期末考前满分冲刺之基础常考和中等易错题-2025-2026学年七年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（人教版）

**基本信息** 该专项聚焦期末基础常考与中等易错点，以题型分类整合统计、方程、几何等核心知识，通过选择、填空、解答题梯度训练，强化概念辨析与综合应用，渗透数据意识、推理能力与应用意识。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础常考|10类型约40题|以选择、填空为主，侧重概念辨析与基本运算|从统计（普查/抽样）、不等式性质等基础概念，到实数运算、图形平移等性质应用，形成“概念-性质-基础应用”逻辑链| |中等易错|10类型约40题|含选择、填空、解答，侧重易错点与综合应用|从二元一次方程定义辨析，到命题反例、新定义运算，延伸至方程组与不等式结合应用，构建“基础延伸-易错突破-跨模块综合”进阶路径|

期末考前满分冲刺之基础常考和中等易错题 【基础常考】 类型一、普查、抽样调查、个体与样本容量(选、填) 1．河南省位于中国中东部，拥有丰富的历史文化和自然景观，其中洛阳以千年古都闻名，安阳以殷墟遗址和中国文字博物馆著称，开封曾是北宋都城，充满武侠文化氛围．为了解游客在开封、洛阳和安阳这三个城市旅游的满意度，数学小组的同学商议了几个收集数据的方案，其中下面四个方案相比，最合理的是（    ） A．在开封调查1000名游客 B．在洛阳调查1000名游客 C．在安阳调查1000名游客 D．在三个城市各调查1000名游客 【答案】D 【分析】选取的样本需要具有广泛性和代表性，能够覆盖所有调查对象． 【详解】解：选项A、B、C都只在三个城市中的一个城市抽取样本，样本不具有代表性，无法反映三个城市的整体情况． 只有选项D在三个城市各调查1000名游客，样本符合广泛性和代表性的要求，因此最合理． 2．下列调查中最适合采用全面调查的是（     ） A．某批次汽车的抗撞击能力 B．某鞋厂生产的鞋底能承受的弯折次数 C．某班名同学的身高情况 D．全国中学生视力和用眼卫生情况 【答案】C 【分析】根据调查的破坏性，调查范围大小判断合适的调查方式，对象数量少，无破坏性的调查适合采用全面调查． 【详解】解：A、调查某批次汽车的抗撞击能力，调查具有破坏性，不适合全面调查； B、调查鞋底能承受的弯折次数，调查具有破坏性，不适合全面调查； C、调查某班名同学的身高情况，调查对象数量少，范围小，适合全面调查； D、调查全国中学生视力和用眼卫生情况，调查范围大，对象数量多，不适合全面调查． 3．每年4月23日是“世界读书日”，为了解某校八年级1200名学生对“世界读书日”的知晓情况，从中随机抽取了400名学生进行调查，在这次调查中，样本容量是______． 【答案】 400 【详解】解：在本次调查中，总体是某校八年级名学生对“世界读书日”的知晓情况，抽取的名学生对“世界读书日”的知晓情况是样本，样本容量为样本中个体的数目，即样本容量为． 4．某校为了鼓励学生课外阅读，学校公布了“阅读奖励”方案，并设置了“赞成、反对、无所谓”三种意见．校学生会从学校所有2400名学生中，随机征求了100名学生的意见，其中持“反对”和“无所谓”意见的共有25名学生，则全校持“赞成”意见的学生人数约为______人． 【答案】1800 【分析】根据题意得到样本中持“赞成”意见的学生占比，再将全校总人数乘以该占比即可得到答案.熟练掌握由样本估计总体的方法是解题的关键． 【详解】解：由题意可知，全校持“赞成”意见的学生人数约为． 类型二、不等式的基本性质与解集表示(选、填) 1．若，则下列不等式不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据性质逐一判断选项即可，注意不等式两边乘或除以同一个负数时，不等号方向要改变． 【详解】解：A．∵，∴不等式两边同时加5，不等号方向不变，得，该选项变形正确，不合题意． B．∵，∴不等式两边同时减1，不等号方向不变，得，该选项变形正确，不合题意． C．∵，∴不等式两边同时除以正数2，不等号方向不变，得，该选项变形正确，不合题意． D．∵，∴不等式两边同时乘，不等号方向改变，得，原变形不正确，符合题意． 2．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出不等式组的解集，再判断数轴即可． 【详解】解：， 由①得， 由②得， ∴不等式组的解集为， 表示在数轴上为： 3．已知是不等式的一个解，请写出一个符合条件的的值______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据不等式的解的定义，推出的取值范围，在取值范围内写出一个符合条件的值即可． 【详解】解：∵是不等式的一个解，将代入不等式，得，即， ∴符合条件的值可以是． 4．若，，则的取值范围是_____． 【答案】 【详解】解：， 不等式两边同乘，不等号方向改变，得， 不等式两边同时加1，得， 又∵， ∴． 类型三、定义、真假命题(选、填) 1．下列命题中：①内错角相等，两直线平行；②相等的角是对顶角；③垂线段最短；④经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．其中真命题的个数有（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】解：①内错角相等，两直线平行，是平行线的判定定理，是真命题； ②相等的角不一定是对顶角，例如两直线平行同位角相等，但这两个同位角不是对顶角，因此该命题是假命题； ③垂线段最短，是垂线的性质，是真命题； ④经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，是平行公理，是真命题； 综上，真命题共有3个． 2．下列语句中不是定义的是（    ） A．只有符号不同的两个数互为相反数 B．大于的数叫作正数 C．对顶角相等 D．几个单项式的和叫作多项式 【答案】C 【分析】定义是描述一个术语或概念的本质特征的陈述，逐项判断即可． 【详解】解：对于选项A：“只有符号不同的两个数互为相反数”，描述了相反数的定义，不符合题意； 对于选项B：“大于0的数叫作正数”，描述了正数的定义，不符合题意； 对于选项C：“对顶角相等”是命题，不是定义，符合题意； 对于选项D：“几个单项式的和叫作多项式”，描述了多项式的定义，不符合题意． 3．命题“两直线平行，同位角相等”是 _______（填“真”或“假”）命题． 【答案】真 【详解】解：由平行线的性质可知，“两直线平行，同位角相等”是真命题． 4．请你取一个a的值，说明命题“”是假命题，那么______．（写出一个符合题意的数即可） 【答案】0（答案不唯一） 【分析】根据绝对值的非负性可知，只要满足即可说明原命题是假命题，据此可得答案． 【详解】解：当时，，， ∴，即命题“”是假命题． 类型四、无理数的定义与数轴表示(选、填) 1．在实数（相邻两个1之间依次增加一个0），，0，，0.12，中，无理数的个数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】根据无理数是无限不循环小数的定义，逐个判断给定实数，统计无理数的个数即可得到答案． 【详解】解：（相邻两个之间依次增加一个）是无限不循环小数，是无理数； 是分数，属于有理数； 是整数，属于有理数； 含无理数，是无理数； 是有限小数，属于有理数； 是有限小数，属于有理数； ∴无理数共个． 2．下列各数中，是无理数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题根据无理数和有理数的定义判断选项，无理数是无限不循环小数，有理数是整数和分数的统称，据此可得出答案． 【详解】解：选项A，是分数，属于有理数； 选项C，是有限小数，可化为分数，属于有理数； 选项D，是整数，属于有理数； 选项B，是开方开不尽的数，是无限不循环小数，属于无理数． 3．如图，以1个单位长度为边长画一个正方形，以原点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧，与正半轴交于点，与负半轴的交点为，已知交点表示的数为，则交点表示的数为___________． 【答案】 【分析】根据交点表示的数为，即可得出交点表示的数． 【详解】解：以原点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧，与正半轴交于点，与负半轴的交点为，且交点表示的数为， 交点表示的数为． 4．已知实数在数轴上的位置如图所示，则 _____． 【答案】 【分析】根据数轴可推出，据此计算算术平方根和绝对值，再根据整式的加减运算法则求解即可． 【详解】解：由数轴可得， ∴， ∴ 类型五、实数、(算术)平方根、立方根的定义(选、填、解) 1．的相反数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：的相反数为． 2．的平方根是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：的平方根是． 3．若，则的立方根为__________． 【答案】 【分析】根据绝对值、算术平方根的非负性求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 即：， ∵， ∴的立方根为：． 4．已知的一个平方根是2，的立方根是． (1)求a，b的值． (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据已知，结合平方根和立方根的定义得，，即可求a，b的值； （2）将a，b的值代入求值，再根据平方根的定义求解． 【详解】（1）解：∵的一个平方根是2，的立方根是， ∴，， 解得，； （2）解：由（1）知，， ∴， ∵的平方根为， ∴的平方根为． 类型六、图形与点的平移一含作图(选、填、解) 1．国家要实施“体重管理年”计划，呼吁大家积极参与运动．下列各组运动图标中，能将其中一个图形只经过平移得到另一个图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A：图形的大小发生了改变，不合题意； B：图形的形状和大小没有改变，可以通过平移得到，符合题意； C：图形的方向发生了改变，不合题意； D：图形大小不同，不能通过平移得到，不合题意． 2．如图，已知A，B两点的坐标分别为，，将线段平移得到线段．若点A的对应点是，则点B的对应点D的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合点A和点的坐标可知，线段平移的方式为向右平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度，再根据点B的坐标即可求解点D的坐标． 【详解】解：∵点平移后的对应点是， ∴线段平移的方式为向右平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度， ∵点， ∴点B的对应点D的坐标是，即． 3．如图，将直角梯形沿方向平移得到图形的位置，，，，则阴影部分的面积为______． 【答案】/68平方厘米 【分析】由平移的性质可得阴影部分的面积直角梯形的面积，再求出直角梯形的面积即可求解． 【详解】解：∵平移不改变图形的形状和大小， ∴直角梯形的面积直角梯形的面积，， ∴直角梯形的面积直角梯形的面积直角梯形的面积直角梯形的面积， 即阴影部分的面积直角梯形的面积， ∵，， ∴， ∴阴影部分的面积直角梯形的面积． 4．如图，在边长为1个单位长度的小正方形网格中，建立平面直角坐标系．已知三角形的顶点坐标分别为，， (1)把三角形向右平移5个单位长度，再向下平移4个单位长度得到三角形，请画出三角形； (2)请直接写出点，，的坐标； (3)若点M是三角形边上一点，经过平移后，点对应的点的坐标是____． 【答案】(1)画图见解析 (2)，， (3) 【分析】（1）首先确定A、B、C三点平移后的位置，再连接即可； （2）根据图形得出坐标即可； （3）根据三角形的平移方式可得答案． 【详解】（1）解：如图：即为所画的三角形； （2）解：由图可得：，，； （3）解：点M是三角形边上一点，经过平移后，点对应的点的坐标是． 类型七、点、象限、坐标轴的关系(选、填、解) 1．在平面直角坐标系中，点所在的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【详解】解：∵ 点的横坐标，纵坐标， ∴ 点在第二象限． 2．在平面直角坐标系中，如果点在轴上，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题利用x轴上点的坐标特征求解，x轴上点的纵坐标为0，据此先求出参数的值，再计算得到点的横坐标即可确定点的坐标． 【详解】解：∵点在轴上， ∴点的纵坐标为，即， 解得， 把代入横坐标得：， ∴点的坐标为． 3．若，则点到y轴的距离是_______． 【答案】5 【分析】先根据算术平方根和绝对值的非负性求出的值，再根据点到轴距离的定义求解即可． 【详解】解：算术平方根和绝对值都是非负数，且， ， ， ∴，． 平面直角坐标系中，点到轴的距离为横坐标的绝对值，即． 4．在平面直角坐标系中，已知点． (1)若点M在x轴上，求点M的坐标； (2)若点M到y轴的距离为3，求点M的坐标； (3)若点M到坐标轴的距离相等，求点M的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】（1）点M在x轴上，纵坐标为0，由此列式即可求解； （2）点M到y轴的距离为3，则横坐标的绝对值为3，由此列式即可求解； （3）根据题意得出，然后求解即可． 【详解】（1）解：已知点， 由题意得，， 解得，， ∴， ； （2）解：由题意得，， 则或， 解得，或5， 或； （3）解：点M到坐标轴的距离相等， ， 或， 解得，或 ， 当时，， 当时，， 或． 类型八、解二元一次方程(组)(选、填、解) 1．用代入消元法解二元一次方程组，下列变形正确的是（   ） A．由①得 B．由①得 C．由②得 D．由②得 【答案】B 【分析】利用等式的基本性质，对两个方程分别移项变形，对比选项即可得到正确结果． 【详解】解：， 由①得， 由②得， 观察四个选项，选项B符合题意． 2．若是关于，的二元一次方程的解，则的值为（    ） A．5 B． C． D．7 【答案】C 【分析】根据方程的解满足方程的性质，将已知解代入原方程，得到关于的一元一次方程，求解即可得到结果． 【详解】解：∵是关于，的二元一次方程的解， ∴， 解得：． 3．已知关于x和y的二元一次方程组的解满足，则__________． 【答案】1 【分析】将方程组中两个方程相加变形，再结合已知条件求解即可． 【详解】解：由，得， ∴， 化简得， ∵， ∴． 4．解方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∴原方程组的解为； （2）解：， 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∴原方程组的解为：． 类型九、实数运算(选、填、解) 1．下列式子正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平方根与算术平方根的定义，根据定义计算各选项即可判断出正确结果． 【详解】A、，故选项A错误； B、 ，故选项B错误； C、，等式成立，故选项C正确； D、，故选项D错误． 故选：C． 2．，那么（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】算术平方根每向左（或右）移动一位，则被开方数向相同的方向移动两位，反之被开方数每移动两位，则算术平方根每向相同的方向移动一位，据此即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴． 3．计算：_____． 【答案】 【分析】先分别计算算术平方根与立方根的值，再根据有理数减法法则计算最终结果. 【详解】解： . 4．计算及解方程： (1)计算：． (2)解方程： 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用算术平方根、绝对值、立方根、有理数乘方化简，然后再计算即可； （2）先求得，再利用平方根求得，进而完成解答． 【详解】（1）解： ． （2）解：， ， ， ， ． 类型十、解不等式(组)(选、填、解) 1．不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：， ， ， ， . 2．方程组的解满足，则的取值范围为（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用加减消元法先解出方程组的解，再代入不等式即可求出的取值范围． 【详解】解：， ①②得， 解得． 把代入①得， 解得． 将， 代入得， 整理得， 解得：． 3．不等式组的整数解为___． 【答案】无整数解 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴ 原不等式组不存在公共解集，即原不等式组无解，没有符合要求的整数解． 4．解下列不等式（组），并将它们的解集在数轴上表示出来． (1)； (2)． 【答案】(1)，见解析 (2)，见解析 【分析】（1）按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求出解集，再将解集表示在数轴上； （2）先分别求出每个不等式的解集，再找出两个解集的公共部分，即为不等式组的解集，再表示在数轴上． 【详解】（1）解： ， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得， 在数轴上表示如下： （2）解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴ 不等式组的解集为 ， 在数轴上表示如下： 【中等易错】 类型一、二元一次方程的定义与代数式表示(选、填) 1．下列方程中，属于二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二元一次方程的定义，逐一判断每个选项是否满足整式方程、含有两个未知数、含未知数的项的次数均为1这三个条件． 【详解】解：选项A：，的次数为2，不满足定义，故选项A错误． 选项B：，是分式，方程不是整式方程，不满足定义，故选项B错误． 选项C：，方程含有三个未知数，不满足定义，故选项C错误． 选项D：，方程是整式方程，含两个未知数，且所有含未知数的项的次数都是1，满足定义，故选项D正确． 2．下列方程组中是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二元一次方程组需要满足：一共含两个未知数，所有含未知数的项的次数都是1，每个方程都是整式方程，逐一判断即可． 【详解】解：A、 方程中，项的次数为2，不符合定义，不是二元一次方程组； B、 方程不是整式方程，不符合定义，不是二元一次方程组； C 、方程组共含有三个未知数，不符合定义，不是二元一次方程组； D 、方程组一共含两个未知数，所有含未知数的项次数都是1，且都是整式方程，符合二元一次方程组的定义． 3．已知是关于、的二元一次方程，则________． 【答案】16 【分析】由二元一次方程的定义求出，，再代入所求代数式计算即可得出结果． 【详解】解：∵是关于、的二元一次方程， ∴，， ∴，， ∴． 4．由，得到用x表示y的式子为______． 【答案】 【分析】利用等式的性质，通过移项，系数化为1求解y即可． 【详解】解：， 移项，得 系数化为，得 ． 类型二、列方程组与不等式表示数量关系(选、填) 1．《孙子算经》记载：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？译文：今有若干人乘车，若每3人乘一辆车，最终剩余2辆车；若每2人乘一辆车，最终剩余9人无车可乘．问共有多少人？多少辆车？若设有x人，y辆车，则可列方程组为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题目中两种乘车情况的等量关系，列出关于人数和车辆数的二元一次方程组，即可得到正确选项． 【详解】解：设有人，辆车， ∵每3人乘一辆车，剩余2辆空车，说明实际使用车辆为 辆，总人数等于每车人数乘实际使用车辆数， ∴ ，整理得 ． ∵每2人乘一辆车，剩余9人无车可乘，说明乘车人数为，总人数等于乘车人数加步行人数， ∴，整理得 ． 因此可得方程组． 2．语句“与3的差的2倍是非负数”，用不等式可表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】先表示出与的差，可得. 再表示出差的倍，可得. ∵该式是非负数，即大于等于， ∴. 3．用不等式表示“与3的差不大于的2倍”：______________． 【答案】 【分析】“不大于”是“”，根据题目列式即可． 【详解】解：， 故答案为： ． 4．《九章算术》中有一道“盈不足”问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”译文：几个人一起去购买物品，如果每人出8钱，那么剩余3钱；如果每人出7钱，那么差4钱．问有多少人？物品的价格是多少？若设人数为，物价为，则可列二元一次方程组为：_____． 【答案】 【详解】解：由题意可得方程组为． 类型三、反例与命题形式(选、填) 1．对于命题“如果，那么”，能说明它是假命题的反例是（   ） A． B．， C．， D． 【答案】B 【分析】要说明原命题是假命题，需要找到满足命题条件，但不满足命题结论的例子． 【详解】解：A、，则，满足条件也满足结论，不能作为反例，故A不符合题意； B、，，则，满足条件，但，不满足结论，可以作为反例，故B符合题意； C、，，，不满足条件，不能作为反例，故C不符合题意； D、，不满足条件，不能作为反例，故D不符合题意． 2．下列选项中，可以用来说明命题“若，则”是假命题的反例是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】要判断一个命题是假命题，只需举出满足命题条件，但不满足命题结论的反例即可，本题只需找到满足且的值即可． 【详解】解：∵ 命题“若，则”的反例需要满足条件，同时不满足结论， 当时，，满足条件， 且，不满足结论， ∴ 可以作为该命题是假命题的反例． 3．将命题“对顶角相等”写成“如果……，那么……”的形式________． 【答案】如果两个角是对顶角，那么这两个角相等 【分析】先拆分原命题得到题设与结论，再按照要求改写为“如果……那么……”的形式即可． 【详解】解：命题“对顶角相等”中，题设为两个角是对顶角，结论为这两个角相等， 因此改写为“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”． 4．把命题“互为相反数的两个数的和为零”写成“如果那么”的形式：________． 【答案】如果两个数互为相反数，那么这两个数的和为零 【分析】命题由题设和结论两部分组成，“如果”后接题设，“那么”后接结论，先分离出原命题的题设与结论即可完成改写． 【详解】解：原命题的题设为“两个数互为相反数”，结论为“这两个数的和为零”，因此改写为：如果两个数互为相反数，那么这两个数的和为零． 类型四、统计图的选用、圆心角、组距(选、填、解) 1．为了直观反映小明家一周内各项支出占总支出的百分比，最宜选用（     ） A．扇形统计图 B．条形统计图 C．折线统计图 D．以上都可以 【答案】A 【分析】扇形统计图用于反映各部分占总体的百分比，条形统计图用于体现各项目的具体数目，折线统计图用于反映事物的变化趋势，据此即可解答． 【详解】解：题意要求直观反映一周内各项支出占总支出的百分比，即需要展示各部分占总体的百分比，扇形统计图符合这一需求． 2．杭州某中学为传承宋韵文化，开展（A．宋词诵读，B．书法篆刻，C．宋韵剪纸，D．陶艺制作）四个类型的文化体验活动，从全校学生中随机抽取部分学生进行“最喜爱的活动类型”抽样调查，并根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图．下列说法正确的是（    ） A．本次抽样调查的样本容量为500 B．C类活动所对应的扇形圆心角度数为 C．选择D类活动的学生人数为50人 D．若该校共有初中学生1200人，则该校选择B类活动的学生大约有320人 【答案】B 【分析】根据A类人数求出样本容量，进而求出选择D类活动的学生人数及C类活动所对应的扇形圆心角度数，进而求出样本中选择B类活动的人数，即可求出该校选择B类活动的学生． 【详解】解：由条形图可知A类有100人，由扇形图可知A类占， 样本容量为：，故A选项错误； D类占， 选择D类活动的学生人数为：（人），故C选项错误； C类有140人， C类活动所对应的扇形圆心角度数为：，故B选项正确； 样本中选择B类活动的人数为：（人）， 该校选择B类活动的学生大约有：（人），故D选项错误． 3．某班体育老师准备从40名学生中挑选身高差不多的学生参加广播操比赛，这些学生的身高（单位：）数据中，最小值是154，最大值是176．在列频数分布表时，若组距为6，则可分为__________组． 【答案】4 【详解】解： 结合数据范围需向上取整，因此可分为组． 4．为了解某校八年级学生的生地会考模拟成绩，随机抽取50名学生的测试成绩进行整理和分析（成绩共分成六组：A．，B．，C．，D．，E．，F．） 等级 A B C D E F 分数 人数 9 11 8 5 请根据以上信息，解答下列问题： (1)_____，_____，_____． (2)在扇形统计图中，求D组对应扇形圆心角的度数，并补全频数分布直方图； (3)若该校约有名学生，请估计该次数学水平测试成绩超过分的学生有多少人． 【答案】(1)；； (2)D组对应扇形圆心角的度数为；图见解析 (3)该次数学水平测试成绩超过分的学生约有人 【分析】（1）结合统计图得到A、B、F组的学生数和占比，从而计算出、、； （2）计算出D组的占比，再乘以即可得到圆心角，结合（1）的数据补全频数分布直方图即可； （3）根据样本中超过分的学生占比，乘以全校学生数即可． 【详解】（1）解：由扇形统计图可知，B组占比为，F组的学生有2名，A组的学生有9名， ∴，，， ∴； （2）解：， ∴D组对应扇形圆心角的度数为． 补全频数分布直方图如下： ； （3）解：（人）， 答：该次数学水平测试成绩超过分的学生约有人． 类型五、估算无理数(含整数、小数部分)(选、填、解) 1．估算的整数部分是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题主要考查了无理数的估算． 通过比较平方数估算的范围，从而确定的整数部分． 【详解】解：，，且， ， ， 的整数部分是3． 故选：B． 2．估算的值在（   ） A．9到10之间 B．10到11之间 C．11到12之间 D．12到13之间 【答案】D 【分析】此题主要考查了估算无理数大小，正确得出的取值范围是解题关键． 首先确定，进而得到在12到13之间． 【详解】∵ ∴ ∴ ∴ ∴的值在12到13之间． 故选：D． 3． 经估算，的值在两个相邻整数m和之间，则_______． 【答案】2 【分析】本题主要考查无理数的估算；通过估算的取值范围，确定的值所在区间，从而得到整数即可． 【详解】解：因为，所以， 因此， 于是，即， 故的值在整数2和3之间， 所以． 故答案为：2． 4．阅读材料： 学习了无理数后，某数学兴趣小组开展了一次探究活动：估算的近似值． 小明的方法：∵，设， ∴， ∴， ∴， 解得，， ∴． 问题： (1)请你依照小明的方法，估算的近似值； (2)已知非负整数，，，若，且，结合上述材料估算的近似值（用含，的代数式表示）． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）根据题目信息，找出前后的两个平方数，从而确定出，再根据题目信息近似求解即可； （）根据题目提供的求法，先求出值，然后再加上即可； 本题考查了无理数的估算，解题的关键是读懂题目提供信息，然后根据信息中的方法改变数据即可，找出一般性的方法解决问题． 【详解】（1）解：∵， 设， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴； （2）解：设， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴． 类型六、相交线的计算(选、填、解) 1．直线、相交于，平分，过点作，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用对顶角的性质可求得的度数，由角平分线的性质得出的度数，再利用垂直定义得出的度数，最后根据求解即可． 【详解】解：直线、相交于，， ， 平分， ， ， ， ， 故选：D． 2．如图，直线，相交于点O， 射线平分，．  若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接利用角平分线的性质得出，进而利用垂直的定义得出的度数． 【详解】解：平分，， ， ， ， ． 3．如图，直线与相交于点O，是的平分线，，． （1）若，则的度数为_______； （2）若，则的度数为_______．（用含的式子表示） 【答案】 /度 / 【分析】（1）由邻补角的定义可得，由垂直的定义可得，再运用角的和差即可解答； （2）由邻补角的定义可得，利用角平分线的定义可得，由垂直的定义可得，再运用角的和差即可解答． 【详解】解：（1）∵与是邻补角，且， ∴ ， ∵， ∴， ∴． （2）∵与是邻补角，且， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴． 4．如图，已知直线相交于点O，，垂足为O． (1)若，求的大小； (2)若，求的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由垂线的定义得到，再由平角的定义可得答案； （2）根据邻补角互补和已知条件求出的度数，由垂线的定义得到，则可求出的度数，再由邻补角互补可得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， 又∵， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 类型七、平行线的性质求角度(选、填、解) 1．将一副标准三角板按如图所示摆放在两条平行线内，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由三角板可知，，再根据两直线平行,内错角相等得，计算求解即可． 【详解】解：如图，标记各点， 由三角板可知，， ， ， ， ， ． 2．如图，，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两直线平行内错角相等得到，再根据垂直的定义得到，即可求出答案． 【详解】解：∵，， ∴ ∵， ∴， ∴． 3．如图，，，延长交的平分线于点．若，，则______． 【答案】 【分析】如图，过作，记的交点为，过作，过作，再进一步求解即可. 【详解】解：如图，过作，记的交点为，过作，过作， ∵， ∴， 而， ∴，，，， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴. 4．如图，直线，相交于点B，直线，相交于点E，于点P，连接，，． (1)若，请求出的度数； (2)若，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）由得，，故； （2）由得，，故，因为，所以，故． 【详解】（1）解：， ， ； （2）证明：， ， ， ， ， ， ， ∴． 类型八、平行线的判定(含添加条件)(选、填、解) 1．如图，下列能判定的条件有（ ） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】逐个分析每个条件，结合平行线的判定方法，判断能否推出． 【详解】解：①，∴（同旁内角互补，两直线平行），无法判定，不符合题意； ②，∴（内错角相等，两直线平行），无法判定，不符合题意； ③，∴（内错角相等，两直线平行），符合题意； ④，∴（同位角相等，两直线平行），符合题意． 综上所述，能判定的条件有2个． 2．如图，下列条件中，能判定的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A. ，不能判定两直线平行，故该选项不正确，不符合题意； B. ∵， ∴，故该选项正确，符合题意；     C. ∵， ∴，不能判定，故该选项不正确，不符合题意；     D. 由，不能判定两直线平行，故该选项不正确，不符合题意； 3．如图，，O是上一点，且直线与的夹角，则直线绕点O按逆时针方向至少旋转 _________，才能使． 【答案】22 【分析】利用平行线的性质得出同位角相等，然后利用角的和差求解． 【详解】解：当时，， ∴． 4．如图，点F在上，交于G，交于E，，，．完成下面的证明，括号内填根据． 证明：（已知）， ．（等式性质1）， 又（已知）， ________（__________________）， （______________）， （已知）， __________________（______________）， （如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）． 【答案】证明过程见解析 【分析】根据平行线的判定与性质补全证明过程即可． 【详解】证明：（已知）． （等式性质1）， 又（已知）， （等量代换）， （内错角相等，两直线平行）， （已知）， （同旁内角互补，两直线平行）， （如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）． 类型九、新定义运算(选、填、解) 1．定义一种运算：当时，；当时，．如，．根据定义求不等式的解，其正确的解是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了新定义，解不等式，分若，即和若，即两种情况分析即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：若，即恒成立， ∴， ， 若，即， ∴， ∴无解， 综上可得：， 故选：． 2．对于有理数x，y定义一种新运算：，其中a，b为常数．已知，，则的值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】A 【分析】根据新定义可得方程组，解方程组求出a、b的值即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 得，解得， 把代入①得，解得， ∴原方程组的解为， ∴． 3．对定义一种运算，规定（其中为非零常数），如，若，则的值为______． 【答案】8 【分析】本题以新运算为载体，考查了二元一次方程组的解法，正确得出方程组是解题的关键．根据新运算法则可得关于的方程组，解方程组可得的值，再根据新运算求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， 得：， ∴， 把代入①得：， ∴， ∴， ∴的值为8． 故答案为：8． 4．新定义型阅读理解题：已知任意实数，，定义的含义为当时，，当时，． (1) (2)若，求的取值范围； (3)求的最大值． 【答案】(1) (2) (3)3 【分析】（）根据新定义的含义解答即可； （）根据新定义的含义建立不等式即可解答； （3）根据新定义的含义分情况讨论即可． 【详解】（1）解：； （2）解：∵， ∴， ∴； （3）解：①当时，解得， ， ②当时，解得， ∴， ∴， 综上所述，的最大值为． 类型十、二元一次方程组与不等式的结合应用(选、填、解) 1．已知，且，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解不等式（组），熟练掌握解二元一次方程组的方法是关键． 先根据加减消元法解二元一次方程组，再将值代入，求不等式组即可得出答案． 【详解】解：， ，得 解得：， 将代入①，得， 解得：， ， ， ， ． 故选A． 2．若关于x、y的方程组的解满足，则整数m的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的解以及解二元一次方程组和一元一次不等式，掌握二元一次方程组的解法是解题关键．将方程组中的两个方程相加可得，再根据方程组解的情况得到关于的不等式，求最小整数解即可． 【详解】解：， 由得：， 方程组的解满足， ， 解得：， 整数m的最小值为2， 故选：B． 3．已知关于、的方程组的解满足，则的取值范围是___． 【答案】 【分析】根据加减消元法，得出，再结合，得到关于的不等式求解即可． 【详解】解：， 由得：， ， ， ， 4．为丰富校园文化生活，落实阳光体育教育，增强全体学生体能，某校开展特色大课间活动．学校需要统一购买一批排球和跳绳作为运动设备，已知购进1个排球和3根跳绳共花费60元，购进2个排球和1根跳绳共花费70元． (1)求购进的排球和跳绳的单价； (2)学校现需购进这两种运动设备共100个，并且购买费用不超过2200元，则最多购买多少个排球？ 【答案】(1)排球单价为30元，跳绳单价为10元 (2)最多购买60个排球 【分析】（1）设出排球和跳绳的单价，根据题干给出的两种购买花费列出二元一次方程组，求解即可得到单价； （2）设出购买排球的数量，结合总数量和总费用的限制列出一元一次不等式，求解得到最大整数解即可得到结果． 【详解】（1）解：设排球单价为元，跳绳单价为元 根据题意可得 解得 答：排球单价为30元，跳绳单价为10元； （2）解：设购买排球个，则购买跳绳个 根据题意可得， 解得 答：最多购买60个排球． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末考前满分冲刺之基础常考和中等易错题 【基础常考】 类型一、普查、抽样调查、个体与样本容量(选、填) 1．河南省位于中国中东部，拥有丰富的历史文化和自然景观，其中洛阳以千年古都闻名，安阳以殷墟遗址和中国文字博物馆著称，开封曾是北宋都城，充满武侠文化氛围．为了解游客在开封、洛阳和安阳这三个城市旅游的满意度，数学小组的同学商议了几个收集数据的方案，其中下面四个方案相比，最合理的是（    ） A．在开封调查1000名游客 B．在洛阳调查1000名游客 C．在安阳调查1000名游客 D．在三个城市各调查1000名游客 2．下列调查中最适合采用全面调查的是（     ） A．某批次汽车的抗撞击能力 B．某鞋厂生产的鞋底能承受的弯折次数 C．某班名同学的身高情况 D．全国中学生视力和用眼卫生情况 3．每年4月23日是“世界读书日”，为了解某校八年级1200名学生对“世界读书日”的知晓情况，从中随机抽取了400名学生进行调查，在这次调查中，样本容量是______． 4．某校为了鼓励学生课外阅读，学校公布了“阅读奖励”方案，并设置了“赞成、反对、无所谓”三种意见．校学生会从学校所有2400名学生中，随机征求了100名学生的意见，其中持“反对”和“无所谓”意见的共有25名学生，则全校持“赞成”意见的学生人数约为______人． 类型二、不等式的基本性质与解集表示(选、填) 1．若，则下列不等式不正确的是（   ） A． B． C． D． 2．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 3．已知是不等式的一个解，请写出一个符合条件的的值______． 4．若，，则的取值范围是_____． 类型三、定义、真假命题(选、填) 1．下列命题中：①内错角相等，两直线平行；②相等的角是对顶角；③垂线段最短；④经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．其中真命题的个数有（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．下列语句中不是定义的是（    ） A．只有符号不同的两个数互为相反数 B．大于的数叫作正数 C．对顶角相等 D．几个单项式的和叫作多项式 3．命题“两直线平行，同位角相等”是 _______（填“真”或“假”）命题． 4．请你取一个a的值，说明命题“”是假命题，那么______．（写出一个符合题意的数即可） 类型四、无理数的定义与数轴表示(选、填) 1．在实数（相邻两个1之间依次增加一个0），，0，，0.12，中，无理数的个数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．下列各数中，是无理数的是（   ） A． B． C． D． 3．如图，以1个单位长度为边长画一个正方形，以原点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧，与正半轴交于点，与负半轴的交点为，已知交点表示的数为，则交点表示的数为___________． 4．已知实数在数轴上的位置如图所示，则 _____． 类型五、实数、(算术)平方根、立方根的定义(选、填、解) 1．的相反数是（   ） A． B． C． D． 2．的平方根是（   ） A． B． C． D． 3．若，则的立方根为__________． 4．已知的一个平方根是2，的立方根是． (1)求a，b的值． (2)求的平方根． 类型六、图形与点的平移一含作图(选、填、解) 1．国家要实施“体重管理年”计划，呼吁大家积极参与运动．下列各组运动图标中，能将其中一个图形只经过平移得到另一个图形的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，已知A，B两点的坐标分别为，，将线段平移得到线段．若点A的对应点是，则点B的对应点D的坐标是（    ） A． B． C． D． 3．如图，将直角梯形沿方向平移得到图形的位置，，，，则阴影部分的面积为______． 4．如图，在边长为1个单位长度的小正方形网格中，建立平面直角坐标系．已知三角形的顶点坐标分别为，， (1)把三角形向右平移5个单位长度，再向下平移4个单位长度得到三角形，请画出三角形； (2)请直接写出点，，的坐标； (3)若点M是三角形边上一点，经过平移后，点对应的点的坐标是____． 类型七、点、象限、坐标轴的关系(选、填、解) 1．在平面直角坐标系中，点所在的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．在平面直角坐标系中，如果点在轴上，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．若，则点到y轴的距离是_______． 4．在平面直角坐标系中，已知点． (1)若点M在x轴上，求点M的坐标； (2)若点M到y轴的距离为3，求点M的坐标； (3)若点M到坐标轴的距离相等，求点M的坐标． 类型八、解二元一次方程(组)(选、填、解) 1．用代入消元法解二元一次方程组，下列变形正确的是（   ） A．由①得 B．由①得 C．由②得 D．由②得 2．若是关于，的二元一次方程的解，则的值为（    ） A．5 B． C． D．7 3．已知关于x和y的二元一次方程组的解满足，则__________． 4．解方程组： (1)； (2)． 类型九、实数运算(选、填、解) 1．下列式子正确的是（　　） A． B． C． D． 2．，那么（   ） A． B． C． D． 3．计算：_____． 4．计算及解方程： (1)计算：． (2)解方程： 类型十、解不等式(组)(选、填、解) 1．不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 2．方程组的解满足，则的取值范围为（） A． B． C． D． 3．不等式组的整数解为___． 4．解下列不等式（组），并将它们的解集在数轴上表示出来． (1)； (2)． 【中等易错】 类型一、二元一次方程的定义与代数式表示(选、填) 1．下列方程中，属于二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．下列方程组中是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 3．已知是关于、的二元一次方程，则________． 4．由，得到用x表示y的式子为______． 类型二、列方程组与不等式表示数量关系(选、填) 1．《孙子算经》记载：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？译文：今有若干人乘车，若每3人乘一辆车，最终剩余2辆车；若每2人乘一辆车，最终剩余9人无车可乘．问共有多少人？多少辆车？若设有x人，y辆车，则可列方程组为（ ） A． B． C． D． 2．语句“与3的差的2倍是非负数”，用不等式可表示为（     ） A． B． C． D． 3．用不等式表示“与3的差不大于的2倍”：______________． 4．《九章算术》中有一道“盈不足”问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”译文：几个人一起去购买物品，如果每人出8钱，那么剩余3钱；如果每人出7钱，那么差4钱．问有多少人？物品的价格是多少？若设人数为，物价为，则可列二元一次方程组为：_____． 类型三、反例与命题形式(选、填) 1．对于命题“如果，那么”，能说明它是假命题的反例是（   ） A． B．， C．， D． 2．下列选项中，可以用来说明命题“若，则”是假命题的反例是（    ） A． B． C． D． 3．将命题“对顶角相等”写成“如果……，那么……”的形式________． 4．把命题“互为相反数的两个数的和为零”写成“如果那么”的形式：________． 类型四、统计图的选用、圆心角、组距(选、填、解) 1．为了直观反映小明家一周内各项支出占总支出的百分比，最宜选用（     ） A．扇形统计图 B．条形统计图 C．折线统计图 D．以上都可以 2．杭州某中学为传承宋韵文化，开展（A．宋词诵读，B．书法篆刻，C．宋韵剪纸，D．陶艺制作）四个类型的文化体验活动，从全校学生中随机抽取部分学生进行“最喜爱的活动类型”抽样调查，并根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图．下列说法正确的是（    ） A．本次抽样调查的样本容量为500 B．C类活动所对应的扇形圆心角度数为 C．选择D类活动的学生人数为50人 D．若该校共有初中学生1200人，则该校选择B类活动的学生大约有320人 3．某班体育老师准备从40名学生中挑选身高差不多的学生参加广播操比赛，这些学生的身高（单位：）数据中，最小值是154，最大值是176．在列频数分布表时，若组距为6，则可分为__________组． 4．为了解某校八年级学生的生地会考模拟成绩，随机抽取50名学生的测试成绩进行整理和分析（成绩共分成六组：A．，B．，C．，D．，E．，F．） 等级 A B C D E F 分数 人数 9 11 8 5 请根据以上信息，解答下列问题： (1)_____，_____，_____． (2)在扇形统计图中，求D组对应扇形圆心角的度数，并补全频数分布直方图； (3)若该校约有名学生，请估计该次数学水平测试成绩超过分的学生有多少人． 类型五、估算无理数(含整数、小数部分)(选、填、解) 1．估算的整数部分是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．估算的值在（   ） A．9到10之间 B．10到11之间 C．11到12之间 D．12到13之间 3． 经估算，的值在两个相邻整数m和之间，则_______． 4．阅读材料： 学习了无理数后，某数学兴趣小组开展了一次探究活动：估算的近似值． 小明的方法：∵，设， ∴， ∴， ∴， 解得，， ∴． 问题： (1)请你依照小明的方法，估算的近似值； (2)已知非负整数，，，若，且，结合上述材料估算的近似值（用含，的代数式表示）． 类型六、相交线的计算(选、填、解) 1．直线、相交于，平分，过点作，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．如图，直线，相交于点O， 射线平分，．  若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．如图，直线与相交于点O，是的平分线，，． （1）若，则的度数为_______； （2）若，则的度数为_______．（用含的式子表示） 4．如图，已知直线相交于点O，，垂足为O． (1)若，求的大小； (2)若，求的大小． 类型七、平行线的性质求角度(选、填、解) 1．将一副标准三角板按如图所示摆放在两条平行线内，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．如图，，，若，则（   ） A． B． C． D． 3．如图，，，延长交的平分线于点．若，，则______． 4．如图，直线，相交于点B，直线，相交于点E，于点P，连接，，． (1)若，请求出的度数； (2)若，求证：． 类型八、平行线的判定(含添加条件)(选、填、解) 1．如图，下列能判定的条件有（ ） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如图，下列条件中，能判定的是（     ） A． B． C． D． 3．如图，，O是上一点，且直线与的夹角，则直线绕点O按逆时针方向至少旋转 _________，才能使． 4．如图，点F在上，交于G，交于E，，，．完成下面的证明，括号内填根据． 证明：（已知）， ．（等式性质1）， 又（已知）， ________（__________________）， （______________）， （已知）， __________________（______________）， （如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）． 类型九、新定义运算(选、填、解) 1．定义一种运算：当时，；当时，．如，．根据定义求不等式的解，其正确的解是（　　） A． B． C． D． 2．对于有理数x，y定义一种新运算：，其中a，b为常数．已知，，则的值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 3．对定义一种运算，规定（其中为非零常数），如，若，则的值为______． 4．新定义型阅读理解题：已知任意实数，，定义的含义为当时，，当时，． (1) (2)若，求的取值范围； (3)求的最大值． 类型十、二元一次方程组与不等式的结合应用(选、填、解) 1．已知，且，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．若关于x、y的方程组的解满足，则整数m的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．已知关于、的方程组的解满足，则的取值范围是___． 4．为丰富校园文化生活，落实阳光体育教育，增强全体学生体能，某校开展特色大课间活动．学校需要统一购买一批排球和跳绳作为运动设备，已知购进1个排球和3根跳绳共花费60元，购进2个排球和1根跳绳共花费70元． (1)求购进的排球和跳绳的单价； (2)学校现需购进这两种运动设备共100个，并且购买费用不超过2200元，则最多购买多少个排球？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $