专题07：常见几何体的内切球外接球【知识梳理+12个题型归纳】讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

本讲义聚焦高中数学常见几何体的内切球与外接球核心知识点，系统梳理棱锥、棱台、棱柱、圆锥、圆台等几何体的内切球（定义、体积法、存在条件）和外接球（球心位置、半径公式）知识，形成从基础原理到解题方法的学习支架。 该资料以题型分类为特色，通过“知识梳理-结论总结-方法提炼-例题练习”结构，培养学生用数学眼光观察空间关系（如正四棱锥内切球与侧面相切），用数学思维推理半径计算（如体积法公式推导），课中辅助教师分层教学，课后助力学生通过真题练习查漏补缺，提升空间观念与应用意识。

2026年高一数学下学期常考题型归纳 【专题07：常见几何体的内切球外接球】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：棱锥内切球】 【练方法】 知识梳理 1定义：与棱锥的所有面都相切的球称为棱锥的内切球球心到每个面的距离相等等于球的半径 2核心原理：体积法棱锥的体积等于以球心为顶点各面为底面的多个小三棱锥体积之和 3适用场景：所有棱锥尤其是正棱锥（正棱锥的内切球球心在高上） 常考结论 1通用公式：（为棱锥体积为表面积为内切球半径） 2正棱锥：球心在高线上高斜高底面周长底面积则 3正四面体：内切球半径（为棱长） 解题方法 1先求棱锥的体积和表面积 2代入体积法公式直接求半径 3正棱锥可利用对称性球心在高上结合几何关系列方程求解 4验证：球心到各面的距离均等于确保结果正确 （24-25高一下·福建福州·期末）已知正四棱锥中，各棱长均相等，球是该四棱锥的内切球，球与球相切，且与该四棱锥的四个侧面也相切，则球与球的表面积之比为（    ）经典例题1例题 A． B．9 C． D． 【答案】A 【分析】过已知正四棱锥顶点及底面正方形一组对边中点作截面，将问题转化为三角形及内部一系列圆相切问题求解作答. 【详解】 在正四棱锥中，令各棱长为2，O为正方形ABCD的中心，M，Q分别为边AB，CD的中点， 过点P，M，Q的平面截正四棱锥得等腰，截球O1，球O2，得对应球的截面大圆，如图： 依题意，，， 令N为圆与PM相切的切点，则，设球的半径为，即， 由，得，， 设球与球相切于点T，则， 设球的半径为，同理可得，则， 所以球与球的表面积之比. 故选：A （2024·四川德阳·模拟预测）设正四面体的内切球表面积为，则能装下该正四面体的最小正方体(不计厚度)的体积为（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出内切球半径，进而得到正四面体的棱长，正四面体的每条边均为正方体的面对角线时，为能装下该正四面体的最小正方体，从而求出最小正方体的边长和体积. 【详解】设正四面体的内切球半径为，则，解得， 如图所示，为的中点，连接，过点作⊥于点， 则⊥平面， 设正四面体的内切球球心为，则则上， 过点作⊥于点， 则， 设正四面体的棱长为，则， 则， ，其中， 故， 故， ∽，故， 即， 解得， 将正四面体按照如图放入正方体中，即正四面体的每条边均为正方体的面对角线， 此时为能装下该正四面体的最小正方体， 设正方体的棱长为，则，解得， 故此正方体的体积为. 故选：C 【点睛】方法点睛：解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置．对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径 （23-24高一下·重庆·期末）已知三棱锥三条侧棱PA，PB，PC两两互相垂直，且，M为该三棱锥的内切球上的动点，则M，P两点间距离的最小值为______.小试牛刀2 【答案】 【分析】首先求出到平面的距离，再根据等体积法求出三棱锥内切球的半径，进而求出球面上一点到距离的最小值. 【详解】因为，且三条侧棱两两垂直， 则△是边长为的正三角形， 如图，设三棱锥的内切球与平面相切于， 根据已知条件知三点共线，且为△的中心， 连接与球交于点，此时最小， 连接与交于，由已知得， ，， 而，， 设球的半径为，则由等体积法得， ， 即，解得， 所以. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：等体积法是求三棱锥的内切球半径的重要方法，是解决本题的关键. （23-24高二下·湖南常德·期中）在棱长为2的正四面体中，正四面体的内切球表面积为（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据正四面体的性质求出正四面体的高；再利用等体积法求出内切球的半径；最后根据球的表面积公式即可解答. 【详解】 正四面体底面的中心记为点，连接，. 由正四面体的性质可得：面. 因为正四面体棱长为2， 所以底面三角形的高为， 则， 所以正四面体的高. 设正四面体内切球的半径为，球心为. 由等体积法可得：， 即，解得：. 所以正四面体的内切球表面积为. 故选：B. 【题型2：棱台内切球】 【练方法】 知识梳理 1定义：与棱台的所有面都相切的球称为棱台的内切球球心到上下底面和各侧面的距离相等等于半径 2存在条件：棱台的斜高等于上下底面周长和的一半的比值满足特定条件仅当棱台可由正棱锥截得且侧面与底面夹角相等时存在内切球 3核心原理：体积法棱台的体积等于以球心为顶点各面为底面的多棱锥体积之和 常考结论 1通用公式：（为棱台体积为表面积为内切球半径） 2正棱台：球心在上下底面中心的连线上（高线上）斜高（为侧面与上下底面的夹角） 3必要条件：上下底面的内切圆半径斜高 解题方法 1先判断棱台是否存在内切球（斜高等于上下底面内切圆半径和） 2计算棱台的体积和表面积 3代入体积法公式求半径 4正棱台可利用对称性结合高、斜高列方程求解 （25-26高二上·广东广州·期末）已知在正四棱台中，，若此正四棱台存在内切球，则此正四棱台的体积为（   ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据正四棱台存在内切球的条件求出正四棱台的高，再代入正四棱台的体积公式计算体积. 【详解】 正四棱台存在内切球，取,,,的中点，分别为,，,点，上底面与球相切的点为点，由此获得一个含内切圆的等腰梯形截面图，如上图所示，而梯形有内切圆的充要条件：上底下底两腰之和； ，，则，则梯形的高，此时梯形的高即为正四棱台的高，而正四棱台的体积公式：，为上底面的面积，，为下底面的面积，，将其均代入中，可得. 故选：D （24-25高三上·重庆·期末）在正四棱台中，，且正四棱台存在内切球，则此正四棱台外接球的表面积为（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由内切球切点的截面性质，确定内切圆的圆心与半径，从而结合勾股定理得四棱台的高度，再由外接球几何性质建立关系得外接球的半径，从而得所求. 【详解】因为正四棱台内切球存在时，内切球大圆是图中梯形的内切圆，圆心为， 设上下底面的中心分别为． 过作于，连接， 由图可知， 则， 过作于，， 即四棱台的高为， 设外接球球心为，设外接球的半径为， 则 ， 解得， 则外接球表面积为． 故选：A. 【点睛】关键点点睛：关于正四棱台的内切球问题，关键是要通过截面法确定内切圆的圆心与半径，从而转换为几何体的内切球，由几何性质确定正四棱台的高度，从而再根据外接球的性质求解外接球半径，即可得所求。 （2026·辽宁沈阳·一模）已知球内切于正四棱台（即球与该正四棱台的上､下底面以及侧面均相切），且该正四棱台的上､下底面棱长之比为，则球与该正四棱台的体积之比为__________.小试牛刀2 【答案】 【分析】设出正四棱台上、下底面的棱长，则可借助正四棱台性质及体积公式表示出内切球体积及正四棱台体积，即可得解. 【详解】如图为该几何体的轴截面，其中圆O是等腰梯形ABCD的内切圆，    设圆O与梯形的腰相切于点P，Q，与上、下底面分别切于点，， 不妨设正四棱台上、下底面的棱长为，， 则，，， 故在直角梯形中，过点C作，垂足为E，所以， 在中，，为棱台的高，也是球的直径， 所以半径为，所以球的体积为， 棱台体积为， 所以球与棱台的体积比为. 故答案为：. （24-25高二下·浙江杭州·月考）某正三棱台（底面与顶面均为正三角形，侧面都是等腰梯形的几何体）的体积为，内切球（与棱台各面都相切）的半径为，则该三棱台的侧棱长为__________小试牛刀3 【答案】 【分析】根据题意设上底面与下底面正三角形的边长分别为，根据棱台体积，求出表面积，然后求出，进而求解棱长. 【详解】设上底面与下底面正三角形的边长分别为, 根据棱台体积公式，， 则， 则可得侧面梯形的高为， 根据勾股定理，可得， 则，故， 则， 则可得棱长为. 故答案为：. 【题型3：棱柱内切球】 【练方法】 知识梳理 1内切球定义：与棱柱每个面都相切的球球心到各面距离相等且等于半径 2存在条件：棱柱必须是直棱柱且底面存在内切圆（底面为正方形、菱形、正多边形等） 3核心等量关系：棱柱的高等于内切球直径即 4核心方法：体积法棱柱体积等于以内切球球心为顶点各面为底的若干小柱体体积之和 常考结论 1存在判定：直棱柱+底面有内切圆⇔有内切球 2半径公式：（为棱柱的高） 3底面多边形内切圆半径（为底面积为底面周长） 4体积法通用式： 解题方法 1先判断是否存在：是否为直棱柱底面是否有内切圆 2确定高直接得半径 3求表面积或体积时代入球公式 4底面若为正多边形用快速求内切圆半径 （25-26高二上·广东肇庆·期中）一个正方体的体积为8，若一个球内切于该正方体，则此球的体积是________．经典例题1例题 【答案】 【分析】根据已知确定正方体的内切球半径，再由球体的体积公式求体积. 【详解】由题设，正方体的棱长为2，则内切于该正方体的球体半径为1， 所以球体的体积为. 故答案为： （23-24高一下·广东东莞·期中）已知一个球内切于正方体，且这个球的体积为，那么这个正方体的体积为______．小试牛刀1 【答案】64 【分析】利用球的体积公式求出球半径，进而求出正方体的棱长即可. 【详解】设正方体的内切球半径为，则该正方体的棱长为， ，可得，则正方体的棱长为4， 这个正方体的体积为. 故答案为：64 已知直三棱柱ABC-A1B1C1的底面ABC为等边三角形，若该棱柱存在外接球与内切球，则其外接球与内切球表面积之比为（  ）小试牛刀2 A．25︰1 B．1︰25 C．1︰5 D．5︰1 【答案】D 【解析】根据题意得到三棱柱的高是内切球的直径，也是底面三角形内切圆的直径，根据等边三角形的性质得到内切球和外接球的半径，计算表面积的比值. 【详解】设点是三棱柱外接球和内切球的球心，点是底面等边三角形的中心，点是底边的中点，连结，，，，设底面三角形的边长为，则，， 因为三棱锥内切球与各面都相切，所以三棱柱的高是内切球的直径，底面三角形内切圆的直径也是三棱柱内切球的直径，所以，即三棱柱内切球的半径， ，所以，即三棱柱外接球的半径， 所以内切球的表面积为，外接球的表面积， 所以三棱柱外接球和内切球表面积的比值为 故选：D 【点睛】本题考查空间几何体的内切球和外接球的表面积，重点考查空间想象，计算能力，属于中档题型. （2022·山东济宁·三模）若一个正六棱柱既有外接球又有内切球，则该正六棱柱的外接球和内切球的表面积的比值为（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】正六棱柱有内切球，则到每个面的距离相等，即，可求内切球的半径，根据可求外接球的半径，代入球的面积公式计算． 【详解】如图：分别为底面中心，为的中点，为的中点 设正六棱柱的底面边长为 若正六棱柱有内切球，则，即内切球的半径 ，即外接球的半径 则该正六棱柱的外接球和内切球的表面积的比值为 故选：C． 【题型4：圆锥内球球】 【练方法】 知识梳理 1定义：与圆锥的底面和侧面都相切的球称为圆锥的内切球球心在圆锥的高上 2几何关系：过圆锥轴的截面为等腰三角形内切圆即为圆锥的轴截面三角形的内切圆半径等于圆锥内切球的半径 3核心：转化为平面几何问题求等腰三角形的内切圆半径 常考结论 1轴截面法：圆锥底面半径高母线长则内切球半径 2体积法：则 3特殊情况：当圆锥为等边圆锥（轴截面为等边三角形）时 解题方法 1画出圆锥的轴截面（等腰三角形） 2用平面几何方法求三角形的内切圆半径 3或直接套用公式 4验证：球心到侧面的距离等于半径确保结果正确 （25-26高二上·湖北·月考）某圆锥的底面半径与高之比为，其内切球与圆锥的体积之比为（   ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆锥的半径与高的关系，利用相似三角形求得内切球半径，进而由体积公式即可求解. 【详解】设圆锥的底面半径为，高为，体积为，内切球的半径为，体积为， 则，所以，所以，    由有，即， 所以，又， 化简整理得：，解得（舍）， 所以， 故选：A. （2025高二·全国·专题练习）如图，圆锥的底面半径为r，高为，且该圆锥内切球（球与圆锥的底面和侧面均相切）的半径为1，则________．小试牛刀1    【答案】 【分析】画出轴截面，根据列方程求解即可. 【详解】画出圆锥的轴截面如图      设内切球的球心为，半径为， 则，， 所以， 又， 即 ， 解得. 故答案为：. （23-24高一下·河南·月考）若一个圆锥的内切球与外接球的球心重合，且内切球的半径为，则该圆锥的侧面积为________．小试牛刀2 【答案】 【分析】作出截面图形，由圆锥的侧面积公式结合题意计算可得. 【详解】 过圆锥的旋转轴作轴截面，得及其内切圆和外接圆， 且两圆同圆心，即的内心与外心重合，所以为正三角形， 由题意的半径为， 所以的边长为6， 所以圆锥的底面半径为3， 所以圆锥的侧面积． 故答案为：. （2023·海南海口·一模）已知母线的长为的圆锥，其侧面积为，是该圆锥内切球球面上一动点，则的最大值为______．小试牛刀3 【答案】/0.125 【分析】先利用题给条件求得圆锥内切球球半径，再利用向量数量积定义即可求得的最大值. 【详解】设圆锥的底面圆心为O，圆锥内切球球球心为，中点为S， 圆锥的母线长为，其侧面积为，则圆锥的底面半径为 则， 则圆锥内切球球半径为 ， ， 又，则， 则的最大值为 故答案为： 【题型5：圆台内切球】 【练方法】 知识梳理 1定义：与圆台的上下底面和侧面都相切的球称为圆台的内切球球心在圆台的高上 2存在条件：圆台的母线长等于上下底面半径之和（为下底半径为上底半径） 3核心：转化为轴截面等腰梯形的内切圆问题圆的半径即为圆台内切球的半径 常考结论 1存在条件：母线长高 2半径公式：（轴截面等腰梯形的高为圆的直径半径为） 3体积法：代入可验证 解题方法 1先判断圆台是否存在内切球（母线长） 2直接用公式或用高的一半计算 3轴截面法：画出等腰梯形求其内切圆半径 4验证：母线长是否等于上下底半径和确保存在性 （2025高三上·安徽六安·专题练习）已知圆台的上下底面半径之比为，它的内切球（与圆台的上下底面以及每条母线都相切的球）体积为，则该圆台的体积为 ______.经典例题1例题 【答案】/ 【分析】先利用体积公式求解内切球的半径，求得圆台的高度，设圆台上底面半径为，则下底面半径为，然后作出圆台的轴截面，根据切线关系及勾股定理求得，进而代入圆台的体积公式求解即可. 【详解】由于圆台的内切球体积为，设其内切球半径为，所以，则半径， 所以圆台的高度，设圆台上底面半径为，则下底面半径为， 圆台轴截面，为球心，为上下底面圆圆心，如下图： 根据切线长定理，圆台的母线长， 由母线长与圆台上下底面半径，、高度关系可得：， 所以，可得， 则该圆台的体积为 故答案为： （25-26高三上·山东青岛·期中）已知圆台的上下底面半径之比为1∶2，它的内切球（与圆台的上下底面以及每条母线都相切的球）表面积为；则该圆台的体积为（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用球的面积公式求出内切球半径从而得圆台的高度，结合圆台的几何性质求上下底面半径，从而可得圆台体积. 【详解】由于圆台的内切球表面积为，设其内切球半径为， 所以，解得， 所以圆台的高度， 设圆台上底面半径为，则下底面半径为， 圆台轴截面如下图：为球心，为上下底面圆圆心 根据切线长定理，圆台的母线长， 由母线长与圆台上下底面半径，、高度关系可得： ，所以，可得， 则该圆台的体积为. 故选：A. （2025·山东·模拟预测）已知底面半径均为的圆锥和圆台，它们的内切球半径也均为（内切球分别与圆锥和圆台的底面以及侧面均相切），若，则圆锥和圆台的体积比为_____．小试牛刀2 【答案】/ 【分析】利用圆台的性质求得上底面的关径与内切球的半径的关系，进而求得圆台的体积，求得圆锥的高与内切球的半径的关系，求得圆锥的体积，可求体积比. 【详解】设圆台的高为，上底面半径为，圆台的轴截面是等腰梯形，则两腰长之和是两底长之和， 由圆台的内切球半径也均为，则， 则，则，解得， 则圆台的体积为， 圆锥的轴截面为等腰三角形，等腰三角形的内切圆即为圆锥的内切球的大圆， 设等腰三角形底边上的高为，则腰长为， 则，解得， 则圆锥的体积为， 所以. 故答案为：. （24-25高一下·江苏镇江·月考）已知一圆台上底半径为1（下底半径大于上底半径），母线与底面所成角的余弦值为，若此圆台存在内切球（球与棱台各面均相切），则此圆台的表面积是（   ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆台的内切球的性质以及线面夹角可得，且，再结合圆台的表面积公式运算求解. 【详解】设上底面半径为，下底面半径为， 如图，取圆台的轴截面，作，垂足为，    设内切球与梯形两腰分别切于点， 可知，， 由题意可知：，可得，即， 可得此圆台的表面积是. 故选：C. 【题型6：棱柱外接球】 【练方法】 知识梳理 1定义：棱柱的所有顶点都在球面上该球称为棱柱的外接球球心到各顶点的距离相等等于球的半径 2核心：找外接球球心球心是上下底面外接圆圆心连线的中点 3适用场景：直棱柱、正棱柱（斜棱柱一般无外接球） 常考结论 1直棱柱：设底面外接圆半径为棱柱的高为则外接球半径 2长方体：体对角线为外接球直径（为长宽高） 3正方体：外接球半径（为棱长） 4直三棱柱：底面外接圆半径（正弦定理）再代入直棱柱公式 解题方法 1先确定棱柱为直棱柱再找上下底面的外接圆圆心 2两圆心连线的中点即为外接球球心 3用勾股定理求半径： 4长方体/正方体直接用体对角线公式 已知直三棱柱的底面ABC为等边三角形，若该棱柱存在外接球与内切球，则其外接球与内切球表面积之比为（    ）经典例题1例题 A．25：1 B．2：1 C．5：1 D．：1 【答案】C 【分析】设正三棱柱底面正三角形的边长为，利用正三棱柱的内切球的半径为正三棱柱的底面正三角形的内切圆半径，求出内切球的半径，再利用正三棱柱的外接球的球心是上下底面中心连接线段的中点，结合勾股定理求出外接球的半径，从而得到外接球与内切球表面积之比． 【详解】设正三棱柱底面正三角形的边长为， 当球内切于正三棱柱时，球的半径等于正三棱柱的底面正三角形的内切圆半径，所以， 故正三棱柱的高为， 当球外接于正三棱柱时，设球的半径为，则球心是上下底面中心连接线段的中点，如图所示： 因为，， 所以， 外接球与内切球表面积之比为， 故选：C 正方体内切球和外接球半径的比为小试牛刀1 A． B． C． D．1:2 【答案】B 【详解】试题分析：正方体的棱长是内切球的直径，正方体的对角线是外接球的直径，设棱长是．则，；，，．故选B． 考点：球内接多面体. 24-25高三上·云南昆明·月考）已知长方体的体积为，且，则长方体外接球体积的最小值为（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，结合题意可得，进而结合长方体外接球半径及基本不等式求得，再根据球的体积公式计算即可. 【详解】在长方体中，设， 因为长方体的体积为，， 所以，即， 所以， 当且仅当时取到等号，所以， 所以长方体外接球体积的最小值为. 故选：C.    （21-22高三上·安徽芜湖·期末）如图所示，在长方体中，，，则该长方体外接球球心到平面的距离为（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接、，设，则为、的中点，连接、，设，设球心为，计算出、、的长，分析可知，利用等体积法计算出点到平面的距离，进而可求得球心到平面的距离. 【详解】设，，， 因为，，则，解得， 连接、，设，则为、的中点，连接、，设，如下图所示：                 设长方体的外接球球心为，则为的中点， 在矩形中，为的中点，且，则， 即，故，， 因为，，为的中点，则， 所以，，， ，， 设点到平面的距离为，，解得， 因为，故球心到平面的距离为. 故选：A. 【题型7：棱锥外接球】 【练方法】 知识梳理 1定义：棱锥的所有顶点都在球面上该球称为棱锥的外接球球心到各顶点的距离相等 2核心：找外接球球心球心在过底面外接圆圆心且垂直于底面的直线上 3常见类型：正棱锥、直棱锥（一条侧棱垂直底面）、特殊棱锥（如墙角型） 常考结论 1正棱锥：设底面外接圆半径为棱锥的高为则外接球半径（球心在高线上列方程求解） 2直棱锥（一条侧棱垂直底面）：补形为直棱柱外接球半径（为垂直底面的侧棱长） 3墙角型三棱锥（三条侧棱两两垂直）：补形为长方体外接球直径为长方体体对角线 4正四面体：外接球半径（为棱长） 解题方法 1先判断棱锥类型：正棱锥/直棱锥/墙角型 2正棱锥：用高线上的球心列方程求解 3直棱锥/墙角型：补形法补成长方体/直棱柱直接用体对角线公式 4验证：球心到各顶点的距离均等于确保结果正确 （2024高三·全国·专题练习）如图，在三棱锥中，为等边三角形，，，若，则三棱锥外接球体积的最小值为______．经典例题1例题    【答案】 【分析】利用外接球球心在过底面外接圆圆心的垂线上，通过球心到各顶点的距离想等来求解即可. 【详解】如图，取中点，连接，则，，    又，，平面，则平面， 因为平面，则， 又，，，平面， 所以平面， 所以三棱锥的外接球球心必在过的中心且平行于的直线上， 且， 设，则，， 设三棱锥的外接球半径为，则有， 当时，， 故三棱锥外接球体积的最小值为． 故答案为：. 在三棱锥中，面，则三棱锥的外接球表面积是小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先计算BD长为2，判断三角形BCD为直角三角形，将三棱锥还原为长方体，根据体对角线等于直径，计算得到答案. 【详解】三棱锥中，面 中： 在中： 即ABCD四点都在对应长方体上：体对角线为AD 答案选D 【点睛】本题考查了三棱锥的外接球表面积，将三棱锥放在对应的长方体里面是解题的关键. （23-24高二下·浙江温州·期中）已知在三棱锥中，，点为三棱锥外接球上一点，则三棱锥的体积最大为______．小试牛刀2 【答案】 【分析】取的中点，得到，得出点为三棱锥的外接球的球心， 求得外接球的半径为，结合点到平面的距离为时，此时的体积最大，利用体积公式，即可求解. 【详解】在三棱锥中，由且，可得， 取的中点，连接，因为，，可得， 所以点为三棱锥的外接球的球心，其中为外接球的直径， 设外接球的半径为，可得， 当点到平面的距离为时，此时三棱锥的体积最大， 体积的最大值为. 故答案为：. （24-25高二下·浙江·期中）已知在三棱锥中，，，则该三棱锥的外接球表面积为（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过作平面于，连接，由题意可知球心在上，求得球的半径，可求球的表面积. 【详解】过作平面于，连接， 因为，可得， 所以为的外心，所以三棱锥的外心在上， 因为，由正弦定理可得， 所以， 设外接球的半径为，则可得，所以， 所以该三棱锥的外接球表面积为. 故选：B. 【题型8：棱台外接球】 【练方法】 知识梳理 1定义：棱台的所有顶点都在球面上该球称为棱台的外接球球心到上下底面各顶点的距离相等 2存在条件：棱台可由棱锥截得且上下底面的外接圆圆心连线与两底面垂直 3核心：找外接球球心球心在上下底面外接圆圆心的连线上 常考结论 1正棱台：设上下底面外接圆半径为棱台的高为设球心到下底面的距离为则解方程组求 2特殊情况：当棱台上下底面外接圆圆心重合时球心在高线上 3补形法：将棱台补成棱锥先求原棱锥的外接球半径再验证是否为棱台的外接球 解题方法 1先确定棱台为正棱台找到上下底面的外接圆圆心 2设球心到下底面的距离为列方程求解 3代入求外接球半径 4补形法：补成棱锥利用棱锥外接球公式求解 （24-25高一下·江西抚州·期末）如图，在正四棱台中，，，若该四棱台的体积为，则该四棱台的外接球表面积为________．经典例题1例题 【答案】 【分析】首先，根据正四棱台的体积公式求出棱台的高；然后，通过建立关于外接球半径的方程来求解外接球半径；最后，利用球的表面积公式计算出外接球的表面积. 【详解】已知，，则上底面积，下底面积，体积 ， 由棱台体积公式得， 设外接球球心到下底面中心的距离为，则到上底面中心的距离为， 由正四棱台的上下底面都是正方形可得，， 设外接球半径为，则. 展开并化简：（负值舍去）， 则， 最终外接球表面积：， 故答案为： （2025·福建龙岩·二模）已知正四棱台的上，下底面边长分别为和．若该棱台的体积为，则该棱台的外接球表面积为（    ）.小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据台体体积公式可得台体的高，即可利用勾股定理列方程求解半径. 【详解】在正四棱台中，，，体积为，高为， 故， 则，， 连接、相交于点，、相交于点， 设外接球的球心为，若在台体外， 设到底面的距离为， 则半径为， 即，解得，所以球心与点重合， 若在台体内，到底面的距离为， 则半径为， 即，解得， 所以球心与点重合， 综上所述，，故，所以. 故选：C. （2025·全国·模拟预测）如图，已知正四棱台的高，且，则此正四棱台的外接球表面积为（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正四棱台的性质找到其外接球的球心，然后设球心为，点距离下底面的高度为. 根据题意列出方程，求解即可. 【详解】由题意可知，正四棱台外接球的球心在其上、下底面正方形的对角线的中点的连线上，如图所示，设球心为，点距离下底面的高度为. 因为，，，又上、下底面均为正方形，所以，. 设棱台的外接球的半径为，根据勾股定理可得，解得， 则，所以正四棱台的外接球表面积为. 故选：D. （25-26高一下·浙江金华·月考）已知正四棱台中，棱台体积为，则该四棱台的外接球表面积为（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由正棱台的体积可得正四棱台的高，再根据球的几何性质可得球的半径，进而可得球的表面积. 【详解】如图： 因为正四棱台上下底面均为正方形，上底面边长，对角线，外接圆半径. 下底面边长，对角线，外接圆半径. 设正四棱台的高为，则体积为，解得. 过正四棱台的对角面作截面，设外接球的球心为P，截面图如下： 设，则，所以， ，所以， 即，解得，所以外接球的半径为， 所以正四棱台的外接球的表面积. 【题型9：圆柱外接球】 【练方法】 知识梳理 1定义：圆柱的上下底面圆周都在球面上该球称为圆柱的外接球球心在圆柱的高的中点 2几何关系：外接球的球心到上下底面圆周上任意一点的距离相等等于球的半径 3核心：转化为轴截面矩形的外接圆问题圆的直径为矩形的对角线 常考结论 1半径公式：设圆柱底面半径为高为则外接球半径 2特殊情况：当圆柱的高等于底面直径时外接球半径 3轴截面法：外接球直径为矩形的对角线 解题方法 1画出圆柱的轴截面（矩形） 2矩形的对角线即为外接球的直径 3用勾股定理求半径 4验证：球心到上下底面圆周上点的距离等于确保结果正确 （25-26高三上·河南周口·月考）已知某圆柱的轴截面的周长为12，设该圆柱外接球体积的最小值为，该圆柱体积的最大值为，则（   ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设该圆柱底面圆的半径为r，高为h，则，设该圆柱外接球的半径为R，先求出R的最小值，进而得到最小体积，表示出圆柱体积，得到最大值，再求即可. 【详解】设该圆柱底面圆的半径为r，高为h，则，故． 设该圆柱外接球的半径为R， 则， 当时，R取得最小值，则． 圆柱的体积， 当且仅当，即时，等号成立，则，． 故选：B． 已知圆柱的上底面圆周经过正三棱锥的三条侧棱的中点，下底面圆心为此三棱锥底面中心.若三棱锥的高为该圆柱外接球半径的倍，则该三棱锥的外接球与圆柱外接球的半径之比为（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设正三棱锥的底面边长为，高为，则圆柱高为，底面圆半径为，利用勾股定理，可求得圆柱外接球半径，再求出正三棱锥的外接球的半径为，即可求出结果． 【详解】设正三棱锥的底面边长为，高为，如图所示：    则圆柱的高为，底面圆半径为， 设圆柱的外接球半径为，则， ，解得，此时，， 设正三棱锥的外接球的半径为，则球心到底面距离为， ，由勾股定理得，解得，故. 故选：A. 【点睛】本题主要考查了几何体的外接球，是中档题． （23-24高二上·广西南宁·期中）我校开设通用技术选修课程，在学习完通用技术的必修模块——技术与设计后，老师要求学生使用硬纸片制作一个表面积为的圆柱（硬纸片的厚度不记），记该圆柱的底面半径为，则当圆柱的外接球表面积取得最小值时，（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用几何关系列方程，结合基本不等式求解即可. 【详解】    设圆柱的高为， 则，故 设圆柱的外接球半径为，则， 故， 当且仅当，时，等号成立， 故当时，圆柱的外接球表面积取得最小值. 故选：C 已知某圆柱的侧面积为，当此圆柱的外接球体积最小时，它的高为________.小试牛刀3 【答案】 【分析】设圆柱的底面半径为，高为，圆柱的外接球半径为， 由圆柱的侧面积公式可得，外接球的体积最小即外接球的半径最小，再由勾股定理结合基本不等式求最值. 【详解】设圆柱的底面半径为，高为，圆柱的外接球半径为， 则，即， 外接球的体积最小即最小，， 当且仅当时等号成立，故此时. 故答案为：. 【题型10：圆锥外接球】 【练方法】 知识梳理 1定义：圆锥的底面圆周和顶点都在球面上该球称为圆锥的外接球球心在圆锥的高上 2几何关系：外接球的球心到圆锥顶点和底面圆周上任意一点的距离相等等于球的半径 3核心：列方程求解球心位置和半径 常考结论 1半径公式：设圆锥底面半径为高为外接球半径为球心到下底面的距离为由勾股定理得解得 2特殊情况：当圆锥的轴截面为等边三角形时外接球半径 3当圆锥的高等于底面直径时外接球半径 解题方法 1画出圆锥的轴截面（等腰三角形） 2设外接球半径为球心在高线上列方程 3解方程求 4验证：球心到顶点和底面圆周上点的距离均等于确保结果正确 （25-26高三下·四川泸州·开学考试）已知圆锥的侧面展开图是一个半径为2，圆心角为的扇形，则该圆锥的外接球表面积为（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设圆锥的底面圆半径为，母线长为，高为，则， 由题意得，，即，解得， ∴， 设该圆锥的外接球的半径为，显然球心位于圆锥高所在直线上， 由球的性质可知，， 解得，所以该圆锥的外接球的表面积为. 圆锥（其中为顶点，为底面圆心）的侧面积与底面积的比是，则圆锥与它的外接球（即顶点在球面上且底面圆周也在球面上）的体积比为__________．小试牛刀1 【答案】 【分析】设出圆锥底面半径和母线长，利用侧面积和底面积的比求得与的关系，由此求得圆锥的高，进而求得圆锥的体积.利用轴截面计算出圆锥外接球的半径，由此求得外接球的体积，进而求得圆锥与它的外接球（即顶点在球面上且底面圆周也在球面上）的体积比. 【详解】设圆锥底面圆的半径为，圆锥母线长为，则侧面积为，侧面积与底面积的比为，则母线，圆锥的高为，则圆锥的体积为，设外接球的球心为，半径为，截面图如图，则，，，在直角三角形中，由勾股定理得，即，展形整理得， 则外接球的体积为，故所求体积比为. 故填： 【点睛】本小题主要考查圆锥的表面积和底面积的计算，考查圆锥的体积和圆锥外接球体积的计算，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题. 《九章算术》是我国古代的数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，其中有很多对几何体体积的研究．已知某囤积粮食的容器的下面是一个底面积为、高为的圆柱，上面是一个底面积为、高为的圆锥，若该容器有外接球，则外接球的体积为小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设圆柱的底面圆的半径为，则由题意可得，解得．由题意可得该几何体的外接球既是圆锥的外接球，也是圆柱的外接球，故外接球的球心是圆柱上、下底面圆心连线的中点，设外接球的半径为，则，由圆锥内接于球可知外接球的球心到圆锥顶点的距离等于，即，所以，解得（负值舍去），所以，故该容器的外接球的体积为．故选C （22-23高一下·陕西西安·期末）底面半径为的圆锥侧面展开图的圆心角大小为，则此圆锥外接球表面积为（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意，根据圆锥底面周长与侧面弧长的关系建立方程，求得母线，由勾股定理求得高线，进而求得外接球半径，可得答案. 【详解】由题意可作图如下：    设圆锥的母线长为，由题意可得，解得， 则圆锥的高， 圆锥外接球的半径设为，则，解得， 故圆锥外接球的表面积. 故选：A. 【题型11：圆台外接球】 【练方法】 知识梳理 1定义：圆台的上下底面圆周都在球面上该球称为圆台的外接球球心在圆台的高上 2几何关系：外接球的球心到上下底面圆周上任意一点的距离相等等于球的半径 3核心：列方程求解球心位置和半径 常考结论 1半径公式：设圆台上下底面半径为高为外接球半径为球心到下底面的距离为由勾股定理得解得再求 2特殊情况：当圆台为圆柱时退化为圆柱外接球公式 3当圆台的上下底面圆心重合时球心在高线上公式同上 解题方法 1画出圆台的轴截面（等腰梯形） 2设外接球半径为球心到下底面的距离为列方程 3解方程求再代入求半径 4验证：球心到上下底面圆周上点的距离均等于确保结果正确 （2024·安徽·三模）已知圆台的上､下底面面积分别为，其外接球球心满足，则圆台的外接球体积与圆台的体积之比为（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据相切结合勾股定理可得，即可求解，由圆台和球的体积公式即可求解. 【详解】设圆台的高为，外接球半径为，作出轴截面如图： 的上､下底面面积分别为，则圆，的半径分别为2，6， 则，解得， 故所求体积之比为 故选：B    （25-26高三上·江西·开学考试）已知圆台的上底面积，下底面积分别为，体积为，则该圆台的外接球表面积为（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆台的底面面积和体积公式，求得圆台的底面圆半径以及高；再根据外接球球心的几何特点，列出等量关系，进而求得球半径，再求球的表面积即可. 【详解】设该圆台的上底面和下底面半径分别为，高为； 由题可知：，，解得； 设圆台上底面、下底面圆心为，外接球球心为，球半径长度为， 显然，球心在的连线上，设，根据题意，作图如下所示：    若要满足题意，则，也即，，解得， 故，则该圆台外接球表面积. 故选：B. （2025·四川成都·三模）在圆台中，圆的半径是圆半径的2倍，且点为该圆台外接球球心，则圆台的体积与外接球的体积之比为（）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】假设圆的半径，则圆的半径可知，进而通过勾股定理可求圆台的高，分别利用圆台和球的体积计算即可. 【详解】过作圆台的轴截面，如图所示 为该圆台外接球球心，且圆的半径是圆半径的2倍， 不妨设圆的半径，则圆的半径 依题意， ，， ， 故选：D. （24-25高三上·江苏淮安·月考）已知圆台的上底半径为1，下底半径为2，母线长为，则此圆台的外接球表面积为（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用圆台、球体轴截面的性质及已知求圆台的高，结合球体半径与圆台上下底面半径、高的关系求球体的半径，进而求球体的表面积. 【详解】圆台轴截面如下图示，圆为圆台外接球的截面，为圆台上下底面的圆心， 根据已知，圆台的高， 设球体半径为，则，可得，则. 故选：C 【题型12：与球有关的截面问题】 【练方法】 知识梳理 1球的截面定义：用平面截取球面所得图形为圆分为大圆与小圆 2大圆：过球心的截面圆半径等于球半径 3小圆：不过球心的截面圆半径为球心到截面距离为 4核心几何模型：球心、截面圆圆心、截面圆上任意一点构成直角三角形 常考结论 1勾股定理核心式： 2大圆面积： 3小圆面积： 4截面距离越大截面圆半径越小面积越小 5球中最大截面为大圆面积 解题方法 1画直角三角形：球心—截面圆心—截面圆周点 2套用公式知二求一 3已知截面面积先求再求或 4求距离时直接变形 5球内接几何体问题优先作过高线的轴截面转化为平面圆问题 （2025·湖南长沙·二模）已知过球面上三点A，B，C的截面到球心的距离等于球半径的，且，，，则球的表面积是_______.经典例题1例题 【答案】 【分析】根据球的半径、球心到截面的距离及截面圆半径之间的关系求解即可. 【详解】因为， 所以是直角三角形，且直角顶点为，斜边为， 所以外接圆的半径为. 又球心到截面的距离， 根据球的截面性质得，，整理得. 所以球的表面积为. 故答案为：. （24-25高一下·广东惠州·期中）已知过球面上三点的截面和球心的距离为球半径的一半，且，则球的体积是_______.小试牛刀1 【答案】 【分析】根据给定条件，利用正弦定理求出的外接圆半径，再利用球面的截面小圆性质求出球半径即得答案. 【详解】在中，，则，， 由正弦定理得外接圆半径，设球半径为， 于是，解得，所以球的体积是. 故答案为：. （2025·山东·一模）在正三棱柱中，，为的中点，若三棱锥的四个顶点均在球上，过作球的截面，则所得截面圆面积的最小值为（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】方法一,根据题意可得在的外接圆上，即可的球为四棱锥的外接球，进而求解截面圆的最小值; 方法二, 根据题意可得在的外接圆上，即可的球为四棱锥的外接球，进而求解截面圆的最小值. 【详解】方法一：因为，所以点在的外接圆上， 所以三棱锥的四个顶点均在球上， 即球为四棱锥的外接球， 故球心在正方形的中心，则球的半径为． 过作球的截面，当所得截面圆面积最小时， 则截面圆圆心为中点（即过作截面垂线，垂足为中点）， 所以截面圆半径为1，所以面积最小值为． 方法二：因为，所以点在的外接圆上， 所以三棱锥的四个顶点均在球上， 即球为四棱锥的外接球， 故两点在球上，所以最小截面圆为以为直径的圆． 则截面圆圆心为中点（即过作截面垂线，垂足为中点）， 所以截面圆半径为1，所以面积最小值为． 故选：B. 已知正四面体ABCD的表面积为，E为棱AB的中点，球О为该正四面体的外接球，则过DE的平面被球О所截得的截面面积最小值为（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据表面积求出四面体的棱长，得出外接球的半径，根据截面圆的性质可得答案. 【详解】设正四面体的棱长为，则，∴， ∴正四面体的高为； 将正四面体放置于正方体中，如图1所示：可得正方体的外接球就是正四面体的外接球， ∵正四面体的棱长为2，∴正方体的棱长为，可得外接球半径满足， E为棱AB的中点，过DE作其外接球的截面，当球心O到截面的距离最大时，截面圆的面积达到最小值， 此时球心O到截面的距离等于O到DE的距离，O到DE的距离为， 可得截面圆的半径为，得到截面圆的面积最小值为. 故选:C.    课后针对训练 一、单选题 1．（24-25高一下·山东临沂·期中）已知正三棱锥的体积为，侧面积为，底面积等于，则这个正三棱锥内切球的体积为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据多面体的体积与内切球的半径之间的关系，求内切球半径，进而利用球的体积公式求球的体积. 【详解】因为三棱锥的体积：，其中为三棱锥的表面积，为其内切球的半径. 所以 . 所以这个三棱锥内切球的体积为：（）. 故选：B 2．（25-26高三上·天津南开·期末）正四棱锥的体积为8，，若该四棱锥的顶点均在一个球面上，则这个球的表面积为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意画出图形，由体积可算得正四棱锥的高，再由勾股定理可求得外接球的半径，进而求得其表面积. 【详解】如图，设为外接球球心，底面于点，设， 由正四棱锥的体积为8，即，解得，则， 又，所以，， 在中，，即，解得， 所以外接球的表面积为. 故选：C. 3．（25-26高二下·云南昭通·开学考试）在长方体中，已知，则长方体外接球的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设长方体外接球的半径为． 因为，所以，该长方体外接球的体积． 4．（2026·河南洛阳·模拟预测）将一个半径为2的铁球熔化后，浇铸成一个正四棱台形状的铁锭，若这个铁锭的上、下底面边长分别为1和2，则它的高为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用球和正四棱台的体积相等直接计算即可． 【详解】球的体积为，设铁锭的高为， 则正四棱台的体积为， 由，可得，解得. 5．（2025高三·全国·专题练习）如图，已知球O内切于圆台（即球与该圆台的上、下底面以及侧面均相切），且圆台的上、下底面半径，，则球O与圆台侧面的切痕所在平面分圆台上下两部分的体积比为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据相切可得母线，进而得到圆台的高即为内切球直径，利用边的关系得到，再得到，根据球的截面问题得到截面半径，利用台体体积公式分别得到两圆台的体积即可得到比值. 【详解】如图为该几何体的轴截面，其中圆O是等腰梯形ABCD的内切圆， 设圆O与梯形的腰相切于点P，Q，与上、下底分别切于点，， 又圆台上、下底面的半径为，， 则，，， 故在直角梯形中，过点C作，垂足为E， 所以， 在中，因为，所以，则， ，则， 因为球O内切于圆台，所以， 设QP与交于点，则， ，． 故圆台体积为 ， 圆台体积为 ， 故切痕所在平面分圆台上、下两部分的体积比为．    故选：B. 6．（25-26高三上·天津西青·月考）如图，在直角梯形中，，，.若梯形绕所在直线旋转一周，则所得几何体的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题中条件，先求出各个边长，由题意，旋转后的几何体为圆台，取其轴截面，设外接球球心为O，分别讨论O在线段AD上和在DA延长线上两种情况，根据勾股定理，列出方程组，化简计算，求出，代入面积公式，即可得答案. 【详解】过C作，交AB于E， 则， 因为，且四边形ADCE为矩形， 所以，即. 由题意得，梯形绕所在直线旋转一周得到的几何体为圆台，取圆台的轴截面， 如图所示，设外接球球心为O，半径为R，， 当O在线段AD上时，则， 由勾股定理得，即， 整理得，即，不成立，故O不在线段AD上； 当球心O在DA的延长线上时，则，如图： 所以，即， 解得，所以， 所以该圆台外接球的表面积为. 故选：D 7．（2025高二上·江西南昌·专题练习）若一个正四棱台的高为，上下底面的边长分别为和的正方形，则该台体的外接球的表面积（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件作图，利用求得，即可求出外接球半径，求出外接球表面积. 【详解】根据条件，作出正四棱台如图所示，    则其外接球球心在直线上， ，，， 所以，， 由，设， 可得， 解得， 所以外接球半径即， 所以其外接球表面积为. 故选：A 8．（25-26高三上·江西景德镇·期末）已知正三棱台的高为3，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先通过构造直角三角形等方法来求出球的半径，再根据球的表面积公式求解. 【详解】设正三棱台上下底面所在圆面的半径，，即，， 设球心到上下底面的距离分别为，，球的半径为， 即，即， 平方可得：，解得； 所以球的表面积为. 故选：A.    9．（25-26高三上·云南曲靖·期末）已知正三棱锥的体积为，侧面积为，底面积等于，则这个正三棱锥内切球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据内切球的球心将三棱锥分成四个三棱锥，这四个三棱锥的高均为内切球半径，再根据等体积法可得内切球半径，从而可得球的体积. 【详解】因为正三棱锥的体积为，侧面积为，底面积等于，如图： 设O为三棱锥的内切球的球心，则连接， 三棱锥被分成四个三棱锥，这四个三棱锥的高均为内切球的半径r， 由等体积法可得 ， ，，解得 内切球体积. 故选：A. 10．（25-26高三下·安徽·开学考试）已知某圆锥的轴截面是一个等腰直角三角形，则该圆锥的体积与其外接球的体积之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由圆锥的轴截面是等腰直角三角形，设出底面圆半径，然后分别求出圆锥和其外接球的体积. 【详解】由于圆锥的轴截面是等腰直角三角形，那么圆锥的外接球的球心和底面圆心重合， 不妨设底面直径为，则圆锥的高为，外接球的半径为， 外接球的体积是，圆锥的体积为， 于是圆锥的体积与其外接球的体积之比为. 故选：D． 11．（2026高一·全国·专题练习）在三棱锥中，已知，，，则该三棱锥外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意得到三棱锥的对棱相等，可知该三棱锥可置于一个长方体中，再求长方体外接球的体积即可. 【详解】由题意可知：，，， 则三棱锥可放置在如图所示的长方体中， 设三棱锥三组对棱的长分别为，，， 由对棱相等模型，，，， 即，所以长方体的体对角线平方为：， 即体对角线长为，则， 该三棱锥外接球的体积. 故选：B. 12．（24-25高一下·四川资阳·期中）若高为1的正三棱柱的顶点都在半径为1的球面上，则该正三棱柱的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据球的截面圆的性质，得到棱柱底面与球的截面圆的半径，进而求得底面三角形的边长为，结合棱柱的体积公式，即可求解. 【详解】由题意可知球的半径， 因为正三棱柱的高为，则球心到三棱柱底面的距离， 根据球的截面圆的性质，可得，即，解得， 棱柱底面与球的截面圆的半径， 三棱柱的底面三角形为截面圆内接正三角形，可得三角形的边长为， 所以三角形的面积为， 该棱柱的体积为. 13．（25-26高一下·内蒙古乌兰察布·月考）已知圆锥的底面圆周在球O的球面上，顶点为球心O，圆锥的高为3，且圆锥的侧面展开图是一个半圆，则球O的表面积为（   ） A．12π B．16π C．48π D．9π 【答案】C 【分析】设圆锥的母线长为，底面圆的半径为，球的半径为，根据题意，求得，得到，即球的半径为，结合球的表面公式，即可求解. 【详解】如图所示，设圆锥的母线长为，底面圆的半径为，球的半径为， 因为圆锥的侧面展开图是一个半圆，可得，解得， 又因为圆锥的高为，可得，解得， 即圆锥的底面圆的半径为，母线长为，即球的半径为， 所以球的表面积为. 14．（2026·湖南常德·二模）一个圆锥的底面半径与一个球的半径相等，且它们的体积也相等，则圆锥的侧面积与球的表面积的比值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意设圆锥的底面半径与球的半径均为，圆锥的母线长为，高为，由已知可得，，计算侧面积与球的表面积的比值. 【详解】由题意设圆锥的底面半径与球的半径均为，圆锥的母线长为，高为． 由，得，， ，则． 15．（25-26高一下·河北保定·月考）在直三棱柱中，，，，，则该直三棱柱的外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，，，则，所以， 将直三棱柱补成长方体，如下图所示：    所以长方体的外接球就是直三棱柱的外接球， 即直径为， 因此，该直三棱柱的外接球的表面积为． 16．（2026·河北沧州·模拟预测）已知圆台的上､下底面半径分别为1，2，体积为，则该圆台外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用圆台体积公式求出高，再根据外接球球心在上下底面圆心连线上，由球心到两底面圆周的距离相等列方程求出外接球半径，代入球的体积公式计算结果. 【详解】设该圆台的上､下底面的圆心分别为，高为，则圆台的体积为 ，求解可得， 设该圆台外接球的球心为，则在上，设，所以， 设该圆台外接球的半径为，所以，求解可得， 所以该圆台外接球的体积为. 二、填空题 17．（23-24高一下·四川泸州·期中）已知的三个顶点都在球的球面上，且，若三棱锥的体积为，则球的表面积为___________． 【答案】/ 【分析】设外接圆圆心为，由题知平面，，根据体积可得，再由及表面积公式即可求解. 【详解】由题知为等边三角形，设其外接圆圆心为，    又的三个顶点都在球的球面上，所以平面， ，， ，解得， 则外接球半径， 所以球的表面积. 故答案为：. 18．（2026高一·全国·专题练习）已知圆锥的全面积是它的内切球表面积的2倍，则底面面积和圆锥侧面积之比为_____． 【答案】 【详解】如图，设母线长为，底面半径为，母线与底面所成角为，内切球半径，连接， 则，可得，故， ，，， ，故， 则，解得， 由圆锥表面积公式得： ， ， ， 由球的表面积公式得， 圆锥的全面积是它的内切球表面积的2倍，即， ， 由同角三角函数的基本关系结合二倍角公式可得：， 整理得， 即， 化简得，解得， 设底面积为，侧面积为，则． 19．（25-26高一下·重庆·月考）已知一正三棱台的上、下底面边长分别为、．若该正三棱台的体积为．则它的外接球的表面积为__________． 【答案】 【分析】 根据条件及三棱台的体积公式，可得正三棱台的高，根据正三棱台的性质及勾股定理，可得外接球的球心到下底面的距离，进而可得外接球的半径R，代入表面积公式，即可得答案. 【详解】因为正三棱台的上、下底面边长分别为、， 所以上底面面积，下底面面积， 设正三棱台的高为h，则体积， 则，解得， 上底面的中心到顶点A的距离， 下底面的中心到顶点D的距离， 因为，所以外接球球心O位于底面DEF的下方， 设外接球球心到下底面的距离为，则到上底面的距离为，设外接球的半径为， 则，即，解得，则， 所以外接球的表面积为 20．（24-25高一下·广东汕头·期中）已知正四面体的表面积为，此四面体的内切球的表面积为，则＝______． 【答案】 【分析】设四面体的棱长为，求出正四面体的高，可得其体积，设正四面体的内切球半径为利用等体积法可得则,从而得到内切球的半径即可求解. 【详解】设四面体的棱长为，则底面三角形的高为，且底面中心将底面三角形的高分为两段， 所以底面中心到顶点的距离为可得正四面体的高为， 所以正四面体的体积 设正四面体的内切球半径为则 ， 所以内切球表面积，又正四面体的表面积， 所以 1 学科网（北京）股份有限公司 $2026年高一数学下学期常考题型归纳 【专题07：常见几何体的内切球外接球】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：棱锥内切球】 【练方法】 知识梳理 1定义：与棱锥的所有面都相切的球称为棱锥的内切球球心到每个面的距离相等等于球的半径 2核心原理：体积法棱锥的体积等于以球心为顶点各面为底面的多个小三棱锥体积之和 3适用场景：所有棱锥尤其是正棱锥（正棱锥的内切球球心在高上） 常考结论 1通用公式：（为棱锥体积为表面积为内切球半径） 2正棱锥：球心在高线上高斜高底面周长底面积则 3正四面体：内切球半径（为棱长） 解题方法 1先求棱锥的体积和表面积 2代入体积法公式直接求半径 3正棱锥可利用对称性球心在高上结合几何关系列方程求解 4验证：球心到各面的距离均等于确保结果正确 （24-25高一下·福建福州·期末）已知正四棱锥中，各棱长均相等，球是该四棱锥的内切球，球与球相切，且与该四棱锥的四个侧面也相切，则球与球的表面积之比为（    ）经典例题1例题 A． B．9 C． D． （2024·四川德阳·模拟预测）设正四面体的内切球表面积为，则能装下该正四面体的最小正方体(不计厚度)的体积为（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． （23-24高一下·重庆·期末）已知三棱锥三条侧棱PA，PB，PC两两互相垂直，且，M为该三棱锥的内切球上的动点，则M，P两点间距离的最小值为______.小试牛刀2 （23-24高二下·湖南常德·期中）在棱长为2的正四面体中，正四面体的内切球表面积为（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型2：棱台内切球】 【练方法】 知识梳理 1定义：与棱台的所有面都相切的球称为棱台的内切球球心到上下底面和各侧面的距离相等等于半径 2存在条件：棱台的斜高等于上下底面周长和的一半的比值满足特定条件仅当棱台可由正棱锥截得且侧面与底面夹角相等时存在内切球 3核心原理：体积法棱台的体积等于以球心为顶点各面为底面的多棱锥体积之和 常考结论 1通用公式：（为棱台体积为表面积为内切球半径） 2正棱台：球心在上下底面中心的连线上（高线上）斜高（为侧面与上下底面的夹角） 3必要条件：上下底面的内切圆半径斜高 解题方法 1先判断棱台是否存在内切球（斜高等于上下底面内切圆半径和） 2计算棱台的体积和表面积 3代入体积法公式求半径 4正棱台可利用对称性结合高、斜高列方程求解 （25-26高二上·广东广州·期末）已知在正四棱台中，，若此正四棱台存在内切球，则此正四棱台的体积为（   ）经典例题1例题 A． B． C． D． （24-25高三上·重庆·期末）在正四棱台中，，且正四棱台存在内切球，则此正四棱台外接球的表面积为（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． （2026·辽宁沈阳·一模）已知球内切于正四棱台（即球与该正四棱台的上､下底面以及侧面均相切），且该正四棱台的上､下底面棱长之比为，则球与该正四棱台的体积之比为__________.小试牛刀2 （24-25高二下·浙江杭州·月考）某正三棱台（底面与顶面均为正三角形，侧面都是等腰梯形的几何体）的体积为，内切球（与棱台各面都相切）的半径为，则该三棱台的侧棱长为__________小试牛刀3 【题型3：棱柱内切球】 【练方法】 知识梳理 1内切球定义：与棱柱每个面都相切的球球心到各面距离相等且等于半径 2存在条件：棱柱必须是直棱柱且底面存在内切圆（底面为正方形、菱形、正多边形等） 3核心等量关系：棱柱的高等于内切球直径即 4核心方法：体积法棱柱体积等于以内切球球心为顶点各面为底的若干小柱体体积之和 常考结论 1存在判定：直棱柱+底面有内切圆⇔有内切球 2半径公式：（为棱柱的高） 3底面多边形内切圆半径（为底面积为底面周长） 4体积法通用式： 解题方法 1先判断是否存在：是否为直棱柱底面是否有内切圆 2确定高直接得半径 3求表面积或体积时代入球公式 4底面若为正多边形用快速求内切圆半径 （25-26高二上·广东肇庆·期中）一个正方体的体积为8，若一个球内切于该正方体，则此球的体积是________．经典例题1例题 （23-24高一下·广东东莞·期中）已知一个球内切于正方体，且这个球的体积为，那么这个正方体的体积为______．小试牛刀1 已知直三棱柱ABC-A1B1C1的底面ABC为等边三角形，若该棱柱存在外接球与内切球，则其外接球与内切球表面积之比为（  ）小试牛刀2 A．25︰1 B．1︰25 C．1︰5 D．5︰1 （2022·山东济宁·三模）若一个正六棱柱既有外接球又有内切球，则该正六棱柱的外接球和内切球的表面积的比值为（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型4：圆锥内球球】 【练方法】 知识梳理 1定义：与圆锥的底面和侧面都相切的球称为圆锥的内切球球心在圆锥的高上 2几何关系：过圆锥轴的截面为等腰三角形内切圆即为圆锥的轴截面三角形的内切圆半径等于圆锥内切球的半径 3核心：转化为平面几何问题求等腰三角形的内切圆半径 常考结论 1轴截面法：圆锥底面半径高母线长则内切球半径 2体积法：则 3特殊情况：当圆锥为等边圆锥（轴截面为等边三角形）时 解题方法 1画出圆锥的轴截面（等腰三角形） 2用平面几何方法求三角形的内切圆半径 3或直接套用公式 4验证：球心到侧面的距离等于半径确保结果正确 （25-26高二上·湖北·月考）某圆锥的底面半径与高之比为，其内切球与圆锥的体积之比为（   ）经典例题1例题 A． B． C． D． （2025高二·全国·专题练习）如图，圆锥的底面半径为r，高为，且该圆锥内切球（球与圆锥的底面和侧面均相切）的半径为1，则________．小试牛刀1    （23-24高一下·河南·月考）若一个圆锥的内切球与外接球的球心重合，且内切球的半径为，则该圆锥的侧面积为________．小试牛刀2 （2023·海南海口·一模）已知母线的长为的圆锥，其侧面积为，是该圆锥内切球球面上一动点，则的最大值为______．小试牛刀3 【题型5：圆台内切球】 【练方法】 知识梳理 1定义：与圆台的上下底面和侧面都相切的球称为圆台的内切球球心在圆台的高上 2存在条件：圆台的母线长等于上下底面半径之和（为下底半径为上底半径） 3核心：转化为轴截面等腰梯形的内切圆问题圆的半径即为圆台内切球的半径 常考结论 1存在条件：母线长高 2半径公式：（轴截面等腰梯形的高为圆的直径半径为） 3体积法：代入可验证 解题方法 1先判断圆台是否存在内切球（母线长） 2直接用公式或用高的一半计算 3轴截面法：画出等腰梯形求其内切圆半径 4验证：母线长是否等于上下底半径和确保存在性 （2025高三上·安徽六安·专题练习）已知圆台的上下底面半径之比为，它的内切球（与圆台的上下底面以及每条母线都相切的球）体积为，则该圆台的体积为 ______.经典例题1例题 （25-26高三上·山东青岛·期中）已知圆台的上下底面半径之比为1∶2，它的内切球（与圆台的上下底面以及每条母线都相切的球）表面积为；则该圆台的体积为（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． （2025·山东·模拟预测）已知底面半径均为的圆锥和圆台，它们的内切球半径也均为（内切球分别与圆锥和圆台的底面以及侧面均相切），若，则圆锥和圆台的体积比为_____．小试牛刀2 （24-25高一下·江苏镇江·月考）已知一圆台上底半径为1（下底半径大于上底半径），母线与底面所成角的余弦值为，若此圆台存在内切球（球与棱台各面均相切），则此圆台的表面积是（   ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型6：棱柱外接球】 【练方法】 知识梳理 1定义：棱柱的所有顶点都在球面上该球称为棱柱的外接球球心到各顶点的距离相等等于球的半径 2核心：找外接球球心球心是上下底面外接圆圆心连线的中点 3适用场景：直棱柱、正棱柱（斜棱柱一般无外接球） 常考结论 1直棱柱：设底面外接圆半径为棱柱的高为则外接球半径 2长方体：体对角线为外接球直径（为长宽高） 3正方体：外接球半径（为棱长） 4直三棱柱：底面外接圆半径（正弦定理）再代入直棱柱公式 解题方法 1先确定棱柱为直棱柱再找上下底面的外接圆圆心 2两圆心连线的中点即为外接球球心 3用勾股定理求半径： 4长方体/正方体直接用体对角线公式 已知直三棱柱的底面ABC为等边三角形，若该棱柱存在外接球与内切球，则其外接球与内切球表面积之比为（    ）经典例题1例题 A．25：1 B．2：1 C．5：1 D．：1 正方体内切球和外接球半径的比为小试牛刀1 A． B． C． D．1:2 24-25高三上·云南昆明·月考）已知长方体的体积为，且，则长方体外接球体积的最小值为（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． （21-22高三上·安徽芜湖·期末）如图所示，在长方体中，，，则该长方体外接球球心到平面的距离为（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型7：棱锥外接球】 【练方法】 知识梳理 1定义：棱锥的所有顶点都在球面上该球称为棱锥的外接球球心到各顶点的距离相等 2核心：找外接球球心球心在过底面外接圆圆心且垂直于底面的直线上 3常见类型：正棱锥、直棱锥（一条侧棱垂直底面）、特殊棱锥（如墙角型） 常考结论 1正棱锥：设底面外接圆半径为棱锥的高为则外接球半径（球心在高线上列方程求解） 2直棱锥（一条侧棱垂直底面）：补形为直棱柱外接球半径（为垂直底面的侧棱长） 3墙角型三棱锥（三条侧棱两两垂直）：补形为长方体外接球直径为长方体体对角线 4正四面体：外接球半径（为棱长） 解题方法 1先判断棱锥类型：正棱锥/直棱锥/墙角型 2正棱锥：用高线上的球心列方程求解 3直棱锥/墙角型：补形法补成长方体/直棱柱直接用体对角线公式 4验证：球心到各顶点的距离均等于确保结果正确 （2024高三·全国·专题练习）如图，在三棱锥中，为等边三角形，，，若，则三棱锥外接球体积的最小值为______．经典例题1例题    在三棱锥中，面，则三棱锥的外接球表面积是小试牛刀1 A． B． C． D． （23-24高二下·浙江温州·期中）已知在三棱锥中，，点为三棱锥外接球上一点，则三棱锥的体积最大为______．小试牛刀2 （24-25高二下·浙江·期中）已知在三棱锥中，，，则该三棱锥的外接球表面积为（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型8：棱台外接球】 【练方法】 知识梳理 1定义：棱台的所有顶点都在球面上该球称为棱台的外接球球心到上下底面各顶点的距离相等 2存在条件：棱台可由棱锥截得且上下底面的外接圆圆心连线与两底面垂直 3核心：找外接球球心球心在上下底面外接圆圆心的连线上 常考结论 1正棱台：设上下底面外接圆半径为棱台的高为设球心到下底面的距离为则解方程组求 2特殊情况：当棱台上下底面外接圆圆心重合时球心在高线上 3补形法：将棱台补成棱锥先求原棱锥的外接球半径再验证是否为棱台的外接球 解题方法 1先确定棱台为正棱台找到上下底面的外接圆圆心 2设球心到下底面的距离为列方程求解 3代入求外接球半径 4补形法：补成棱锥利用棱锥外接球公式求解 （24-25高一下·江西抚州·期末）如图，在正四棱台中，，，若该四棱台的体积为，则该四棱台的外接球表面积为________．经典例题1例题 （2025·福建龙岩·二模）已知正四棱台的上，下底面边长分别为和．若该棱台的体积为，则该棱台的外接球表面积为（    ）.小试牛刀1 A． B． C． D． （2025·全国·模拟预测）如图，已知正四棱台的高，且，则此正四棱台的外接球表面积为（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． （25-26高一下·浙江金华·月考）已知正四棱台中，棱台体积为，则该四棱台的外接球表面积为（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型9：圆柱外接球】 【练方法】 知识梳理 1定义：圆柱的上下底面圆周都在球面上该球称为圆柱的外接球球心在圆柱的高的中点 2几何关系：外接球的球心到上下底面圆周上任意一点的距离相等等于球的半径 3核心：转化为轴截面矩形的外接圆问题圆的直径为矩形的对角线 常考结论 1半径公式：设圆柱底面半径为高为则外接球半径 2特殊情况：当圆柱的高等于底面直径时外接球半径 3轴截面法：外接球直径为矩形的对角线 解题方法 1画出圆柱的轴截面（矩形） 2矩形的对角线即为外接球的直径 3用勾股定理求半径 4验证：球心到上下底面圆周上点的距离等于确保结果正确 （25-26高三上·河南周口·月考）已知某圆柱的轴截面的周长为12，设该圆柱外接球体积的最小值为，该圆柱体积的最大值为，则（   ）经典例题1例题 A． B． C． D． 已知圆柱的上底面圆周经过正三棱锥的三条侧棱的中点，下底面圆心为此三棱锥底面中心.若三棱锥的高为该圆柱外接球半径的倍，则该三棱锥的外接球与圆柱外接球的半径之比为（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． （23-24高二上·广西南宁·期中）我校开设通用技术选修课程，在学习完通用技术的必修模块——技术与设计后，老师要求学生使用硬纸片制作一个表面积为的圆柱（硬纸片的厚度不记），记该圆柱的底面半径为，则当圆柱的外接球表面积取得最小值时，（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． 已知某圆柱的侧面积为，当此圆柱的外接球体积最小时，它的高为________.小试牛刀3 【题型10：圆锥外接球】 【练方法】 知识梳理 1定义：圆锥的底面圆周和顶点都在球面上该球称为圆锥的外接球球心在圆锥的高上 2几何关系：外接球的球心到圆锥顶点和底面圆周上任意一点的距离相等等于球的半径 3核心：列方程求解球心位置和半径 常考结论 1半径公式：设圆锥底面半径为高为外接球半径为球心到下底面的距离为由勾股定理得解得 2特殊情况：当圆锥的轴截面为等边三角形时外接球半径 3当圆锥的高等于底面直径时外接球半径 解题方法 1画出圆锥的轴截面（等腰三角形） 2设外接球半径为球心在高线上列方程 3解方程求 4验证：球心到顶点和底面圆周上点的距离均等于确保结果正确 （25-26高三下·四川泸州·开学考试）已知圆锥的侧面展开图是一个半径为2，圆心角为的扇形，则该圆锥的外接球表面积为（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． 圆锥（其中为顶点，为底面圆心）的侧面积与底面积的比是，则圆锥与它的外接球（即顶点在球面上且底面圆周也在球面上）的体积比为__________．小试牛刀1 《九章算术》是我国古代的数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，其中有很多对几何体体积的研究．已知某囤积粮食的容器的下面是一个底面积为、高为的圆柱，上面是一个底面积为、高为的圆锥，若该容器有外接球，则外接球的体积为小试牛刀2 A． B． C． D． （22-23高一下·陕西西安·期末）底面半径为的圆锥侧面展开图的圆心角大小为，则此圆锥外接球表面积为（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型11：圆台外接球】 【练方法】 知识梳理 1定义：圆台的上下底面圆周都在球面上该球称为圆台的外接球球心在圆台的高上 2几何关系：外接球的球心到上下底面圆周上任意一点的距离相等等于球的半径 3核心：列方程求解球心位置和半径 常考结论 1半径公式：设圆台上下底面半径为高为外接球半径为球心到下底面的距离为由勾股定理得解得再求 2特殊情况：当圆台为圆柱时退化为圆柱外接球公式 3当圆台的上下底面圆心重合时球心在高线上公式同上 解题方法 1画出圆台的轴截面（等腰梯形） 2设外接球半径为球心到下底面的距离为列方程 3解方程求再代入求半径 4验证：球心到上下底面圆周上点的距离均等于确保结果正确 （2024·安徽·三模）已知圆台的上､下底面面积分别为，其外接球球心满足，则圆台的外接球体积与圆台的体积之比为（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． （25-26高三上·江西·开学考试）已知圆台的上底面积，下底面积分别为，体积为，则该圆台的外接球表面积为（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． （2025·四川成都·三模）在圆台中，圆的半径是圆半径的2倍，且点为该圆台外接球球心，则圆台的体积与外接球的体积之比为（）小试牛刀2 A． B． C． D． （24-25高三上·江苏淮安·月考）已知圆台的上底半径为1，下底半径为2，母线长为，则此圆台的外接球表面积为（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型12：与球有关的截面问题】 【练方法】 知识梳理 1球的截面定义：用平面截取球面所得图形为圆分为大圆与小圆 2大圆：过球心的截面圆半径等于球半径 3小圆：不过球心的截面圆半径为球心到截面距离为 4核心几何模型：球心、截面圆圆心、截面圆上任意一点构成直角三角形 常考结论 1勾股定理核心式： 2大圆面积： 3小圆面积： 4截面距离越大截面圆半径越小面积越小 5球中最大截面为大圆面积 解题方法 1画直角三角形：球心—截面圆心—截面圆周点 2套用公式知二求一 3已知截面面积先求再求或 4求距离时直接变形 5球内接几何体问题优先作过高线的轴截面转化为平面圆问题 （2025·湖南长沙·二模）已知过球面上三点A，B，C的截面到球心的距离等于球半径的，且，，，则球的表面积是_______.经典例题1例题 （24-25高一下·广东惠州·期中）已知过球面上三点的截面和球心的距离为球半径的一半，且，则球的体积是_______.小试牛刀1 （2025·山东·一模）在正三棱柱中，，为的中点，若三棱锥的四个顶点均在球上，过作球的截面，则所得截面圆面积的最小值为（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． 已知正四面体ABCD的表面积为，E为棱AB的中点，球О为该正四面体的外接球，则过DE的平面被球О所截得的截面面积最小值为（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 课后针对训练 一、单选题 1．（24-25高一下·山东临沂·期中）已知正三棱锥的体积为，侧面积为，底面积等于，则这个正三棱锥内切球的体积为（ ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·天津南开·期末）正四棱锥的体积为8，，若该四棱锥的顶点均在一个球面上，则这个球的表面积为（   ）． A． B． C． D． 3．（25-26高二下·云南昭通·开学考试）在长方体中，已知，则长方体外接球的体积为（   ） A． B． C． D． 4．（2026·河南洛阳·模拟预测）将一个半径为2的铁球熔化后，浇铸成一个正四棱台形状的铁锭，若这个铁锭的上、下底面边长分别为1和2，则它的高为（    ） A． B． C． D． 5．（2025高三·全国·专题练习）如图，已知球O内切于圆台（即球与该圆台的上、下底面以及侧面均相切），且圆台的上、下底面半径，，则球O与圆台侧面的切痕所在平面分圆台上下两部分的体积比为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高三上·天津西青·月考）如图，在直角梯形中，，，.若梯形绕所在直线旋转一周，则所得几何体的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 7．（2025高二上·江西南昌·专题练习）若一个正四棱台的高为，上下底面的边长分别为和的正方形，则该台体的外接球的表面积（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高三上·江西景德镇·期末）已知正三棱台的高为3，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（   ） A． B． C． D． 9．（25-26高三上·云南曲靖·期末）已知正三棱锥的体积为，侧面积为，底面积等于，则这个正三棱锥内切球的体积为（    ） A． B． C． D． 10．（25-26高三下·安徽·开学考试）已知某圆锥的轴截面是一个等腰直角三角形，则该圆锥的体积与其外接球的体积之比为（   ） A． B． C． D． 11．（2026高一·全国·专题练习）在三棱锥中，已知，，，则该三棱锥外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 12．（24-25高一下·四川资阳·期中）若高为1的正三棱柱的顶点都在半径为1的球面上，则该正三棱柱的体积为（    ） A． B． C． D． 13．（25-26高一下·内蒙古乌兰察布·月考）已知圆锥的底面圆周在球O的球面上，顶点为球心O，圆锥的高为3，且圆锥的侧面展开图是一个半圆，则球O的表面积为（   ） A．12π B．16π C．48π D．9π 14．（2026·湖南常德·二模）一个圆锥的底面半径与一个球的半径相等，且它们的体积也相等，则圆锥的侧面积与球的表面积的比值为（   ） A．1 B． C． D． 15．（25-26高一下·河北保定·月考）在直三棱柱中，，，，，则该直三棱柱的外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 16．（2026·河北沧州·模拟预测）已知圆台的上､下底面半径分别为1，2，体积为，则该圆台外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 17．（23-24高一下·四川泸州·期中）已知的三个顶点都在球的球面上，且，若三棱锥的体积为，则球的表面积为___________． 18．（2026高一·全国·专题练习）已知圆锥的全面积是它的内切球表面积的2倍，则底面面积和圆锥侧面积之比为_____． 19．（25-26高一下·重庆·月考）已知一正三棱台的上、下底面边长分别为、．若该正三棱台的体积为．则它的外接球的表面积为__________． 20．（24-25高一下·广东汕头·期中）已知正四面体的表面积为，此四面体的内切球的表面积为，则＝______． 1 学科网（北京）股份有限公司 $