期末考前满分冲刺之优质压轴题-2025-2026学年七年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（人教版）

期末考前满分冲刺之优质压轴题 【优质压轴】 类型一、幻方与程序问题（选、填） 1．幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”（如图1）．把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（如图2），将9个数填在（三行三列）的方格中，如果满足每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方．图3的方格中填写了一些数字和字母，若能构成一个广义的三阶幻方，则（    ）． A．1 B．3 C．5 D．7 2．幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”，把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方如图1所示，三阶幻方的每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，图2是另一个未完成的三阶幻方，则x与y的和为（    ） A． B．2 C．4 D． 3．布克在编程课上设计了一个运算程序，如图所示， 按上述程序进行运算，程序运行到“判断结果是否大于或等于23”为一次运行．若该程序第一次运行后未停止，第二次运行后停止了，则输入的x可能是（    ） A．6 B．8 C．13 D．22 4．幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格：将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，例如图（1）就是一个幻方．图（2）是一个未完成的幻方，则_____． 5．对一个实数x按如图所示的程序操作，规定：程序运行从“输入一个实数x”到“结果是否大于25”为一次程序操作．如果结果得到的数小于或等于25，则用得到的这个数进行下一次操作．如果程序操作进行了两次才停止，那么输入x的取值范围是_______． 6．按照如下程序操作，规定：从“输入一个值x”到“结果是否大于17”为一次程序操作．如果结果得到的数小于或等于17，则用得到的这个数进行下一次操作． （1）若时，程序进行了______次操作就停止了； （2）若时，则输出的数为______； （3）若程序操作进行了两次才停止，则输入的x的取值范围是______； 类型二、平面直角坐标系中的规律问题（选、填） 1．规律探究：如图，在平面直角坐标系中，已知，，，，，，…按这样的规律，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．如图，在平面直角坐标系中，动点A按的规律跳动．已知，，，，，，，按此规律，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．如图，在平面直角坐标系xOy中，有若干个整数点，以点为起点，由“……”依次有序排列．若依此排列规律，则第个点的坐标是（   ） A． B． C． D． 4．在平面直角坐标系中，某智能机器人P从站点出发，按照“能源探测路线”依次经过探测点“”进行信号采集（每秒一条直角边）．已知，，，设第n秒运动到点（n为正整数），探测点的位置规律如图所示，，，是按规律摆放的等腰直角三角形，则点的坐标是________． 5．如图，，…，按照这样的规律下去，点的坐标为_____________. 6．如图，在平面直角坐标系中，，将边长为1的正方形的一边与轴重合，并按图中规律摆放，其中相邻两个正方形的间距都是1，则点的坐标为_____ 类型三、正确结论的是（选、填） 1．已知关于x，y的方程组，给出下列结论：①当时，；②当时，x与y互为相反数；③无论a取何值时，都有；④当时，．其中正确结论的序号是（　） A．①② B．③④ C．①②③ D．①②③④ 2．设表示大于的最小整数，如，，则下列结论：①；②的最小值是0；③的最大值是0；④存在，使成立；⑤若满足不等式组，则的值为.其中正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．三名快递员某天的工作情况如图所示，其中点，，的横、纵坐标分别表示甲、乙、丙三名快递员上午派送快递所用的时间和件数；点，，的横、纵坐标分别表示甲、乙、丙三名快递员下午派送快递所用的时间和件数．有如下三个结论：①上午派送快递效率最高的是甲；②下午派送快递件数最多的是乙；③在这一天中派送快递总件数最多的是丙．上述结论中，所有正确结论的序号是（    ）    A．①② B．②③ C．② D．①③ 4．已知关于的方程组，有下列四个结论： ①当时，该方程组的解也是方程的解： ②存在有理数，使得； ③当时，； ④不论取什么数，的值始终不变． 其中正确结论的序号是_____． 5．已知关于，的方程组以下结论：当时，；若，则；当时，；无论取任意实数，的取值为定值．其中正确的结论有______．（填写所有正确结论的序号） 6．刘老师从全校名学生每天体育锻炼时长的问卷中随机抽取了部分学生的答卷，并将结果整理后绘制成如图所示的条形统计图，其中一部分被墨迹遮盖．已知抽取的答卷中每天锻炼时长为1小时的学生人数占抽取总人数的，则下列结论： ①抽取的学生答卷总数是； ②抽取的学生中每天锻炼时间为小时的学生最多； ③所抽取的学生每天体育锻炼时长是总体； ④所抽取的学生中每天锻炼时长不少于小时的学生占抽取总人数的． 其中正确的是______．（填所有正确结论的序号） 类型四、不等式(组)有、无解、整数解求参(选、填、解) 1．已知关于的不等式组有解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．如果不等式组无解，那么不等式组的解集是（    ） A． B． C． D．无解 3．关于的不等式组无解，应满足的条件________． 4．若关于的不等式组有且只有2个整数解，且关于的方程有整数解，则所有满足条件的整数的和为_____________． 5．已知关于的不等式组． (1)当时，求这个不等式组的解集，写出所有正整数解； (2)如果不等式组只有3个整数解，求的取值范围． 6．含参不等式之有解问题． (1)若关于的不等式组有解，求的取值范围． (2)已知关于的不等式组有5个整数解，求的取值范围． 类型五、阴影部分问题（选、填、解） 1．如图，将长为，宽为的长方形ABCD先向右平移，再向下平移，得到长方形，则阴影部分的面积为（   ） A．10 B．12 C．18 D．24 2．如图，长为y，宽为x的大长方形被分割为5小块，除阴影D，E外，其余3块都是正方形，若阴影E周长为8，下列说法中正确的是（　　） ①x的值为4；②若阴影D的周长为6，则正方形A的面积为1；③若大长方形的面积为24，则三个正方形周长的和为24． A．①②③ B．①② C．①③ D．②③ 3．如果，长方形中有个形状、大小相同的小长方形，且，，则图中阴影部分的面积为________． 4．将如图①所示的6个完全相同的小长方形，放在如图②所示的大长方形中．若，，则阴影部分的面积为______． 5．综合与实践 小许是个爱动脑筋的学生，她在学习了二元一次方程组后遇到了这样一道题目：如图1，长方形中放置个形状和大小都相同的小长方形（尺寸如图），求图中阴影部分的面积． (1)小许设小长方形的长为，宽为，观察图形得出关于，的二元一次方程组，解出，的值，再用大长方形的面积减去个小长方形的面积得到阴影部分的面积． 解决问题： 请按照小许的思路完成上述问题： (2)动手实践：解决完上面的问题后，小许在家里找了张形状大小都相同的卡片，恰好拼成了一个大的长方形如图所示，打乱后又拼成如图那样的大正方形，中间还留了一个洞，恰好是边长为的小正方形，求每个小长方形的面积．请给出解答过程． 6．在数学活动课上，某同学在一个大长方形中画出如图所示的8个大小一样的小长方形． (1)求小长方形的长和宽． (2)求大长方形中阴影部分的面积． 类型六、平行动点求t（选、填、解） 1．如图所示的是薛家湾景观河激光灯位于初始位置时的平面示意图，其中是直线上的两个激光灯， ，现激光绕点以每秒3度的速度逆时针旋转，同时激光绕点以每秒2度的速度顺时针旋转，设旋转时间为秒，当时，的值为（　　） A．12、32、64 B．12、36、72 C．12、48、84 D．12、24、96 2．已知：如图1，在平行四边形中，，，，沿的方向以速度为匀速平移得到；同时，点Q从点C出发，沿方向匀速运动速度为，当停止平移时，点Q也停止运动，如图2，设运动时间为，则t的值为（    ）s时，． A． B． C． D．t不存在 3．如图，，点是射线上一点．现将一块含的三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，同时射线绕点以每秒的速度顺时针旋转，设运动时间为．若，当射线与三角板的一边平行时，的值为_____． 4．如图，三角板与三角板如图摆放，其中，，，，点，在直线上，点，在直线上，同时旋转两块三角板，将三角板绕点以每秒的速度逆时针旋转，将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，设时间为秒，且，当与平行时，则时间的值为______秒． 5．将一副直角三角板按如图1摆放（，，，），点C在直线上．保持三角板不动，将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，设旋转时间为秒（）． 问题 (1)当平分时，求t的值． (2)当时，求的度数． (3)在旋转过程中，当三角板的边平行于三角板的某一边时（不包含重合），直接写出t的值． 6．直线，点E，F分别在直线，上，连接． (1)如图1，是的平分线，是的平分线，若，求的度数； (2)如图2，点M，N分别在直线，上，连接，点在延长线上，连接，的平分线的反向延长线与的平分线交于点，若，用等式表示与之间的数量关系，并说明理由； (3)如图3，在（1）的条件下，射线以每秒的速度绕点顺时针转动，当射线转至与射线重合时停止转动．射线转动10秒后，射线以每秒的速度绕点顺时针开始转动，当转至与射线重合时立即以相同速度绕点逆时针回转，回到出发时的位置时停止转动．设射线的转动时间是，若转动过程中射线与射线相交于点，当时，请直接写出所有符合条件的的值，并写出求解的其中一种情况的过程． 类型七、平面直角坐标系中的面积问题（选、填、解） 1．已知和两点，且与坐标轴围成的三角形的面积等于20，则a的值为（   ） A．2 B．2或 C．0或2 D． 2．已知为坐标原点，关于轴对称，点、点，若在x轴上有一个点，满足的面积等于2，则点的坐标为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 3．在平面直角坐标系中，有点，点，若在坐标轴上有一点C（不与点B重合），使三角形的面积是三角形面积的2倍，则点C的坐标为________． 4．如图，点在第一象限，且，点的坐标为，当的面积大于24时，点的横坐标的取值范围是______． 5．如图1，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是，，现同时将点A，B分别先向上平移2个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到A，B的对应点C，D．连接、、． (1)请直接写出点C和D的坐标并求出平行四边形的面积； (2)在x轴上是否存在一点E，使得的面积是面积的2倍？若存在，请求出点E的坐标，若不存在，请说明理由； (3)如图2，假设线段上有一动点F，分别连接，当点F在线段上来回运动时，三角形面积的最大值为________，最小值为________． 6．如图，在平面直角坐标系中，已知，，，且． (1)求a，b的值； (2)在y轴的正半轴上存在一点M，使三角形的面积等于三角形面积的一半，求出点M的坐标； (3)在坐标轴的其他位置是否存在点M，使三角形的面积等于三角形面积的一半？若存在，请直接写出符合条件的点M的坐标，若不存在，请说明理由． 类型八、不等式中的作差法与取值范围（解） 1．阅读材料，回答下列问题． 材料：根据等式和不等式的基本性质，我们可以得到比较两数大小的方法： 如果，将不等式两边都加上，可得，所以； 如果，将等式两边都加上，可得，所以； 如果，将不等式两边都加上，可得，所以； 反之也成立，这种比较大小的方法称为“作差法”． (1)若，则___________；（填“”、“”或“”） (2)用作差法比较与的大小； (3)在一次劳动课上，老师让同学们用面积分别为的A、B两种卡纸不重叠的进行拼图，甲同学用3张A卡纸和6张B卡纸拼出图案一，乙同学用2张A卡纸和7张B卡纸拼出图案二，图案一和图案二的面积分别记为和，比较和的大小． 2．【阅读材料】我们在分析解决某些数学问题时经常要比较两个数或式子的大小，解决问题时一般要进行一定的转化，“求差法”就是常用的方法之一．所谓“求差法”，就是通过求差、变形，并利用差的符号来确定它们的大小，即要比较两个数a，b的大小，只要求出它们的差．若，则；若，则；若，则． 【解决问题】 (1)已知，试比较，的大小； (2)若，，，求a的取值范围． 3．【阅读材料】 我们在分析解决某些数学问题时经常要比较两个数或式子的大小，解决问题时一般要进行一定的转化， “求差法”就是常用的方法之一．所谓“求差法”，就是通过求差、变形，并利用差的符号来确定它们的大小，即要比较两个数的大小，只要求出它们的差．若，则；若，则；若，则． 【解决问题】 (1)已知，试比较，的大小； (2)，，若，求，的取值范围． 4．阅读理解与应用 阅读下列材料：解答“已知，且，，试确定的取值范围”有如下解法： 解：，，又，，， 又，…………①， 同理可得…………②， 由①＋②得： 的取值范围是， 按照上述方法，完成下列问题： (1)已知，且，，则的取值范围是____________； (2)若，，，求的取值范围． 5．阅读下述材料完成问题 利用不等式的性质说明下列结论的正确性： 如果，，那么． 解：因为，所以．① 又因为，所以．② 由数的大小比较可知，不等式关系具有传递性， 所以由①②，可得． 通过上述材料，我们可以得到不等式的同向可加性． 例如：若，，那么，即的取值范围是． (1)根据上述性质解决问题：若，，则的取值范围是___________； 若，，则的取值范围是___________； (2)【性质应用】已知，且，，求的取值范围． 解：由，得． 将代入得， ， 即． 又因为， 所以． 以上是求解的部分过程，请你在此基础上将剩余的解答过程补充完整 (3)【拓展提升】已知，且，，则的取值范围是___________． 6．小明的数学研学作业单上有这样一道题：已知，且，，设，那么的取值范围是什么？ 【回顾】 （1）小明回顾做过的一道简单的类似题目：已知，设，那么y的取值范围是______． 【探究】 小明想：可以将研学作业单上的复杂问题转化为上面回顾的类似题目． （2）由得，则． 由，，得关于x的一元一次不等式组：______， 解该不等式组得到x的取值范围为______，则w的取值范围是______． 【应用】 （3）已知，且，设，求t的取值范围； （4）已知（n是大于0的常数），且，的最大值为______（用含n的代数式表示）． 类型九、新定义应用（解） 1．请认真阅读下面的材料，再解答问题． 依照平方根（即二次方根）和立方根（即三次方根）的定义，可给出四次方根、五次方根的定义． 比如：若，则叫的二次方根；若，则叫的三次方根；若，则叫的四次方根． (1)依照上面的材料，请你给出五次方根的定义； (2)81的四次方根为_____；32的五次方根为_____； (3)若有意义，则_____； (4)求的值：． 2．定义：关于，的二元一次方程（其中，，互不相同，且均不为）中的常数项与未知数的系数互换，得到的方程叫“变更方程”．例如：的“变更方程”为． (1)方程与它的“变更方程”组成的方程组的解为　　　； (2)已知关于，的二元一次方程的系数满足，且与它的“变更方程”组成的方程组的解恰好是关于，的二元一次方程的一个解，求代数式的值． 3．对于有理数x，y，定义新运算：，，其中a，b是常数．例如，，，已知，． (1)求a、b的值； (2)若，求的值； (3)若关于x，y的方程组解为，则关于m，n的方程组的解为_________． 4．定义：对于任何有理数，符号表示不小于的最小整数．例如：，，． (1)填空： ， ； (2)如果，求满足条件的的取值范围； (3)如果（是整数），则 （填的代数式）方程的整数解是 ． 5．对于一元一次方程和一元一次不等式组，给出如下定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“子方程” (1)在方程①，②，③中，__________（填序号）是不等式组的“子方程”； (2)若不等式组的一个“子方程”的解是整数，则这个“子方程”可以是_________；（写出一个即可） (3)若方程是关于x的不等式组的“子方程”，求m的取值范围． 6．平面直角坐标系中，对于P，Q两点给出如下定义：若点P到x、y轴的距离中的最大值等于点Q到x、y轴的距离中的最大值，则称P，Q两点为“等距点”．图中的P，Q两点即为“等距点”． (1)已知点A的坐标为， ①在点，，中，为点A的“等距点”的是______． ②若点B的坐标为，且A，B两点为“等距点”，则点B的坐标为______． (2)若，两点为“等距点”，求k的值． 类型十、平行线中的折线、数量关系与角平分线（解） 1．如图已知，有一块三角板，其中，，现将该三角板如图所示放置，使顶点始终落在上，过点作交于点． (1)如图1，若，则___________； (2)若的平分线交于点； ①如图2，是否存在，使得与同时成立，若存在请求出，若不成立，请说明理由． ②如图3，将三角板沿直线从左往右平移，且在平移的过程中，始终保持不变，请探究与之间的数量关系． 2．如图，点在直线上，点在直线上，点在之间，且满足． (1)试说明：； (2)如图，若，，点在线段上，连接，且，试判断与的数量关系，并说明理由； (3)如图，若，点在线段上，连接，若，请直接写出与的等量关系． 3．如图，，点、分别在线段、上． (1)如图1，_____°； (2)图1中，若、的平分线相交于点，在直线、之间左侧存在一点，使得，，求的度数； (3)如图2，若直线、之间存在点、，存在正整数，使得，．试探究与之间的数量关系． 4．在综合与实践课上，同学们以“一个含60°的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动． (1)如图1，两直线m，n和直角三角形，其中，，，若，则的度数为_______； 【实践探究】 (2)如图2，创新小组的同学把直线m向上平移，并把的位置改变，发现是一个定值，这个定值是__________． 为了说明理由，同学们根据“过拐点作平行线”的思路，很快想到辅助线的作法，如图3，过B作，请你完成后面的过程． 【拓展延伸】 (3)如图4，，点E在上，平分，，设，请直接用含的代数式表示． 5．已知：如图1，，，是上的点，是上的点，． (1)求证：； (2)如图2，点是延长线上的一点，连接，若的平分线与的平分线交于点，试探究与的数量关系； (3)如图3，在（2）的条件下，作的角平分线交于点，若，，请直接写出的值． 6．在平面内，对于和，给出如下定义：若存在一个常数，使得，则称是的“系数平衡角”．例如，，，有，则是的“系数平衡角”． (1)【概念理解】 若，则的“系数平衡角”是____； (2)【初步认识】 在平面内，，点为直线上一点，点为直线上一点．如图，点为平面内一点，连接，，，若是的“系数平衡角”，求的度数． (3)【问题解决】 连接，点为直线与直线间的动点（点不在直线上），，．是的“系数平衡角”，此时的度数为____． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末考前满分冲刺之优质压轴题 【优质压轴】 类型一、幻方与程序问题（选、填） 1．幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”（如图1）．把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（如图2），将9个数填在（三行三列）的方格中，如果满足每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方．图3的方格中填写了一些数字和字母，若能构成一个广义的三阶幻方，则（    ）． A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】A 【分析】本题考查了有理数加法，列代数式，以及二元一次方程组，解题的关键是根据表格，利用每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等列方程． 【详解】解：观察图3得， 解得， ． 故选：A． 2．幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”，把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方如图1所示，三阶幻方的每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，图2是另一个未完成的三阶幻方，则x与y的和为（    ） A． B．2 C．4 D． 【答案】A 【分析】设如图所示位置上的数分别是m，n，根据幻方，构造方程或方程组解答即可． 本题考查了方程组的应用，一元一次方程的应用，熟练掌握解方程组和解方程是解题的关键． 【详解】解：设如图所示位置上的数分别是m，n，根据题意，得 ， 解得， ∴ ∴， ∴， 故选：A． 3．布克在编程课上设计了一个运算程序，如图所示， 按上述程序进行运算，程序运行到“判断结果是否大于或等于23”为一次运行．若该程序第一次运行后未停止，第二次运行后停止了，则输入的x可能是（    ） A．6 B．8 C．13 D．22 【答案】B 【分析】根据“该程序第一次运行后未停止，第二次运行后停止了”，可列出关于的一元一次不等式组，得到的取值范围，即可作答． 【详解】解：根据题意得： 解得：， ∴输入的x可能是8． 4．幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格：将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，例如图（1）就是一个幻方．图（2）是一个未完成的幻方，则_____． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意列出方程组是解题的关键．先计算左下的数为4，再表示中间的数，再根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解． 【详解】解：依题意，左下角的数为：， ∴最中间的数为：， 或最中间的数为：， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 5．对一个实数x按如图所示的程序操作，规定：程序运行从“输入一个实数x”到“结果是否大于25”为一次程序操作．如果结果得到的数小于或等于25，则用得到的这个数进行下一次操作．如果程序操作进行了两次才停止，那么输入x的取值范围是_______． 【答案】/ 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键．根据程序操作进行了两次才停止，可列出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出输入的x的取值范围． 【详解】解：根据题意，得， 解得：， 输入的的取值范围为， 故答案为：． 6．按照如下程序操作，规定：从“输入一个值x”到“结果是否大于17”为一次程序操作．如果结果得到的数小于或等于17，则用得到的这个数进行下一次操作． （1）若时，程序进行了______次操作就停止了； （2）若时，则输出的数为______； （3）若程序操作进行了两次才停止，则输入的x的取值范围是______； 【答案】 2 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用、有理数的混合运算，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据流程图计算即可得解； （2）根据流程图计算即可得解； （3）由题意得出一元一次不等式组，解不等式组即可得解． 【详解】解：（1）第一次操作：， ∵， ∴需要进行下一次操作， 第二次操作：， ∵， ∴输出的数为，即程序进行次操作就停止了， 故答案为：； （2）∵， ∴第一次操作：， ∵， ∴输出的数为， 故答案为：； （3）由题意可得：， 解得：， 故若程序操作进行了两次才停止，则输入的x的取值范围是， 故答案为：． 类型二、平面直角坐标系中的规律问题（选、填） 1．规律探究：如图，在平面直角坐标系中，已知，，，，，，…按这样的规律，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】写出一定数量的坐标，可得出点（为正整数）的横坐标为，纵坐标为每6个一循环，即可求解． 【详解】解：∵，，，，，，，，，，，， ，，，，，， ∴点（为正整数）的横坐标为，纵坐标为每6个一循环， ∴点的横坐标为， ∵， ∴点的纵坐标与的纵坐标相同为， ∴点的坐标为． 2．如图，在平面直角坐标系中，动点A按的规律跳动．已知，，，，，，，按此规律，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】观察图形推出，即可得出结果． 【详解】观察图形，偶数点的坐标为，，，， 故． 因为，所以． 所以点的坐标为． 3．如图，在平面直角坐标系xOy中，有若干个整数点，以点为起点，由“……”依次有序排列．若依此排列规律，则第个点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将第个点作为第列，、作为第列，以此类推，则第列有个坐标，第列有个坐标，，第列有个坐标，，列共有坐标总数为，据此找出第个点的位置即可求解． 【详解】解：将第个点作为第列，、作为第列，以此类推， 则第列有个坐标，第列有个坐标，，第列有个坐标，列共有坐标总数为， ， ， 第个坐标在第列， ， 从下往上数第个点的纵坐标为， 第个点的坐标是． 4．在平面直角坐标系中，某智能机器人P从站点出发，按照“能源探测路线”依次经过探测点“”进行信号采集（每秒一条直角边）．已知，，，设第n秒运动到点（n为正整数），探测点的位置规律如图所示，，，是按规律摆放的等腰直角三角形，则点的坐标是________． 【答案】 【分析】通过观察可知，每个点的横坐标比序号少2，纵坐标每6个点进行循环，先求出前面6个点的坐标，从中得出规律，再按规律写出结果即可． 【详解】解：由题意知，，，，，，， 由上可知，每个点的横坐标比序号少2，纵坐标每6个点依次为：1，0，1，0，，0这样循环， ∵， ∴点的坐标是． 5．如图，，…，按照这样的规律下去，点的坐标为_____________. 【答案】 【分析】本题考查了直角坐标系中点的坐标规律，分别从横坐标、纵坐标进行探究是解题的关键．从横坐标、纵坐标两方面探究即可求解． 【详解】解：从开始，坐标依次为： ， 横坐标为， 横坐标为， 横坐标为， 横坐标为， 纵坐标为1， .纵坐标为2， 纵坐标为3， 纵坐标为， 的坐标： 横坐标：， 纵坐标：2026， 的坐标为． 故答案为：． 6．如图，在平面直角坐标系中，，将边长为1的正方形的一边与轴重合，并按图中规律摆放，其中相邻两个正方形的间距都是1，则点的坐标为_____ 【答案】 【分析】根据坐标的变化规律可知，纵坐标每8个点一次循环，横坐标每两个点增加一个单位长度，再根据点在第254个循环中的第2个点的位置，即可得出点的坐标． 【详解】解：由图及题意可得，第一个正方形中，， 各点的横坐标依次为1，1，2，2，纵坐标依次为0，1，1，0； 第二个正方形中，， 各点的横坐标依次为3，3，4，4，纵坐标依次为0，，，0； 根据坐标的变化规律可知，纵坐标每8个点一次循环，横坐标每两个点增加一个单位长度， ∵， ∴的横坐标为， ∵， ∴点在第254个循环中的第2个点的位置，故其纵坐标为， ∴点的坐标为． 类型三、正确结论的是（选、填） 1．已知关于x，y的方程组，给出下列结论：①当时，；②当时，x与y互为相反数；③无论a取何值时，都有；④当时，．其中正确结论的序号是（　） A．①② B．③④ C．①②③ D．①②③④ 【答案】C 【分析】本题考查的是解二元一次方程组和一元一次不等式，将代入方程组第二个方程可判断①；将代入方程组第一个方程可判断②；将方程组二个方程相加可判断③；将代入方程组第二个方程可判断④ 【详解】解：①当时，， ∴， 故①正确； ②当时，， ∴， 故②正确； ③方程组中的两个方程相加得， ， ∴， 故③正确； ④当时，， ∴， 故④不正确， 综上，正确的结论是①②③， 故选：C 2．设表示大于的最小整数，如，，则下列结论：①；②的最小值是0；③的最大值是0；④存在，使成立；⑤若满足不等式组，则的值为.其中正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【解析】略 3．三名快递员某天的工作情况如图所示，其中点，，的横、纵坐标分别表示甲、乙、丙三名快递员上午派送快递所用的时间和件数；点，，的横、纵坐标分别表示甲、乙、丙三名快递员下午派送快递所用的时间和件数．有如下三个结论：①上午派送快递效率最高的是甲；②下午派送快递件数最多的是乙；③在这一天中派送快递总件数最多的是丙．上述结论中，所有正确结论的序号是（    ）    A．①② B．②③ C．② D．①③ 【答案】A 【分析】根据图象给出的点的坐标的意义，进行解答即可． 【详解】解：由图可知： 上午派送效率最高的是甲，故①正确； 下午派送快递件数最多的是乙，故②正确； 上午和下午乙派送的快递件数均比丙高，故③错误； 综上：正确的是①②； 故选A． 【点睛】本题考查坐标与点，统计的知识；能够从图中获取信息，针对性的统计是求解的关键． 4．已知关于的方程组，有下列四个结论： ①当时，该方程组的解也是方程的解： ②存在有理数，使得； ③当时，； ④不论取什么数，的值始终不变． 其中正确结论的序号是_____． 【答案】②④ 【分析】本题主要考查解二元一次方程组的能力，熟练掌握解二元一次方程组的技能和二元一次方程的解的定义是解题的关键． 直接利用二元一次方程组的解法表示出方程组的解进而分别分析得出答案． 【详解】解：①当时， 解得， 将代入， 故①错误； ② 得， 当时，， 故②正确； ③ 得 解得， 故③错误； ④ 得 得， 不论取什么数，的值为1始终不变 故④正确； 故答案为：②④． 5．已知关于，的方程组以下结论：当时，；若，则；当时，；无论取任意实数，的取值为定值．其中正确的结论有______．（填写所有正确结论的序号） 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组和一元一次不等式，解题关键是熟练掌握解二元一次方程组、一元一次不等式和一元一次方程的一般步骤． 先解关于，的方程组，求出，，再把，代入各个小题中含有，的等式和不等式，进行解答，然后判断正误即可． 【详解】解：， 得：， ， 把代入得： ， 当时，， ， ， ， 故正确； 当， ， ， ， ， ， 故的结论错误； 当时， ， ∵， ∴， ∴， 故的结论正确； ， 无论取任意实数，的取值为定值， 故的结论正确； 综上可知：正确结论有， 故答案为：． 6．刘老师从全校名学生每天体育锻炼时长的问卷中随机抽取了部分学生的答卷，并将结果整理后绘制成如图所示的条形统计图，其中一部分被墨迹遮盖．已知抽取的答卷中每天锻炼时长为1小时的学生人数占抽取总人数的，则下列结论： ①抽取的学生答卷总数是； ②抽取的学生中每天锻炼时间为小时的学生最多； ③所抽取的学生每天体育锻炼时长是总体； ④所抽取的学生中每天锻炼时长不少于小时的学生占抽取总人数的． 其中正确的是______．（填所有正确结论的序号） 【答案】①②④ 【分析】本题主要考查调查与统计的运用，理解并掌握条形统计图的含义，总体，由样本百分数计算总体数量的方法是解题的关键． 根据条形图的性质可得抽取学生答卷总数，每天锻炼时间为小时的学生人数，总体，由样本百分比估算总体数量的方法即可求解． 【详解】解：每天锻炼时长为1小时的学生人数有人，占抽取总人数的， ∴抽取的总人数为（人）， ∴抽取的学生答卷总数是，故①正确； ∴每天锻炼时间为小时的学生人数为（人）， ∴抽取的学生中每天锻炼时间为小时的学生最多，故②正确； 全校名学生每天体育锻炼时长是总体，故③错误； 每天锻炼时长不少于小时的学生人数为（人）， ∴， ∴所抽取的学生中每天锻炼时长不少于小时的学生占抽取总人数的，故④正确； 综上所述，正确的有①②④， 故答案为：①②④． 类型四、不等式(组)有、无解、整数解求参(选、填、解) 1．已知关于的不等式组有解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次不等式组有解的条件，先分别求出不等式组中两个不等式的解集，再根据不等式组有解的条件确定a的取值范围． 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得， ∵关于的不等式组有解， ∴， 故选：D． 2．如果不等式组无解，那么不等式组的解集是（    ） A． B． C． D．无解 【答案】A 【分析】本题考查了求不等式组解集，首先由不等式组解集的情况判断出的大小，进而即可求解，理解不等式组无解的意义是解题的关键． 【详解】解：∵不等式组无解， ∴， ∴， ∴不等式组的解集是， 故选：． 3．关于的不等式组无解，应满足的条件________． 【答案】 【分析】已知不等式组无解，根据不等式组解集的规律列出关于的不等式，求解即可． 【详解】解：不等式组无解， ， 移项得 ， 合并同类项得． 4．若关于的不等式组有且只有2个整数解，且关于的方程有整数解，则所有满足条件的整数的和为_____________． 【答案】3 【分析】本题考查根据不等式组的解集，一元一次方程的解求参数的范围，先求出每一个不等式的解集，根据不等式组只有2个整数解，得到关于的不等式组，求出的范围，再求出方程的解，根据方程有整数解，求出符合条件的整数的值，再求和即可． 【详解】解：解，得：， ∵不等式组有且只有2个整数解， ∴，整数解为：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵关于的方程有整数解， ∴，， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴； 故答案为：3． 5．已知关于的不等式组． (1)当时，求这个不等式组的解集，写出所有正整数解； (2)如果不等式组只有3个整数解，求的取值范围． 【答案】(1)；正整数解为1 (2) 【分析】（1）先把代入原不等式组，再分别解出每个不等式，最后求出不等式组的解集，即可得出正整数解为1； （2）分别解出每个不等式，求出不等式组的解集，为，再根据该不等式组只有3个整数解，可确定其整数解为1，0，，从而得到关于的不等式，解出的取值范围即可． 【详解】（1）解：当时，则不等式组为， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为 即正整数解为1． （2）解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集为， 该不等式组只有3个整数解， 该不等式组的3个整数解为，0，1， ， 解得． 6．含参不等式之有解问题． (1)若关于的不等式组有解，求的取值范围． (2)已知关于的不等式组有5个整数解，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了由不等式组解集的情况求参数，正确理解题意是解题的关键． （1）先分别求每一个不等式的解集，再根据有解得到新的不等式即可求解； （2）先求出不等式组的解集，进而根据不等式组的整数解得到新的不等式组，求出未知数的取值范围即可． 【详解】（1）解： 由①得，； 由②得，， ∵关于的不等式组有解， ∴， 解得：； （2）解： 由①得，， 由②得，， ∴原不等式组的解集为：， ∵关于的不等式组有5个整数解， ∴， 解得：． 类型五、阴影部分问题（选、填、解） 1．如图，将长为，宽为的长方形ABCD先向右平移，再向下平移，得到长方形，则阴影部分的面积为（   ） A．10 B．12 C．18 D．24 【答案】D 【分析】本题考查平移的性质、矩形的性质，根据平移的性质求出空白部分的长和宽，根据矩形的面积公式计算，得到答案．解题的关键是掌握平移的性质：平移不改变图形的大小、形状，只改变图形的位置；图形上的每个点都平移了相同的距离，对应点之间的距离就是平移的距离；连接各组对应点的线段平行（或在同一直线上）且相等． 【详解】解：∵将长为，宽为的长方形ABCD先向右平移，再向下平移，得到长方形， ∴，， ∴空白部分是平行四边形， ∵， ∴空白部分是矩形，且长为：，宽为：， ∴阴影部分的面积为：， 即阴影部分的面积为． 2．如图，长为y，宽为x的大长方形被分割为5小块，除阴影D，E外，其余3块都是正方形，若阴影E周长为8，下列说法中正确的是（　　） ①x的值为4；②若阴影D的周长为6，则正方形A的面积为1；③若大长方形的面积为24，则三个正方形周长的和为24． A．①②③ B．①② C．①③ D．②③ 【答案】B 【分析】本题主要考查二元一次方程的应用，设正方形的边长为，正方形的边长为，正方形的边长为，则，，阴影的长为，宽为，阴影的长为，宽为，由阴影的周长为8可求解值判定①；由阴影周长为6可求解值，即可求，进而判定②；由大长方形的面积为24，可求，假设三个正方形的周长为24，可求得，不成立，故可判定③． 【详解】解：设正方形的边长为，正方形的边长为，正方形的边长为， ，， 阴影的长为，宽为， 阴影的长为，宽为， 阴影的周长为8， ， ， 即，故①正确； 阴影周长为6， ， 解得， ， ， 即正方形的面积为1，故②正确； 大长方形的面积为24， ， ， ， ， 假设三个正方形的周长为24， ， ， （不成立）， 若大长方形的面积为24，则三个正方形周长的和为24不成立．故③错误， 故选：B． 3．如果，长方形中有个形状、大小相同的小长方形，且，，则图中阴影部分的面积为________． 【答案】 【分析】令小长方形的长、宽分别为，，根据题意，得出，，得方程组，解出，即可根据得出阴影部分的面积． 【详解】解：令小长方形的长、宽分别为，， 根据题意，，， 可得，，， 故可得方程组， 解得， ∴，， 故阴影部分面积为． 4．将如图①所示的6个完全相同的小长方形，放在如图②所示的大长方形中．若，，则阴影部分的面积为______． 【答案】28 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，解题关键在于确定等量关系列出方程． 首先设小长方形的长为cm，宽为cm，由图形得等量关系：①1个长+2个宽=cm；②1个长+1个宽=cm，根据等量关系列出方程组，再解即可． 【详解】解：设小长方形的长为cm，宽为cm， 由题意得：， 解得：， 所以小长方形的面积为：， 那么阴影部分的面积为：. 故答案为：. 5．综合与实践 小许是个爱动脑筋的学生，她在学习了二元一次方程组后遇到了这样一道题目：如图1，长方形中放置个形状和大小都相同的小长方形（尺寸如图），求图中阴影部分的面积． (1)小许设小长方形的长为，宽为，观察图形得出关于，的二元一次方程组，解出，的值，再用大长方形的面积减去个小长方形的面积得到阴影部分的面积． 解决问题： 请按照小许的思路完成上述问题： (2)动手实践：解决完上面的问题后，小许在家里找了张形状大小都相同的卡片，恰好拼成了一个大的长方形如图所示，打乱后又拼成如图那样的大正方形，中间还留了一个洞，恰好是边长为的小正方形，求每个小长方形的面积．请给出解答过程． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二元一次方程组的应用， （1）设小长方形的长为、宽为，根据图示可以列出方程组，解出，的值，再用大长方形的面积减去个小长方形的面积得到阴影部分的面积即可； （2）设小长方形的长为，宽为，根据“长方形的对边相等及小正方形的边长为”列出方程组，求解后再根据长方形的面积公式即可得出答案； 根据图示找出数量关系并列出方程组是解题的关键． 【详解】（1）解：设小长方形的长为，宽为， 根据题意，得， 解得， ∴ 答：阴影部分的面积为； （2）设小长方形的长为，宽为， 根据题意，得， 解得：， ∴ 答：每个小长方形的面积为． 6．在数学活动课上，某同学在一个大长方形中画出如图所示的8个大小一样的小长方形． (1)求小长方形的长和宽． (2)求大长方形中阴影部分的面积． 【答案】(1)5，2 (2)28 【分析】（1）设小长方形的长为，宽为，图形建立二元一次方程组，再解二元一次方程组即可得到答案； （2）分别计算出大长方形和小长方形的面积，即可求得阴影部分的面积． 【详解】（1）解：设小长方形的长为，宽为， 根据图形可得，即 解方程组得， 长方形的长和宽分别为5，2； （2）设大长方形长为，宽为， 由题意得，， ∴，， ∴， 故大长方形中阴影部分的面积28． 【点睛】本题考查利用二元一次方程组解决问题，依据题意建立二元一次方程组是解本题的关键． 类型六、平行动点求t（选、填、解） 1．如图所示的是薛家湾景观河激光灯位于初始位置时的平面示意图，其中是直线上的两个激光灯， ，现激光绕点以每秒3度的速度逆时针旋转，同时激光绕点以每秒2度的速度顺时针旋转，设旋转时间为秒，当时，的值为（　　） A．12、32、64 B．12、36、72 C．12、48、84 D．12、24、96 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程，平行线的性质，根据时，分类讨论角度之间的关系列方程是解此题的关键． 根据题意分情况讨论，然后分别利用平行线的性质列方程求解即可． 【详解】解：设旋转时间为t秒后，， 如图1， ∴， ， 解得：． 如图2， 由图得： 解得： 如图3， ∴ 解得： 如图4， ∴ 解得：(舍去） 综上所述：12或48或84 故选：C． 2．已知：如图1，在平行四边形中，，，，沿的方向以速度为匀速平移得到；同时，点Q从点C出发，沿方向匀速运动速度为，当停止平移时，点Q也停止运动，如图2，设运动时间为，则t的值为（    ）s时，． A． B． C． D．t不存在 【答案】D 【分析】作于点F，于点E，利用面积法求的长，利用勾股定理计算的长，证明，列式可表示的长，根据面积公式计算△QCM是面积；根据同底等高的两个三角形面积相等得：，由已知得：，然后得到关于t一元二次方程求解即可． 【详解】作于点F，于点E， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 则由勾股定理得：， ∵作，， ∴， ∴， ∴， 即， 解得：，， 由平移的性质得，， ∴M到的距离， ∴是面积； ∵， ∴， ∵， ∴， 则， 整理得，， ∵， ∴该方程无实数根， ∴不存在某一时刻t，． 故选D． 【点睛】本题考查了平移，勾股定理、相似三角形的性质和判定，一元二次方程根的判别式，熟练掌握平移的性质和相似三角形的判定与性质是解答本题的关键． 3．如图，，点是射线上一点．现将一块含的三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，同时射线绕点以每秒的速度顺时针旋转，设运动时间为．若，当射线与三角板的一边平行时，的值为_____． 【答案】20或40或50或80 【分析】分，，这三种情况，分别画出对应的示意图，讨论求解即可． 【详解】解：设点F的初始位置为点H，则， ∵， ∴， ∴， 如图所示，当时，延长到点T， 则， ∵， ∴ ∴， 解得； 如图所示，当时，延长到点T， 则， 又∵， ∴， ∴， 解得； 如图所示，当时，过点E作， ∴， ∴，， ∴， 解得； 如图所示，当时，则， ∴， 解得； 综上所述，t的值为20或40或50或80． 4．如图，三角板与三角板如图摆放，其中，，，，点，在直线上，点，在直线上，同时旋转两块三角板，将三角板绕点以每秒的速度逆时针旋转，将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，设时间为秒，且，当与平行时，则时间的值为______秒． 【答案】或 【分析】分为两种情况进行分析，情况一：当时，过点作，交于点，延长与交于点，根据平行线的性质求出，，，，根据三角形内角和是，列出方程求解即可；情况二：当时，过点作，交的延长线于点，交的延长线于点，根据平行线的性质求出，，，，根据三角形内角和是，列出方程求解即可． 【详解】根据题意可得，，， 情况一：当时，过点作，交于点，延长与交于点，如图： 则，， ∵， ∴， 故， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， 在中，， 即， 解得． 情况二：当时，过点作，交的延长线于点，交的延长线于点，如图： 则，， ∵， ∴， 故， ∵， ∴， ∵， 即， ∵， ∴， 在中，， 即， 解得． 综上，当与平行时，t的值为或． 5．将一副直角三角板按如图1摆放（，，，），点C在直线上．保持三角板不动，将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，设旋转时间为秒（）． 问题 (1)当平分时，求t的值． (2)当时，求的度数． (3)在旋转过程中，当三角板的边平行于三角板的某一边时（不包含重合），直接写出t的值． 【答案】(1)3 (2) (3)15或27或33 【分析】（1）根据平分，可得，根据度数求解时间即可． （2）先由时间算出旋转角度，再根据旋转后的角度的关系求解即可． （3）数形结合，根据，，，结合平行线的性质以及角度的关系求解t的值即可． 【详解】（1）解：∵三角板中，，， ∴， ∵当平分时，则， ∵三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转， ∴秒． （2）解：当时，旋转的角度为， 即三角板绕点顺时针旋转，如图， 即， ∵，， ∴． （3）解：当时，如图， 此时与重合，则秒； 当时，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， 则秒； 当时，如图， ∵， ∴， ∵，， ∴， 则秒； 综上，t的值为15或27或33． 6．直线，点E，F分别在直线，上，连接． (1)如图1，是的平分线，是的平分线，若，求的度数； (2)如图2，点M，N分别在直线，上，连接，点在延长线上，连接，的平分线的反向延长线与的平分线交于点，若，用等式表示与之间的数量关系，并说明理由； (3)如图3，在（1）的条件下，射线以每秒的速度绕点顺时针转动，当射线转至与射线重合时停止转动．射线转动10秒后，射线以每秒的速度绕点顺时针开始转动，当转至与射线重合时立即以相同速度绕点逆时针回转，回到出发时的位置时停止转动．设射线的转动时间是，若转动过程中射线与射线相交于点，当时，请直接写出所有符合条件的的值，并写出求解的其中一种情况的过程． 【答案】(1) (2)，见解析 (3)或或，见解析 【分析】（1）结合平行线的性质以及角平分线的定义，可得，，结合题目所给条件以及邻补角的性质，即可算出答案； （2）过点作平行线，令，利用平行线的性质可得，，接着利用，即可推出两角之间的关系； （3）分别计算出当射线第一次转动到与重合时，当射线转至与射线重合时，当射线转动到与重合时，当射线第二次转动到与重合时，对应的时间t，根据所求时间分类讨论求解即可． 【详解】（1）解：， ， 是的平分线，是的平分线， ， ， ， ， ； （2）解：过点作平行线， 0 令， ∵， ∴， ， ， ， ， ， ，即； （3）解：由（1）可知，， ∴， ∴， ∴， 根据题意，，即， 当射线第一次转动到与重合时，此时射线与射线相交于点，即两射线开始有交点， 则射线转动的时间为，此时； 当射线转至与射线重合时，此时射线转动的时间为，则此时； 当射线转动到与重合时，此时； 当射线第二次转动到与重合时，此时射线与射线相交于点， 则射线转动的时间为，此时； ∴①当时，两射线不相交， ②当时，如图，过点O作，则， ∴， ∴， 此时， ， 解得； ③当时， 同理可得， 此时， ， 解得； ④当时，两射线不相交； ⑤当时， 同理可得， 此时 ， 解得； 综上所述：或或． 类型七、平面直角坐标系中的面积问题（选、填、解） 1．已知和两点，且与坐标轴围成的三角形的面积等于20，则a的值为（   ） A．2 B．2或 C．0或2 D． 【答案】B 【分析】本题考查了坐标与图形性质，根据三角形的面积结合列出关于a的含绝对值符号的一元一次方程是解题的关键．根据点A、B的坐标可找出、的长度，再根据三角形的面积公式结合即可得出关于a的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：∵和， ∴在轴上，在轴上，且，， ∴， 即， 解得：或． 故选：B． 2．已知为坐标原点，关于轴对称，点、点，若在x轴上有一个点，满足的面积等于2，则点的坐标为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题主要考查了点到坐标轴的距离，图形结合是解题的关键． 根据点坐标，可知点到轴的距离，根据的面积等于2，即可得到点的坐标． 【详解】解：如图， ∵点坐标为， ∴点到轴的距离是2， ∵在轴上有一个点，满足的面积等于2， ∴， ∴， ∴点的坐标为或， 故选：B． 3．在平面直角坐标系中，有点，点，若在坐标轴上有一点C（不与点B重合），使三角形的面积是三角形面积的2倍，则点C的坐标为________． 【答案】 【分析】本题考查三角形的面积及坐标与图形性质，解题的关键是根据题意分两种情况进行讨论（当点C在x轴上时和当点C在y轴上时），根据三角形的面积公式求得，再得出点C的坐标，也可以适当的画草图进行分析．根据题意点C的位置可分当点C在x轴上时和当点C在y轴上时两种情况进行讨论，从而根据三角形的面积公式列式，进而求得，得出点C的坐标． 【详解】解：根据题意可知三角形AOB面积×OB， 当点C在x轴上时， ∵， ∴， 解得：， ∴点C的坐标为或； 当点C在y轴上时， ∵， ∴， ∴， ∴点C坐标为或． 综上所述，点C的坐标为． 故答案为：． 4．如图，点在第一象限，且，点的坐标为，当的面积大于24时，点的横坐标的取值范围是______． 【答案】/ 【分析】本题考查的是三角形的面积，不等式的应用，坐标与图形，熟知图形面积的关系是解答本题的关键．根据三角形的面积公式即可得出关于x的关系式，把 的面积代入得出关于x的不等式，解不等式即可． 【详解】解：∵A和P点的坐标分别是、， ∴． ∵， ∴． ∴ 当时， 解得：， ∵点在第一象限， ∴ ∴点的横坐标的取值范围是． 故答案为：． 5．如图1，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是，，现同时将点A，B分别先向上平移2个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到A，B的对应点C，D．连接、、． (1)请直接写出点C和D的坐标并求出平行四边形的面积； (2)在x轴上是否存在一点E，使得的面积是面积的2倍？若存在，请求出点E的坐标，若不存在，请说明理由； (3)如图2，假设线段上有一动点F，分别连接，当点F在线段上来回运动时，三角形面积的最大值为________，最小值为________． 【答案】(1)点C的坐标为，点D的坐标为，四边形的面积为 (2)和 (3)， 【分析】（1）根据点的平移规律得到点C，D的坐标，即可求出四边形的面积； （2）设点E的坐标为，根据题意得到绝对值方程，求解即可； （3）根据三角形的面积为可得两点重合时，三角形的面积最大，两点重合时，三角形的面积最小，即可解答． 【详解】（1）解：∵点A，B的坐标分别是，，现同时将点A、B分别向上平移2个单位长度，再向右平移2个单位长度得到A，B的对应点C，D， ∴点C的坐标为，点D的坐标为，，且之间的距离为， ∴四边形的面积； （2）解：存在． 设点E的坐标为， ∵的面积是面积的2倍， ∴， 解得或， ∴点E的坐标为和； （3）解：如图， 由题意得三角形的面积为， 当两点重合时，，三角形的面积最大，最大值为； 当两点重合时，，三角形的面积最小，最小值为． 6．如图，在平面直角坐标系中，已知，，，且． (1)求a，b的值； (2)在y轴的正半轴上存在一点M，使三角形的面积等于三角形面积的一半，求出点M的坐标； (3)在坐标轴的其他位置是否存在点M，使三角形的面积等于三角形面积的一半？若存在，请直接写出符合条件的点M的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)或或 【分析】（1）根据非负式子和为0它们分别等于0直接求解即可得到答案； （2）设，根据面积关系列式求解即可得到答案； （3）分负半轴及x轴两类讨论，设出点坐标列式求解即可得到答案． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， 解得：，； （2）解：设， ∵，，，， ∴， 解得：， ∴； （3）解：存在． 当M在y轴负半轴时，设， ∵，，，， ∴， 解得：， ∴； 当M在x轴上时，设， ∵，，，， ∴， 解得：， ∴或； 综上所述：或或． 【点睛】本题考查绝对值非负性，算术平方根非负性，平面内点与坐标原点及坐标轴上点围成图形面积问题，解题的关键是熟练掌握点到坐标轴距离问题转换成三角形的高． 类型八、不等式中的作差法与取值范围（解） 1．阅读材料，回答下列问题． 材料：根据等式和不等式的基本性质，我们可以得到比较两数大小的方法： 如果，将不等式两边都加上，可得，所以； 如果，将等式两边都加上，可得，所以； 如果，将不等式两边都加上，可得，所以； 反之也成立，这种比较大小的方法称为“作差法”． (1)若，则___________；（填“”、“”或“”） (2)用作差法比较与的大小； (3)在一次劳动课上，老师让同学们用面积分别为的A、B两种卡纸不重叠的进行拼图，甲同学用3张A卡纸和6张B卡纸拼出图案一，乙同学用2张A卡纸和7张B卡纸拼出图案二，图案一和图案二的面积分别记为和，比较和的大小． 【答案】(1)< (2) (3)见解析 【分析】（1）要比较与的大小，可计算的差，再结合已知条件进行判断． （2）根据作差法的定义，计算的差，再根据绝对值的性质，即得结果． （3）先根据题意分别表示出和，再对和作差，化简差的表达式，根据和的大小关系判断差的正负，进而比较和的大小． 【详解】（1）解：∵，且， ∴， ∴． （2）解：将与的作差， 得． ． ∴． （3）解：∵． ∴． 当时，． 当时，． 当时，． 2．【阅读材料】我们在分析解决某些数学问题时经常要比较两个数或式子的大小，解决问题时一般要进行一定的转化，“求差法”就是常用的方法之一．所谓“求差法”，就是通过求差、变形，并利用差的符号来确定它们的大小，即要比较两个数a，b的大小，只要求出它们的差．若，则；若，则；若，则． 【解决问题】 (1)已知，试比较，的大小； (2)若，，，求a的取值范围． 【答案】(1) (2)a为任意实数 【分析】本题主要考查了利用不等式的性质比大小，以及解不等式．整式的混合运算. （1）根据题意用作差法得出，再结合，利用不等式的性质即可得出结论． （2）把式子代入，解一元一次不等式即可得出答案． 【详解】（1）解：， ． （2）， ， ， ， 解得． 所以a为任意实数． 3．【阅读材料】 我们在分析解决某些数学问题时经常要比较两个数或式子的大小，解决问题时一般要进行一定的转化， “求差法”就是常用的方法之一．所谓“求差法”，就是通过求差、变形，并利用差的符号来确定它们的大小，即要比较两个数的大小，只要求出它们的差．若，则；若，则；若，则． 【解决问题】 (1)已知，试比较，的大小； (2)，，若，求，的取值范围． 【答案】(1) (2)的取值范围为任意实数，的取值范围为 【分析】本题考查整式的加减，不等式的基本性质，解题的关键是正确理解“求差法”． （1）求差、变形，结合已知条件确定差的符号，即可完成比较大小； （2）整体代入，进行整式加减运算，解不等式即可． 【详解】（1）解： ∵， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， 解得，， ∴的取值范围为任意实数，的取值范围为． 4．阅读理解与应用 阅读下列材料：解答“已知，且，，试确定的取值范围”有如下解法： 解：，，又，，， 又，…………①， 同理可得…………②， 由①＋②得： 的取值范围是， 按照上述方法，完成下列问题： (1)已知，且，，则的取值范围是____________； (2)若，，，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（）按照题干示范的步骤，先分别求出和的取值范围，再将两个范围相加即可求解； （）按照题干示范的步骤，先分别求出和的取值范围，再根据不等式性质求出和的取值范围，再将两个范围相加即可求解； 本题考查了不等式的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴①， 同理可得②， 由①②得：， ∴的取值范围是， 故答案为：； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴①， 同理可得②， 由不等式性质，②乘得③， ①乘得④， ③④，得， ∴的取值范围是． 5．阅读下述材料完成问题 利用不等式的性质说明下列结论的正确性： 如果，，那么． 解：因为，所以．① 又因为，所以．② 由数的大小比较可知，不等式关系具有传递性， 所以由①②，可得． 通过上述材料，我们可以得到不等式的同向可加性． 例如：若，，那么，即的取值范围是． (1)根据上述性质解决问题：若，，则的取值范围是___________； 若，，则的取值范围是___________； (2)【性质应用】已知，且，，求的取值范围． 解：由，得． 将代入得， ， 即． 又因为， 所以． 以上是求解的部分过程，请你在此基础上将剩余的解答过程补充完整 (3)【拓展提升】已知，且，，则的取值范围是___________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了不等式和等式的性质，解题关键是熟练掌握不等式的基本性质． （1）根据不等式的性质进行计算即可； （2）先根据已知条件把用表示出来，再根据和求出的取值范围，同理求出的取值范围，然后再根据不等式的性质进行解答即可； （3）先根据已知条件把用表示出来，再根据，求出的取值范围，同理求出的取值范围，然后再根据不等式的性质进行解答即可． 【详解】（1）解：， ，即， ， ，即， 故答案为：； （2）解：由，得， 将代入得，， 即， ， ， 由，得， 将代入得，， 即， ∵， ∴， ， ． （3）解：， ∴， 将代入得，， 即， ， ， ； ， ∴， 将代入得，， 即， ， ， ， ， 故答案为：． 6．小明的数学研学作业单上有这样一道题：已知，且，，设，那么的取值范围是什么？ 【回顾】 （1）小明回顾做过的一道简单的类似题目：已知，设，那么y的取值范围是______． 【探究】 小明想：可以将研学作业单上的复杂问题转化为上面回顾的类似题目． （2）由得，则． 由，，得关于x的一元一次不等式组：______， 解该不等式组得到x的取值范围为______，则w的取值范围是______． 【应用】 （3）已知，且，设，求t的取值范围； （4）已知（n是大于0的常数），且，的最大值为______（用含n的代数式表示）． 【答案】（1）；（2） ，，；（3）；（4） 【分析】（1）根据不等式的性质，解答即可． （2）根据（1）的思路，解答即可． （3）根据（2）的思路，解答即可． （4）根据（2）的思路，解答即可． 本题考查了不等式的性质，解不等式组，应用不等式性质求最值，熟练掌握解不等式或不等式组是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． （2）解：由得，则． 由，，得， 解得， ∴， ∴， 故答案为：，，． （3）解：由得，则． 由，得， 解得， ∴， ∴， ∴． （4）解：由得，则． 由，得， 解得， ∴， ∴， ∴． 故的最大值为． 故答案为：． 类型九、新定义应用（解） 1．请认真阅读下面的材料，再解答问题． 依照平方根（即二次方根）和立方根（即三次方根）的定义，可给出四次方根、五次方根的定义． 比如：若，则叫的二次方根；若，则叫的三次方根；若，则叫的四次方根． (1)依照上面的材料，请你给出五次方根的定义； (2)81的四次方根为_____；32的五次方根为_____； (3)若有意义，则_____； (4)求的值：． 【答案】(1)若，则叫的五次方根 (2) (3) (4)或 【分析】本题考查新定义．解题的关键是利用类比法，理解四次方根和五次方根的定义． （1）依照平方根和立方根的定义即可得出答案； （2）根据四次方根和五次方根的定义求解即可； （3） 根据四次方根，绝对值和五次方根的意义求解即可． （4）利用四次方根解方程即可． 【详解】（1）解：五次方根的定义：若，则叫的五次方根； （2）解：， 故答案为：； （3）解：， ， ， ， ， ， 故答案为：； （4）解：， ， ， ， 或， 或． 2．定义：关于，的二元一次方程（其中，，互不相同，且均不为）中的常数项与未知数的系数互换，得到的方程叫“变更方程”．例如：的“变更方程”为． (1)方程与它的“变更方程”组成的方程组的解为　　　； (2)已知关于，的二元一次方程的系数满足，且与它的“变更方程”组成的方程组的解恰好是关于，的二元一次方程的一个解，求代数式的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）先根据“变更方程”定义写出原方程的变更方程，再联立方程组，用加减消元法求解； （2）先利用条件得出，联立原方程与变更方程求出解，将解代入新方程得到代数式关系，最后化简求值． 【详解】（1）解：根据题意可得方程的“变更方程”为， 联立方程组，得， 解得； （2）解：根据题意可得的“变更方程”为， 联立方程组，得， 解得， ， ， ， 即， 是二元一次方程的一个解， ， 即， ． 3．对于有理数x，y，定义新运算：，，其中a，b是常数．例如，，，已知，． (1)求a、b的值； (2)若，求的值； (3)若关于x，y的方程组解为，则关于m，n的方程组的解为_________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据定义运算，得出关于a，b的二元一次方程组，求解即可得出答案． （2）根据定义运算得出，然后将（1）中得出的a，b的值代入即可得出答案． （3）令，， 则方程组变形成，结合已知条件得出，进而即可得出关于m，n的二元一次方程组，求解即可得出答案． 【详解】（1）解：根据题意可知：， 解得∶ ． （2）解：∵，， ∴，即， 把，代入， 得：， ∴． （3）解：令，， 则方程组变形成， ∵关于x，y的方程组解为， ∴的解为， 即， 解得． 4．定义：对于任何有理数，符号表示不小于的最小整数．例如：，，． (1)填空： ， ； (2)如果，求满足条件的的取值范围； (3)如果（是整数），则 （填的代数式）方程的整数解是 ． 【答案】(1)； (2) (3)；； 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， 解得； （3）解：∵， ∴， 由题意求整数解可得，是整数， ∴， ∴原方程为， 解得． 5．对于一元一次方程和一元一次不等式组，给出如下定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“子方程” (1)在方程①，②，③中，__________（填序号）是不等式组的“子方程”； (2)若不等式组的一个“子方程”的解是整数，则这个“子方程”可以是_________；（写出一个即可） (3)若方程是关于x的不等式组的“子方程”，求m的取值范围． 【答案】(1)② (2)（满足解是1的一元一次方程均可） (3) 【分析】（1）求出不等式组的解集和三个方程的解，再根据“子方程”的定义逐一判断即可； （2）求出不等式组的解集，进而确定不等式组的整数解，则可确定“子方程”的解，据此可得答案； （3）求出不等式组的解集和方程的解，再根据“子方程”的定义建立不等式组求解即可． 【详解】（1）解： 解不等式得， 解不等式得， ∴原不等式组的解集为； 解方程得， 解方程得， 解方程得， ∴只有方程是不等式组的“子方程”； （2）解： 解不等式得， 解不等式得， ∴原不等式组的解集为， ∴原不等式组的整数解为1， ∵不等式组的一个“子方程”的解是整数， ∴该“子方程”的解是， ∴该“子方程”可以为； （3）解： 解不等式得， 解不等式得， ∴原不等式组的解集为； 解方程得， ∵方程，是关于x的不等式组的“子方程”， ∴， 解得． 6．平面直角坐标系中，对于P，Q两点给出如下定义：若点P到x、y轴的距离中的最大值等于点Q到x、y轴的距离中的最大值，则称P，Q两点为“等距点”．图中的P，Q两点即为“等距点”． (1)已知点A的坐标为， ①在点，，中，为点A的“等距点”的是______． ②若点B的坐标为，且A，B两点为“等距点”，则点B的坐标为______． (2)若，两点为“等距点”，求k的值． 【答案】(1)①点E和点F；②； (2)或2 【分析】（1）①根据题意求出每个点到坐标轴的距离，然后进行比较； ②根据题意，分两种情况进行讨论； （2）根据题意，分两种情况进行讨论求解． 【详解】（1）解：①∵点A的坐标为， ∴点A到坐标轴的最大距离为； 点到坐标轴的最大距离为3，点到坐标轴的最大距离为3，点到坐标轴的最大距离为， ∴为点A的“等距点”的是点E和点F； ②当且时， 解得或， 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； ∴点B的坐标为； 当且时， 解得或， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； ∴点B的坐标为； 综上，点B的坐标为和； （2）解：当时， ， 即或， 解得或， 当时，，与已知条件矛盾，故舍去． ； 当时，， 即或， 解得或， 当时，，与已知条件矛盾，故舍去， ； 综上所述，或2． 类型十、平行线中的折线、数量关系与角平分线（解） 1．如图已知，有一块三角板，其中，，现将该三角板如图所示放置，使顶点始终落在上，过点作交于点． (1)如图1，若，则___________； (2)若的平分线交于点； ①如图2，是否存在，使得与同时成立，若存在请求出，若不成立，请说明理由． ②如图3，将三角板沿直线从左往右平移，且在平移的过程中，始终保持不变，请探究与之间的数量关系． 【答案】(1) (2)①；②或或或 【分析】（1）根据平行线的性质解答即可； （2）①根据平行线的性质以及角平分线的定义，即可求解；②分四种情况讨论，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得：，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：①存在，使得与同时成立； ∵，， ∴，，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴； ②如图3， 当点A在点E左侧时，若点P在点O左侧， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴； 如图， 当点A在点E左侧时，若点P在点O右侧， ∵是的平分线， ∴， ∴； 如图4所示，当点A在点E右侧时，点P在点O的左侧， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴； 如图当点A在点E右侧时，点P在点O的右侧， 同理， ∵， ∴； 综上所述，的度数为或或或． 2．如图，点在直线上，点在直线上，点在之间，且满足． (1)试说明：； (2)如图，若，，点在线段上，连接，且，试判断与的数量关系，并说明理由； (3)如图，若，点在线段上，连接，若，请直接写出与的等量关系． 【答案】(1)证明见解析 (2)，理由见解析 (3)，理由见解析 【分析】（）过点作，可得，即得，即得到，即可求证； （）作，设，则，，根据平行线的性质可得，，进而得到，即可求证； （）作，设，则，，同理（）解答即可求解． 【详解】（1）证明：如图，过点作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 如图，作， 设，则，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即； （3）解：，理由如下： 如图，作， 设，则，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 3．如图，，点、分别在线段、上． (1)如图1，_____°； (2)图1中，若、的平分线相交于点，在直线、之间左侧存在一点，使得，，求的度数； (3)如图2，若直线、之间存在点、，存在正整数，使得，．试探究与之间的数量关系． 【答案】(1)180 (2) (3) 【分析】（1）根据“两直线平行，同旁内角互补”可得结论； （2）作．设，，得，得出，，由平行线的性质得，，由可得结论； （3）作，，得出，，推出，，结合，可得，，得，代入相加可得，即． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：如图，作．设，， 则，． 平分、平分， ，， ， ， ， ， ，； 平分，平分， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：如图，作，， ，， ， ，， ，， ，， ，， ，， ，， ， ， 即， ． 4．在综合与实践课上，同学们以“一个含60°的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动． (1)如图1，两直线m，n和直角三角形，其中，，，若，则的度数为_______； 【实践探究】 (2)如图2，创新小组的同学把直线m向上平移，并把的位置改变，发现是一个定值，这个定值是__________． 为了说明理由，同学们根据“过拐点作平行线”的思路，很快想到辅助线的作法，如图3，过B作，请你完成后面的过程． 【拓展延伸】 (3)如图4，，点E在上，平分，，设，请直接用含的代数式表示． 【答案】(1) (2)，过程见解析 (3) 【分析】（1）根据平角的定义和平行线的性质求解即可； （2）根据“过拐点作平行线”的思路，作，即可得到，再利用平行线的性质和角的和差即可求解； （3） 过点作， 延长，设，根据平行线的性质进行求解即可. 【详解】（1）解：如图， ， ， ∵， ， ； （2）解：，理由如下，如图，过作， ∵， ∴， 则， ， ， 即， ； （3）解：如图， 过点作， 延长， 设， ， ∴， ，， ∵平分，， ∴， ∴， 同理：． 5．已知：如图1，，，是上的点，是上的点，． (1)求证：； (2)如图2，点是延长线上的一点，连接，若的平分线与的平分线交于点，试探究与的数量关系； (3)如图3，在（2）的条件下，作的角平分线交于点，若，，请直接写出的值． 【答案】(1)见详解 (2)，见详解 (3) 【分析】（1）根据平行线的性质可得，进而可知，问题得证； （2）由条件可知是由的平分线与的平分线相交形成的，同时发现和，也密切相关，因此先寻找这两个角与，的关系，然后结合解决平行线问题时常用的作辅助线的方法，通过作，建立联系，继而求解； （3）结合第（2）问的结论和所给条件寻找等量关系即可求解． 【详解】（1）证明：∵ ， ∴ ． ∵ ， ∴ ， ∴ ； （2）解：如图所示，过点作，过点作， ，． ， ， ，． ， ， ． ∵平分，平分， ，， ， ， ∴ ； （3）解：，理由： 如图2所示，由于， 则设，，则 ． 由（2）可得， 解得 ， ∴ ，， ∴ ∵平分， ∴ ． ∵ ， ∴ ，， ∴， ． 【点睛】本题综合考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义等．熟知平行线的性质与判定，能够结合条件作出恰好的辅助线使各角之间建立联系是解题的关键． 6．在平面内，对于和，给出如下定义：若存在一个常数，使得，则称是的“系数平衡角”．例如，，，有，则是的“系数平衡角”． (1)【概念理解】 若，则的“系数平衡角”是____； (2)【初步认识】 在平面内，，点为直线上一点，点为直线上一点．如图，点为平面内一点，连接，，，若是的“系数平衡角”，求的度数． (3)【问题解决】 连接，点为直线与直线间的动点（点不在直线上），，．是的“系数平衡角”，此时的度数为____． 【答案】(1)； (2)； (3)或 【分析】（1）设的“系数平衡角”是，由“系数平衡角”定义列方程即可得出； （2）过点作直线，利用平行线的内错角相等得出，是的“系数平衡角”，推出，再结合，求解即可； （3）根据，，设，，，， 再根据是的“系数平衡角”，可得，然后分类讨论：①当点在直线异侧时，过点作直线，过点作直线，②当点在直线同侧时，过点作直线，过点作直线，结合平行线的性质列出方程，即可求解． 【详解】（1）∵设的“系数平衡角”为， ∴根据题意，， ∵， ∴； （2）如图，过点作直线， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵是的“系数平衡角”， ∴根据题意，，即， ∵， ∴，解得：； （3）∵，， ∴设，，，， ∵是的“系数平衡角”， ∴， 分类讨论：①如图，当点在直线异侧时，过点作直线，过点作直线， ∵， ∴， ∴，， ，， ∴，， ∴， ， ∵， ∴，解得：， ∴； ②如图，当点在直线同侧时，过点作直线，过点作直线， ∵， ∴， ∴，， ，， ∴， ， ∵， ∴，解得：， ∴； ∴综上，为或． 1 学科网（北京）股份有限公司 $