江苏省宝应中学、高邮中学2025-2026学年第二学期4月学情检测高二数学试题

2025～2026学年第二学期4月学情检测 高二数学试题 分值：150分　时间：120分钟 1、 选择题：本题共8小题， 每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的． 1．若，则（    ） A． B．6 C．3 D． 【答案】D 2. 已知向量与共线，则实数（    ） A．或1 B．1 C．或2 D．0 【答案】A 3．函数为自然对数的底数在上（     ） A．有极大值 B．有极小值 C．是增函数 D．是减函数 【答案】C 4. 在四面体中，点E满足F为BE的中点，且则实数λ=（    ） A． B． C． D． 【答案】D 5. 已知四棱锥的底面为直角梯形，，底面，且，，则异面直线与所成的角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 6.如图，正四棱锥的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，平面，为侧棱上的点，则二面角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 7. 若函数存在唯一极值点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】， 则， 若函数存在唯一极值点， 则在上有唯一的根， 所以由可得，则有唯一的根， 直线与函数的图象有一个交点（非切点）， 又， 所以当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以函数的极大值为， 且当时，，当时，， 则函数的图象如下图所示： 所以当时， 即当时，直线与函数的图象有一个交点（非切点）， 因此，实数的取值范围是． 故选：D. 8．已知，对任意的，不等式恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意，不等式即，进而转化为， 令，则， 当时，，所以在上单调递增. 则不等式等价于恒成立. 因为，所以， 所以对任意恒成立，即恒成立. 设，可得， 当单调递增,当单调递减． 所以有最大值，于是，解得． 故选：A 二、 选择题：本题共4小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分． 9. 关于空间向量，以下说法正确的是（    ） A．若空间向量，，则在上的投影向量为 B．若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面 C．若空间向量，满足，则与夹角为锐角 D．若直线l的方向向量为，平面的一个法向量为，则 【答案】ABD 【详解】A：在上的投影向量为，对； B：在中，故P，A，B，C四点共面，对； C：当，同向共线时也成立，但与夹角不为锐角，错； D：由，即，故，对. 故选：ABD 10. 已知函数，则下列说法正确的有（    ） A.若，则有最小值 B．若，则的极小值为0 C．若，则 D．若，则的最大值大于 【答案】CD 【详解】对于A，不正确； 对于B，当时，，则， 令，解得：，当时，，则在上单调递增； 当时，，则在上单调递减，所以的极大值为， 故B不正确； 对于C，，当，则，所以在上单调递增， 又，即，则，故C正确； 对于D，当时，由，解得：， 当时，，则在上单调递增，当，， 则在上单调递减， 所以， 令，则， 所以当时，，则在上单调递增， 所以，即的最大值大于， 而，故，即，所以D正确； 故选:CD 11．函数，则下列说法正确的是（   ） A．的图象过定点 B．当时，在上单调递增 C．当时，恒成立 D．存在，使得与轴相切 【答案】AC 【详解】，故A正确； 当时，，， 因在上单调递增，且，， 故存在使得，即，， 则得；得， 则在上单调递减，在上单调递增， 则， 当时等号成立，因，故而恒成立，故B错误，C正确； 假设存在使得与轴相切，设切点为， 因，则切线斜率为， 故方程组，有解， 化简得， 令，则，则在上单调递减， 因，，故， 令，则，故在上单调递增， 因且，则，与矛盾， 故不存在，使得与轴相切，故D错误. 故选：AC 三、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 如图，在直三棱柱中，，且为的中点，，则的长为_________． 【详解】以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 则由题意可知， 又因为是的中点，所以的坐标为， 点满足，所以的坐标为， 从而． 12. 已知函数，，如果对任意的，，都有成立，则实数a的取值范围是_________． 【答案】 【详解】由，可得， 当，，所以在单调递减， ， ，在上单调递增，， 对任意的，都有成立，， ， 故答案为：． 14. 已知函数有两个极值点，，且，为函数的导函数，则的所有零点和为______. 【答案】 四、 解答题：本题共6小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.已知向量，， (1)求的值； (2)求； 【详解】（1）因为，， 所以，又因为， 所以． （2）因为，， 所以． 16.已知函数． (1)若为的一个极值点，求在上的最小值和最大值； (2)若在上是增函数，求实数的取值范围． 【详解】（1）的定义域为，，，则，解得， 故，令，即， 解得或， 1 3 4 0 极小值 故在上的最小值是，最大值是； （2）在区间上恒成立，故， 设，当时，是增函数，其最小值为， 故，即实数的取值范围为． 17．如图，在长方体ABCD-中，点E为AD的中点，点P为中点，且， (1)求点P到平面的距离； (2)求直线BP与平面PEC所成角的正弦值. 【详解】（1）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图所示： 则，，，，， ，，，设平面的法向量为，则有 ，令，则，点到平面的距离为. （2）由（1）可知：，，，设平面的法向量为，则有，令，则， 设直线BP与平面PEC所成角为，则. 18.已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)已知函数，求的单调区间； (3)若对于任意，都有（为自然对数的底数），求实数的取值范围． 【详解】（1）由得，，，， 所以在点处的切线方程为； （2），，，令，解得， 当时，，所以在上单调递减， 当时，，所以在上单调递增， 所以的单调减区间为，单调增区间为； （3）由题可知，， 所以，， 设，， 则，令，解得， 当时，，所以在单调递减， 当时，，所以在单调递增， 又，即， 所以. 19. 已知 (1)若函数在区间单调递减，求实数的取值范围； (2)若函数有两个极值点， (i)求实数的取值范围； (ii)证明：. 【详解】(1) （i）由题意，的定义域为，， 因为有两个极值点， 所以方程即在上有两不等实根， 即函数在上有两不同零点， 因此只需，解得，即实数的取值范围是； （ii）由（1）知，，，， 所以 ， 因此要证，即证， 即证， 构造函数，， 则， 又在上显然恒成立， 所以在上单调递减， 又，， 由函数零点存在性定理可得，，使得，即，即； 所以当时，，则单调递增； 当时，，则单调递减； 所以， 又在上显然单调递增， 所以， 所以，即， 故. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025～2026学年第二学期4月学情检测 高二数学试题 分值：150分　 时间：120分钟 命题人：陈泽民 审核人：张 岭 1、 选择题：本题共8小题， 每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的． 1．若，则（ ▲ ） A． B． C． D． 2. 已知向量与共线，则实数（ ▲ ） A．或1 B．1 C．或2 D．0 3. 函数为自然对数的底数在上（ ▲ ） A．有极大值 B．有极小值 C．是增函数 D．是减函数 4. 在四面体中，点满足为的中点，且 则实数λ=（ ▲ ） A． B． C． D． 5. 已知四棱锥的底面为直角梯形，，，底面，且，，则异面直线与所成的角的余弦值为（ ▲ ） A． B． C． D． 6. 如图，正四棱锥的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，平面，为侧棱上的点，则二面角的余弦值为（ ▲ ） A． B． C． D． 7. 若函数存在唯一极值点，则实数的取值范围是（ ▲ ） A． B． C． D． 8. 已知，对任意的，不等式恒成立，则的取值范围为（ ▲ ） A． B． C． D． 二、 选择题：本题共4小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分． 9. 关于空间向量，以下说法正确的是（ ▲ ） A．若空间向量，，则在上的投影向量为 B．若对空间中任意一点，有，则四点共面 C．若空间向量，满足，则与夹角为锐角 D．若直线的方向向量为，平面的一个法向量为，则 10. 已知函数，则下列说法正确的有（ ▲ ） A．若，则有最小值 B．若，则的极小值为0 C．若，则 D．若，则的最大值大于 11．函数，则下列说法正确的是（ ▲ ） A．的图象过定点 B．当时，在上单调递增 C．当时，恒成立 D．存在，使得与轴相切 三、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 如图，在直三棱柱中，，且为的中点，，则的长为 ▲ ． 13. 已知函数，，如果对任意的，，都有成立，则实数的取值范围是 ▲ ． 14. 已知函数有两个极值点，，且，为函数的导函数，则的所有零点和为 ▲ ． 四、 解答题：本题共6小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15. （本小题13分） 已知向量，， (1)求的值； (2)求． 16. （本小题15分） 已知函数． (1)若为的一个极值点，求在上的最小值和最大值； (2)若在上是增函数，求实数的取值范围． 17. （本小题15分） 如图，在长方体中，点为的中点，点P为中点，且， (1)求点P到平面的距离； (2)求直线BP与平面PEC所成角的正弦值. 18. （本小题17分） 已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)已知函数，求的单调区间； (3)若对于任意，都有（为自然对数的底数），求实数的取值范围． 19. （本小题17分） 已知 (1)若函数在区间单调递减，求实数的取值范围； (2)若函数有两个极值点， (i)求实数的取值范围； (ii)证明：. 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $