专题5 立体几何外接球内切球【14大核心题型】讲义-2025-2026学年高一数学下学期人教A版必修第二册

该高中数学讲义通过模块式框架系统梳理立体几何外接球与内切球知识，以14个核心题型为脉络，整合直棱柱、正四面体、长方体等模型的基础知识与方法技巧，用模型归类图呈现“补形法”“勾股定理”等关键联系，突出重难点分布。 讲义亮点在于“模型-例题-练习”分层设计，如直棱柱外接球用“球心为上下底面外心连线中点”模型，结合山东、广西等地期中题巩固，培养空间观念与推理能力。课后检测覆盖多球相切等难点，基础生可掌握公式应用，优生能突破轨迹问题，助力教师精准教学与学生自主复习。

专题5 立体几何外接球内切球 总览 题型·解读 【重难点突破】2025-2026学年高一下学期数学常考题型 1 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型汇编 知识梳理与常考题型 模块一 外接球与内切球 【题型1】直棱柱和圆柱外接球 基础知识 方法技巧 1核心模型：直棱柱/圆柱的外接球球心为上下底面外接圆圆心连线的中点 2半径公式：其中为底面外接圆半径为棱柱/圆柱的高 3底面处理：底面为三角形时先求三角形外接圆半径；底面为正多边形时利用中心到顶点距离求 4易错点：注意区分直棱柱与斜棱柱斜棱柱无通用中点模型需用空间坐标法求解 典型例题 【例题 1】（25-26高一下·山东烟台·期中）已知正三棱柱，，，则其外接球表面积为______. 【答案】 【分析】设底面外接圆半径为，正三棱柱外接球的半径为，利用正弦定理求出，再根据求出，进而得到表面积． 【详解】设底面外接圆半径为，正三棱柱外接球的半径为， 则，解得， ， 则其外接球表面积为． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高一下·广西南宁·期中）已知直三棱柱的6个顶点都在球O的球面上，若，，，，则球O的表面积为______________． 【答案】 【详解】由题意，直三棱柱，，所以直三棱柱可以补成以、、为棱的长方体， 则球O为该长方体的外接球，设球O的半径为R，则， 所以球O的表面积为． 【巩固练习2】（25-26高二下·四川德阳·阶段检测）已知直三棱柱的各顶点都在一个球面上，且，，，则这个球的表面积为______. 【答案】 【分析】利用正弦定理可得的外接圆的半径，在直角三角形 中，根据勾股定理可得球半径，进而可求表面积. 【详解】设的外心分别为,连接，可知外接球的球心为的中点， 连接 在，由，， 可得 由正弦定理可得的外接圆的半径, 在直角三角形中，外接球的半径, 所以直三棱柱的外接球的表面积为, 【题型2】 正四面体的内切球和外接球结论 基础知识 在棱长为a的正四面体中 设正四面体的的棱长为，则有 1、正四面体的高为； 2、正四面体外接球半径为 3、正四面体内切球半径为； 4、正四面体体积 典型例题 【例题1】（25-26高一下·广东梅州·期中）设某正四面体的内切球的体积为，则该正四面体的棱长为（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】C 【分析】由球的体积公式求得球的半径，再通过正四面体体积确定棱长和半径的关系，即可求解. 【详解】球的体积公式为， 由题意内切球体积， 代入得： ，整理得： 设正四面体棱长为，高为 如图为正四面体，为的中心， 根据正弦定理知的外接圆半径， 所以， 设是正四面体PABC的内切球球心，内切球半径为， 则根据等体积法得： ． 故 对两边立方得： 将​代入上式，得： 因此该正四面体的棱长为. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高一下·山东济宁·期中）已知三棱锥的各棱长均为，且其外接球的体积为，则__________. 【答案】2 【详解】因为外接球的体积为，设外接球半径为， 可得，解得. 如图所示，正三棱锥的外接球，以及底面外接圆圆心， 可知， 在中，， 可得， 在中，可知，即， 化简得，因为，解得. 【巩固练习2】（25-26高一下·福建泉州·期中）若正四面体的表面积为，则①该正四面体的棱长为1；②该正四面体的高为③该正四面体的体积为④该正四面体的外接球表面积为正确的序号有__________. 【答案】①③④ 【分析】设该正四面体的棱长为，根据正四面体的性质结合已知得到的值； 作平面，在直角三角形中利用勾股定理得到；根据锥体的体积公式即可得解；将该四面体放入正方体中，四面体的外接球即为正方体的外接球，从而求出外接球的半径，利用球的表面积公式求解即可. 【详解】设该正四面体的棱长为，则其表面积为，所以，①正确； 作平面，垂足为，则为的重心， 连接延长交于中点， 则有， 高为，②错误； 由①和②的分析可知该正四面体的体积为，③正确； 将该四面体放入正方体中，则正方体的棱长为， 且四面体的外接球即为正方体的外接球，其半径为， 表面积为，④正确. 【题型3】长方体的两大外接球模型 基础知识 （1）墙角模型 长方体的外接球（三条棱两两垂直，不找球心的位置即可求出球半径） 方法：找三条两两垂直的线段，直接用公式，即，求出 （2）对棱相等模型（补形为长方体） 题设：三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径（，，） 第一步：画出一个长方体，标出三组互为异面直线的对棱； 第二步：设出长方体的长宽高分别为，，，， 列方程组，， 补充：. 第三步：根据墙角模型，，， ，求出. 典型例题 【例题1】（25-26高一下·天津红桥·期中）设长方体的长、宽、高分别为2，1，1，其顶点都在一个球面上，则该球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，求得长方体的对角线长为，结合长方体的性质，求得，利用球的体积公式，即可求解. 【详解】由长方体的长、宽、高分别为2，1，1，可得长方体的对角线长为， 设长方体的外接球的半径为，可得，解得， 所以该球的体积为. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高一下·安徽合肥·期中）已知四面体中，，且四点都在球的球面上，则球的表面积为_________． 【答案】 【分析】把四面体放置在一个长方体中，得到四面体的外接球即为该长方体的外接球，设外接球的半径为，结合长方体的性质，求得，结合球的表面积公式，即可求解. 【详解】把四面体放置在一个如图所示的长方体中， 可得四面体的外接球即为该长方体的外接球， 设长方体的长、宽、高分别为，且外接球的半径为 因为， 可得，三式相加，可得，即， 所以，所以， 所以四面体外接球的表面积为. 【巩固练习2】（2026高一·全国·专题练习）在三棱锥中，已知，，，则该三棱锥外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意得到三棱锥的对棱相等，可知该三棱锥可置于一个长方体中，再求长方体外接球的体积即可. 【详解】由题意可知：，，， 则三棱锥可放置在如图所示的长方体中， 设三棱锥三组对棱的长分别为，，， 由对棱相等模型，，，， 即，所以长方体的体对角线平方为：， 即体对角线长为，则， 该三棱锥外接球的体积. 故选：B. 【题型4】正棱锥与圆锥的外接球（球心在高上） 基础知识 正棱锥，圆锥模型 题设：如图这七个图形，的射影是的外心三棱锥的 三条侧棱相等三棱锥的底面在圆锥的底上，顶点点也是圆锥的顶点. 解题步骤： 第一步：确定球心的位置，取的外心，则三点共线； 第二步：先算出小圆的半径，再算出棱锥的高（也是圆锥的高）； 第三步：勾股定理：，解出 方法二：小圆直径参与构造大圆，用正弦定理求大圆直径得球的直径. 典型例题 【例题1】（25-26高三上·山西晋中·期末）已知正三棱锥与正三棱锥的底面重合，且，分别在底面的两侧，，两个三棱锥的体积之比为，若点，，，，都在球的球面上，则球的表面积为__________. 【答案】 【分析】由题意得到为球的直径，由两个三棱锥的体积之比为得到， 从而得到，在中，利用勾股定理建立的等式，解出，利用球的表面积公式求解. 【详解】正三棱锥与正三棱锥的底面重合，且，分别在底面的两侧， 点，，，，都在球的球面上， 为球的直径， 设球的半径为，则， 设为的中心，则平面，平面， 两个三棱锥的体积之比为，， ， 在中，连接并延长交于点，，则， 为的中心，为的重心，， 在中，， ，，， . 故答案为： . 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高三上·浙江宁波·期末）一个正四棱锥的所有顶点都在球面上，该正四棱锥的底面边长为，侧棱长为2，则球的表面积为_____. 【答案】 【分析】求出正四棱锥的高，结合球的定义以及勾股定理求出半径，最后利用表面积公式计算即可. 【详解】如图，正四棱锥，则平面， 因为平面，所以， 因为，所以，， 因为，所以在中，， 设外接球球心为，则必在直线上， 由可知，， 得，即外接球半径为， 故外接球的表面积为. 故答案为： 【巩固练习2】（25-26高三上·天津南开·期末）正四棱锥的体积为8，，若该四棱锥的顶点均在一个球面上，则这个球的表面积为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意画出图形，由体积可算得正四棱锥的高，再由勾股定理可求得外接球的半径，进而求得其表面积. 【详解】如图，设为外接球球心，底面于点，设， 由正四棱锥的体积为8，即，解得，则， 又，所以，， 在中，，即，解得， 所以外接球的表面积为. 故选：C. 【题型5】圆台，正棱台外接球模型（球心在高线上） 基础知识 圆台，棱台外接球 ，其中分别为圆台的上底面、下底面、高． 基本规律:正棱台外接球，以棱轴截面为主 注：若球心位置不确定，也可以直接设，若解出来为负数则说明球心在另一侧 方法技巧 1模型特征：球心在上下底面圆心的连线上利用球心到上下底面顶点距离相等列方程 2通用公式：设上下底面外接圆半径为台高为球心到下底面距离为则解方程求再得 3特殊情况：圆台可看作圆锥截去部分利用圆锥外接球模型推导简化计算 4注意事项：台体需满足上下底面平行且为相似正多边形否则无法用此模型 典型例题 【例题1】（2026·四川雅安·一模）在正四棱台中，，，，则该正四棱台的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】取中点分别为，连接，过作平面的垂线，垂足为，设正四棱台外接球的球心为，半径为，则在直线上，又，利用勾股定理求出即可求出从而得解. 【详解】正四棱台中，取中点分别为，连接， 由，，，可得，， 过作平面的垂线，垂足为，则点在上，且， 所以， 设正四棱台外接球的球心为，半径为， 由对称性可知球心在直线上， 若球心在线段上，则，此时无正数解， 所以球心在的延长线上，则， 即，解得， 所以， 所以该外接球的表面积为， 故选：B 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高三上·江西鹰潭·月考）已知正三棱台的高为2，上､下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可求出正三棱台上下底面所在圆面的半径，再根据球心距，圆面半径，以及球的半径之间的关系，即可解出球的半径，从而得出球的表面积． 【详解】设正三棱台上下底面所在圆面的半径，所以， 即，设球心到上下底面的距离分别为，球的半径为， 所以，，故或， 即， 又，即， 即， 平方可得：，解得； 即，即， 平方得，无解， 所以球的表面积为． 故选：B． 【巩固练习2】（25-26高三上·贵州遵义·月考）圆台的上、下底面半径分别为、，且，母线，圆台的表面积为，若球为圆台的外接球，且球心在圆台内部，则该球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图，根据圆台的表面积公式和勾股定理求出球的半径，结合球的表面积公式计算即可求解. 【详解】如图，设圆台的高为，上、下底面圆的圆心分别为，圆台外接球的半径为， 圆台的表面积为， 解得，，则. 由图可知， 有，即， 解得，则， 所以外接球的表面积为. 故选：C 【题型6】垂面型外接球模型（棱锥的一条侧棱垂直底面）（可补型成直棱柱） 基础知识 题设：如图，平面，求外接球半径.（一条侧棱垂直底面） 解题步骤： 第一步：将画在小圆面上，为小圆直径的一个端点，作小圆的直径，连接，则必过球心； 第二步：为的外心，所以平面，算出小圆的半径（三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得），； 第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①； ②. 典型例题 【例题1】（25-26高二上·贵州遵义·月考）在三棱锥中，平面ABC，，，，则三棱锥的外接球的体积为______. 【答案】 【分析】求出，可得外接圆的半径，从而可求该三棱锥的外接球的半径．即可求出体积． 【详解】， . 由正弦定理可知，的外接圆的直径，因此半径. 平面， 该三棱锥的外接球的半径， 则三棱锥的外接球的体积. 故答案为：. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高二上·贵州遵义·期中）四面体中，平面，，，，则该四面体的外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过的外接圆圆心，作直线平面，可得，在中，利用正弦定理求出外接圆半径，利用勾股定理即可求出外接球半径，再利用球的表面积公式即可求解. 【详解】如图所示，圆为的外接圆，过作直线平面， 又平面，则，连接，与球交于点，连接，与直线的交点为球心，则，则， 在中，由正弦定理得，即， 所以该四面体的外接球的半径, 所以外接球的表面积. 故选：C. 【巩固练习2】（24-25高一下·吉林松原·期末）在三棱锥中，已知平面，，.若该三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将三棱锥补成长方体，计算出长方体的体对角线长，即为该三棱锥外接球的直径，再结合球体表面积公式可得结果. 【详解】因为，，所以，故， 又因为平面，，将三棱锥补成长方体，如下图所示： 所以三棱锥的外接球直径即为长方体的体对角线长， 设三棱锥的外接球半径为， 则，故， 因此该球的表面积为. 故选：D. 【题型7】面面垂直模型（利用两个过外心的垂线确定球心） 基础知识 方法技巧 1模型特征：两个互相垂直的平面分别取两个面内三角形的外心过外心作各自平面的垂线两垂线交点即为球心 2通用步骤： 分别求两个面内三角形的外接圆半径 过外心作各自平面的垂线利用面面垂直的性质确定球心位置 结合两平面交线长度用勾股定理求外接球半径 3关键应用：当棱锥有两个面互相垂直时优先使用此方法避免复杂计算 4坐标法辅助：建立空间直角坐标系设球心坐标为利用到各顶点距离相等列方程求解 典型例题 【例题1】（2026·辽宁抚顺·二模）如图，在三棱锥中，平面平面，和都是等腰三角形，且，，，则三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过面面垂直确定球心的大致位置，在直角三角形中利用勾股定理可求球的半径，结合表面积公式可得答案. 【详解】如图，由题可知，外接圆的圆心O是的中点. 设三棱锥外接球的球心为，连接，则平面. 过A作，与的延长线交于点，则由平面平面，可得平面. 因为，，所以，. 取的中点E连接，，可得，， 则. 设，连接，，则，解得， 故三棱锥外接球的表面积为. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（2026·天津红桥·二模）已知四棱锥的底面是边长为的正方形，侧面是等边三角形，且侧面底面，则四棱锥的外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取侧面和底面正方形的外接圆的圆心分别为，分别过作两个平面的垂线交于点，点即为该球的球心，求出长度，由勾股定理可求出四棱锥外接球的半径，再由球的表面积公式可得出答案． 【详解】 如图，在四棱锥中， 取侧面和底面正方形的外接圆的圆心分别为， 分别过作两个平面的垂线交于点，则由外接球的性质知， 点即为该球的球心，连接并延长，交于，则是线段的中点， 连接，则四边形为矩形， 在等边中，可得，则，即， 在正方形中，因为，可得， 在中，，即， 所以四棱锥外接球的表面积为． 【巩固练习2】（2026·安徽合肥·二模）如图，点均在球的表面上，，，平面平面，则球的体积为___________． 【答案】/ 【分析】根据面面垂直的性质、线面垂直的判定定理和性质、勾股定理的逆定理、平行线的性质建立空间直角坐标系，结合球的性质，利用空间两点间距离公式、球的体积公式进行求解即可. 【详解】取的中点为， 因为，所以， 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面. 因为，， 所以，因此， 因为平面，平面， 所以，因为平面， 所以平面，而平面， 所以，， . 在平面内，过作，交于点， 所以， 所以可以建立如图所示的空间直角坐标系， 于是有， 设，显然有， 所以有， 所以球的半径为， 所以球的体积为. 【题型8】共斜边拼接外接球模型 基础知识 两直角三角形拼接在一起(斜边相同,也可看作矩形沿对角线折起所得三棱锥)模型 题设：如图，，求三棱锥外接球半径（分析：取公共的斜边的中点，连接，则，为三棱锥外 典型例题 【例题1】将长､宽分别为4和3的长方形沿对角线折起，得到四面体，则四面体的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】折叠后的四面体的外接球的半径，就是长方形ABCD对角线AC的一半，求出球的半径即可求出球的表面积． 【详解】由题意可知，直角三角形斜边的中线是斜边的一半， ∴长宽分别为3和4的长方形ABCD沿对角线AC折起二面角，得到四面体A﹣BCD， 则四面体A﹣BCD的外接球的半径AC＝， 所求球的表面积为 故选：B 【点睛】本题考查球的内接多面体，求出球的半径，是解题的关键，考查空间想象能力，计算能力，属于基础题. 巩固练习 题型 【巩固练习1】将长宽分别为和的长方形沿对角线折起，得到四面体，则四面体外接球的表面积为 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】分析：首先应该能够分析得到折叠后所得的四面体的外接球的球心的位置在矩形对角线AC的中点处，从而得到其外接球的半径为矩形对角线AC的一半，从而求得其半径，之后应用球的表面积公式求得结果. 详解：由题意可知，直角三角形斜边的中线是斜边的一半， 所以长宽分别为2和1的长方形沿对角线AC折起，得到四面体， 则四面体的外接球的球心O为AC的中点，半径， 所以四面体的外接球的表面积为，故选B. 点睛：该题考查的是有关几何体的外接球的有关问题，首先要明白几何体的外接球的球心到各顶点的距离是相等的，对于该题能够发现，在折叠的过程中，对角线的中点到四个顶点的距离始终保持是相等的，从而判断得到外接球的球心的位置，从而得到半径，代入公式求得结果. 【巩固练习2】若矩形的对角线交点为，周长为，四个顶点都在球的表面上，且，则球的表面积的最小值为 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先利用矩形求出外接圆的小圆半径，进一步利用基本不等式求出球的半径，进一步求出球的表面积的最小值． 【详解】如图，设矩形的两邻边分别为，，则，且外接圆的半径． 由球的性质得，平面，所以球的半径． 由均值不等式得，，所以， 所以，当且仅当时，等号成立． 所以球的表面积的最小值为， 故选． 【点睛】本题考查的知识要点：球的表面积公式的应用，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． 【题型9】棱锥，棱台内切球问题 基础知识 正棱锥的内切球 如图，四棱锥是正四棱锥，求其内切球的半径 相似法（通法） 第一步：先现出内切球的截面图，三点共线； 第二步：求，，是侧面的高； 第三步：由相似于，建立等式：，解出 等体积法（通法） 若三棱锥是任意三棱锥，求其的内切球半径（最优法） 方法：等体积法，即内切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积之和相等 第一步：先画出四个表面的面积和整个锥体体积； 第二步：设内切球的半径为，建立等式： 第三步：解出 内切球之圆台，棱台模型 首先需要明确，并不是所有的圆台都有内切球，如果一个圆台又矮又胖，最多只能找到一个与上下底面相切的球，无法做到与所有母线相切，圆台内切球指的是与圆台上下底面和每条母线均相切的球。如下图所示： 此时圆台的上下底面圆的半径与圆台的高必须满足一定关系，下面进行详细分析，为了分析方便，采用平面辅助法，上图的轴截面如下： 假设上底面圆半径为r2，下底面圆半径为r1，内切球半径为R，圆台的高为h，母线长为l。上图轴截面是等腰梯形的内切圆，点E，F，G为切点，可得如下全等关系： ； 由射影定理可得： 典型例题 【例题1】（25-26高一下·海南海口·期中）已知球内切于圆台（即球与圆台的上、下底面及侧面均相切），且圆台上、下底面半径之比为2：5. 设圆台的侧面积为，球的表面积为，则=__________. 【答案】 【分析】画出圆台的轴截面图，由几何知识可确定球的半径，再计算对应圆台的侧面积，球的表面积，即可得答案. 【详解】设上底半径，下底半径 . 由圆台内切球的轴截面性质知，圆台母线长 ， 圆台的高（为球的半径） 由勾股定理得： ， 因此球半径 ， 所以圆台侧面积， 球的表面积， 所以=. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高二上·广东广州·期末）已知在正四棱台中，，若此正四棱台存在内切球，则此正四棱台的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据正四棱台存在内切球的条件求出正四棱台的高，再代入正四棱台的体积公式计算体积. 【详解】 正四棱台存在内切球，取,,,的中点，分别为,，,点，上底面与球相切的点为点，由此获得一个含内切圆的等腰梯形截面图，如上图所示，而梯形有内切圆的充要条件：上底下底两腰之和； ，，则，则梯形的高，此时梯形的高即为正四棱台的高，而正四棱台的体积公式：，为上底面的面积，，为下底面的面积，，将其均代入中，可得. 故选：D 【巩固练习2】（2025·山东·模拟预测）已知底面半径均为的圆锥和圆台，它们的内切球半径也均为（内切球分别与圆锥和圆台的底面以及侧面均相切），若，则圆锥和圆台的体积比为_____． 【答案】/ 【分析】利用圆台的性质求得上底面的关径与内切球的半径的关系，进而求得圆台的体积，求得圆锥的高与内切球的半径的关系，求得圆锥的体积，可求体积比. 【详解】设圆台的高为，上底面半径为，圆台的轴截面是等腰梯形，则两腰长之和是两底长之和， 由圆台的内切球半径也均为，则， 则，则，解得， 则圆台的体积为， 圆锥的轴截面为等腰三角形，等腰三角形的内切圆即为圆锥的内切球的大圆， 设等腰三角形底边上的高为，则腰长为， 则，解得， 则圆锥的体积为， 所以. 故答案为：. 【题型10】多球相切问题（难点） 基础知识 方法技巧 1核心思路：将球心连线转化为几何体的顶点利用几何体的边长与角度关系求解 2常见模型： 两球相切：球心距等于半径之和（外切）或半径之差（内切） 三球两两相切：球心构成三角形边长为半径之和利用余弦定理求角度 四球外切：球心构成正四面体利用正四面体的外接球模型求大球半径 3关键步骤：先确定各球心的位置关系再将三维问题转化为平面或立体几何问题求解 4辅助方法：建立空间直角坐标系设各球心坐标利用距离公式列方程求解 典型例题 【例题1】（25-26高一下·山东济宁·期中）如图，在正四面体ABCD中，放置1大、4中、4小共9个球，其中，大球为正四面体ABCD的内切球，中球与大球及正四面体三个面均相切，小球与中球及正四面体三个面均相切.若正四面体ABCD的表面积，则9个球的表面积之和为______. 【答案】 【分析】首先根据正四面体表面积求出棱长，高，再通过几何关系求出大球半径（也可以使用等体积法）．中球，小球也可以看成是内接于正四面体的球，求出外切正四面体的高，根据相似关系，得到中球，小球半径，最终求出个球的表面积之和． 【详解】在正四面体中，设棱长为，高为，为正四面体内切球的球心， 延长交底面于，是等边三角形的中心，延长线交于， 连接，则点是的中点，为正四面体内切球的半径， ，，，， 由正四面体ABCD的表面积为，即，解得， 由，解得， 由图知最大球内切于高的正四面体，最大球半径， 因此最大球的表面积为； 中等球内切于高的正四面体，中等球半径， 因此中等球的表面积为； 最小球内切于高的正四面体，最小球半径， 因此最小球的表面积为， 所以九个球的表面积为． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高一下·山东济南·期中）如图，在正四面体中，放置1大、4小共个球，其中，大球为正四面体的内切球，小球与大球及正四面体三个面均相切，若正四面体的体积为，则个球的体积之和为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出正四面体内切球半径与正四面体棱长和高的关系，再分析大、小内切于正四面体的高，求出对应的球半径及体积即可. 【详解】在正四面体中，设棱长为，高为，为正四面体内切球的球心， 延长交底面于，是等边三角形的中心，延长线交于，连接， 则点是的中点，为正四面体内切球的半径， ，， 由正四面体的体积为，得，解得， 由，解得， 则，最大球半径， 因此最大球的体积为； 小球也可看作一个小的正四面体的内切球，则小正四面体的高， 因此最小球半径， 因此最小球的体积为，所以5个球的体积之和为. 【巩固练习2】（25-26高三下·湖北孝感·阶段检测）如图是某零件结构模型，中间最大球为正四面体的内切球，中等球与最大球和正四面体三个面均相切，最小球与中等球和正四面体三个面均相切，已知正四面体的棱长为，则模型中九个球的表面积的和为（    ） A．6π B．9π C． D．21π 【答案】B 【分析】先求出正四面体内切球半径与正四面体棱长和高的关系，再分析大、中、小内切于不同高度的正四面体即可求解． 【详解】如图所示正四面体，设棱长为，高为， 为正四面体内切球的球心，延长AO交底面BCD于， 是等边三角形BCD的中心，过作交CD于，连接BF， 根据对称性，BF过点E， 则OE为正四面体内切球的半径， 正中，高，而，， 同理，所以， 所以， 解得，所以正四面体ABCD内切球的表面积为， 由图可知最大球内切于高的正四面体中， 最大球半径，故最大球表面积为， 进一步，可知中等球内切于高的正四面体中， 中等球半径，故中等球的表面积为， 最小球内切于高的正四面体中， 最小球半径，故最小球的表面积为， 所以九个球的表面积之和为． 【题型11】外接球之折叠模型（二面角模型） 基础知识 折叠模型（二面角模型）-由2个外心加“中垂线”确定球心 题设：两个全等三角形或等腰三角形拼在一起，或菱形折叠(如图6) 第一步：先画出如图6所示的图形，将画在小圆上，找出和的外心和； 第二步：过和分别作平面和平面的垂线，两垂线的交点即为球心，连接； 第三步：解，算出，在中，勾股定理： 注：易知四点共面且四点共圆，证略. 方法技巧 1模型特征：平面图形沿某条棱折叠成空间几何体形成二面角求外接球半径 2通用步骤： 分别求折叠前后两个面内三角形的外接圆半径 确定二面角的平面角 利用公式（为两外心连线长度）列方程求解 3关键技巧：折叠前后的边长不变二面角的平面角是关键参数需准确找到其位置与大小 4特殊情况：当二面角为时可简化为面面垂直模型用题型7的方法求解 典型例题 【例题1】（24-25高一下·江苏无锡·期末）已知四面体中，为边长为的等边三角形，，，二面角的大小为，则四面体的外接球的表面积为________． 【答案】 【分析】设外接球球心为，、的外心分别为点、，取线段的中点，连接、、、，则，，由二面角的定义结合余弦定理求出的长，进而可求得的长，利用勾股定理可求出球的半径，再利用球体表面积公式可得结果. 【详解】设外接球球心为，、的外心分别为点、， 取线段的中点，连接、、、，则，， 因为是边长为的等边三角形，所以， 所以，， 因为，则为的中点， 又因为，故，故， 因为，，所以二面角的平面角为， 易知，， 所以、、、四点共圆， 由余弦定理可得， 所以，由正弦定理可得， 所以， 故球的半径为， 故四面体的外接球的表面积为. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（2026·内蒙古赤峰·一模）如图1所示，在平面四边形中，，，，将沿折叠，得到图2中的三棱锥，使二面角的余弦值为，则三棱锥的外接球表面积为________． 【答案】 【分析】取的中点E，由已知可得为二面角的平面角，利用余弦定理求出，利用勾股定理的逆定理可得为直角三角形，则得的中点O为三棱锥的外接球的球心，即可得到外接球的半径，进而求出表面积. 【详解】 如图，取的中点E，连接， 已知，，所以，， 又，所以，， 所以为二面角的平面角，其余弦值为， 在中，由余弦定理得 ， 即，则， 所以为直角三角形， 则的中点O为三棱锥的外接球的球心， 外接球的半径为， 所以三棱锥的外接球表面积为. 【巩固练习2】（2025高三·全国·竞赛）在正三棱锥中，，E为侧棱的中点，若二面角的大小为，则三棱锥的外接球的表面积为______． 【答案】 【分析】取的中点，连接，作面于，作面于，连接，根据正三棱锥的性质，可证为二面角的平面角，根据条件，求出各个长度，设三棱锥的外接球的球心为，半径为，则点在上，在中，由勾股定理，求出R值，代入表面积公式，即可得答案. 【详解】如图，取的中点，连接，则，作面于，作面于． 因为为正三棱锥， 且， 所以为的中心，在线段上， 因为E为侧棱的中点， 所以，所以为的中点，且， 因此， 连接，由正三棱锥的性质可得， 因为D为AB中点，所以． 又，所以为二面角的平面角，即， 所以，则， 设三棱锥的外接球的球心为，半径为，则点在上， 连接，在中，由勾股定理得， 则，解得， 所以三棱锥的外接球的表面积为. 故答案为： 【题型12】棱切球问题 基础知识 方法技巧 1模型定义：与几何体的所有棱都相切的球球心到各棱的距离相等 2核心思路：球心到每条棱的距离等于球的半径利用线面距离或点到直线的距离公式列方程 3常见特例： 正方体的棱切球：球心在体对角线中点半径（为棱长） 正四面体的棱切球：球心在高线上半径可通过点到棱的距离公式计算 4计算方法：建立空间直角坐标系设球心坐标利用点到直线的距离公式列方程组求解 典型例题 【例题1】（2027高三·全国·专题练习）已知一个表面积为24的正方体，假设有一个与该正方体每条棱都相切的球，则此球的体积为________． 【答案】 【分析】先根据正方体的表面积求出棱长，再分析球与每条棱相切时球的直径等于正方体的面对角线，从而求出球的半径和体积. 【详解】设正方体的棱长为，则，解得． 又球与正方体的每条棱都相切，则正方体的面对角线长即为球的直径长， 所以球的半径长是， 所以此球的体积为． 故答案为：. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（24-25高三上·江苏连云港·月考）已知正三棱柱的体积为，若存在球与三棱柱的各棱均相切，则球的表面积为_________________. 【答案】 【分析】利用三棱柱的体积公式、球的特征及其体积公式即可. 【详解】    如图所示，取上下底面的中心，分别为上底面棱上的切点， 则为的中点，设， 由题意易知， 则， 因为， 所以. 故答案为：. 【巩固练习2】（24-25高一下·陕西西安·期中）我们把与正方体所有棱都相切的球称为正方体的棱切球，设正方体的棱长为1，则其棱切球的表面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】正方体的棱切球的直径为正方体的面对角线，设棱切球的半径为，根据勾股定理求出，再由球的表面积公式计算可得. 【详解】正方体的棱切球的直径为正方体的面对角线，设棱切球的半径为，则， 解得（负值已舍去），所以其棱切球的表面积. 故选：B 【题型13】外接球的截面最值问题 基础知识 方法技巧 1核心结论：球的截面圆性质：截面圆半径、球半径、球心到截面的距离满足 2最值规律： 截面圆面积最大值：当时截面过球心为大圆面积 截面圆面积最小值：当最大时截面圆半径最小需结合几何体的约束条件求的最大值 3关键步骤：先求外接球半径再确定截面的限制条件（如过某条棱、过某个点）求球心到截面的距离范围进而求截面圆半径的最值 4应用技巧：过定直线的截面圆中以直线为弦的截面圆中当圆心到直线的距离最小时截面圆半径最大；反之最小 典型例题 【例题1】（24-25高一下·河南信阳·期末）已知正三棱锥的外接球是球O，正三棱锥底边，侧棱，点E在线段上，且，过点E作球O的截面，则所得截面圆面积的取值范围是______． 【答案】 【分析】确定截面最小和截面最大时的位置，即可求出截面圆面积的范围. 【详解】如图，设的中心为，球的半径为，连接， 则， . 在中，，解得. 因为，所以. 在中，， 所以. 过点作圆的截面，当截面与垂直时，截面的面积最小， 此时截面圆的半径为，最小面积为； 当截面过球心时，截面面积最大，最大面积为. 所以截面圆面积的取值范围是. 故答案为：.    巩固练习 题型 【巩固练习1】（24-25高一下·广东惠州·期中）已知过球面上三点的截面和球心的距离为球半径的一半，且，则球的体积是_______. 【答案】 【分析】根据给定条件，利用正弦定理求出的外接圆半径，再利用球面的截面小圆性质求出球半径即得答案. 【详解】在中，，则，， 由正弦定理得外接圆半径，设球半径为， 于是，解得，所以球的体积是. 故答案为：. 【巩固练习2】（2024高三·全国·专题练习）已知正方形的边长为4，若将沿BD翻折到的位置，使得二面角为，N为的四等分点靠近D点，已知点，B，C，D都在球O的表面上，过N作球O的截面，则截球所得截面面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】记BC的中点为O，可得O为外接球球心，当截面时，截面面积最小，再利用余弦定理及截面小圆性质计算求解. 【详解】如图，取BC的中点为O， 由正方形的边长为4，则， 因此O为空间四边形的外接球球心，外接球半径， 设球心到平面的距离为d，截面圆的半径为r，则有， 即，当截面时，d最大，此时截面面积最小，且， 在中，，，，由余弦定理可得， ， 此时， 所以截面面积最小值为. 故选：D 【题型14】与球有关的轨迹长度问题 基础知识 核心特征 1立体几何中，点/线/面在约束条件下运动，求其在球面上的轨迹长度/周长/弧长 2约束条件通常为“与定点距离固定”“与定直线夹角固定”“在定平面内运动”等 3核心是将三维轨迹转化为球的截面圆或球面曲线，再计算其长度 核心原理 1球的截面性质：球心到截面的距离为，球半径为，则截面圆半径 2轨迹本质：点在球面上的轨迹是球面与约束条件（平面/圆锥面/圆柱面）的交线，通常为圆或圆弧 3弧长公式：圆周长，圆心角为（弧度）的弧长 方法技巧 1先定球心与半径：确定题目中球的球心与半径，明确点的运动范围在球面上 2找约束条件的几何含义： 若点在定平面内运动：轨迹为平面截球所得的圆，求球心到平面的距离，得截面圆半径 若点与定直线夹角固定：轨迹为圆锥面与球面的交线（小圆），利用线线夹角求球心到轨迹所在平面的距离 若点到定点距离固定：轨迹为以定点为球心的两球面交线（圆），利用两球心距求截面圆半径 3计算轨迹半径与圆心角： 完整圆：直接用计算周长 圆弧：结合约束条件（如在某平面内、某棱上）确定圆心角，用弧长公式计算 4特殊情况处理： 截面过球心时，轨迹为大圆，半径等于球半径 截面与球相切时，轨迹退化为一个点，长度为0 典型例题 【例题1】（2026·广东揭阳·二模）已知圆锥的底面半径为，母线长为，圆锥内部有一个半径1的球，该球同时紧贴圆锥的侧面和底面滚动，则该球与圆锥的接触点的轨迹长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】取圆锥的轴截面，分析可得接触点的轨迹为两个圆，进而结合图形关系、相似比求解即可. 【详解】取圆锥的轴截面，因为圆锥的底面半径为，母线长为， 所以轴截面为等边，半径为1的圆与此等边三角形的一条腰和底边相切， 如图，设切点为，圆心为， 由于球同时紧贴圆锥的侧面和底面滚动，则接触点的轨迹为两个圆，设其圆心为， 则，所以，，，， 由于，则，即，则， 所以该球与圆锥的接触点的轨迹长度为. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高二上·江西宜春·期中）如图，八面体的每一个面都是正三角形，各顶点都在以O为球心，半径为的球面上，并且，C，D在同一平面内，点为此八面体表面上的动点，且，则点Q的轨迹长度为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据八面体的性质求出其棱长，进而确定点的轨迹，最后根据圆的周长公式计算轨迹长度. 【详解】考虑点在侧面上运动时点的轨迹长度，如下图所示： 易知，且是边长为2的等边三角形， 则三棱锥是正三棱锥， 则点在底面内的射影点为的中心， 取为的中点，连接，则， 因为， 故，则， 所以，为等腰直角三角形，且，    ， 因为为等边的中心，则， 所以，， 因为平面平面， 所以， 则， 所以，点的轨迹是以点为圆心，半径为的圆在内的圆弧， 如图，设圆与交于两点， 由于在中，    则，所以， 则， 所以圆在内的一段弧的长为， 则点Q的轨迹长度为. 故选：A. 【巩固练习2】（24-25高一下·江西·月考）已知三棱锥的棱长均为2，点P在内，且，则点P的轨迹的长度（    ） A． B． C． D．π 【答案】C 【分析】取CD的中点E，连接BE，过点A作，垂足为H，可求得P在以H为圆心，为半径的圆上，进而计算即可得答案. 【详解】如图1，取CD的中点E，连接BE，过点A作，垂足为H，由， 知，所以，又， 所以，所以点P在以H为圆心，为半径的圆上. 如图2，由，得， 解得（结合图形舍去），所以四边形BGHF是菱形，， 所以点P的轨迹的长度为. 故选：C. 课后过关检测 一、单选题 1．（25-26高一下·河北邢台·期中）已知圆台的上、下底面圆半径分别为2，，高为3，若该圆台的上、下底面圆周都在球O的球面上，则球O的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用圆台的结构特征，结合球的截面圆性质列式求出球半径，再求出球的表面积. 【详解】设球的半径为，球心到上底面圆距离为，而球心在圆台两底面圆圆心确定的直线上， 则球心到下底面圆距离为，因此，解得， 所以球O的表面积为. 2．（25-26高一下·江苏常州·期中）已知圆锥的底面半径为，且此圆锥的内切球表面积为，则圆锥的表面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】已知圆锥底面半径，内切球表面积为，设内切球半径为，则 ，解得， 设圆锥的母线长为，高为， 则， ，即，解得或（舍去）， ， 设圆锥表面积为， 则． 3．（25-26高一下·浙江宁波·期中）在三棱锥中，，，，点在平面上投影为，则三棱锥的外接球的表面积为（   ） A．84π B．88π C．92π D．96π 【答案】A 【分析】由题意平面，进而确定外接球球心，由球心与相关点的位置关系求球的半径，最后求表面积即可. 【详解】设的外接圆半径为，由题可知为等边三角形，由正弦定理，，则， 设外接球的球心为，半径为，的外接圆的圆心为， 由题可得平面，而平面， 过点作，交于点，连接， 则，易得矩形，则， 在直角三角形中，，解得， 所以三棱锥外接球的表面积为. 4．（25-26高一下·河北唐山·期中）已知正方体的顶点都在球O的表面上，则三棱锥与球O的体积之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先明确正方体的体对角线是外接球的直径，通过设正方体的棱长，分别表示出三棱锥与球O的体积，进而求出它们的体积之比. 【详解】设正方体的棱长为a，则正方体的体积为， 三棱锥是正四面体，棱长为， 三棱锥的体积等于正方体的体积减去四个全等的三棱锥的体积，这四个全等的三棱锥是正方体被截去的四个角上的小三棱锥， 每个三棱锥的体积为， 所以三棱锥的体积为：. 因为正方体的顶点都在球O的表面上，所以正方体的体对角线是球O的直径（为球O的半径）， 正方体的体对角线为，则球O的半径， 所以球O的体积为：， 则三棱锥与球O的体积之比为. 5．（25-26高三上·重庆·期中）在三棱锥中，，，，二面角的平面角为，则三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】若为的中点，结合题设知是外接圆的圆心，进而有棱锥的球心在过且垂直于平面的直线上，若平面，在平面内过作，构建合适的空间直角坐标系，令并标注出相关点坐标，应用球体半径相等列方程求参数，进而得到半径，即可求球体面积. 【详解】由题设为直角三角形且斜边，若为的中点，则是外接圆的圆心， 所以棱锥，即棱锥的球心在过且垂直于平面的直线上， 若平面，则球心在直线上，在平面内过作，如图示，    由，则，所以是二面角平面角的补角，为， 又，，可得， 构建空间直角坐标系，设，且， 所以外接球半径，则，可得， 所以外接球半径，其表面积为. 故选：B 6．（25-26高一下·湖南株洲·期中）如图一个三棱锥中，，、、分别为所在棱中点，、分别为所在棱靠近端的三等分点，沿平面或平面分割后，截面中均恰好看不见球体.则球与整个三棱锥体积之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，易知，且，设球半径为，，根据中点可知到的距离，，根据三角形面积公式及内切圆半径公式可得，结合余弦定理可得，进而可得，，可得内切球半径且可知三棱锥为正三棱锥，再根据球的体积公式及三棱锥公式分别求体积及比值. 【详解】 如图所示，取中点为，， 为方便计算，不妨设， 由，可知， 又、分别为所在棱靠近端的三等分点， 则， 且，、，，平面， 即平面，又平面，则平面平面， 设球半径为，， 由于、、分别为所在棱中点，且沿平面切开后，截面中均恰好看不见球体， 则到的距离，，， 又，解得：， 故， 又， 解得，， 所以，解得，， 由以上计算可知：为正三棱锥， 故 ， 所以比值为. 7．（25-26高一下·四川成都·期中）已知球的表面积为，圆台的上、下底面半径之比为，球与圆台的两个底面及侧面都相切，则圆台的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由球的表面积得到球的半径，由球与圆台内切得到圆台的高，进而求出圆台上下底面半径和母线长，求出表面积. 【详解】已知球的表面积为，设球的半径为，则得，解得， 因为球与圆台上下底面都相切，所以圆台的高. 设圆台上下底面半径分别为、（满足），因为圆台有内切球，则母线长， 即 .又，所以 ， 即 ，整理得 解得，即 ， ，母线. 所以圆台的表面积 . 二、多选题 8．（25-26高一下·江苏南京·期中）在长方体中，底面是边长为4的正方形，在棱上，且，则（    ） A． B．过点的平面截该长方体，所得截面周长为 C．以点为球心，为半径作一个球，则球面与底面的交线长为 D．三棱锥外接球的体积是 【答案】BD 【分析】A选项，利用已知PA与PD长，根据勾股定理列出方程计算即可；B选项，通过连接三点，延长之后相交，所得到的平面即为截面，通过三角形关系计算截面周长即可；C选项，通过比较半径和点到平面的距离确定交线的形状为半圆，利用长度关系求出半径，计算交线的长；求三棱锥外接球的体积，利用截面为每个三角形的外接圆，球心必然在过截面圆心垂直于截面的直线上，找到球心构造直角三角形通过勾股定理计算半径即可． 【详解】设， 在直角中，根据勾股定理得， 在直角中，根据勾股定理得， 解得，故，故A不正确， 延长相交于点，连接交于点， 则截面周长为， 因为，故，故； 同理可知，， ， 又底面是边长为4的正方形，则， 故截面周长为： ，故B正确， 点到底面的距离为1，球的半径为， 设球面与底面（正方形）的交线为半圆， 圆心在线段上且与距离为1，圆的半径， 可得交线长为，故C错误， 在中，， 则的外接圆半径， 显然平面， 因此三棱锥的外接球的球心在线段的中垂线上， 球心到平面的距离为， 则球半径， 故三棱锥的外接球体积为，故D正确． 三、填空题 9．（25-26高一下·浙江温州·期中）已知正四棱柱，，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为_______. 【答案】 【详解】由为正四棱柱，且， 所以为正方形，则正四棱柱的外接球半径， 所以球的表面积为. 10．（2026高一·全国·专题练习）如图所示，已知在三棱锥中，二面角为直二面角，，，，若三棱锥的各个顶点都在同一个球面上，则该球的体积为_____. 【答案】 【分析】取的中点，由面面垂直的性质定理可得平面，可得，外接球的球心在上，设为，利用求出外接球的半径可得答案. 【详解】取的中点，连接， 因为，所以， 因为二面角为直二面角， 平面平面，平面， 所以平面， 因为，，所以，， ，所以，， 因为，所以外接球的球心在上，设为，连接， 则， 可得，其中， 解得，即外接球的半径为， 所以该球的体积为. 11．（25-26高一下·福建宁德·期中）矩形中，，现将沿对角线向上翻折，得到四面体，则该四面体外接球的体积为__________. 【答案】 【分析】根据矩形的性质，结合已知条件，得出外接球的球心位置以及半径，根据球的体积公式，计算即可得出答案. 【详解】设中点为，根据矩形的性质，可知， 所以点即为四面体外接球的球心， 因为， 所以四面体外接球的半径， 所以该四面体外接球的体积为. 12．（25-26高一下·天津·期中）已知一个正四棱锥的底面边长为，内切球的体积为，则这个正四棱锥的体积为______. 【答案】 【分析】由内切球的体积可求内切球的半径，设球与正四棱锥底面切于点，侧面切于点，设，延长交底面于点，根据正四棱锥的底面边长及即可求解的值，利用棱锥体积公式即可求解. 【详解】设内切球的半径为，因为内切球的体积为，所以，解得， 如图所示，设球与正四棱锥底面切于点，侧面切于点， 设，延长交底面于点. 因为正四棱锥的底面边长为， 所以， 又，所以，即，解得， 所以，所以正四棱锥的体积为. 13．（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·期中）若底面边长为，高为的正三棱柱所有顶点都在球的表面上，则球的表面积为________. 【答案】 【分析】先确定球心在上下底面中心的连线的中点处，再由垂径定理可得球半径，进而可得球的表面积. 【详解】如图： 因为是边长为的正三角形，所以外接圆的直径， 因为正三棱柱所有顶点都在球的表面上，所以球心在上下底面中心连线的中点处，. 所以，球的表面积为. 14．（25-26高一下·重庆江北·期中）如图，在长方体中，分别在棱上，且，则以为直径的球的表面积__________，该球与侧面的交线长为__________.    【答案】 【分析】先确定球心位置，再结合题意得到球的半径，再求解球的半径解决第一空，先确定交线的轨迹，作出图形，再利用图形的几何性质求解第二空即可. 【详解】由题意可知以为直径的球的球心是长方体的中心， 则点到平面的距离，过点作， 连接， 由已知可得平面，所以， 作，所以，因为，所以，所以，所以，所以，    则球的半径． 如图，设在平面的投影为，则为正方形的中心，    设点在球与正方形的交线上，则， 故以为直径的球与正方形的交线是以为圆心， 为半径的圆在正方形内的曲线． 设圆与的一个交点为，作，垂足为， 则，所以， 所以圆与正方形的交线部分的圆心角之和为， 所以以为直径的球与侧面的交线长为. 【点睛】本题考查立体几何，解题关键是确定交线的轨迹并作出图形，然后利用图形的性质得到所要求的轨迹长度即可. 15．（25-26高二下·湖南长沙·期中）正三棱锥中，，侧棱，则三棱锥的外接球体积为______． 【答案】 【分析】作出辅助线，找到球心，并设出外接球的半径，利用勾股定理列出方程，求出半径，进而得到外接球体积. 【详解】取的中点，连接，过点作⊥于点， 则⊥平面，且， 由于正三棱锥中，，侧棱， 故，，， 由勾股定理得， 设正三棱锥的外接球球心为，则，故， 由勾股定理得，即，解得， 故正三棱锥的外接球体积为. 16．（25-26高一下·山东临沂·期中）已知某棱长为的正四面体的各条棱都与同一球面相切，则该球的表面积为______. 【答案】 【详解】如图所示，在棱长为2的正方体中构造棱长为的正四面体， 显然正四面体的棱切球即为正方体的内切球，球的半径， 则该球的表面积为. 17．（25-26高一下·陕西榆林·期中）一个圆柱的内切球的体积为36，则圆柱的表面积为_________． 【答案】 【详解】设内切球半径为，由球的体积公式，代入得，解得，即， 圆柱的内切球与圆柱的上下底面、侧面都相切，因此圆柱底面半径，圆柱的高， 圆柱表面积为，代入得. 18．（25-26高一下·贵州毕节·期中）《九章算术》中记载，四个面都为直角三角形的四面体称之为“鳖臑”．现有一个“鳖臑”，底面，，且，则该“鳖臑”外接球的体积为______． 【答案】 【分析】确定“鳖臑”外接球的球心，求出球半径，再求出球的体积. 【详解】取中点，连接，由底面，平面， 得，而，平面， 则平面，又平面，因此，， 该“鳖臑”外接球的球心为，球半径， 所以该“鳖臑”外接球的体积为. 19．（25-26高一下·湖南邵阳·期中）已知一个圆台的上底面半径为2，下底面的半径为5，其侧面积为，则该圆台的外接球表面积为__________． 【答案】/ 【分析】先根据圆台的侧面积公式求出圆台的母线，再结合勾股定理求出圆台的高，再设外接球的半径为，外接球的球心到圆台下底的距离为，则球心到圆台上底的距离为，从而结合勾股定理列出方程组，求出，进而根据球的表面积公式即可求解． 【详解】由圆台的上底面半径为，下底面的半径为，其侧面积为， 设该圆台的母线为，高为， 则，解得， 则， 设外接球的半径为，外接球的球心到圆台下底的距离为，则球心到圆台上底的距离为，（若球心在下底的上方，则为正值，反之为负值） 所以，解得， 所以该圆台的外接球表面积为．    20．（25-26高一下·安徽合肥·期中）如图，从正四面体的4个顶点处截去4个相同的正四面体，得到一个由正三角形与正六边形构成的多面体.若该多面体的表面积是，则该多面体外接球的表面积是__________. 【答案】 【分析】求出原正四面体外接球的半径，从而可求出多面体外接球的球心到底面的距离，求出多面体的棱长，即可求出其外接球的半径，从而可求出外接球的表面积. 【详解】解：由题意可得多面体的棱长为原正四面体棱长的，设原正四面体的棱长为， 则其表面积为，由图易知该多面体与原正四面体相比较， 表面积少了8个边长为的正三角形的面积， 所以该多面体的表面积为，所以. 如图，是下底面正六边形的中心，是上底面正三角形的中心， 由正四面体的对称性可知截角四面体的外接球的球心在原正四面体的高上， . 设球的半径为，在中，，所以， 在中，， 所以， 所以，解得，所以， 所以该多面体外接球的表面积. $专题5 立体几何外接球内切球 总览 题型·解读 【重难点突破】2025-2026学年高一下学期数学常考题型 1 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型汇编 知识梳理与常考题型 模块一 外接球与内切球 【题型1】直棱柱和圆柱外接球 基础知识 方法技巧 1核心模型：直棱柱/圆柱的外接球球心为上下底面外接圆圆心连线的中点 2半径公式：其中为底面外接圆半径为棱柱/圆柱的高 3底面处理：底面为三角形时先求三角形外接圆半径；底面为正多边形时利用中心到顶点距离求 4易错点：注意区分直棱柱与斜棱柱斜棱柱无通用中点模型需用空间坐标法求解 典型例题 【例题 1】（25-26高一下·山东烟台·期中）已知正三棱柱，，，则其外接球表面积为______. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高一下·广西南宁·期中）已知直三棱柱的6个顶点都在球O的球面上，若，，，，则球O的表面积为______________． 【巩固练习2】（25-26高二下·四川德阳·阶段检测）已知直三棱柱的各顶点都在一个球面上，且，，，则这个球的表面积为______. 【题型2】 正四面体的内切球和外接球结论 基础知识 在棱长为a的正四面体中 设正四面体的的棱长为，则有 1、正四面体的高为； 2、正四面体外接球半径为 3、正四面体内切球半径为； 4、正四面体体积 典型例题 【例题1】（25-26高一下·广东梅州·期中）设某正四面体的内切球的体积为，则该正四面体的棱长为（    ） A．2 B． C．3 D． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高一下·山东济宁·期中）已知三棱锥的各棱长均为，且其外接球的体积为，则__________. 【巩固练习2】（25-26高一下·福建泉州·期中）若正四面体的表面积为，则①该正四面体的棱长为1；②该正四面体的高为③该正四面体的体积为④该正四面体的外接球表面积为正确的序号有__________. 【题型3】长方体的两大外接球模型 基础知识 （1）墙角模型 长方体的外接球（三条棱两两垂直，不找球心的位置即可求出球半径） 方法：找三条两两垂直的线段，直接用公式，即，求出 （2）对棱相等模型（补形为长方体） 题设：三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径（，，） 第一步：画出一个长方体，标出三组互为异面直线的对棱； 第二步：设出长方体的长宽高分别为，，，， 列方程组，， 补充：. 第三步：根据墙角模型，，， ，求出. 典型例题 【例题1】（25-26高一下·天津红桥·期中）设长方体的长、宽、高分别为2，1，1，其顶点都在一个球面上，则该球的体积为（    ） A． B． C． D． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高一下·安徽合肥·期中）已知四面体中，，且四点都在球的球面上，则球的表面积为_________． 【巩固练习2】（2026高一·全国·专题练习）在三棱锥中，已知，，，则该三棱锥外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 【题型4】正棱锥与圆锥的外接球（球心在高上） 基础知识 正棱锥，圆锥模型 题设：如图这七个图形，的射影是的外心三棱锥的 三条侧棱相等三棱锥的底面在圆锥的底上，顶点点也是圆锥的顶点. 解题步骤： 第一步：确定球心的位置，取的外心，则三点共线； 第二步：先算出小圆的半径，再算出棱锥的高（也是圆锥的高）； 第三步：勾股定理：，解出 方法二：小圆直径参与构造大圆，用正弦定理求大圆直径得球的直径. 典型例题 【例题1】（25-26高三上·山西晋中·期末）已知正三棱锥与正三棱锥的底面重合，且，分别在底面的两侧，，两个三棱锥的体积之比为，若点，，，，都在球的球面上，则球的表面积为__________. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高三上·浙江宁波·期末）一个正四棱锥的所有顶点都在球面上，该正四棱锥的底面边长为，侧棱长为2，则球的表面积为_____. 【巩固练习2】（25-26高三上·天津南开·期末）正四棱锥的体积为8，，若该四棱锥的顶点均在一个球面上，则这个球的表面积为（   ）． A． B． C． D． 【题型5】圆台，正棱台外接球模型（球心在高线上） 基础知识 圆台，棱台外接球 ，其中分别为圆台的上底面、下底面、高． 基本规律:正棱台外接球，以棱轴截面为主 注：若球心位置不确定，也可以直接设，若解出来为负数则说明球心在另一侧 方法技巧 1模型特征：球心在上下底面圆心的连线上利用球心到上下底面顶点距离相等列方程 2通用公式：设上下底面外接圆半径为台高为球心到下底面距离为则解方程求再得 3特殊情况：圆台可看作圆锥截去部分利用圆锥外接球模型推导简化计算 4注意事项：台体需满足上下底面平行且为相似正多边形否则无法用此模型 典型例题 【例题1】（2026·四川雅安·一模）在正四棱台中，，，，则该正四棱台的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高三上·江西鹰潭·月考）已知正三棱台的高为2，上､下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习2】（25-26高三上·贵州遵义·月考）圆台的上、下底面半径分别为、，且，母线，圆台的表面积为，若球为圆台的外接球，且球心在圆台内部，则该球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【题型6】垂面型外接球模型（棱锥的一条侧棱垂直底面）（可补型成直棱柱） 基础知识 题设：如图，平面，求外接球半径.（一条侧棱垂直底面） 解题步骤： 第一步：将画在小圆面上，为小圆直径的一个端点，作小圆的直径，连接，则必过球心； 第二步：为的外心，所以平面，算出小圆的半径（三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得），； 第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①； ②. 典型例题 【例题1】（25-26高二上·贵州遵义·月考）在三棱锥中，平面ABC，，，，则三棱锥的外接球的体积为______. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高二上·贵州遵义·期中）四面体中，平面，，，，则该四面体的外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【巩固练习2】（24-25高一下·吉林松原·期末）在三棱锥中，已知平面，，.若该三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【题型7】面面垂直模型（利用两个过外心的垂线确定球心） 基础知识 方法技巧 1模型特征：两个互相垂直的平面分别取两个面内三角形的外心过外心作各自平面的垂线两垂线交点即为球心 2通用步骤： 分别求两个面内三角形的外接圆半径 过外心作各自平面的垂线利用面面垂直的性质确定球心位置 结合两平面交线长度用勾股定理求外接球半径 3关键应用：当棱锥有两个面互相垂直时优先使用此方法避免复杂计算 4坐标法辅助：建立空间直角坐标系设球心坐标为利用到各顶点距离相等列方程求解 典型例题 【例题1】（2026·辽宁抚顺·二模）如图，在三棱锥中，平面平面，和都是等腰三角形，且，，，则三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（2026·天津红桥·二模）已知四棱锥的底面是边长为的正方形，侧面是等边三角形，且侧面底面，则四棱锥的外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【巩固练习2】（2026·安徽合肥·二模）如图，点均在球的表面上，，，平面平面，则球的体积为___________． 【题型8】共斜边拼接外接球模型 基础知识 两直角三角形拼接在一起(斜边相同,也可看作矩形沿对角线折起所得三棱锥)模型 题设：如图，，求三棱锥外接球半径（分析：取公共的斜边的中点，连接，则，为三棱锥外 典型例题 【例题1】将长､宽分别为4和3的长方形沿对角线折起，得到四面体，则四面体的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 巩固练习 题型 【巩固练习1】将长宽分别为和的长方形沿对角线折起，得到四面体，则四面体外接球的表面积为 A． B． C． D． 【巩固练习2】若矩形的对角线交点为，周长为，四个顶点都在球的表面上，且，则球的表面积的最小值为 A． B． C． D． 【题型9】棱锥，棱台内切球问题 基础知识 正棱锥的内切球 如图，四棱锥是正四棱锥，求其内切球的半径 相似法（通法） 第一步：先现出内切球的截面图，三点共线； 第二步：求，，是侧面的高； 第三步：由相似于，建立等式：，解出 等体积法（通法） 若三棱锥是任意三棱锥，求其的内切球半径（最优法） 方法：等体积法，即内切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积之和相等 第一步：先画出四个表面的面积和整个锥体体积； 第二步：设内切球的半径为，建立等式： 第三步：解出 内切球之圆台，棱台模型 首先需要明确，并不是所有的圆台都有内切球，如果一个圆台又矮又胖，最多只能找到一个与上下底面相切的球，无法做到与所有母线相切，圆台内切球指的是与圆台上下底面和每条母线均相切的球。如下图所示： 此时圆台的上下底面圆的半径与圆台的高必须满足一定关系，下面进行详细分析，为了分析方便，采用平面辅助法，上图的轴截面如下： 假设上底面圆半径为r2，下底面圆半径为r1，内切球半径为R，圆台的高为h，母线长为l。上图轴截面是等腰梯形的内切圆，点E，F，G为切点，可得如下全等关系： ； 由射影定理可得： 典型例题 【例题1】（25-26高一下·海南海口·期中）已知球内切于圆台（即球与圆台的上、下底面及侧面均相切），且圆台上、下底面半径之比为2：5. 设圆台的侧面积为，球的表面积为，则=__________. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高二上·广东广州·期末）已知在正四棱台中，，若此正四棱台存在内切球，则此正四棱台的体积为（   ） A． B． C． D． 【巩固练习2】（2025·山东·模拟预测）已知底面半径均为的圆锥和圆台，它们的内切球半径也均为（内切球分别与圆锥和圆台的底面以及侧面均相切），若，则圆锥和圆台的体积比为_____． 【题型10】多球相切问题（难点） 基础知识 方法技巧 1核心思路：将球心连线转化为几何体的顶点利用几何体的边长与角度关系求解 2常见模型： 两球相切：球心距等于半径之和（外切）或半径之差（内切） 三球两两相切：球心构成三角形边长为半径之和利用余弦定理求角度 四球外切：球心构成正四面体利用正四面体的外接球模型求大球半径 3关键步骤：先确定各球心的位置关系再将三维问题转化为平面或立体几何问题求解 4辅助方法：建立空间直角坐标系设各球心坐标利用距离公式列方程求解 典型例题 【例题1】（25-26高一下·山东济宁·期中）如图，在正四面体ABCD中，放置1大、4中、4小共9个球，其中，大球为正四面体ABCD的内切球，中球与大球及正四面体三个面均相切，小球与中球及正四面体三个面均相切.若正四面体ABCD的表面积，则9个球的表面积之和为______. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高一下·山东济南·期中）如图，在正四面体中，放置1大、4小共个球，其中，大球为正四面体的内切球，小球与大球及正四面体三个面均相切，若正四面体的体积为，则个球的体积之和为（   ） A． B． C． D． 【巩固练习2】（25-26高三下·湖北孝感·阶段检测）如图是某零件结构模型，中间最大球为正四面体的内切球，中等球与最大球和正四面体三个面均相切，最小球与中等球和正四面体三个面均相切，已知正四面体的棱长为，则模型中九个球的表面积的和为（    ） A．6π B．9π C． D．21π 【题型11】外接球之折叠模型（二面角模型） 基础知识 折叠模型（二面角模型）-由2个外心加“中垂线”确定球心 题设：两个全等三角形或等腰三角形拼在一起，或菱形折叠(如图6) 第一步：先画出如图6所示的图形，将画在小圆上，找出和的外心和； 第二步：过和分别作平面和平面的垂线，两垂线的交点即为球心，连接； 第三步：解，算出，在中，勾股定理： 注：易知四点共面且四点共圆，证略. 方法技巧 1模型特征：平面图形沿某条棱折叠成空间几何体形成二面角求外接球半径 2通用步骤： 分别求折叠前后两个面内三角形的外接圆半径 确定二面角的平面角 利用公式（为两外心连线长度）列方程求解 3关键技巧：折叠前后的边长不变二面角的平面角是关键参数需准确找到其位置与大小 4特殊情况：当二面角为时可简化为面面垂直模型用题型7的方法求解 典型例题 【例题1】（24-25高一下·江苏无锡·期末）已知四面体中，为边长为的等边三角形，，，二面角的大小为，则四面体的外接球的表面积为________． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（2026·内蒙古赤峰·一模）如图1所示，在平面四边形中，，，，将沿折叠，得到图2中的三棱锥，使二面角的余弦值为，则三棱锥的外接球表面积为________． 【巩固练习2】（2025高三·全国·竞赛）在正三棱锥中，，E为侧棱的中点，若二面角的大小为，则三棱锥的外接球的表面积为______． 【题型12】棱切球问题 基础知识 方法技巧 1模型定义：与几何体的所有棱都相切的球球心到各棱的距离相等 2核心思路：球心到每条棱的距离等于球的半径利用线面距离或点到直线的距离公式列方程 3常见特例： 正方体的棱切球：球心在体对角线中点半径（为棱长） 正四面体的棱切球：球心在高线上半径可通过点到棱的距离公式计算 4计算方法：建立空间直角坐标系设球心坐标利用点到直线的距离公式列方程组求解 典型例题 【例题1】（2027高三·全国·专题练习）已知一个表面积为24的正方体，假设有一个与该正方体每条棱都相切的球，则此球的体积为________． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（24-25高三上·江苏连云港·月考）已知正三棱柱的体积为，若存在球与三棱柱的各棱均相切，则球的表面积为_________________. 【巩固练习2】（24-25高一下·陕西西安·期中）我们把与正方体所有棱都相切的球称为正方体的棱切球，设正方体的棱长为1，则其棱切球的表面积是（    ） A． B． C． D． 【题型13】外接球的截面最值问题 基础知识 方法技巧 1核心结论：球的截面圆性质：截面圆半径、球半径、球心到截面的距离满足 2最值规律： 截面圆面积最大值：当时截面过球心为大圆面积 截面圆面积最小值：当最大时截面圆半径最小需结合几何体的约束条件求的最大值 3关键步骤：先求外接球半径再确定截面的限制条件（如过某条棱、过某个点）求球心到截面的距离范围进而求截面圆半径的最值 4应用技巧：过定直线的截面圆中以直线为弦的截面圆中当圆心到直线的距离最小时截面圆半径最大；反之最小 典型例题 【例题1】（24-25高一下·河南信阳·期末）已知正三棱锥的外接球是球O，正三棱锥底边，侧棱，点E在线段上，且，过点E作球O的截面，则所得截面圆面积的取值范围是______． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（24-25高一下·广东惠州·期中）已知过球面上三点的截面和球心的距离为球半径的一半，且，则球的体积是_______. 【巩固练习2】（2024高三·全国·专题练习）已知正方形的边长为4，若将沿BD翻折到的位置，使得二面角为，N为的四等分点靠近D点，已知点，B，C，D都在球O的表面上，过N作球O的截面，则截球所得截面面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【题型14】与球有关的轨迹长度问题 基础知识 核心特征 1立体几何中，点/线/面在约束条件下运动，求其在球面上的轨迹长度/周长/弧长 2约束条件通常为“与定点距离固定”“与定直线夹角固定”“在定平面内运动”等 3核心是将三维轨迹转化为球的截面圆或球面曲线，再计算其长度 核心原理 1球的截面性质：球心到截面的距离为，球半径为，则截面圆半径 2轨迹本质：点在球面上的轨迹是球面与约束条件（平面/圆锥面/圆柱面）的交线，通常为圆或圆弧 3弧长公式：圆周长，圆心角为（弧度）的弧长 方法技巧 1先定球心与半径：确定题目中球的球心与半径，明确点的运动范围在球面上 2找约束条件的几何含义： 若点在定平面内运动：轨迹为平面截球所得的圆，求球心到平面的距离，得截面圆半径 若点与定直线夹角固定：轨迹为圆锥面与球面的交线（小圆），利用线线夹角求球心到轨迹所在平面的距离 若点到定点距离固定：轨迹为以定点为球心的两球面交线（圆），利用两球心距求截面圆半径 3计算轨迹半径与圆心角： 完整圆：直接用计算周长 圆弧：结合约束条件（如在某平面内、某棱上）确定圆心角，用弧长公式计算 4特殊情况处理： 截面过球心时，轨迹为大圆，半径等于球半径 截面与球相切时，轨迹退化为一个点，长度为0 典型例题 【例题1】（2026·广东揭阳·二模）已知圆锥的底面半径为，母线长为，圆锥内部有一个半径1的球，该球同时紧贴圆锥的侧面和底面滚动，则该球与圆锥的接触点的轨迹长度为（   ） A． B． C． D． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高二上·江西宜春·期中）如图，八面体的每一个面都是正三角形，各顶点都在以O为球心，半径为的球面上，并且，C，D在同一平面内，点为此八面体表面上的动点，且，则点Q的轨迹长度为（    ）    A． B． C． D． 【巩固练习2】（24-25高一下·江西·月考）已知三棱锥的棱长均为2，点P在内，且，则点P的轨迹的长度（    ） A． B． C． D．π 课后过关检测 一、单选题 1．（25-26高一下·河北邢台·期中）已知圆台的上、下底面圆半径分别为2，，高为3，若该圆台的上、下底面圆周都在球O的球面上，则球O的表面积为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·江苏常州·期中）已知圆锥的底面半径为，且此圆锥的内切球表面积为，则圆锥的表面积为（ ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·浙江宁波·期中）在三棱锥中，，，，点在平面上投影为，则三棱锥的外接球的表面积为（   ） A．84π B．88π C．92π D．96π 4．（25-26高一下·河北唐山·期中）已知正方体的顶点都在球O的表面上，则三棱锥与球O的体积之比为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高三上·重庆·期中）在三棱锥中，，，，二面角的平面角为，则三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高一下·湖南株洲·期中）如图一个三棱锥中，，、、分别为所在棱中点，、分别为所在棱靠近端的三等分点，沿平面或平面分割后，截面中均恰好看不见球体.则球与整个三棱锥体积之比为（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高一下·四川成都·期中）已知球的表面积为，圆台的上、下底面半径之比为，球与圆台的两个底面及侧面都相切，则圆台的表面积为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 8．（25-26高一下·江苏南京·期中）在长方体中，底面是边长为4的正方形，在棱上，且，则（    ） A． B．过点的平面截该长方体，所得截面周长为 C．以点为球心，为半径作一个球，则球面与底面的交线长为 D．三棱锥外接球的体积是 三、填空题 9．（25-26高一下·浙江温州·期中）已知正四棱柱，，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为_______. 10．（2026高一·全国·专题练习）如图所示，已知在三棱锥中，二面角为直二面角，，，，若三棱锥的各个顶点都在同一个球面上，则该球的体积为_____. 11．（25-26高一下·福建宁德·期中）矩形中，，现将沿对角线向上翻折，得到四面体，则该四面体外接球的体积为__________. 12．（25-26高一下·天津·期中）已知一个正四棱锥的底面边长为，内切球的体积为，则这个正四棱锥的体积为______. 13．（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·期中）若底面边长为，高为的正三棱柱所有顶点都在球的表面上，则球的表面积为________. 14．（25-26高一下·重庆江北·期中）如图，在长方体中，分别在棱上，且，则以为直径的球的表面积__________，该球与侧面的交线长为__________.    15．（25-26高二下·湖南长沙·期中）正三棱锥中，，侧棱，则三棱锥的外接球体积为______． 16．（25-26高一下·山东临沂·期中）已知某棱长为的正四面体的各条棱都与同一球面相切，则该球的表面积为______. 17．（25-26高一下·陕西榆林·期中）一个圆柱的内切球的体积为36，则圆柱的表面积为_________． 18．（25-26高一下·贵州毕节·期中）《九章算术》中记载，四个面都为直角三角形的四面体称之为“鳖臑”．现有一个“鳖臑”，底面，，且，则该“鳖臑”外接球的体积为______． 19．（25-26高一下·湖南邵阳·期中）已知一个圆台的上底面半径为2，下底面的半径为5，其侧面积为，则该圆台的外接球表面积为__________． 20．（25-26高一下·安徽合肥·期中）如图，从正四面体的4个顶点处截去4个相同的正四面体，得到一个由正三角形与正六边形构成的多面体.若该多面体的表面积是，则该多面体外接球的表面积是__________. $