） 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省扬州中学2025-2026学年高二5月自主学习评估 数学试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．某班有5名同学分别报名参加学校的足球队、篮球队、乒乓球队、羽毛球队，每人限报其中一个运动队，则不同的报法种数是（ ） A． B． C． D． 2．已知正态分布：，若，则（ ） A．0.6 B．0.4 C．0.2 D．0.1 3．已知，，，则为（ ） A． B． C． D． 4．二项式的展开式中，常数项为（ ） A．672 B．84 C． D． 5．已知函数在处的切线方程为，则的值为（ ） A． B．3 C．4 D．5 6．若事件，满足，，，则（ ） A． B． C． D． 7．已知函数在上有两个极值点，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 8．已知函数，若恒成立，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分． 9．已知，且，则下列结论正确的是（ ） A． B．若，则 C． D． 10．某计算机程序每运行一次都随机出现一个四位二进制数（每一位上数字只能是0或1，例如出现“1010”），其中的各位数字中出现0的概率为，出现1的概率为，各个位数之间互相独立．记随机变量，则当程序运行一次时，下列说法正确的有（ ） A． B． C．的数学期望 D．随机变量的方差 11．如图，在三棱锥中，和均为边长为2的等边三角形，则下列说法正确的是（ ） A． B．当三棱锥的体积最大时，三棱锥的外接球的体积为 C．当二面角的余弦值为时， D．若二面角的大小为，且时，直线与所成角的余弦值最大为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．某产品的广告投入（万元）与销售额（万元）的统计数据如下图所示：若关于的线性回归方程为，则__________． 2 3 5 6 20 35 50 55 13．已知盒子中有除颜色外完全相同的6个乒乓球，其中有2个白色的，4个橙色的．若每次随机抽取1个球，确定颜色后再放回，直到两种颜色的球都取到后停止取球，则第2次取球后恰好停止的概率为__________． 14．函数在上单调递增，则的取值范围是__________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表： 一级品 二级品 合计 甲机床 150 50 200 乙机床 120 80 200 合计 270 130 400 （1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？ （2）依据小概率值的独立性检验，能否认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异？ 附： 0.05 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 ， 16．已知的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是． （1）求二项展开式中各项二项式系数和； （2）求二项展开式中系数最大的项． 17．从2016年1月1日起全国统一实施全面两孩政策．为了解适龄民众对放开生二孩政策的态度，某市选取70后作为调查对象，随机调查了8人，其中打算生二胎的有3人，不打算生二胎的有5人． （1）从这8人中随机抽取3人，记打算生二胎的人数为，求随机变量的分布列和数学期望； （2）若以这8人的样本数据估计该市的总体数据，且以频率作为概率，从该市70后中随机抽取3人，记打算生二胎的人数为，求随机变量的分布列和数学期望． 18．如图，在四棱锥中，平面，，，，，为的中点，点在上，且． （1）证明：平面平面； （2）求与平面所成角的正弦值； （3）若棱上一点满足，且平面与平面的夹角的余弦值为，求． 19．已知函数，为函数的导函数． （1）若，讨论在上的单调性； （2）若函数，且在内有唯一的极大值，求实数的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $